Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian g mêtric

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhNguyễn Đình Bằng Điểm bất động của các phép co yếu cyclic Luận văn Thạc sỹ Toán học Nghệ An - 2014... Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhNg

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Nguyễn Đình Bằng

Điểm bất động của các phép co yếu cyclic

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Nguyễn Đình Bằng

Điểm bất động của các phép co yếu cyclic

Luận văn Thạc sỹ Toán họcChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Nghệ An - 2014

Mục Lục

TrangLời nói đầu 2Chương I Điểm bất động của các phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic trong không

1.1 Các khái niệm cơ bản 41.2 Điểm bất động của các phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic trong không gian

G-mêtric 13Chương II Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian

2.1 Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian Gmêtric 192.2 Một số ví dụ 272.3 áp dụng vào các bài toán biên 29

lời nói đầu

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quantrọng, bởi nó có nhiều ứng dụng trong các ngành toán học khác nhau Do

đó nó đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và thu được nhiều kết quảmới Kết quả quan trọng đầu tiên về lý thuyết điểm bất động là nguyên lý

ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của nhà toán học S Banach Sau đócác nhà toán học đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiềukhông gian khác nhau Một trong những hướng mở rộng là thay thế các điềukiện trong định nghĩa không gian mêtric, từ đó thu được lớp các không gianrộng hơn không gian mêtric Sau đó người ta nghiên cứu sự tồn tại các điểmbất động trên các không gian này

Khái niệm không gian 2-mêtric được giới thiệu bởi S Gahler vào nhữngnăm sáu mươi của thế kỷ trước, khái niệm không gian D-mêtric được giớithiệu bởi B Dhaler vào năm 1992 và họ đã đưa ra một số kết quả về điểm bất

động của các ánh xạ trên các lớp không gian này

Tuy nhiên, vào năm 2003, Z Mustafa cùng với B Sims đã chỉ ra nhữngvấn đề chưa hợp lý về cấu trúc tôpô của không gianD-mêtric, đồng thời giớithiệu một cấu trúc mới của không gian mêtric suy rộng và gọi là không gian

G-mêtric Sau đó, các nhà toán học này đã giới thiệu và phát triển lý thuyết

điểm bất động cho các ánh xạ khác nhau trên các không gianG-mêtric Hiệnnay, các vấn đề về lý thuyết điểm bất động đối với các ánh xạ trên các khônggianG-mêtric đang thu hút nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiêncứu và đã có những kết quả nhất định

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo,dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, chúng tôi đã tiếp cậnhướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài: Điểm bất động của các phép coyếu cyclic trong không gianG-mêtric

Bố cục luận văn gồm hai chương

Chương 1 Điểm bất động của các phép (ψ, ϕ)-co yếu cyclic trong khônggianG-mêtric

Trong chương này, Mục 1 dành cho việc giới thiệu một số kiến thức cơ sởcho việc trình bày của luận văn Mục 2, chúng tôi giới thiệu một số tính chấtcủa các ánh xạ cyclic, phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic, phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic suyrộng và trình bày chứng minh chi tiết một số định lý điểm bất động của các

ánh xạ cyclic, phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic, phép (ψ, ϕ)-co yếu cyclic suy rộng

trong không gianG-mêtric.

Chương 2 Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian

-Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình của thầy giáo NGƯT PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất đến Thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Banchủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, quí Thầy Cô trong

tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Vinh, đã giúp đỡ trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn Cuối cùng xin cảm ơn, gia đình, cơ quan,các đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt là các học viên cao học khóa 20 Toán Giảitích tại Trường Đại Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thànhnhiệm vụ trong suốt quá trình học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót.Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quí Thầy, Cô và bạn

đọc để luận văn được hoàn thiện

Vinh, ngày 20 tháng 9 năm 2014

Tác giả

chương 1

Điểm bất động của các phép (ψ, ϕ)-co yếu

Tập X cùng với một mêtricd trên nó được gọi là một không gian mêtric và

kí hiệu là (X, d)hay đơn giản là X Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai

điểmxvày

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho không gian mêtric(X, d), dãy{xn} ⊂ X đượcgọi làhội tụ về điểmx ∈ X nếu với mọiε > 0 tồn tạin0 ∈ N∗ sao cho vớimọin ≥ n0 ta cód (xn, x) < ε Lúc đó ta kí hiệu là lim

n→∞xn = xhayxn → xkhin → ∞

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho không gian mêtric(X, d) Dãy{xn} ⊂ X đượcgọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với mọi

n, m ≥ n0 ta có d(xn, xm) < ε, hay {xn} là dãy Cauchy nếu và chỉ nếulim

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho các không gian mêtric(X, d) và(Y, ρ) ánh xạ

f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi làánh xạ conếu tồn tạiα ∈ [0, 1)sao cho

ρ(f (x) , f (y)) ≤ αd (x, y) , với mọix, y ∈ X.

