Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bời hàm orlicz

Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩnxác định bởi hàm Orlicz.. Không gian các dãy cổ điển được xétvới dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của khôn

2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định

2.1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩnxác định bởi hàm Orlicz 112.2 Một số tính chất của không gian con của không gian lM(E) 19

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

MỞ ĐẦU

Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai tròquan trọng là lớp không gian các dãy Không gian các dãy cổ điển được xétvới dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không giancác dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển Trong [6]

sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J Lindenstrauss và L Tzafriri đãxây dựng không gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng

từ lớp các hàm thực đặc biệt, mà chúng được gọi là các hàm Orlicz Cáctính chất của các không gian dãy Orlicz cũng được nghiên cứu khá sâu sắcthông qua cấu trúc của hàm Orlicz bởi J Lindenstrauss và L Tzafriri.Mục đích của luận văn là xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trongkhông gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz, vì vậy chúng tôi lựachọn đề tài: Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian địnhchuẩn xác định bởi hàm Orlicz

Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gianđịnh chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn, xây dựngkhông gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởicác hàm Orlicz và đưa ra một số tính chất của chúng Các nội dung củaluận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 trình bày kết quả căn bản về không gian định chuẩn các dãynhận giá trị trong không gian định chuẩn đã được đề cập ở dạng tổngquát hơn trong [4]

Chương 2 nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị

trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và các tính chấtcủa chúng Nội dung trình bày trong chương này là mới, chúng tôi đề xuấtdựa trên phương pháp của J Lindenstrauss và L Tzafriri đã thực hiệncho trường vô hướng Các kết quả trên đã được chúng tôi viết thành mộtbài báo đang gửi đăng.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa Thầy giáo T.S Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Banchủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học,quí Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học-Trường Đại họcVinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPTHồng Lĩnh-Hà Tĩnh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các họcviên cao học khóa 20 Toán-Giải tích tại Trường Đại học Vinh đã tạo điềukiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình họctập Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nênluận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhậnđược những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạnđọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Trương Thị Thu Hiền

CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG

KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chương này trình bày những kiến thức cơ sở cần dùng về sau, đặc biệt

là lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian định chuẩn, không gianBanach cần dùng về sau Các kết quả này có thể tìm thấy trong [3].1.1.1 Định nghĩa Cho E là không gian tuyến tính trên trường K Hàm

k.k : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiệnsau:

1) kxk > 0, với mọi x ∈ E và kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈K và với mọi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E

Khi đó (E, k.k) được gọi là một không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn

d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩnE được gọi là khônggian Banach nếu E đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn Với tôpô sinh bởimêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liêntục

Cho E, F là các không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F ) là tập hợpcác ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta đã biết L(E, F ) là không

gian định chuẩn với chuẩn

kf k = sup

kxk=1

kf (x)k, ∀f ∈ L(E, F )

Nếu F là không gian Banach thì L(E, F )là không gian Banach Đặc biệt,

L(E,K) := E∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gianBanach

Các lớp không gian Banach quen thuộc sau được quan tâm nhiều trongluận văn của chúng tôi

1.1.2 Ví dụ Giả sử K là trường các số thực hoặc các số phức Ký hiệu

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường

ta có l∞(E) là không gian tuyến tính và C, C0 và lp là các không gian concủa l∞ Hơn nữa

Khi đó, lp cũng là một không gian Banach.

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh

1.1.4 Định nghĩa Cho d, ρ là các mêtric trên X

1) d và ρ được gọi là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id : (X, d) →(X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục

2) d và ρ được gọi là tương đương đều nếu ánh xạ đồng nhất id :(X, d) → (X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục đều

Người ta chứng minh được d và ρ được là tương đương đều nếu và chỉnếu tồn tại a, b > 0 sao cho

1.1.5 Định lý Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F

là một song ánh Khi đó, nếu

mkxk6 kf (x)k6 M kxk

với mọi x ∈ E thì f là một đẳng cấu

Như vậy, nếu hai chuẩn k.k1 và k.k2 trên không gian tuyến tính E làtương đương thì (E, k.k1) và (E, k.k2) là đẳng cấu

Sau đây, ta nhắc lại khái niệm về hàm lồi Các kết quả sau có thể tìmthấy ở trong [1]

