Về một số lớp vành thoả nãm điều kiện chuỗi đối với linh hoá tử

Trình bày các khái niệm và tính chất về iđêan và vành, linh hoá tử của một tập hợp trong một vành, môđun con cốt yếu, môđun con suy biến, môđun nội xạ, các điều kiện chuỗi và các kiến t

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

==== o0o ====

ngô văn nghĩa

điều kiện chuỗi đối với linh hóa tử

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

mở đầu

Trong nghiên cứu vành các điều kiện chuỗi đóng vai trò nh một công cụ thông dụng và hữu ích Có nhiều lớp vành đã đợc nghiên cứu nhờ sử dụng các điều kiện chuỗi trên các môđun con

Trong chơng trình học tập ở bậc Sau đại học chuyên ngành Đại số – Lý thuyết số các chuyên đề Lý thuyết vành và Lý thuyết môđun đã gợi mở một số vấn

đề về các cấu trúc đại số này Qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, chúng tôi đợc biết gần đây có nhiều ngời đang nghiên cứu một số lớp vành thỏa mãn các

điều kiện chuỗi đối với các linh hóa tử Với sự mong muốn đợc tiếp tục học tập, tích lũy thêm kiến thức và rèn luyện khả năng tự học, làm quen với nguồn t liệu về

lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi đối với linh hóa tử”

Luận văn này chủ yếu nhằm tìm hiểu các kiến thức thuộc lĩnh vực đã chọn,

hệ thống hóa các kiến thức tìm hiểu đợc, sắp xếp lại thành một tài liệu chuyên đề

có tính hệ thống Đây là công việc không dễ dàng đối với tác giả Vì rằng các kiến thức liên quan với nhau trên một diện rộng lớn Nhiều chứng minh của các kết quả các tác giả đã sử dụng nhiều t liệu trên các tạp chí mà tác giả không có điều kiện tìm đọc đợc Vì vậy không tránh khỏi những chỗ việc trình bày, hệ thống hóa cha

đợc thực sự rõ ràng

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đợc chia thành 2 chơng:

Chơng 1 Trình bày các khái niệm và tính chất về iđêan và vành, linh hoá tử

của một tập hợp trong một vành, môđun con cốt yếu, môđun con suy biến, môđun nội xạ, các điều kiện chuỗi và các kiến thức liên quan

Chơng 2 Tập trung tìm hiểu một số lớp vành sau: Vành nửa nguyên tố với

điều kiện chuỗi, vành Goldie nửa nguyên tố, vành hữu hạn trực giao và đếm đợc các linh hóa tử phải

Luận văn hoàn thành tại trờng Đại học Vinh vào tháng 12 năm 2009 Nhờ sự hớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và và sự biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời

đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả xin gửi tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại học- trờng

Đại học Vinh lời cảm ơn chân thành.Tác giả xin cảm ơn trờng THPT Bắc Quỳnh

Lu đã tạo mọi điều kiện để tác giả đợc theo học chơng trình đào tạo sau đại học Xin cảm ơn bạn bè và ngời thân đã động viên, khích lệ tác giả hoàn thành chơng trình học tập và nghiên cứu

Mặc dầu đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo các tài liệu cũng

nh tiếp thu các ý kiến đóng góp nhng luận văn khó tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Kính mong tiếp tục nhận đợc các ý kiến đóng góp của các quý thầy, cô và các bạn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Ngô Văn Nghĩa

chơng 1 các kiến thức chuẩn bị

Việc nghiên cứu tính chất của vành có thể xuất phát từ chính những điều

đã biết hay đợc thừa nhận đã có (tức là tiên đề) trong vành đó, cũng có thể xuất phát từ những điều đã biết hay những điều kiện giả thiết là đã có trên các môđun thuộc một lớp môđun trên vành đó đợc chọn trớc Những tính chất ban

