Hình học của nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không gian và ứng dụng của nó vào dảng dạy phép dời hình ở phổ thông

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức c

1

LỜI CẢM ƠN

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán – người

đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài, từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu trường THPT Lê Hữu Trác, huyện Huyện Hương Sơn, tỉnh Hà Tĩnh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, ngày 20 tháng 08 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Văn Hùng

2

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 3

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 3

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 4

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 ĐA TẠP KHẢ VI 5

1.2 ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP 11

1.3 NHÓM LIE 13

1.4 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY 15

CHƯƠNG II NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG 26

2.1 PHẦN I: MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 27

2.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THÔNG .34

KẾT LUẬN 41

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

số qua các phép đồng phôi topo Zariski,…

Như vậy hình học nói chung đều nghiên cứu tính chất bất biến trong không gian nào đó Từ nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, chúng tôi nhận thấy hình học hình học Ơ clit chiếm phần lớn nội dung chương trình hình học phổ thông; Nó không chỉ gần gủi với thực tiễn mà còn góp phần quan trọng hình thành tri thức toán phổ thông cho học sinh Bộ môn hình học này, như trình bày ở trên, chủ yếu là nghiên cứu các tính chất bất biến qua nhóm các phép dời Do vậy, để hiểu sâu sắc hơn toán học phổ thông nói chung, hình học phổ

thông nói riêng, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp là HÌNH HỌC CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẴNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH

Ở PHỔ THÔNG

2 Mục đích nghiên cứu

Qua đề tài, chúng tôi muốn nghiên cứu hình học của nhóm các phép biến đổi trực giao chiều thấp và liên hệ nó với các phép dời hình ở bậc THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tập hợp lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi; nhóm Lie; tập đại số Zariski và tô pô Zariski Nêu các phép dời và ứng dụng của nó trong dảng dạy

4

toán phổ thông Trình bày một số kết quả riêng mà chúng tôi tích lũy được trong quá trình giảng dạy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của chúng tôi bao gồm:

- Các kiến thức cơ bản về Đa tạp khả vi

- Nhóm Lie

- Tập đại số và tô pô Zariski

- Nhóm Lie các phép dời trong không gian Ơclit

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc hiểu một số tài liệu liên quan đến các khái niệm của đa tạp khả vi; một số

ví dụ của đa tạp khả vi, một số tính chất cơ bản của đa tạp khả vi và ánh xạ khả vi

- Đọc hiểu một số tài liệu về khái niệm nhóm Lie, ví dụ về nhóm Lie, điều kiện xác định nhóm Lie

- Đọc hiểu một số tài liệu về tập đại số Zariski và tô pô Zariski

- Đọc hiểu về nhóm Lie các phép dời trong mặt phẵng và trong không gian

- Đọc hiểu về các phép biến đổi ma trận

- Đọc hiểu về phép dời hình trong chương trình phổ thông

II/ Nội dung nghiên cứu

- Tập hợp lại các kiến thức có liên quan về đa tạp khả vi; về nhóm Lie, tập đại số; tôp Zariski

- Sử dụng các kết quả tổng quát về ma trận vuông và các khái niệm ở trên

- Tìm mối liên hệ giữa phép dời hình, các phép biến đổi trực giao qua nhóm Lie

và tập đại số Zariski

- Tìm kiếm các ứng dụng những kiến thức vừa nêu vào toan phổ thông

5

NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 ĐA TẠP KHẢ VI

Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa, ví

dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết

1.1.1 Định nghĩa 1

i/ Giả sử Mlà T2 không gian Nếu U mở trong M và *

U là tập mở trong n

  đồng phôi thì ( , )U  được gọi là một bản đồ của M

ii/ Với p U thì ( )p R n, nên ( )p x x1 , 2 , ,x n Khi đó

x x1 , 2 , ,x n được gọi là tọa độ của p đối với ( , )U  và ( , )U  được gọi là hệ tọa

* 1 là liên tục: điều này hiển nhiên vì 1 là phép chiếu

8

Vậy U1 ;1 và U2 ;2 là phù hợp

1.1.2 Định nghĩa 2

i/ Giả sử Giả sử M là T2 không gian

A {U i; i i I là họ các bản đồ trên M } nếu A thỏa mãn:

i/ Nếu A là một atlat cực đại trên M( tức là A không nằm trong bất

kỳ atlat nào) thì Ađược gọi là một cấu trúc khả vi trên M

ii/ Một T2- không gian M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n- chiều

Nhận xét:

a Atlat cực đại Agọi là cấu trúc khả vi thì  i j1 là vi phôi với mọi i, j

b Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một atlat với số bản đồ ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó

Nhận xét: Cho M là đa tạp n – chiều Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N

cũng là một đa tạp n – chiều

Chứng minh:

Thật vậy, ta thường lấy atlat của N là thu hẹp của Atlat của M trên N

Vậy M N là một đa tạp (m + n ) – chiều

Ví dụ 2 : Ký hiệu GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của Rn} Khi đó GL(n, R) là đa tạp khả vi 2

sign

x A





)1(det

2

1 2 1

Cho nên khi đó:

1.2.1 Định nghĩa 1: Giả sử M, N là các đa tạp Ánh xạ f M: N được gọi là khả vi, nếu

1.2.3 Định nghĩa 2: Đa tạp M được gọi là định hướng nếu và chỉ nếu Jacôbi

của    1 có định thức  0, với mọi ,  I

Theo bài 3 ta có: S1 với họ bản đồ  U i, ii1,2,3, 4 là đa tạp khả vi,

và theo bài 1 ta có: S2 với họ bản đồ  V j, ji1,2,3, 4,5,6 là đa tạp khả vi

Bây giờ ta chứng minh với mọi bản đồ U i, icủa S1 và V j, jcủa S2

Vg  , ta đều có  g 1 khả vi Do đó với mọi bản đồ U,

của M và W, của P sao cho 1 

Vậy ta có điều phải chứng minh

a) Không gian véctơ 2

R với cấu trúc khả vi tự nhiên và với phép cộng véctơ thông thường thì 2

1.4 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY

Trong mục này trình bày về định nghĩa tập đại số Zarisky, tô pô Zarisky và

một số ví dụ của nó

1.4.1 VÀNH ÐA THỨC

1.4.1.1 Định nghĩa Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số

nguyên

không âm Vành đa thức A[ x1, x2, , xn] của n biến x1, x2, , xn trên A

được định nghĩa theo quy nạp như sau:

A[ x1, x2, , xn] : A[ x1, x2, , xn-1][xn]

Tức là A[ x1, x2, ., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành A[ x1, x2, , xn-1]

Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x2, , xn]

Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa

thức thông thường Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức, mọi đa

thức

0 và đặt degf  - nếu f  0 Khi đó degf được gọi là bậc của f

Nếu degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng

f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1,

trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi

Chứng minh Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f

và v là đơn thức của g Gọi umax, vmax lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất

của f, g theo thứ tự nêu trên Với mọi u ≠ umax và v ≠ vmax ta có

uv < umaxvmax, do đó

uv ≠ umaxvmax Gọi c, d  A là các hệ tử tương ứng của umax, vmax Vì c, d ≠

0 nên cd ≠ 0 Khi đó cdumaxvmax là hạng tử của fg

Do đó: deguv degumaxvmax = degumax + degvmax = degf + degg

Vậy degfg = degf + degg

1.4.1.5 Mệnh đề Nếu A là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các

phần tử khả nghịch của A[X] là các phần tử khả nghịch của A

Chứng minh Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X] Khi đó degf,

degg 0 nên degfg  0 và do đó fg ≠ 0 Vì vậy A[X] là miền nguyên

Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0;

18

deg(fg) = degf + degg

2/ K[X] là miền nguyên vì fg ≠ 0 nếu f, g ≠ 0

3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg ≠ 1 nếu f  K hoặc

g  K

1.4.1.6 Nghiệm của một đa thức

Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và

rn với d  N Với a = (a1, a2,

+) Nếu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d ≥ 1 thì f

chỉ có hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn

+) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn khi đó ta viết f dưới dạng

1.4.1.8 Nhận xét Bổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn

Chẳng hạn K = {1,2, ,n } thì đa thức f = (x-1)(x-2) (x-n) là một

đa thức khác 0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K

1.4.1.9 Hệ quả Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử Cho f và g là

hai đa thức trong K[X] Nếu f(a) = g(a) với mọi a  K n thì f = g

Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

1.4.2 TẬP ĐẠI SỐ

1.4.2.1 Định nghĩa Cho K là trường, tập con V Kn gọi là tập đại số nếu

nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X]

1.4.2.2 Ví dụ

1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm

2/ Mọi điểm a = (a1, a2, , an) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của hệ phương trình:

1.4.3.1 Định nghĩa Cho f  K[X] Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức

là Z(f) là tập nghiệm của đa thức f Khi đó:

1/ Z(f) =  nếu f là đa thức hằng khác 0 (degf = 0)

2/ Z(f) = Kn nếu f = 0 (degf  )