1.1.6 Định nghĩa Cho hàm thực f : (a, b) → R Hàm f được gọi là lồinếu

f λx + (1 − λ)y
6λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.3)với mọi x, y ∈ (a, b) và 0 6 λ 6 1

1.1.7 Nhận xét Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau:

Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàmlồi

1.1.9 Hệ quả Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b) Khi đó, f là lồi khi

và chỉ khi f0 là hàm đơn điệu tăng trên (a, b)

1.1.10 Hệ quả Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và

f00(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi

1.1.11 Ví dụ Từ hệ quả trên ta thấy hàm f (x) = ex lồi trên R và

y = xp là các hàm lồi trên (0, ∞) với p > 1

1.2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian địnhchuẩn

Các kết quả trong mục này cơ bản đã được trình bày ở dạng tổng quáttrong [4] Để tiện cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2chúng tôi trình bày lại theo mục đích của mình Giả sử E là không gianđịnh chuẩn trên trường K Ký hiệu

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường

ta có l∞(E) là không gian tuyến tính và C(E), C0(E) và lp(E) là cáckhông gian con của l∞(E) Hơn nữa

lp(E) ⊂ C0(E) ⊂ C(E) ⊂ l∞(E)

Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2.

1.2.1 Định lý ([4]) l∞(E) là không gian định chuẩn với chuẩn đượcxác định bởi

kxk = sup

n > 1

với mọi x ∈ l∞(E) Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l∞(E)

là không gian Banach

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được (1.5) là một chuẩn trên l∞(E) Tachứng minh phần còn lại của định lý Giả sử E là không gian Banach và

(xk) ⊂ l∞(E) là dãy Cauchy Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho

kxk− xlk = sup

n > 1

kxkn− xlnk < ε, ∀k, l > k0 (1.6)Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có

sup

n > 1

kxkn− xnk < ε, ∀k > k0, (1.7)tức là kxk− xk < ε với mọi k > k0, hay xk → x khi k → ∞ Từ (1.7) suy

với mọi n > n0, tức là x ∈ C0(E) Vì thế C0(E) đóng trong l∞(E) Nếu

E là không gian Banach thì l∞(E) cũng là không gian Banach Do đó,không gian con đóng C0(E) của nó cũng là không gian Banach Chứngminh tương tự ta được kết luận cho C(E)

1.2.3 Định lý ([4]) lp(E) là không gian định chuẩn với chuẩn xácđịnh bởi

(xk) ⊂ l∞(E) là dãy Cauchy Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho

n − x ∈ lp(E) Vì vậy x = xk0− (xk0− x) ∈ lp(E) Như vậy lp(E)

là không gian Banach

CHƯƠNG 2KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONGKHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC ĐỊNH BỞI HÀM

ORLICZ

Chương này nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trịtrong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz và một số tính chấtban đầu của chúng Các kết quả của chương này do chúng tôi đề xuất dựatrên các kết quả đã biết đối với dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bàytrong tài liệu [6]

2.1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian địnhchuẩn xác định bởi hàm Orlicz

Mục này trình bày cách xây dựng lớp không gian các dãy nhận giá trịtrong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz

2.1.1 Định nghĩa ([6]) HàmM : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz

nếu

1) M là hàm không giảm, liên tục;

2) M (0) = 0 và lim

t→∞M (t) = ∞;3) M là hàm lồi

Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0.2.1.2 Ví dụ Các hàm M (t) = tp; M (t) = tet là hàm Orlicz

Giả sử M là hàm Orlicz vàE là một không gian định chuẩn trên trường

2.1.4 Định lý lM(E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác địnhbởi công thức

với mọi x ∈ lM(E)

Chứng minh Với mỗi x ∈ lM(E), thì rõ ràng kxk = infnρ > 0 :

Điều này mâu thuẫn với



6 1}

Vì vậy x 6= 0 thì kxk 6= 0 Do đó, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0

Để kiểm tra điều kiện tiếp theo của chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu

6



6 1

Tiếp theo ta chỉ ra kλxk = |λ|kxkvới mọi x ∈ lM(E) và với mọiλ ∈ K.

Trường hợp λ = 0 hoặc x = 0 là hiển nhiên Nếu λ 6= 0 và x 6= 0 thì

Do đó lM(E) là không gian định chuẩn.