1.1.6 Định lý ([1]) (Nguyên lý ánh xạ co)Giả sử(X, d)là không gian mêtric

đầy đủ,f : X → X là ánh xạ co từX vào chính nó Khi đó tồn tại duy nhất

điểmx∗ ∈ X sao chof (x∗) = x∗

Điểmx∗ ∈ X có tính chấtf (x∗) = x∗ được gọi làđiểm bất độngcủa ánhxạf

1.1.7 Định nghĩa ([9]) Cho A1, A2, , Ap là các tập con khác rỗng củakhông gian mêtric (X, d) ánh xạ T :

T (Ai) ⊆ Ai+1, trong đó Ap+1 = A1 với i = 1, 2, 3, p.

1.1.8 Định lí ([9]) Cho A1, A2, , Ap là các tập con đóng khác rỗng củakhông gian mêtric đầy đủ(X, d)và T :

sử tồn tạik ∈ (0, 1)sao chod(T x, T y) ≤ kd(x, y)với mọi x∈ Ai, y ∈ Ai+1,

i = 1, 2, 3, p Khi đóT có một điểm bất động duy nhất

Từ nay về sau ta ký hiệu Φ là tập hợp các hàm ϕ : [0, 1) → [0, 1) thỏamãn các điều kiện sau:

(a) Hàmϕliên tục và đơn điệu không giảm

(b) Nếu ϕ(t) = 0, thì t = 0

1.1.9 Định nghĩa ([9]) Cho X là một tập hợp khác rỗng, p là số nguyêndương vàf : X → X là một ánh xạ từX vào chính nó Họ {Xi}pi=1 các tậpcon khác rỗng của X được gọi là một biểu diễn cyclic của X đối với f nếu

(i) Xi 6= φ, với mọii = 1, , p.

Ai là một biểu diễn cyclic củaX đối với T;

2) ψ(d(T x, T y)) ≤ ψ(d(x, y)) − ϕ(d(x, y)), với mọi x ∈ Aivà y ∈

-1.1.13 Ví dụ. Cho tậpX 6= φ, xét ánh xạG : X ì X ì X → R+ cho bởi

Trường hợp 1 Nếu x = y = z thì G(x, y, z) = 0 Từ cách đặt G hiểnnhiên ta cóG(x, y, z) = 0 ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z)

Trường hợp 2 Các trường hợp còn lại, khi đó hoặcx 6= y, hoặcx 6= z, hoặc

y 6= zvà ta cóG(x, y, z) = 1 Lúc đó với bất kỳa ∈ X ta có1 ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ 1 + 1 = 2 Suy raG(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z)

Vậy(X, G)là một không gian G-mêtric

1.1.14 Ví dụ. Cho(X, d)là một không gian mêtric thông thường, xét ánh xạ

G : X ì X ì X → R+ cho bởi

G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} với mọix, y, z ∈ X

Khi đó(X, G)là một không gianG-mêtric Thật vậy, ta kiểm traGthỏa mãncác điều kiện củaG-mêtric như sau

(G1)Vìd(x, y), d(y, z), d(x, z)đều là các số thực không âm với mọix, y, z ∈

X, nênG(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ≥ 0với mọix, y, z ∈ X

Dễ thấy rằng đẳng thức xảy ra khix = y = z

(G2) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) > 0với mọi

x, y ∈ X màx 6= y

(G3) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y)

≤ max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} = G(x, y, z) với mọi x, y, z ∈ X mà

z 6= y

(G4)Tính chất đối xứng là hiển nhiên

(G5) G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)}

≤ max{d(x, a) + d(a, y), d(y, z), d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)}

≤ max{d(x, a), d(x, a), d(a, a)} + max{d(a, y), d(a, z), d(y, z)}

= G(x, a, a) + G(a, y, z), với mọix, y, z, a ∈ X

1.1.15 Ví dụ. ([13]) Cho (X, d) là một không gian mêtric thông thường, xét

ánh xạG : X ì X ì X → R+cho bởi

G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)với mọix, y, z ∈ X

Khi đó(X, G) là một không gian G-mêtric

≤ (d(x, a) + d(a, y) + d(y, z) + d(x, a) + d(a, z) + d(a, a))

