Mặt trò xoay trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ĐỖ THỊ KIM HOA MẶT TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS.. Với mong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ KIM HOA

MẶT TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo

tận tình của thầy giáo Ths.GVC Phan Hồng Trường khóa luận của em nay

đã được hoàn thành

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo-Ths.GVC Phan Hồng Trường Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn

chân thành đến thầy, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này Đồng thời em xin cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cám ơn gia đình bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Do sự hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đánh giá phê bình và góp ý của các thầy cô giáo và bạn bè

Em xin chân thành cảm ơn!

Hµ Néi, th¸ng 05 n¨m 2014

Sinh viªn thùc hiÖn

Đỗ Thị Kim Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam kết khóa luận “ Mặt tròn xoay trong không gian”

Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

Chương 1: Mặt trong không gian E3 3

1.1.Mảnh tham số Mảnh Mảnh hình học 3

1.1.1 Mảnh tham số 3

1.1.2 Mảnh tham số chính quy 3

1.1.3 Mảnh 5

1.1.4 Mảnh hình học 6

1.2 Đa tạp hai chiều trong En 12

1.2.1.Định nghĩa 12

1.2.2 Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong En 12

1.2.3 Mặt xác định bởi phương trình ẩn trong E3 13

1.3 Đa tạp hai chiều định hướng trong E3 14

1.3.1 Trường vectơ và trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp 14

1.3.2 Hướng trên đa tạp hai chiều trong En 14

1.3.3.Tính chất 15

1.4 Ánh xạ Weingarten (vain-gac-ten) và độ cong của mặt định hướng trong E3 16

1.4.1 Ánh xạ Weingarten 16

1.4.2 Độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt định hướng 17

1.4.3 Các công thức tính độ cong 18

1.4.4 Độ cong pháp dạng Công thức Meusnier ( Mơ- nhi- ê) và công thức Euler ( Ơ- le) 21

1.5 Những đường đáng chú ý trên mặt định hướng trong E3 22

1.5.1 Đường chính khúc 22

1.5.2.Đường tiêm cận 25

1.5.3.Độ cong trắc địa của cung trên mặt và đường tiền trắc địa trên mặt S trong E3 26

1.5.4 Cung trắc địa 28

Chương 2: Một số mặt tròn xoay trong E3 29

2.1 Mặt Cầu 29

2.1.1.Phương trình tham số hóa 29

2.1.2 Định hướng mặt 29

2.1.3.Ánh xạ Weingarten 29

2.1.4 Các dạng cơ bản I và II Độ cong Gauss và độ cong trung bình 30

2.1.5 Những đường đáng chú ý 31

2.2 Mặt trụ tròn xoay 33

2.2.1 Phương trình tham số hóa 33

2.2.2 Dạng cơ bản I và II Độ cong Gauss và độ cong trung bình 33

2.2.3 Những đường đáng chú ý 34

2.3 Mặt ellipsoid tròn xoay 37

2.3.1 Phương trình tham số hóa 37

2.3.2 Dạng cơ bản I và II Độ cong Gauss và độ cong trung bình 38

2.4.Mặt paraboloid tròn xoay 40

2.4.1 Tham số hóa 40

2.4.2.Dạng cơ bản I và II Độ cong Gauss và độ cong trung bình 41

2.4.3 Những đường đáng chú ý trên mặt paraboloid tròn xoay 42

2.5 Mặt hyperboloid 1 tầng tròn xoay 43

2.5.1 Tham số hóa 43

2.5.2.Dạng cơ bản I và II Độ cong Gauss và độ cong trung bình 43

2.5.3 Những đường đáng chú ý 44

2.6 Mặt hyperboloid 2 tầng tròn xoay 45

2.6.1.Tham số hóa 45

2.6.2 Dạng cơ bản I và II Độ cong Gauss và độ cong trung bình 46

2.6.3 Những đường đáng chú ý 47

2.7 Mặt xuyến 47

2.7.1 Mảnh tham số 47

2.7.2 Dạng cơ bản I và II.Độ cong Gauss và độ cong trung bình 48

2.7.3 Những đường đáng chú ý 49

2.8 Mặt nón tròn xoay 49

2.8.1.Tham số hóa 49

2.8.2 Độ cong Grauss và độ cong trung bình 50

2.8.3.Những đường đáng chú ý 51

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn khoa học nghiên cứu về tính chất định tính và định lượng các hình.Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có những ngành hình học khác nhau

Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công

cụ phép tính vi phân, tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đa tuyến để cứu các vấn đề hình học

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân và đặc biệt lí thuyết mặt trong không gian E3, được sự hướng dẫn của thầy em quyết định đi tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng lí thuyết cho các mặt tròn xoay trong không gian E3

Đề tài khóa luận “ Mặt tròn xoay trong không gian ”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khóa luận là nghiên cứu và ứng dụng

lí thuyết mặt trong E3vào lớp mặt tròn xoay

3 Đối tƣợng nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu

a,Đối tƣợng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là: lí thuyết mặt và ứng dụng lí thuyết

đó vào lớp mặt tròn xoay trong không gian E3

b,Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là: ứng dụng lí thuyết mặt E3 trong lớp mặt tròn xoay

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về mặt trong E3

Nghiên cứu lí thuyết mặt tròn xoay trong không gian

Nghiên cứu ứng dụng lí thuyết mặt trong không gian E3 vào mặt tròn xoay trong không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lí luận,phân tích tổng hợp,đánh giá và đọc sách

Chương 1: Mặt trong không gian E 3

n

o n

Cung r1 còn gọi là cung v= vo (hay đường tọa độ u đi qua (uo,vo))

Cung r2 còn gọi là cung u= uo (hay đường tọa độ v đi qua (uo,vo))

Giả sử ( , )u v o o là một điểm chính quy của mảnh tham số

Mặt phẳng α trong En đi qua p và có không gian vectơ chỉ phương

là TpS được gọi là tiếp xúc của S tại p (hay còn gọi là tiếp diện của S tại p)

Khi n=3 thì đường thẳng đi qua p và thẳng góc với tiếp diện của S tại p được gọi là một pháp tuyến của S tại p

Trong hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz của E3, nếu mô tả r(u, v) bởi các hàm tọa độ: r(u, v)x u v y u v( , ), ( , ),z(u, v) tiếp diện của mảnh tham số r tại

1.1.3 Mảnh

a, Hai mảnh tham số tương đương:

Cho U và U là hai tập mở (khác rỗng ) trong R2 Ánh xạ

∆ < 0 ( , )u v U, ta nói λ là vi phôi đảo hướng

Cho hai mảnh tham số trong En là : n

Nếu đòi hỏi λ còn là một vi phôi bảo toàn hướng thì ta nói mảnh tham số r tương đương định hướng với mảnh tham số r

b, Định nghĩa mảnh

Mỗi lớp tương đương của qua hệ tương đương (tương đương định hướng) nói trên được gọi là một mảnh (mảnh định hướng) trong En

Mỗi mảnh tham số trong lớp tương đương – mảnh đó được gọi là mảnh tham số hóa của mảnh

Để cho một mảnh ( hay mảnh định hướng) trong En

ta chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó

Đối với mảnh định hướng trong E3

có hướng xác định trong tham

số hóa ( , )u v r u v( , ) thì tại điểm chính quy ( , )u v của nó vectơ

' ' ' '

 không phụ thuộc vào tham số hóa đã chọn và là

vectơ chỉ phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó

1.1.4 Mảnh hình học

a, Định nghĩa

Tập con S trong En được gọi là một mảnh hình học trong En nếu có ánh

xạ khả vi :r UE n, ( , )u v r u v( , ) từ tập mở trong R2 vào En thỏa mãn

ba điều kiện sau:

Lúc đó r được gọi là tham số hóa của mảnh hình học S

b,Mảnh hình học cho bởi tham số kiểu đồ thị

Giả sử trong En đã cho một hệ tọa độ trong afin O e e; , , ,1 2 e và tọa độ n

của điểm kí hiệu là  1 2 

d r p r p < ε Do r1 liên tục tại p o nên ta có r1 liên tục

tại r(U) Điều kiện a 3 được thỏa mãn

Giả sử S là một mảnh hình học trong En và r: U→ En là một tham

số hóa của nó Khi đó với mỗi p o S r U( ) đều có tập mở UU sao cho Sr U( ) là một mảnh hình học chứa po Hơn nữa, S có thể chọn cho bởi một tham số hóa kiểu đồ thị tương đương với tham số hóa r U

n u

, , ,

n v

1

r V  r  V r U rõ ràng r U,r là hai mảnh tham số hóa

tương đương, tức chúng cùng tham số hóa của mảnh hình học S

Tính chất 3

Hai tham số hóa cùng một mảnh hình học thì luôn tương đương với nhau

Chứng minh:

Vẫn xét như E n một hệ tọa độ afin như trong phép chứng minh tính chất 2 Giả sử : n

Vẫn xét trong E n một hệ tọa độ afin như trong phép chứng minh tính chất 2

Dễ thấy rằng, do r là một dìm đồng phôi lên ảnh nên f liên tục khi và chỉ khi 1

r f liên tục Vì tính chất khả vi và tính chất địa phương nên không làm giảm tính tổng quát ta có thể coi r là một tham số hóa kiểu đồ thị:

d, Hệ quả

Do mọi điểm của mảnh hình học đều là điểm chính quy và hai tham số hóa bất kì của cùng một mảnh hình học luôn tương đương nên ta

luôn có thể nói đến tiếp diện của một mảnh hình học tại một điểm bất kì của nó cũng như không gian vectơ tiếp xúc tại một điểm bất kì của nó tại điểm p thuộc mảnh hình học S thì không gian ấy là:

Ví dụ:

Mỗi mảnh hình học đều là đa tạp hai chiều

1.2.2 Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong E n

a, Cho tọa độ afin (x1,x2,…, xn

) trong En thì tập con không rỗng S của En là một đa tạp hai chiều trong En khi và chỉ khi mỗi điểm p  S có lân cận mở (trong S) là môt mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị

Thực vậy, nếu S là đa tạp 2 chiều trong E3 với tọa độ afin (x1,x2,x3) thì mỗi p  S có lân cận mở là đồ thị của hàm số (x1,x2) → ψ(x1

,x2) = x3 khi đó φ là hàm số

Ví dụ:

Mặt elipxoit trong E3 là một đa tạp hai chiều

Thật vậy trong hệ tọa đô afinOxyz của E3, elipxoit S có phương trình

1.2.3 Mặt xác định bởi phương trình ẩn trong E 3

a, Định nghĩa

Trong E3 với hệ tọa độ afin Oxyz, cho hàm số khả vi φ xác định trên tập mở V của E3, : V R,(x, y,z)(x, y,z)

Tập hợp S=φ-1(0)=p( , , )x y z V\ ( , , ) x y z 0 được gọi là một mặt trong E3 được xác định bởi phương trình ( , , ) 0 x y z 

1.3 Đa tạp hai chiều định hướng trong E 3

1.3.1 Trường vectơ và trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp

Cho mảnh tham số r : U → En Ta gọi mỗi ánh xạ

Là những trường vectơ dọc tham số r

Cho S là một đa tạp hai chiều trong En

Ta gọi mỗi ánh xạ X S: TE p n, X p( ) ( ,X(p)) T p  p E n là một trường vectơ trên đa tạp S

Ta nói trường vectơ X trên S là trường vectơ khả vi nếu với mọi tham số hóa địa phương r:U → En của S ta đều có X r là trường vectơ

S đều có thể lấy trong không gian vectơ TpS một cơ sở  p0, p0 sao

cho, sao cho có một tham số hóa địa phương của S tại po là r: U → Enthỏa mãn, với ∀ (u,v) ∈ U, p=r(u, v) thì hai cơ sở  p0, p0 và

R p R p cùng hướng Khi đó ta nói S là đa tạp hai chiều định u( ), v( )

hướng dương được Kí hiệu D là hướng của 0 T S xác định bởi cơ sở 0

 p0, p0thì ta gọi họ D D p0 ,p0S là một hướng của S Tham số r:

b, Đa tạp hai chiều S trong En định hướng được khi và chỉ khi có

họ tham số hóa địa phương r U1: 1E n của S sao cho i(U )i

i

r S và nếu ( )r U i i r U j( j)  thì thu hẹp trên giao đó, hai tham số hóa ri và rj

là tương đương định hướng

c, Một đa tạp hai chiều S trong E3 có hướng, là đa tạp định hướng được khi và chỉ khi trên S có một trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi

Thật vậy, nếu trên S có một hướng D D p thì gọi r p: Up E3

là tham số hóa tương thích với hướng Dp thì trường vectơ pháp tuyến

 là trường vectơ khả vi trên S

Ngược lại, giả sử có trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi

1.4 Ánh xạ Weingarten (vain-gac-ten) và độ cong của mặt định hướng trong E 3

1.4.1 Ánh xạ Weingarten

a, Định nghĩa

Cho S là một đa tạp hai chiều trong E 3 định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n khả vi trên S Với mỗi p ∈S, gọi r:U→ En

là tham số hóa địa phương của S tại p tương thích với định hướng Với α ∈ TpS, có cung tham số sao cho p( ),t o   '( )t o ta có cung tham số duy nhất