Để chứng minh tính Banach của lM(E) ta cần bổ đề sau

2.1.5 Bổ đề Nếu dãy (xk) ⊂ lM(E), trong đó xk = (xk1, , xkn, ), k =

1, 2, hội tụ tới 0 trong lM(E) thì lim

k→∞xkn = 0 trong E với mọi n =

!

≤ 1

)

∞ Mâu thuẫn với (2.3) Ta nhận được điều cần chứng minh.

2.1.6 Định lý Nếu E là không gian Banach thì lM(E) là không gianBanach

Chứng minh Giả sử (xk) là dãy Cauchy trong lM(E) Ta cần chỉ ra (xk)

hội tụ tới x ∈ lM(E) Thật vậy, vì (xk) là dãy Cauchy nên



≤ 1

)

→ 0 (2.4)khi k, l → ∞ Theo Bổ đề 2.1.5 thì với mỗi n = 1, 2, ta có

kxkn− xlnk → 0

khi k, l → ∞ Do đó, (xkn) là dãy Cauchy trong E với mỗi n = 1, 2, Vì

E đầy đủ nên lim

Tiếp theo ta chỉ ra x ∈ lM(E) Từ (2.6) ta có

tức là xk0 − x ∈ lM(E) Do lM(E) là không gian tuyến tính nên x =

xk0 − (xk0− x) ∈ lM(E) Ta nhận được lM(E) là không gian Banach

Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6]

2.1.7 Hệ quả lM(K) là không gian Banach

2.1.8 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn thì lM(E) là khônggian con của l∞(E)

Chứng minh Do các phép toán trên lM(E) được cảm sinh từ l∞(E) nên

ta chứng tỏ lM(E) ⊂ l∞(E) Giả sử lM(E) l∞(E) Khi đó tồn tại

x = (xn) ∈ lM(E) không bị chặn Ta có thể giả thiết kxnk > n với mọi

n Vì x ∈ lM(E) nên tồn tại ρ > 0 sao cho P∞

kxnkρ



< ∞ Suy

ra tồn tại k sao cho M

kxnkρ



< k

với mọi n Vậy lM(E) ⊂ l∞(E)

Ta nhận được hệ quả sau đã trình bày trong [6]

2.1.9 Hệ quả lM(K) là không gian con của l∞

2.1.10 Định lý Nếu M (t) = tp (p> 1) thì lM(E) = lp(E)

Chứng minh Ta chia chứng minh thành 2 bước Bước 1 ta chỉ ra hai tậphợp lM(E) và lp(E) bằng nhau Bước 2 ta chỉ ra chuẩn xác định trênchúng trùng nhau.

Lấy x bất kỳ thuộc lM Khi đó P∞

kxnkρ

2.2 Một số tính chất của không gian con của không gian lM(E)

Mục này dành cho nghiên cứu một số tính chất của một không giancon quan trọng của lM(E)

Với mỗi hàm Orlicz M và không gian định chuẩn E ta đặt



< ∞ với mọi ρ > 0

o

2.2.1 Định lý hM(E) là không gian con đóng của lM(E).

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hM(E) là không gian con của

lM(E) Giả sử x, y ∈ hM(E) và α ∈ K Khi đó, nếu α = 0 thì αx =

0 ∈ hM(E)

Nếu α 6= 0 thì từ P∞

kxnkρ

k2ynkρ



6 1

2M

k2xnkρ



+ 1

2M

k2xnkρ

với mọi k > k0 Vì vậy



< ∞

Vì ε > 0 tùy ý nên ta có được x = (xn) ∈ hM(E)

Ta nhận ngay hệ quả sau

2.2.2 Hệ quả Nếu E là không gian Banach thì hM(E) là không gianBanach

2.2.3 Định lý Nếu M suy biến thì

1) lM(E) đẳng cấu với l∞(E);

2) hM(E) đẳng cấu với C0(E)

Chứng minh 1) Từ Định lý 2.1.8 ta có lM(E) ⊂ l∞(E) Giả sử M suybiến Khi đó, tồn tại t0 > 0 sao cho M (t0) = 0 Từ tính liên tục của M và

= 0 Hay x = (xn) ∈ lM(E) Vìvậy l∞(E) = lM(E)

