nhóm siêu giải được hữu hạn

M ột số đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn .... lũy linh,…Trong số đó, một lớp nhóm tựa như nhóm giải được, nhưng xây dựng dựa vào một dãy các nhóm con chuẩn tắc, với mỗi nhân tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người

đã gợi mở đề tài mới, tận tình hướng dẫn và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực hiện luận văn, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

1 Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy trong tổ Đại số, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học

2 Ban lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

3 Các bạn lớp Đại số khóa 22 đã luôn cùng tôi chia sẻ giải quyết các vấn đề trong

luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè đã luôn bên cạnh, quan tâm và giúp đỡ tôi mọi mặt để hoàn thành tốt khóa học

2

L ỜI CẢM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

B ẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 3

M Ở ĐẦU 4

C HƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

CHƯƠNG 2: NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC TIÊU CHUẨN NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN 19

2.1 Nhóm siêu gi ải được 19

2.2 M ột số đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn 31

2.3 Tiêu chu ẩn bổ sung để nhóm hữu hạn là siêu giải được 40

K ẾT LUẬN 47

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 48

B ẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ký hi ệu Ý ngh ĩa

H < G H là nhóm con th ực sự của G

lũy linh,…Trong số đó, một lớp nhóm tựa như nhóm giải được, nhưng xây dựng dựa vào

một dãy các nhóm con chuẩn tắc, với mỗi nhân tử là nhóm cyclic đó là nhóm siêu giải được Nhóm siêu giải được hữu hạn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả cấu trúc

của nhóm hữu hạn Đã có khá nhiều kết quả đẹp, thú vị về nhóm siêu giải được hữu hạn Các kết quả về nhóm siêu giải được hữu hạn đến nay vẫn còn là vấn đề thời sự và thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học Chính vì vậy, tìm hiểu về tính chất các nhóm siêu giải được

hữu hạn, cũng như điều kiện đủ để một nhóm hữu hạn là siêu giải được vẫn là vấn đề cần thiết trong lý thuyết nhóm Luận văn nghiên cứu về nhóm siêu giải được, gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Gồm các kiến thức cần thiết về nhóm con tối đại, tối tiểu, nhóm con đặc trưng, nhóm con Sylow, nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm con π − tựa chuẩn tắc, …cùng các kết

quả để phục vụ cho chương 2

Chương 2 Nhóm siêu giải được – Tiêu chuẩn nhóm siêu giải được hữu hạn

Gồm 3 phần chính: Phần 2.1 Giới thiệu nhóm siêu giải được và các tính chất của nó

Phần 2.2 Giới thiệu một số đặc trưng, các tiểu chuẩn nhóm siêu giải được đã biết

Phần 2.3 Đưa ra một số tiêu chuẩn để một nhóm hữu hạn là siêu giải được

Những tiểu chuẩn mới này dựa theo các bài báo [5],[6],[7] của Srinivasan và Asaad

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức, kỹ năng còn nhiều

hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, luận văn rất mong nhận được những ý

kiến đóng góp quý báu của quý Thầy - Cô để được hoàn chỉnh hơn Một lần nữa xin chân thành cảm ơn quý Thầy – Cô

C HƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm con t ối đại, nhóm con tối tiểu

Cho G là nhóm, H < G

H g ọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N G ≤ sao cho H N G< <

H g ọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠ và không t1 ồn tại K G ≤ sao cho 1 K H< <

1.2 Định lý

Cho G là nhóm h ữu hạn, H G≤ Nếu [G H là m: ] ột số nguyên tố thì H là nhóm con

tối đại của G

1.3 Định lý ([1, Định lý 3.6, trang 27],[3, Định lý 1.6.10, trang 36])

a) Cho G là m ột nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G Kí hiệu L(G) là tập

hợp tất cả các nhóm con của G và L(H,G) là tập hợp tất cả các nhóm con của G chứa H Khi

đó tương ứng S S H là một song ánh từ L(H,G) và L( G H ) Hơn nữa, nếu kí hiệu

1.8 Định nghĩa (Nhóm con đặc trưng) ([1, trang 43])

Cho G là nhóm, H ≤G , H g ọi là nhóm con đặc trưng của G nếu với mọi

ii) Nếu ( )f H ≤H , f∀ ∈AutG thì H char G

iii) Nếu H char G thì H G

iv) Nếu H char K, K char G thì H char G

v) Nếu H char K, K G  thì H G

vi) Nếu H K G≤ ≤ và H char G, K H char G H thì K char G

Cho G là m ột nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố Ta định nghĩa

i) G được gọi là p–nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p

ii) Nhóm con H c ủa G được gọi là p–nhóm con của G nếu H là p–nhóm

iii) Nhóm con H c ủa G được gọi là p–nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong

tập các p–nhóm con của G theo quan hệ bao hàm

1.12.2 Định lý Sylow ([3, Định lý 1.6.16, trang 39])