Thực vậy, lấy một tham số hóa địa phương (u, v) → r(u, v)  S thì tại r(u, v), ta có

Vì hp là một tự đồng cấu đối xứng của TpS nên hp luôn có hai giá trị riêng thực k k 1, 2

Khi k1k2 thì hai phương chính tại p hoàn toàn xác định và trực giao với nhau

Còn khi k1k2 thì mọi T S p \ 0  đều là vectơ riêng của hp nên

S có vô số phương chính tại p

Chọn trong TpS hệ hai vectơ trực chuẩn e e1, 2 ứng với hai giá trị riêng k k thì ma trận M của h1, 2 p trong cơ sở e e1, 2này là:

1 2

00

k M

như này gọi là điểm rốn của S, khi k1k2=0, p còn được gọi là điểm dẹt

và k1k2≠ Ø, p còn được gọi là điểm cầu của S

Điểm p  S gọi là điểm elliptic, hyperbolic hay parabolic của S tùy K(p) dương, âm hay bằng 0

Chú ý: Khi đổi hướng của S bằng cách xét –n thay cho n thì hp đổi thành – hp, nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi

1.4.3 Các công thức tính độ cong

1.4.3.1 Các dạng cơ bản I và II của đa tạp hai chiều định hướng:

Cho S là một đa tạp hai chiều định hướng trong E3

Lấy r:U → En là một tham số hóa địa phương tương thích với định hướng

(u,v)→ r(u, v) tại p của S, tức S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n mà

' ' ' '

Chúng được gọi theo thứ tự là biểu thức tọa độ cơ bản I và II trong

tham số hóa địa phương đang xét; E, F,G gọi là các hệ số của biểu thức

tọa độ của dạng I còn L, M, N gọi là các hệ số biểu thức tọa độ của dạng

II

Chú ý rằng khi tham số hóa r tương thích với hướng của S thì

n r

' ' ' '

Trong tham số hóa địa phương r: U → E3,(u, v)→ r(u, v) của S

tại p, tương thích với định hướng của đa tạp hai chiều định hướng S

trong E3, tại p = r(u, v) ta có

2 2

Lấy tích vô hướng của các vế của hai đẳng thức đó với   ( chú ý rằng ta có công thức:

,( , ) ( , )( , ( , )

II k

I







 không thay đổi khi thay α bởi λα

với số thực khác không λ tùy ý Ta gọi số ấy là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi vectơ α

b, Công thức Meusnier:

Cho S là đa tạp hai chiều trong E3, có hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n Giả sử γ là một cung chính quy nằm trên S có tham số tự nhiên

ρ: J → E3, s → ρ(s) ∈ S đi qua điểm p = ρ(so) Gọi k(so) là độ cong của cung γ tại điểm so, N(so) là vectơ pháp tuyến chính của γ tại điểm so thì công thức:

( ) ( ) ( ( ))k s N s n o o  s o k T s( ( )),o

Công thức này gọi là công thức Meusnier

c,Công thức Euler:

Cho S là đa tạp hai chiều trong E3

có hướng được xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n

Với mỗi vectơ riêng e của hp, hp(e)=ke, thì ( ) ( ) .

Nếu  cos e 1sin e 2 thì k( ) II( ) h p( ). 

h p(cos e 1sin e ).(cos e 2  1sin e ) 2 

( cos ek1  1ksin e ).(cos e 2  1sin e ) 2 , vậy ta có

Như vậy nếu mọi điểm của mặt định hướng S đều là điểm rốn thì mọi đường cong chính quy nằm trên S đều là đường chính khúc của S

Thực vậy, F =0 có nghĩa r r u'.v' 0 Khi đó, M=0 tức

'( ) v 0

 song song với r'u và

Điểm ρ(t) ∈ S với ∀t ∈ J, khi và chỉ khi h( ( ))' t k t( ) ( )' t khi và chỉ khi (n ) ( )' t k t( ) ( )' t với ∀t ∈ J

c, Phương trình vi phân của họ đường chính khúc trong tham số hóa địa phương

a, r:U → S, (u, v) → r(u, v), là một tham số hóa địa phương của mặt S trong E3 thì phương trình của aR p u( )bR p v( ) ( ,a bR a,  b 0) xác định một phương trình của S tại r(u, v) = p khi

và chỉ khi có số k để:

đó