đầu về vành và môđun này đóng vai trò công cụ để chúng ta tìm hiểu về vành Vì vậy trong chơng này chúng tôi trình bày những khái niệm cơ sở về vành và môđun cùng với những tính chất về các đối tợng này Những kiến thức cơ sở chúng tôi hệ thống hóa, sắp xếp lại ở đây chủ yếu dựa theo những tài liệu tham khảo đợc liệt kê ở cuối luận văn Chúng ta bắt đầu với các kiến thức cơ

sở về vành

1.1 một số kiến thức cơ sở về vành

Trong luận văn này mọi vành nói đến đều đợc giả thiết là vành kết hợp

Đối với mỗi vành R cho trớc phần tử đơn vị nếu có luôn đợc kí hiệu là 1

1.1.1 Một số khái niệm về iđêan và vành

Định nghĩa 1 Giả sử R là một vành cho trớc và I là một iđêan của R.

nếu với mọi phần tử ,a b của vành R mà ab I∈ suy ra a I∈ hoặc b∈I

Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan nửa nguyên tố (semiprime) nếu I là

giao của một họ nào đó các iđêan nguyên tố

Đối với các vành giao hoán hai khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan hoàn toàn nguyên tố trùng nhau Trong phần sau của mục này chúng tôi dẫn ra một chứng minh khẳng định rằng trong vành bất kì mọi iđêan hoàn toàn nguyên tố

đều là iđêan nguyên tố nhng chiều ngợc lại không đúng

Định nghĩa 2 Iđêan M của vành R đợc gọi là iđêan tối đại (maximal) nếu R

chứa thực sự M và M không bị chứa thc sự trong một iđêan nào khác của R

A + B = {a + b| a ∈ A, b ∈B};

AB = {Σn

i=1 a i b i , n ∈N}.

Tổng của hai tập hợp xác định nh trên là hoàn toàn tự nhiên và đơn giản

tổng của một số hữu hạn những tích các phần tử nh vậy Khái niệm tích các iđêan

và lũy thừa của một iđêan đợc nói đến trong các phần sau đây đợc hiểu theo nghĩa tích các tập hợp trong một vành xác định trên đây Mệnh đề sau đây cho thấy mối quan hệ giữa khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong một vành

có đơn vị

Mệnh đề 1 Trong vành có đơn vị mọi iđêan tối đại đều nguyên tố.

Chứng minh Giả sử M là tối đại trong vành có đơn vị R, ,A B là các

Giả sử ngợc lại B⊄M Vì M là iđêan tối đại của R và A ⊄ M nên ta có A + M = R Tơng tự cũng có B + M = R Theo giả thiết, vành R có đơn vị nên R.R

= R Vì vậy ta có: R=(A M B M+ ) ( + ) = AB AM+ +BM +M =AB M+ Từ

Mệnh đề sau đây cho những dấu hiệu nhận biết một iđêan là iđêan nguyên tố trong một vành có đơn vị

Mệnh đề 2 Giả sử P là một iđêan trong vành có đơn vị R Khi đó các phát

biểu sau là tơng đơng:

(a) P là iđêan nguyên tố;

(b) Với mọi iđêan trái , I J của R sao cho IJ ⊂ P , suy ra I ⊂P hoặc J ⊂P

;

(c) Mọi , x y R∈ sao cho xRy⊂ P thì x P∈ hoặc y P∈ .

Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh ( ) ( )a ⇒ b Giả sử có (a) và ,I J là

hoặc JR⊂P Vì R có đơn vị nên I ⊂ IR và J ⊂ JR Vì vậy ta có I ⊂ P hoặc J

⊂P, tức là (b) đúng.

Khi đó do R là vành có đơn vị nên Rx Ry, là các iđêan trái của R và

( ) ( )Rx Ry =R xRy( ) ⊂ P Điều này suy ra Rx ⊂ P hoặc Ry ⊂P Vì x ∈Rx và

y∈ Ry nên từ Rx ⊂ P hoặc Ry ⊂ P ta có x ∈ P hoặc y P∈ .

Vì J ⊄ P nên tồn tại y∈J \ P Khi đó theo (c) ta có xRy⊄P Vì x ∈I nên

xR ⊂ I, vì y∈J nên xRy ⊂ IJ Do xRy ⊂ IJ và xRy⊄P nên ta có IJ ⊄ P

Vậy P nguyên tố

Mệnh đề 3.

( )a Trong mọi vành iđêan hoàn toàn nguyên tố là iđêan nguyên tố.

( )b Trong vành giao hoán mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan hoàn toàn nguyên tố.