= (d(x, a) + d(x, a) + d(a, a)] + [d(a, y) + d(y, z) + d(a, z))

= G(x, a, a) + G(a, y, z)

Vậy(X, G)là một không gian G-mêtric

1.1.16 Định nghĩa ([12]) Cho(X, G)và(X0, G0)là các không gianG-mêtric

và ánh xạf : (X, G) → (X0, G0) Ta nóif là G-liên tụctại điểm a ∈ X nếu

với số ε > 0 cho trước tồn tại một số δ > 0, sao cho với mọi x, y ∈ X mà

G(a, x, y) < δ ta cóG(f (a), f (x), f (y)) < ε Hàm f được gọi làG-liên tục

trênX nếuf là G-liên tụctại mọi điểma ∈ X

1.1.17 Định nghĩa ([12]) Cho(X, G)là không gianG-mêtric và{xn}là một

dãy các điểm trong X Ta nói rằng dãy {xn} là G-hội tụ tới x ∈ X nếu

lim

n,m→∞G(x, xn, xm) = 0, nghĩa là với số ε > 0 cho trước tồn tại một số

n0 ∈ N, sao cho G(x, xn, xm) < ε với mọin, m ≥ n0 Lúc đó điểmx được

gọi làgiới hạn của dãy {xn}và viết làxn → xhoặc lim xn = x

1.1.18 Mệnh đề ([12])Cho(X, G)là không gianG-mêtric Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương

(i) {xn}làG-hội tụ tớix;

(ii) G(xn, xn, x) → 0, khin → ∞;

(iii) G(xn, x, x) → 0, khin → ∞

Chứng minh.(i)⇒(ii) Vì{xn}làG-hội tụ tớixnênG(x, xm, xn) → 0khi

n, m → ∞ Mặt khácG(xn, xn, x) = G(x, xn, xn) ≤ G(x, xm, xn) Suy raG(xn, xn, x) → 0khin → ∞

(ii)⇒(iii) Ta cóG(xn, x, x) ≤ G(x, xn, xn)+G(xn, x, xn) = 2G(xn, xn, x).Vì thế nếu G(xn, xn, x) → 0 khi n → ∞, thì ta có G(xn, x, x) → 0 khi

n → ∞

(iii)⇒(iv) Nhờ bất đẳng thứcG(xm, xn, x) ≤ G(xm, x, x)+G(x, xn, x) = G(xm, x, x) + G(xn, x, x) ta suy ra nếu G(xn, x, x) → 0 khi n → ∞, thìG(xm, xn, x) → 0khin, m → ∞, tức là có (i)

1.1.19 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G)và (X0, G0) là các không gianG-mêtric.Khi đó ánh xạ f : (X, G) → (X0, G0) là G-liên tục tại điểm x ∈ X nếu vàchỉ nếu nó làG-liên tục theo dãy tạix, nghĩa là với dãy bất kỳ{xn}làG-hội

tụ tớix thì dãy{f (xn)} làG-hội tụ tới f (x)

Chứng minh Giả sử f là G-liên tục tại điểm x ∈ X và dãy {xn} là

G-hội tụ tới x, ta cần chứng minh rằng {f (xn)} là G-hội tụ tớif (x) Thậtvậy, vì f là G-liên tục tại điểm x ∈ X nên với số ε > 0 bé tùy ý chotrước tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi y, z ∈ X mà G(x, y, z) < δ ta cóG(f (x), f (y), f (z)) < ε Lại vì dãy {xn} là G-hội tụ tới x nên tồn tại một

số N ∈ N sao cho G(x, xn, xm) < δ với mọi n, m ≥ N Từ đó suy raG(f (x), f (xn), f (xm)) < ε với mọin, m ≥ N Vậy {f (xn)}là G-hội tụ tới

f (x)

Ngược lại, giả sử rằng nếu {xn} là dãy bất kỳ G-hội tụ tới x ∈ X ta có{f (xn)} là dãy G-hội tụ tới f (x), nhưng f không là G-liên tục tại điểm x.Khi đó tồn tại sốε0 > 0 sao cho với mỗi n ∈ Ntồn tại xn, yn ∈ X sao choG(x, xn, yn) < 1

làG-liên tục tại điểmx

1.1.20 Định nghĩa ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Dãy{xn} ⊂

X được gọi là G-Cauchynếu với số ε > 0 cho trước tồn tại một sốn0 ∈ N,sao choG(xm, xn, xl) < εvới mọin, m, l ≥ n0, nghĩa làG(xm, xn, xl) → 0,khin, m, l → ∞