Cho G là nhóm hữu hạn, \p G là số nguyên tố Khi đó

i) Luôn tồn tại p–nhóm con Sylow của G

ii) Mọi p–nhóm con của G đều nằm trong một p–nhóm con Sylow nào đó

iii) Nếu n là số các p–nhóm con Sylow của G thì n≡1(mod )p

1.12.3 H ệ quả

Cho G là nhóm cấp n

i) Với mỗi 0 k n≤ ≤ , luôn tồn tại p–nhóm con P của G có cấp là k

p

iii) H là p–nhóm con Sylow duy nh ất của G ⇔ H G

1.12.4 Định nghĩa (ước Hall)

Cho ,k n ∈  Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k là ước của n và

1.12.5 Định nghĩa (Nhóm con Hall)

Cho G là m ột nhóm hữu hạn Một nhóm con H của G có cấp là một ước Hall của G được

gọi là một nhóm con Hall của G, (nghĩa là ( H ,[G H: ] )= ) 1

1.12.6 Định nghĩa (π –nhóm, p–nhóm)

Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố Khi đó, nếu n là số tự nhiên có tất cả

các ước nguyên tố đều nằm trong π thì n được gọi là một π − số Đặt 'π là phần bù của π

trong tập hợp tất cả các số nguyên tố Dễ thấy, nếu a là một π − số và b là một 'π − số thì ( , )a b = 1

Nếu G là nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π− số thì G được gọi là một π −nhóm

Nhóm con H c ủa G gọi là π –nhóm con của G nếu H là π –nhóm

Nếu π là tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta kí hiệu p–số thay cho π − số và 'p − số

thay cho p− số Khi đó rõ ràng một π –nhóm chính là một p–nhóm

1.12.7 Định nghĩa (π –nhóm con Hall)

Cho G là một nhóm hữu hạn Một π − nhóm con H c ủa G thỏa mãn [G H là m: ] ột '

π − số được gọi là π − nhóm con Hall của G

Nếu π là tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì π− nhóm con Hall của G chính là p–

nhóm con Hall của G

1.12.8 Định lý ( Schur – Zassenhaus) ([3, Định lý 9.1.2, trang 253])

Cho N là nhóm con chu ẩn tắc của một nhóm hữu hạn G Giả sử N n = và G N = m

là nguyên tố cùng nhau, khi đó G chứa nhóm con cấp m và hai nhóm con cấp m tùy ý của

G đều liên hợp nhau

1.12.9 Định lý

Nếu Hlà một nhóm con Hall chuẩn tắc của Gthì tồn tại một nhóm con Kcủa Gsao

cho G H ≅ K

Ch ứng minh

Do Hlà một nhóm con Hall chuẩn tắc của Gnên (H G H, )= Áp dụng Định lý 1

1.12.8 sẽ tồn tại nhóm con K của G sao cho K G H G

ii) Cho p là s ố nguyên tố Nhóm G gọi là nhóm p–đóng nghiêm ngặt nếu tồn tại duy nhất H

là p–nhóm con Sylow c ủa G và G H là nhóm Aben có số mũ là ước của p− 1

ii) Cho H  Khi đó G H là nhóm Aben khi và chỉ khi ' G G ≤H

1.16 Định nghĩa (lõi, chuẩn hóa tử, tâm hóa tử)

Cho G là nhóm, H ≤ Khi đó ta định nghĩa G

i) Với mỗi g G∈ , nhóm con g 1

H =g Hg− gọi là nhóm con liên hợp với H trong G

g G

∈

= = ∩ gọi là lõi của H trong G

iii) N G(H)={g∈G H| g =H} gọi là chuẩn hóa tử của H trong G

G

C H = g∈G h =g hg− = ∀ ∈h h H gọi là tâm hóa tử của H trong G

v) Z G( )=C G G( )={g∈G gx| =xg,∀ ∈x G} gọi là tâm giao hoán của nhóm G

Cho G là nhóm, H ≤ Khi đó G H là nhóm con chu G ẩn tắc tối đại của G chứa trong

H

1.16 3 Định lý ([3, Định lý 5.2.14, trang 136])