Để chứng minh lM(E) đẳng cấu với l∞(E) ta còn phải chỉ ra các chuẩncủa chúng là tương đương Để ý rằng l∞(E) xét với chuẩn

6 1 với mọi n Do tính không giảm của

M nên

kxnkkxk 6 T1

với mọi n Ta thu được

lM(E) đẳng cấu với l∞(E)

2) Vì C0(E)là không gian con đóng củal∞(E)và hM(E) là không giancon đóng của lM(E), khi M suy biến lM(E) đẳng cấu với l∞(E) nên đểchứng minhhM(E) đẳng cấu với C0(E) ta chỉ cần chỉ rahM(E) = C0(E)

khi M suy biến

Giả sử x = (xn) ∈ hM(E) Khi đó P∞

n=1Mkxn k

ρ



< ∞ với mọiρ > 0.Nếu x /∈ C0(E) thì kxnk 9 0 khi n → ∞ Suy ra tồn tại dãy con (xnk)

sao cho kxnkk> r > 0 với mọi nk Lấy ρ sao cho



> r

ρ > M (2T0) > 0

với mọi nk Do đó lim

Ngược lại, giả sử x = (xn) ∈ C0(E) Ta chỉ ra x ∈ hM(E) Thậy vậy,với mọi ρ > 0 tùy ý Khi đó, từ lim

n→∞xn = 0 suy ra tồn tại n0 sao cho

kxnk < ρT0 với mọi n > n0 Hay kxnk

ρ < T0 với mọi n > n0 Vì vậy



< ∞

Vì vậy x = (xn) ∈ hM(E) Do đó C0(E) ⊂ hM(E) Từ đó ta có C0(E) =

hM(E)

2.2.4 Định nghĩa ([6]) Hàm Orlicz M được gọi là thỏa mãn điều kiện

∆q tại 0 nếu lim

Chứng minh Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0 Khi đó, với mọi

q > 0 tồn tại n0 sao cho q

Định lý sau đưa ra một điều kiện để hM(E) = lM(E).

2.2.6 Định lý Giả sử M là hàm Orlicz không suy biến và E là khônggian định chuẩn Khi đó, nếu M thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0 thì

ρ ta có tồn tại

K > 0 sao cho

M ρ0tρ

ρ ) < ∞ với mọi ρ > 0, tức là x ∈ hM(E) Do đó

lM(E) ⊂ hM(E) Vì vậy lM(E) = hM(E)

Định lý sau mô tả tính chất của hàm Orlicz thông qua không gian dãyxác định bởi nó.

2.2.7 Định lý Giả sử M là hàm Orlicz không suy biến và E là khônggian định chuẩn Nếu lM(E) không chứa không gian con nào đẳng cấuvới l∞(E) thì M thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử M

không thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0 Khi đó, tồn tại dãy (tn) ⊂ (0, ∞) saocho M (2tn)

M (tn) > 2

n+1 và M (tn) 6 1

2n với mọi n = 1, 2, Lấy (kn) là dãy

số tự nhiên sao cho

Kết luận

Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:

1 Trình bày một số tính chất cơ bản của không gian các dãy nhậngiá trị trong không gian định chuẩn

2 Xây dựng cấu trúc tuyến tính (Định lý 2.1.3), cấu trúc định chuẩn(Định lý 2.1.4) cho không gian các dãy nhận giá trị trong không gianđịnh chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và đưa ra một số tính chất củachúng thể hiện ở Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.8 và Định lý 2.1.10

3 Đưa ra một số tính chất của một lớp không gian con của khônggian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi cáchàm Orlicz thể hiện ở các Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.6 vàĐịnh lý 2.2.7

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Ân và Kiều Phương Chi (2014), Độ đo và tích phân, Dự

án phát triển giáo viên THPT

[2] Hà Huy Bảng (2003),Lý thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đạihọc Quốc gia Hà Nội

[3] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm vàgiải tích hàm, Tập I và Tập II, NXB Giáo Dục

[4] Nguyễn Thị Phương Loan (2001), Không gian các dãy Kothe, Luậnvăn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh

[5] Kiều Phương Chi và Trương Thị Thu Hiền (2014), Một vài tínhchất của không gian các dãy Orlicz nhận giá trị trong không gianđịnh chuẩn, gửi đăng

[6] J Lindenstrauss and L Tzafriri (1977), Classical Banach spaces I.Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin-New York