3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian Kn nếu degf > 0

Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phẳng

fS Z(f) thế thì Z(f) là một tập đại số và vì vậy mọi tập đại số đều là

giao của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập

các đa thức S

1.4.3.4 Nhận xét

1/ Khi n  1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại

số trong K là tập hữu hạn Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập nghiệm của đa thức một biến Vì vậy Z(f) =  hoặc Z(f) là tập hữu hạn hoặc Z(f) = K Từ đó suy ra khi n  1 các tập đại số trong K là các tập rỗng, tập hữu hạn hay K

Lấy phần tử tùy ý a  Z(S) Khi đó (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với f  S1 và

g  S2 suy ra f(a) = 0 hoặc g(a) = 0, do K là trường vì thế a  Z(S1) hoặc

23

a  Z(S2) nên a  Z(S1)  Z(S2)

Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

1.4.3.6 Bổ đề Cho {S i } iI là một họ các tập đa thức trong K[X] Khi đó:

24

1.4.3.8 Nhận xét Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:

1/  là tập đại số

2/ Kn là tập đại số

3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số

4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số

5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số

6/ Tương ứng Z: P(K[X]) P( Kn), cho bởi S  Z(S) là một ánh xạ từ

họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin Kn

7/ Nếu S 1  S 2 thì Z(S 1 )  Z(S 2 ) ;

8/ Z(0) = K n ;

9/ Z(f) =  với 0  f  K

Từ nhận xét trên ta có kết quả sau

1.4.3.9 Định lí Họ tất cả các tập đại số trong không gian afin K n lập nên một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) Tôpô này gọi là tôpô Zarisi

1.4.4 Tô pô Zariski theo ngôn ngữ tập mở

1.4.4.1 Mệnh đề Họ TZ = {U | U = Kn \V, V là tập đại số} lập thành một tôpô trên không gian afin Kn và cũng gọi là tôpô Zariski

25

Chứng minh

1/ T Z là tô pô

2/ Các tập mở dạng D(f) = K n \ Z(f) gọi là tập mở Zariski và chúng lập thành một cơ sở cho tô pô Zariski Thật vậy, mọi tập mở U bất kỳ trong Kn

đều là phần bù của một tập đại số Z(S) Do Z(S) = 

2/ Hai tập mở (với tôpô Zariski trong K n ) không rỗng của K n luôn giao nhau;

Thật vậy, Với mọi f, g ≠ 0 thì ta luôn có Z(f)  Z(g) = Z(fg) ≠ Kn Do đó D(f)  D(g) = (Kn \ Z(f))  (Kn \ Z(g)) = Kn \ (Z(f)  Z(g)) ≠ 

3/ Mọi tập mở Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tôpo Zariski); 4/ Không gian afin K n với tôpô Zariski không phải là không gian Hausdorff

26

Kết luận 3/ và 4/ suy từ 2/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở khác rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong Knđều giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong Kn

CHƯƠNG II NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG

Chương này là một trong những nội dung chính của luạn văn Nó gồm hai phần Phần đầu trình bày các tính chất hình học và hình học đại số của nhóm phép dời trong mặt phẳng và trong không gian Phần sau nói về các ứng dụng của chúng trong giảng dạy toán phổ thông

PHẦN I: MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN

Ta ký hiệu:

1/ M(n, R) : = { A; A là ma trận vuông cấp n };

2/ GL(n, R) : = { A; A là ma trận vuông cấp n có định thức khác không}; 3/ SL(n, R) : = { A; A là ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1};

4/ O(n, R): = { A; A là ma trận trực giao};

5/ SO(n,R) : = { A; A là ma trận trực giao có định thức bằng 1}

Nhắc lại rằng, các nhóm GL(n, R); SL(n, R); O(n, R) và SO(n, R) được gọi là

nhóm tuyến tính tổng quát; nhóm tuyến tính đặc biệt; nhóm trực giao hay

27

nhóm các phép dời và nhóm trực giao đặc biệt hăy là nhóm các phép dời loại một

Chúng ta biết rằng, tất cả các tập hợp từ 1/,….đến 5/ là những nhóm Lie Trong đó M(n, R) là nhóm Lie với phép cộng ma trận, còn các nhóm khác là những nhóm Lie với phép nhân ma trận

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh bằng những tính ta toán cụ thể, một số tính chất hình học, tính chất hình học đại số của các nhóm Lie trên với n = 2, 3

Mệnh đề 1: GL(2, R), GL(3, R) là những tập mở Zariski

Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp GL(2, R) Với GL(3, R) chứng

minh tương tự Giả sử A  GL(2,R), A có dạng

Cho nên phần bù của GL(2, R) trong M(2, R)  R4 gồm và chỉ gồm những

ma trân A mà f(A) = 0, nghĩa là phần bù này là một tập đại số Zariski, hơn nữa, nó còn là một siêu mặt trong R4

Mệnh đề 2: SL(n, 2) và SL(3, R) là những tập đại số Zariski