Cho G là nhóm, H  , P là p–nhóm con Sylow của H Khi đó G G=HN G( )P

1.17 Định lý (p–nhóm con Sylow chuẩn tắc là nhóm con đặc trưng)

Cho G là m ột nhóm P là một p–nhóm con Sylow của G, P G  Khi đó P char G

1.19 Định lý (Định lý Burnside về phần bù chuẩn tắc) ([9], trang 52)

Cho G là nhóm h ữu hạn, P là p–nhóm con Sylow của G thỏa P≤Z N( G( )P ) Khi đó

tồn tại K G  sao cho G PK= và P∩ =K 1

1.20 Định lý ([3, Định lý 1.6.13, trang 38])

12

Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó C G( )H  N G( )H , hơn nữa

G G

N H C H đẳng cấu với một nhóm con của Aut H ( )

1.21 Định nghĩa (tựa chuẩn tắc, π –tựa chuẩn tắc)

i) Cho H, K là các nhóm con c ủa G, ta nói H giao hoán với K nếu HK KH=

ii) Cho H, K là các nhóm con c ủa G Ta nói H tựa chuẩn tắc trong K nếu nó giao hoán với

mọi nhóm con của K

iii) Nhóm con H ≤ gọi là G π–t ựa chuẩn tắc trong G nếu nó giao hoán với mọi nhóm con

Sylow của G

Nhận xét Định nghĩa này tương đương: Một nhóm con H của G gọi là π − tựa chuẩn tắc

trong G n ếu HK G ≤ với mọi K là p–nhóm con Sylow của G, p∈π( )G : tập các ước nguyên tố của G

ii) Nếu H là nhóm con Hall π − tựa chuẩn tắc trong G thì H G

iii) Nếu N H G≤ ≤ và N G  thì H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc trong G khi và chỉ khi

1.22 Định nghĩa (p–nhóm Aben sơ cấp)

Cho p là m ột số nguyên tố và G là một p–nhóm hữu hạn Khi đó G được gọi là p–

Nhận xét: Một p–nhóm hữu hạn G là p–nhóm Aben sơ cấp nếu G là nhóm Aben thỏa điều

kiện x p = ∀ ∈ 1, x G

1.23 Định lý

Cho N là nhóm con chu ẩn tắc tối tiểu của nhóm hữu hạn G Nếu N là một p–nhóm

Aben sơ cấp ( tức là x p = ∀ ∈ ) thì N1, x N = khi và chp ỉ khi G C G( )N là nhóm Aben có

số mũ là ước của p–1

1.24 Định nghĩa

i) Dãy các nhóm con của G: 1=G0 ≤G1≤ ≤ G n = sao cho G G i G i+1,∀ =i 0,n−1 gọi là

ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G nếu có thêm điều

kiện G i G,∀ =i 0,n

iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử

1 , 0, 1

i i

G+ G ∀ =i n− của dãy đều là nhóm đơn

iv) Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H K với , H K  và H K là nhóm G,con chuẩn tắc tối tiểu của G K

Dãy chuẩn tắc của nhóm G gọi là dãy cơ bản của G nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhân tử cơ bản của G

1.25 Nhóm gi ải được

1.25.1 Định nghĩa

Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Aben, nghĩa là nó có một dãy

chuẩn tắc 1=G0  G1 G n =G sao cho G i+1 G i , ∀ =i 0,n− là nhóm Aben 1

1.25.2 Tính ch ất ([3, Định lý 5.1.1, 5.1.2, 5.4.3, trang 121, 122, 148])

14

i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được, nhóm thương của nhóm giải được là nhóm giải được

ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được

iii) Cho H  Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G H là nhóm giải được G

iv) Tích trực tiếp của hữu hạn các nhóm giải được là nhóm giải được

v) Cho H, K là các nhóm con chu ẩn tắc và giải được của G, khi đó HK là nhóm giải được vi) Cho G là nhóm gi ải được hữu hạn Khi đó mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số trong G là lũy thừa của một số nguyên tố

ii) Bất kì hai π−nhóm con Hall nào cũng liên hợp với nhau

iii) Mọi π −nhóm con của G đều chứa trong một π −nhóm con Hall

1.25.7 Định lý (P.Hall) ([4, Định lý 4.5, trang 233])