Chứng minh (a) Giả sử P là iđêan hoàn toàn nguyên tố và , I J là iđêan

của R sao cho IJ ⊂ P, I ⊄ P, ta chứng minh J ⊂P Từ I ⊄ P ta suy ra tồn tại

Vì x ∉ P nên ta có y ∈P Vì vậy mọi phần tử của J đều thuộc P nên J ⊂ P

là iđêan hoàn toàn nguyên tố Thật vậy, giả sử P là iđêan nguyên tố và x, y là

Vậy P là iđêan hoàn toàn nguyên tố

không chứa thực sự iđêan nguyên tố nào

Mệnh đề 4 Mọi iđêan nguyên tố của vành R chứa một iđêan nguyên tố tối tiểu.

Chứng minh Giả sử P là iđêan nguyên tố của vành R Xét họ F là tất cả

các phần tử thuộc J Khi đó Q⊂P Ta chứng minh Q là iđêan nguyên tố Với

x∉P ’ Khi đó x∉P’’, với mọi P ’’ ⊂ P’.

Với mọi P J∈ sao cho P⊄P' thì do tính sắp thứ tự của J ta có P' ⊂ P

Từ xRy⊂ ⊂ ⇒Q P' xRy⊂ ⇒ ∈P' x P'hoặc y P∈ ' Vì x P∉ ⇒ ∈' y P' Vì

'

P ⊂P⇒ ∈y P.

Mặt khác xRy⊂ ⇒Q xRy⊂ P",∀ ∈P" J và P"⊂ P'

Vậy y A A J∈ ∀ ∈ ⇒ ∈, y Q hay Q là nguyên tố

Vì Q là giao của tất cả các iđêan thuộc J nên Q bé nhất trong J theo

iđêan nguyên tố tối tiểu

Mệnh đề sau đây cho ta một cách xây dựng các iđêan nguyên tố trong một vành dựa vào các tập hợp khép kín đối với phép nhân

với phép nhân, X không chứa phần tử 0 Giả sử P là iđêan của R tối đại trong các iđêan của R có giao với X bằng rỗng Khi đó P là iđêan nguyên tố

Chứng minh: Ta chứng minh R P là vành nguyên tố, giả sử

' '

I

) với IJ = ∈0 R P ta chứng minh I' =Phoặc J' =P Giả sử I J là các iđêan ', '

ta có

I ∩ ≠ ∅X J ∩ ≠ ∅ ⇒ ∃ ∈ ∩X x I X ∃ ∈ ∩y J X

P Sao cho IJ =0 ; 0 R∈ P Ta cÇn chøng minh: I =0 hoÆc J =0

Suy ra A⊂Phoặc B⊂P

Đối với các iđêan nửa nguyên tố ta cũng có một mệnh đề tơng tự nh mệnh đề nhận biết iđêan nguyên tố ở trên Lập luận chứng minh cũng đợc thực hiện tơng tự

Mệnh đề 7 Giả sử P là một iđêan trong vành có đơn vị R Khi đó các phát

biểu sau là tơng đơng:

( )a P là iđêan nửa nguyên tố

( )b Với mọi iđêan trái I của R sao cho I 2⊂P suy ra I ⊂P

( )c Mọi x ∈R sao cho xRx ⊂ P thì x P∈ .

Định nghĩa 4 Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan lũy linh (nilpotent) nếu

tồn tại n N∈ ∗sao cho I n =0

Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan linh (nil) nếu mọi phần tử của I

là phần tử lũy linh

Chú ý rằng mặc dù In chứa tất cả các tích a 1 a 2 a n , ai thuộc I, với mọi i

= 1, 2, , n và tổng hữu hạn của những tích nh vậy Ta có I n = 0 xảy ra khi

và chỉ khi a 1 a 2 a n = 0, với mọi a i ∈ I Từ điều này suy ra hệ quả sau

Hệ quả 8 Nếu I là iđêan lũy linh thì mọi phần tử của I là phần tử lũy linh.