1.1.21 Mệnh đề ([12])Cho(X, G)là không gianG-mêtric Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương

(i) Dãy{xn}làG-Cauchy;

(ii) Với mọiε > 0, tồn tại một sốn0 ∈ N, sao choG(xn, xm, xm) < ε, vớimọi n, m ≥ n0

Chứng minh (i)⇒(ii) Vì {xn} là G-Cauchy nên với số ε > 0 cho trướctồn tại một sốn0 ∈ N, sao cho G(xm, xn, xl) < ε với mọin, m, l ≥ n0 MặtkhácG(xn, xm, xm) < G(xm, xn, xl)với mọim 6= lnênG(xn, xm, xm) < εvới mọin, m ≥ n0

(ii)⇒(i) Từ điều kiện (G5) trong định nghĩaG-mêtric ta suy ra

-1.1.24 Mệnh đề ([12]) Mỗi không gian G-mêtric (X, G) đều xác định mộtkhông gian mêtric(X, dG) với mêtric dG xác định bởi công thức dG(x, y) = G(x, y, y) + G(y, x, x)với mọix, y ∈ X Nếu(X, G)là không gianG-mêtric

đối xứng, thìdG(x, y) = 2G(x, y, y)với mọix, y ∈ X

Tuy nhiên nếu (X, G) không đối xứng, thì nhờ các tính chất của khônggianG-mêtric ta có 3

2 G(x, y, y) ≤ dG(x, y) ≤ 3G(x, y, y)với mọix, y ∈ X

1.1.25 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Khi đó hàm

G(x, y, z)liên tục theo tập ba biếnx, y, z (theo tôpô τ (G))

Chứng minh Giả sử{xn}, {yn},{zn}là các dãy G-hội tụ lần lượt tới các

điểmx, y, z ∈ X Khi đó từ điều kiện (G5)trong định nghĩa G-mêtric ta cóG(x, y, z) ≤ G(y, ym, ym) + G(ym, x, z)

G(xk, ym, zn) − G(x, y, z) ≤ G(x, x, xk) + G(y, y, ym) + G(z, z, zn).Mặt khác từ điều kiện (G5) trong định nghĩa G- mêtric ta có G(x, x, xk) ≤ G(x, xk, xk) + G(xk, x, xk) = 2G(x, xk, xk), G(y, y, ym) ≤ 2G(y, ym, ym)

1.1.26 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) là không gianG-mêtric, mỗi x0 ∈ X và

δ > 0 Ta sẽ chứng minh rằng BG(y, δ) ⊆ BG(x0, r) Thật vậy, lấy bất kỳ

z ∈ BG(y, δ), ta có G(y, z, z) < δ = r − G(x0, y, y) suy ra G(y, z, z) + G(x0, y, y) < r. Mặt khácG(x0, z, z) ≤ G(y, z, z) + G(x0, y, y) < r Suy ra

z ∈ BG(x0, r) Điều này chứng tỏ tồn tạiδ > 0 đểBG(y, δ) ⊆ BG(x0, r).



1.1.27 Định nghĩa ([12]) Cho(X, d)là không gian mêtric vàT : (X, d) → (X, d) Ký hiệu O(x, ∞) = {x, T x, T2x, T3x, } Không gianX được gọi

là đầy đủ T-quỹ đạo nếu mỗi dãy Cauchy{xn} ⊂ O(x, ∞)với x thuộcX

đều hội tụ về điểm thuộcX

1.1.28 Định nghĩa ([10]) Cho A1, A2, Ap là các tập con khác rỗng củakhông gian G-mêtric (X, G) ánh xạ: T :

1.1.29 Định nghĩa ([10]) Giả sử A1, A2, Ap là các tập con khác rỗng củakhông gianG-mêtric (X, G) sao choX =

p

S

i=1

Ai ánh xạ T : X → X đượcgọi làphép (ψ, ϕ)-co yếu cyclicnếu

1.1.30 Định nghĩa ([10]) Giả sửA1, A2, , Ap là các tập con khác rỗng củakhông gianG-mêtric (X, G) ánh xạ cyclic T :

ψ(G(T x, T x, T y)) ≤ ψ(M (x, x, y)) − ϕ(M (x, x, y)), (1.1)với mọi x ∈ Ai vày ∈ Ai+1, i = 1, 2, , p_Trong đóψ, ϕ ∈ Φ, Ap+1 = A1và