G là m ột nhóm hữu hạn giải được khi và chỉ khi G có một ' p − nhóm con Hall với

mọi p là ước nguyên tố của G

1.26 Nhóm polycyclic

1.26.1 Định nghĩa

Nhóm G được gọi là polycyclic nếu nó có một dãy cyclic, nghĩa là nó có một dãy

chuẩn tắc 1=G0  G1 G n =G sao cho G i+1 G i , ∀ =i 0,n− là nhóm cylic 1

Nh ận xét Hiển nhiên, một nhóm polycyclic là nhóm giải được

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, nghĩa là nó có một dãy

các nhóm con chuẩn tắc 1=G0  G1 G n =G thỏa mãn G i+1 G i ≤Z G G( i) ,

16

1.27.3 Định lý ([3, Định lý 5.1.4, trang 122])

Cho G là nhóm lũy linh Khi đó:

i) Nếu N G ≤ thì N là nhóm lũy linh

ii) Nếu N G  thì G N là nhóm lũy linh

iii) Tích trực tiếp của hữu hạn các nhóm lũy linh là nhóm lũy linh

ii) Mọi nhóm con của G là á chuẩn tắc

iii) G th ỏa điều kiện chuẩn hóa tử, nghĩa là G thỏa điều kiện sau: nếu H G< thì

( )

G

iv) Mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc

v) G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

1.27.6 Định lý (nhóm con Sylow nhóm lũy linh là chuẩn tắc)

Cho G là nhóm l ũy linh hữu hạn Nếu P là p–nhóm con Sylow của G thì P là p–nhóm

con Sylow duy nhất của G (tức P G )

Ch ứng minh

Đặt H =N G( )P , theo Mệnh đề 1.27.4 ta có N G( )H =H Do đó theo Mệnh đề 1.27.5 (iii) ta phải có H G = (vì nếu H G< thì H < N G( )H mâu thuẫn) Suy ra N G( )P =H = G

hay P G

1.27.7 Định nghĩa (dãy tâm giảm)

Nhóm con γi( )G của nhóm G được định nghĩa quy nạp như sau: γ1( )G =G ,

1.27.8 Định nghĩa (dãy tâm tăng)

1=ζ ( )G ≤ζ ( )G ≤ζ ( )G ≤ , trong đó 0

và chỉ chi dãy tâm tăng đạt tới G sau hữu hạn bước

1.28 Nhóm con Fratini

Cho G là nhóm Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi

là nhóm con Frattini c ủa G Kí hiệu: ( )φ G

Nhóm con Fratini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kì Nếu G là nhóm vô hạn

không có nhóm con tối đại thì ta quy ước ( )φ G = G

1.29 Định lý ([3, Định lý 5.2.13, trang 135])

18

i) Cho G là nhóm Khi đó ( )φ G char G, do đó ( )φ G  G

ii) Cho G là nhóm h ữu hạn, N G Khi đó ( )φ N ≤φ( )G

1.30 Nhóm con Fitting

Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của nhóm G gọi là nhóm

Cho G là nhóm giải được hữu hạn Khi đó

i) Nếu M là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì M là một p–nhóm con chuẩn tắc Aben sơ

cấp của G

ii) C G( ( ))F G ≤F G( )

iii) Nếu ( ) 1φ G = thì F(G) là tích tr ực tiếp của các nhóm con Aben chuẩn tắc tối tiểu của G

C HƯƠNG 2: NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC TIÊU CHUẨN NHÓM

SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN

2.1 Nhóm siêu gi ải được

∀ = − là nhóm cyclic gọi là dãy siêu giải được của G.

G được gọi là siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được

2.1.2 Ví d ụ

i) Cho G là nhóm cyclic Khi đó G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là

1 G≤

Thật vậy, S có m3 ột dãy chuẩn tắc { }e ≤ A3 ≤S3 Rõ ràng, { }e  , S3 A3 , S3 S3 Hơn S3

nữa, ta có: S3 A3 =2⇒ S3 A3 là nhóm cyclic A3 { }e =3⇒ A3 { }e là nhóm cyclic Suy

ra { }e ≤ A3 ≤ là dãy siêu giải được của S3 S và 3 do đó S là siêu gi3 ải được

iii) Nhóm A (nhóm các phép th4 ế chẵn bậc 4) không phải là nhóm siêu giải được

Ch ứng minh: Ta sẽ chứng minh A không có m4 ột nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm cyclic nên A không có dãy siêu gi4 ải được, nghĩa là ta sẽ chỉ ra mọi nhóm con cyclic của 4

A đều không chuẩn tắc

Các nhóm con cyclic của A ch4 ỉ có thể là H = ( )( )a b c d , K = ( )a b c , với

20

– Chọn σ =(a c b )∈A4 , ta có: σ σH −1= σ(a b c d )( )σ−1 = σ(a b)σ σ−1 (c d )σ−1( ( )σ a σ(b))( ( )σ c σ(d) (c a b d)( )