Hệ quả trên đây khẳng định rằng mọi iđêan lũy linh đều là iđêan linh Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng trong trờng hợp tổng quát: Tồn tại những vành mà trong đó có những iđêan linh nhng không lũy linh

1.1.2 Linh hóa tử của các tập hợp trong một vành.

Định nghĩa 5 Cho vành Rvà A là một tập hợp con của R

Tập hợp l A( ) {= ∈x R xa| = ∀ ∈0, a A} đợc gọi là linh hóa tử trái của A

trong R

Tập hợp r A( ) {= ∈x R ax| = ∀ ∈0, a A} đợc gọi là linh hóa tử phải của A

trong R Tập hợp An A( ) ( )=l A ∩r A( ) đợc gọi là linh hóa tử của A trong R

Nếu A chỉ gồm một phần tử a thì ta dùng kí hiệu l(a), r(a), An(a) để chỉ l({a}), r({a}) và An({a}), tơng ứng.

Mệnh đề 9 Cho R là một vành và A là tập hợp con của R.

( )a Nếu A khác rỗng thì l A là iđêan trái của vành ( ) R , r A là ( )

iđêan phải của vành R ;

( )b Nếu A B⊂ thì l B( ) ( )⊂l A ; r B( ) ⊂r A( ) ;

( )c A l r A⊂ ( ( ) ) ; A⊂r l A( ( ) ) ;

( )d l r l A( ( ( ) ) ) =l A( ); r l r A( ( ( ) ) ) =r A( ) ;

( )e Nếu A C R ⊂ ( ) thì l A ( ) ( ) = r A ;

( )f Nếu A là iđêan trái của vành R thì l A là iđêan của vành R , ( )

Nếu A là iđêan phải của vành R thì r A là iđêan của vành ( ) R ;

( )g Nếu A là iđêan trái sinh bởi một lũy đẳng e của vành R thì

Trong mục này chúng tôi hệ thống hóa lại một số kiến thức về môđun

có liên quan đến nội dung các phần sau Các môđun đợc đề cập đến ở đây đều

1.2.1 Môđun con cốt yếu của một môđun

Định nghĩa 6 Cho M là một môđun và A là một môđun con của M Ta nói A

là một môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con B ≠ 0 của M ta luôn

có A ∩ B ≠ 0 và kí hiệu là A ⊂e M.

Nếu A là môđun con cốt yếu của môđun M thì ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu của môđun A Ngời ta thờng xét các mở rộng cốt yếu của một

niệm iđêan trái cốt yếu, iđêan phải cốt yếu Khái niệm iđêan cốt yếu đợc hiểu

là một iđêan vừa là iđêan phải cốt yếu vừa là iđêan trái cốt yếu

Các mệnh đề sau đây cho ta một số tính chất của các môđun con cốt yếu

nếu A ⊂e M thì B ⊂e M.

Mệnh đề 11 Giao của một họ hữu hạn và tổng của một họ tùy ý những

môđun con cốt yếu của một môđun là một môđun con cốt yếu của môđun đó.

Mệnh đề 12 Giả sử A là một môđun con cốt yếu của một R-môđun phải M

cho trớc và a là một phần tử khác 0 của M Khi đó tồn tại một iđêan phải cốt yếu L của R sao cho 0 ≠ aL ⊂ A

1.2.2 Môđun con suy biến

Định nghĩa 7 Cho vành có đơn vị R và M là một môđun trái trên R Phần tử

m∈M đợc gọi là suy biến nếu tồn tại iđêan trái cốt yếu I của R sao cho Im = 0.

Mệnh đề sau đây cho biết cấu trúc của tập hợp các phần tử suy biến trong một môđun cho trớc

biến của M làm thành một môđun con của M.

Chứng minh Ký hiệu ( ) { | e : 0}

R

Thật vậy, vì x, y ∈Z(M) nên tồn tại hai iđêan trái cốt yếu của R là I và J

R

I ∩ ⊂J R và

(I ∩ J)(x +y) = (I ∩ J)x + (I ∩J)y ⊂ Ix + Jx = 0 Vậy x+y ∈Z(M).

Z(M) nên tồn tại iđêan trái I của R sao cho Ix = 0 Khi đó nếu r = 0 thì hiển

Vậy Z(M) là một môđun con của M

Chú ý rằng tồn tại những môđun không là môđun suy biến, cũng không

là môđun không suy biến

Vì Z(M) là môđun con của M nên ta có môđun thơng M/Z(M) Môđun

Dấu hiệu nhận biết môđun suy biến là:

đợc rằng Z 2 (M) đóng trong M Điều này có nghĩa là trong M môđun con

Z 2 (M) không có mở rộng cốt yếu thực sự nào.