M (x, x, y) = max

 G(x, x, y), G(x, x, T x), G(y, y, T y),G(x, x, T y) + G(y, y, T x)

2



1.2 Điểm bất động của các phép (ψ, ϕ)-co yếu cyclictrong không gian G-mêtric

Trong mục này, ta sẽ chứng minh một số định lý điểm bất động đối với cácphép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic trên các không gianG-mêtric

1.2.1 Định lý. ([10]) Cho A1, A2, , Ap là các tập con đóng khác rỗng củakhông gian G-mêtric đầy đủ (X, G), sao cho có ít nhất một tập Ai với i =

G(T x, T x, T y) ≤ kG(x, x, y)

với mọix ∈ Ai, vày ∈ Ai+1thì T có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh.Giả sử A1 là compắc và ta đặt

Vì dãy{Tn{p+1}}∞n=1 ⊂ A1 vàA1 là compắc, nên có một dãy con của nó hội

tụ tớiz ∈ A1

Từ (1.2) và tính liên tục của hàm thay đổi khoảng cách ta cóG(z, z, Tp+1x0) ≤

d Điều này kéo theo G(Tp−1z, Tp−1z, T2px0) ≤ d Vì Tp−1z ∈ Ap và

T2px0 ∈ A1, ta gặp mâu thuẫn với định nghĩa của d Vì thế ta có d = 0 và

A1T Ap 6= φ Do đó A1T A2 6= φ

Bây giờ ta xét các tậpA01 = A1T A2, A02 = A2T A3, , A0p = ApT A1

Từ giả thiết và cách đặt trên ta suy ra các tập trên là đóng, khác rỗng vàA01làcompắc Vì thế các điều kiện của định lí đúng cho T và họ các tập {A0i}pi=1.Bằng cách lập luận tương tự như

1.2.2 Định lí. ([10])Cho(X, G)là một không gianG-mêtric đầy đủ vàA1, A2, Ap

là các tập con đóng khác rỗng củaX sao choX = Sp

đóxn0 là điểm bất động củaT Giả sửxn+1 6= xn vớin = 0, 1, 2, Khi đó,vìX =

VìT là phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic, nên ta có

Chọn n0 = max{n1, n2} Khi đó với bất kỳ a, b ≥ n0 và a > b, tồn tại

j ∈ {1, 2, 3, , p}sao cho b − a ≡ j (modp) Do đó b − a + k ≡ 1(modp)hayk = p − j + 1 Do đó ta có

G(xa, xa, xb) ≤ G(xa, xa, xb+k)+G(xa+k, xa+k, xa+k−1)+ +G(xb+1, xb+1, xb).

2 + p.

ε 2p = ε. (1.8)

Điều này chứng tỏxn là dãy G-Cauchy Vì X là không gian mêtric đầy đủnên tồn tạix ∈ X sao cho lim

n→∞xn = x.

Tiếp theo ta chứng minh rằng x là điểm bất động của T Vì X là mộtbiểu diễn cyclic đối với T, nên dãy xn có vô hạn phần tử thuộc Ai với mỗi

i ∈ {1, 2, 3, , p} Giả sử x ∈ Ai, khi đó ta có T x ∈ Ai+1 Giả sử {xnk}

là dãy của{xn}sao cho {xnk} ⊂ Ai−1, khi đó bằng cách sử dụng tính chất(ψ, ϕ)-co yếu cyclic ta có

ψ(G(xnk+1, xnk+1, T x)) = ψ(G(T xnk, T xnk, T x))

≤ ψ(G(T xnk, T xnk, x)) − ϕ(G(xnk, xnk, x))

≤ ψ(G(xnk, xnk, x)).

(1.9)Lại vìxnk → x vàψ, ϕ ∈ Φ, chok → ∞trong(1.9) ta có

ψ(G(x, x, T x)) ≤ ψ(G(x, x, x)) = ψ(0) = 0.

Suy raψ(G(x, x, T x)) = 0 Vậyxlà một điểm bất động củaT

Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sửy ∈ X

là một điểm bất động khác củaT Do tính cyclic củaT vày, xlà các điểm bất

Từ (1.10) suy raϕ(G(y, y, x)) = 0 Từ các tính chất củaϕta cóG(y, y, x) =

0hayy = x Điều này chứng tỏT chỉ có duy nhất một điểm bất động

1.2.3 Định lí. ([10]) Giả sử A1, A2, , Ap là các tập con đóng khác rỗng củakhông gian G-mêtric đầy đủ (X, G), ánh xạ T :