= ≠ , nên K không chuẩn tắc trong A 4

Như vậy mọi nhóm con cyclic của A 4 đều không chuẩn tắc trong A4 Do đó, A 4không có nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm cyclic Vậy A không là nhóm siêu gi4 ải được

2.1.3 Định lý

Ch ứng minh

 Chứng minh H là nhóm siêu giải được Xét dãy các nhóm con của H

Suy ra, (G N i ) N G N và (G N i ) N (G N i+1 ) N, ∀ Do đó ta có dãy các nhóm con i

(G i+1 G i) ((G i+1∩G N G i ) i) là cyclic ⇒((G N i+1 ) N) ((G N i ) N)là cyclic Vậy, G N là

nhóm siêu giải được

2.1.4 Nh ận xét

Nếu N G  , N và G N đều là các nhóm siêu giải được thì G có thể không là nhóm

siêu giải được

Chẳng hạn xét nhóm G= A4

Xét nhóm con Klein, V ={e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} của A , ki4 ểm tra trực tiếp được V

là nhóm con Aben và V  Ta có: A4 A V c4 ấp 3, nên A V là nhóm cyclic và do 4 đó siêu

giải được

Vậy, ta có V và A V là nhóm siêu gi4 ải được, nhưng rõ ràng A không là nhóm siêu gi4 ải được theo Ví dụ 2.1.2 (iii)

2.1.5 Định lý

Ảnh đồng cấu của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được

Ch ứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được, : f G→ là mL ột toàn cấu nhóm từ G lên

một nhóm L nào đó Ta chứng minh ( ) f G = là nhóm siêu giL ải được

Vì G là nhóm siêu gi ải được nên G có một dãy siêu giải được

0 1

1=G ≤G ≤ ≤ G n = G

Xét dãy L= f G( )= f G( n)≥ f G( n−1)≥ ≥ f G( 0) 1= (*)

Imϕ = f G( i+ ) f G( i) nên ϕ là toàn cấu, suy ra ϕ(G i+1 G i)= f G( i+1) f G( i), mà G i+1 G i

là nhóm cyclic nên f G( i+1) f G( i) là nhóm cyclic (3)

Từ (1), (2), (3) ta có (*) là dãy siêu giải được của L, và do đó L là siêu giải được

2.1.6 Định nghĩa

Cho G là nhóm N ếu N G  , N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các

số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm cyclic (gọi là dãy G–siêu giải được ) thì N được gọi là nhóm G–siêu giải được

2.1.7 M ệnh đề

Ch ứng minh i) Giả sử N G  , N là nhóm cyclic Ta có dãy G–siêu giải được của N là

1 nên N là nhóm G–siêu giải được N

ii) Hiển nhiên, do G là G –siêu giải được nên G có dãy các nhóm con chuẩn tắc với các số

hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm cyclic do đó G có dãy siêu giải

được

2.1.8 Định lý

Ch ứng minh G N là nhóm siêu giải được G N⇒ có dãy siêu giải được

1= N N =G N ≤G N ≤ ≤ G N n =G N

N là G–siêu gi ải được nên N có dãy G–siêu giải được 1= N0≤ N1≤ ≤ N m = N

Vì G N i G N,∀ =i 0,n nên G i G,∀ =i 0,n Xét dãy các nhóm con chuẩn tắc của G:

1= N N   N m = N =G   G G n =G (*)

Ta có: G i+1 G i ≅(G i+1 N) (G N i ),∀ =i 0,n− Mà 1 (G i+1 N) (G N i ),∀ =i 0,n− là nhóm 1cyclic nên G i+1 G i,∀ =i 0,n là nhóm cyclic Do vậy, (*) dãy siêu giải được của G và G là

nhóm siêu giải được

2.1.9 H ệ quả

Cho N  , nếu N là nhóm cyclic và G N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm G

Ch ứng minh N là nhóm cyclic N ⇒ là nhóm G–siêu giải được (Mệnh đề 2.1.7) Theo Định lý 2.1.8 ta có G là nhóm siêu giải được

2.1.10 Định lý

một dãy các nhóm con giữa G và N với các số hạng là các nhóm con chuẩn tắc của G và

1 , 0, 1

i i

N+ N ∀ =i n− là nhóm cyclic Xét dãy: 1=G0 ≤G1≤ ≤ G m = là một dãy siêu giải G