1.2.3 Chiều Goldie của môđun

không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

thuộc khi xét nó nh là môđun trái hay môđun phải Một vành Noether phải là một vành Goldie phải, nhng điều ngợc lại không đúng bởi vì bất kỳ miền nguyên giao hoán nào cũng một là vành Goldie

Định nghĩa 10 Một môđun U khác 0 đợc gọi là môđun đều (uniform) nếu bất

Định nghĩa môđun đều trên đây tơng đơng với điều kiện: mọi môđun

chiều Goldie hữu hạn của môđun với sự tồn tại môđun con đều và tổng trực tiếp các môđun con đều

Mệnh đề 14 Giả sử M là một R- môđun trái khác không cho trớc.

(a) Nếu M có chiều Goldie hữu hạn thì mỗi môđun con khác 0 của M chứa một môđun con đều và có một số hữu hạn các môđun con đều của M sao cho tổng của các môđun con này là tổng trực tiếp và là môđun con cốt yếu của M (b) Giả sử rằng M có các môđun con đều U U1 , 2 , , K U n sao cho tổng

U +U + + L U là trực tiếp và là một môđun con cốt yếu của M thế thì M có chiều Goldie hữu hạn Số nguyên dơng n là độc lập với sự lựa chọn U i

1.2.4 Môđun nội xạ

Định nghĩa 11 Cho M là một môđun trái trên vành R M đợc gọi là môđun

nội xạ nếu với mọi môđun A của môđun N, mỗi đồng cấu f: A → M luôn mở

Có một tiêu chuẩn để nhận biết môđun nội xạ thông qua điều kiện mở rộng đợc của các đồng cấu môđun từ các iđêan trái của vành cơ sở

Mệnh đề 15 (Tiêu chuẩn Baer) R-môđun trái M là một môđun nội xạ khi và

chỉ khi với mọi iđêan trái I của R, mỗi đồng cấu (R-môđun trái), f: I → M luôn mở rộng đợc thành một đồng cấu từ R vào M.

ta phải dùng các iđêan phải để phát biểu tiêu chuẩn nhận biết môđun nội xạ

nội xạ nếu và chỉ nếu hễ M là môđun con của một môđun A nào đó thì M là một hạng tử trực tiếp của môđun A Ta kí hiệu điều kiện này là điều kiện (C).

Khái niệm môđun nội xạ đợc nghiên cứu từ thập niên ba mơi của thế kỉ trớc và đã trở thành công cụ thông dụng trong nghiên cứu vành Những năm giữa và cuối thế kỉ XX nhiều nhà nghiên cứu lí thuyết vành đã mở rộng lớp môđun nội xạ để có các lớp môđun rộng hơn và ứng dụng vào nghiên cứu các

đặc trng cho các lớp vành Bằng cách xuất phát từ định nghĩa của khái niệm môđun nội xạ hay từ các điều kiện tơng đơng của định nghĩa môđun nội xạ

mà ta có những lớp môđun mở rộng khác nhau Sau đây chúng tôi hệ thống hóa một số lớp môđun đợc mở rộng từ lớp môđun nội xạ Trớc hết, xuất phát

từ định nghĩa của môđun nội xạ, bằng cách giảm nhẹ điều kiện ta có khái

Định nghĩa 12 Cho trớc R-môđun trái N Một R-môđun trái M đợc gọi là

môđun N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N, mỗi đồng cấu f: A → M

Đối với một vành R cho trớc ta luôn có thể xét R nh là một môđun trái

hay môđun phải trên chính nó mà có các khái niệm vành tự nội xạ trái hay tự nội xạ phải Đối với một vành không giao hoán, thuộc tính tự nội xạ trái và tự nội xạ phải nói chung là không tơng đơng với nhau

Bằng cách thay đổi một số yêu cầu trong điều kiện (C) ở trên ta có thể

định nghĩa một vài khái niệm liên quan đến khái niệm môđun nội xạ

Định nghĩa 13 R-môđun trái M đợc gọi là môđun CS hay môđun Extending nếu

C 1 Do đó lớp môđun CS là một lớp mở rộng thực sự của lớp môđun nội xạ

các đặc trng của các lớp vành

Định nghĩa 14 Môđun M thỏa mãn điều kiện CS và điều kiện: giao của hai

tựa liên tục.

môđun mở rộng thực sự của lớp môđun nội xạ và lớp môđun tựa nội xạ

Trong định nghĩa trên đây nếu ta thay điều kiện về giao của các hạng tử trực

hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực tiếp của M” thì ta có khái niệm

Lớp môđun liên tục cũng là một lớp môđun mở rộng thực sự của lớp môđun nội xạ

Ta cũng có thể mở rộng lớp môđun nội xạ xuất phát từ tiêu chuẩn Baer

nh trong định nghĩa sau đây

Định nghĩa 15 Môđun trái M trên vành R đợc gọi là môđun P-nội xạ nếu với

1.2.5 Các điều kiện chuỗi

Cho X là một tập hợp đợc sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ Ta gọi một dãy phần

tử a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ≤ a n≤ (1) trong X là một dãy tăng.

điều kiện chuỗi tăng (ascending chain condition), viết tắt là điều kiện ACC,

nếu mọi dãy tăng (1) đều dừng sau một số hữu hạn bớc, tức là tồn tại số nguyên dơng n sao cho a n = a n+1 =

đợc sẽ đợc gọi là dãy giảm Tơng ứng với điều kiện mọi dãy tăng dừng sau một số hữu hạn bớc ta có điều kiện mọi dãy giảm dừng sau một số hữu hạn b-

mô tả tính chất các vành và môđun Sau đây chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về môđun và vành với điều kiện chuỗi.

Định nghĩa 17 Môđun M đợc gọi là môđun Noether nếu M thỏa mãn điều

kiện ACC xét với quan hệ bao hàm đối với các môđun con

với quan hệ bao hàm đối với các môđun con

Mệnh đề sau đây cho thấy thuộc tính Noether và Artin của các môđun bảo toàn qua việc lấy môđun con và môđun thơng

Mệnh đề 16 Môđun con và môđun thơng của môđun Noether là môđun

Noether Môđun con và môđun thơng của môđun Artin là môđun Artin.

Có thể sử dụng khái niệm dãy tăng hay giảm và khái niệm môđun con cốt yếu để mô tả khái niệm môđun có chiều Goldie hữu hạn Mệnh đề sau đây cho phép

ta rút ra mối liên hệ giữa môđun Noether với môđun có chiều Goldie hữu hạn

Mệnh đề 17 Môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu mọi dãy tăng các môđun

con của M sau đây A 1 ⊂A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ luôn tồn tại một số nguyên

d-ơng n sao cho A n cốt yếu trong A n+1, với mọi n ≥ n 0

môđun có chiều Goldie hữu hạn Tuy nhiên chiều ngợc lại không đúng trong trờng hợp tổng quát Ta cũng có một phát biểu tơng tự bằng cách thay chuỗi tăng bởi chuỗi giảm Do đó cũng có kết luận: mọi môđun Artin luôn là môđun

có chiều Goldie hữu hạn

1.3 Một số khái niệm về căn của vành

1.3.1 Căn nguyên tố của vành

Chúng tôi đã trình bày trong phần trên các khái niệm về phần tử lũy linh, iđêan lũy linh, iđêan linh iđêan tối đại và iđêan nguyên tố Trong phần

tiếp đây tôi sẽ sử dụng các khái niệm này để làm rõ một số cấu trúc con của vành đợc quan tâm nhiều trong nghiên cứu Đó là các khái niệm căn của vành Trớc hết ta phát biểu một mệnh đề cho trờng hợp vành giao hoán.

Mệnh đề 18 Cho R là một vành giao hoán Khi đó giao của tất cả các iđêan

nguyên tố của R là tập tất cả các phần tử lũy linh của R

Chứng minh Giả sử r là phần tử lũy linh của R, P là iđêan nguyên tố

bất kì của R Vì r là phần tử lũy linh nên r n =0 với n nào đó thuộc N∗

r thuộc giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R Ta xét trờng hợp r ≠ 0.

∈ P suy ra r ∈P Lại do P là iđêan nguyên tố bất kì nên r thuộc giao của tất cả

{ n | }

X = r n N∈ ∗ Do r không lũy linh suy ra r ≠0, X khép kín với phép

nhân; 0 X∈ , iđêan P’ của R tối đại với P’∩ X = ∅ là iđêan nguyên tố Khi đó

r ∉ P’ nên r không thuộc giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R

Từ chứng minh phần thứ nhất ta thấy rằng trong lập luận ta chỉ dùng đến

thống lại một số khái niệm sau có liên quan đến các tập hợp nói trên

Định nghĩa 18 Tổng của tất cả các iđêan linh của vành R đợc gọi là căn linh

của R và kí hiệu là N(R).

nguyên tố của vành R và kí hiệu là P(R).

Từ định nghĩa trên đây ta suy ra rằng một vành là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu căn nguyên tố của nó bằng 0

phần tử lũy linh khác Một số tính chất của các căn linh và căn nguyên tố đợc cho trong các mệnh đề sau:

Mệnh đề 19 Giả sử R là một vành cho trớc và N(R) là căn linh của R Khi đó

vành thơng R/N(R) có căn linh là 0, tức là N(R/N(R)) = 0 ∈R/N(R) = 0+N(R) Chứng minh Giả sử A’ là căn linh của R/N(R) Khi đó A’ có dạng A/N(R), trong đó A là một iđêan của R chứa N(R) Theo nhận xét ở trên, mỗi

A/N(R), ta có một số nguyên dơng n sao cho (a+N(R)) n = 0 (trong R/N(R))

R), tức là a phần tử lũy linh Vì a là phần tử bất kì của A nên ta có A là iđêan

linh Điều này chứng tỏ A ⊂ N(R), hay là A = ’ 0 trong R/N(R)

Kết luận chơng 1

Trong chơng 1 chúng tôi đã hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất

về vành và môđun Chúng tôi đề cập đến 19 khái niệm và 19 mệnh đề thờng dùng trong bớc đầu tìm hiểu về cấu trúc vành và môđun Đó cũng là những kiến thức cơ bản luôn đợc sử dụng để mô tả các đặc trng của các lớp vành và

m«®un trong nghiªn cøu ViÖc hÖ thèng hãa l¹i nh÷ng kiÕn thøc trªn ®©y chñ yÕu lµm c¬ së cho viÖc tr×nh bµy ch¬ng 2.

Chơng 2 một số lớp Vành thỏa mãn điều kiện chuỗi

đối với các iđêan linh hoá tử

Nhiệm vụ chủ yếu của chơng 2 là tiếp cận một số đề tài kiến thức mới

về lý thuyết vành và môđun Các kiến thức đợc hệ thống hóa trong chơng này phần nhiều đợc tìm hiểu qua các bài báo đợc công bố từ những năm cuối thế

kỷ XX đến những năm gần đây Chúng tôi đã cố gắng hiểu đợc hớng phát triển của vấn đề nghiên cứu đồng thời học tập một số kỹ thuật mà các tác giả những bài báo đã sử dụng Tuy vậy do thiếu nhiều t liệu nên chúng tôi gặp nhiều khó khăn và nhiều chỗ không vợt qua đợc Do đó một số đoạn chứng minh buộc phải thừa nhận các khẳng định trung gian từ các kết quả nghiên cứu mà không trình bày chứng minh chi tiết đợc

2.1 Vành nửa nguyên tố với điều kiện chuỗi

2.1.1 Iđêan suy biến phải của vành

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu iđêan suy biến phải của một vành

Mệnh đề 1 Giả sử R là một vành cho trớc Khi đó tập hợp Z(R) cho nh sau:

Z(R) = {r ∈ R | rK = 0 đối với một iđêan phải cốt yếu K nào đó của R}

là một iđêan hai phía của R

Chứng minh Ta có 0 r =0, với mọi phần tử r của R nên 0 là một phần tử

yếu L và K của R sao cho aL = 0 và bK = 0 Khi đó I = L ∩ K là một iđêan

hiệu I là iđêan phải của R sao cho aI = 0 Khi đó (ra)I = r(aI) = r0 = 0 Vậy

ra ∈Z(R) Ta chứng minh ar ∈ Z(R) Nếu a = 0 hay r = 0 thì kết luận là hiển