Nhóm compact địa phương thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải được đóng

Tính chất hữu hạn địa phơng tôpô và tính chất thành phần liên thông đơn vị của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiệncực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng...16 Kết luận...22 Tài Liệ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

=====  =====

trịnh thị minh

nhóm compact địa phơng thỏa m n ãn

điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải

đợc đóng

Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số

Mãn số: 60.46.05

Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:

GS.TS Nguyễn Quốc Thi

Vinh - 2006 Mục lục

Trang

Lời nói đầu 2

Chơng 1 Nhóm tôpô giải đợc 4

1.1 Nhóm trừu tợng giải đợc 4

1.2 Nhóm tôpô giải đợc 10

Chơng 2 Nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng 12

2.1 Nhóm con - mở rộng của nhóm - tích trực tiếp của nhóm con

thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc 122.2 Tính chất hữu hạn địa phơng tôpô và tính chất thành phần liên

thông đơn vị của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiệncực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng 16

Kết luận 22

Tài Liệu Tham Khảo 23

Lời Nói Đầu

Trong lý thuyết nhóm trừu tợng cũng nh trong lý thuyết nhóm tôpô, lớpnhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với một lớp nhóm con nào đó giữ một vịtrí hết sức quan trọng, vì thế mà đợc nhiều nhà toán học nghiên cứu

Trong nhóm trừu tợng, lớp nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối vớinhóm con đợc nghiên cứu bởi nhà toán học A.Curot Trong nhóm tôpô, lớpnhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng đợcnghiên cứu bởi các nhà toán học V.P.Platonov, PGS.TS Lê Quốc Hán Trongluận văn này, chúng tôi đặt vấn đề khảo sát lớp nhóm tôpô thỏa mãn điềukiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng, đó là "lớp nhóm tôpô mà mọidãy nhóm con giải đợc đóng giảm đều hữu hạn" Lớp nhóm này rộng hơn

"lớp nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng" Vìvậy, những kết quả của lớp nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối vớinhóm con giải đợc đóng cũng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm conAben đóng

Với những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài của luận văn Nhóm“Nhóm

compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc

hạn địa phơng của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối

với nhóm con giải đợc đóng Những kết quả đạt đợc trong chơng này cũng làkết quả chính của luận văn

2.1 Nhóm con - Mở rộng của nhóm - Tích trực tiếp của nhóm con thỏamãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng

2.2 Tính chất hữu hạn địa phơng tôpô và tính chất thành phần liênthông đơn vị của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối vớinhóm con giải đợc đóng

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã nhận đợc sự dạy bảotận tình, sự động viên giúp đỡ quý báu của các Thầy giáo - các nhà khoa học:GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng,PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai Văn T PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến các Thầy

Tác giả xin đợc cảm ơn Khoa Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Trờng

Đại học Vinh, Sở GD&ĐT Thanh Hoá, Trờng THPT Quảng Xơng 3, tập thể lớpCao học 12 Đại số đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giảhoàn thành luận văn của mình

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý củaquý thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 12 năm 2006.

nhóm G Phần tử z = x -1 y -1 xy đợc gọi là hoán tử của phần tử x và y

Ký hiệu z = [x,y].

+) Nếu G là nhóm Aben thì mọi hoán tử đều bằng đơn vị e của G.

+) Nhóm con G’= {x -1 y -1 xy/ (x,y  G) } đợc gọi là đạo nhóm của nhóm G.

Ký hiệu: G’= [G,G].

Nếu G là nhóm Aben thì G’ = {e} đơn vị của G.

1.1.2 Định lý Đạo nhóm G’ của nhóm G là nhóm con hoàn toàn đặc trng

Chứng minh Giả sử φ là tự đồng cấu của nhóm G và x -1 y -1 xy là một hoán tử bất kỳ của G, khi đó:

φ (x -1 y -1 xy) = φ(x) -1 φ(y) -1 φ(x) ) φ(y) = x’-1 y’-1 x’y’

với x’= φ(x), y’ = φ(y), cũng là hoán tử của nhóm G nên φ(G’)  G.

Vậy G’ là nhóm hoàn toàn đặc trng

1.1.3 Định lý. Cho K là ớc chuẩn bất kỳ của nhóm G Khi đó, nhóm thơng

Ta có φ (x -1 y -1 xy) = K x -1 K y -1 KxKy = K(x -1 y -1 xy) = K, từ đó suy ra x -1 y -1 xy  K

hay G’ K Vậy nếu G

K là nhóm Aben thì suy ra G’K

Giả sử ngợc lại nếu G’ K, ta xét hoán tử bất kỳ:

đợc gọi là dãy đạo nhóm của nhóm G

1.1.5 Định nghĩa. Nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc nếu nh dãy (1) sau một

số hữu hạn bớc bị dừng tại đơn vị, nghĩa là tồn tại n sao cho G (n) = {e}

1.1.6 Định lý Nhóm con, nhóm thơng của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc.

Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm giải đợc là nhóm giải đợc.

Chứng minh Giả sử G là nhóm giải đợc, dãy

G G’ …… G (n) = {e}

là dãy đạo nhóm của nhóm G.

Trớc hết ta chứng minh nhóm con của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc

Giả sử H là nhóm con của nhóm G Khi đó ta có H  G nên H’  G’ và bằng

phơng pháp qui nạp ta có H (n)  G (n) = {e}

Vậy H  H’ ……  H (n) = {e}, nghĩa là H là nhóm giải đợc.

Bây giờ ta chứng minh nhóm thơng của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc

và 1 = (x 1, y 1 )  G;  2 = (x 2, y 2 )  G.

Khi đó  1 -1  2 -1  1  2 = (x 1 -1 x 2 -1 x 1 x 2 , y 1 -1 y 2 -1 y 1 y 2 )

từ đó suy ra G’ = G 1’  G 2’

Bằng phơng pháp qui nạp ta có G (m) = G 1 (m)  G 2 (m)

với m = max( m 1 , m 2 ) thì G 1 (m) = G 2 (m) = {e}

Vậy G (m) = {(e,e)} nên G là nhóm giải đợc 

Chứng minh Nếu G là nhóm giải đợc, khi đó dãy đạo nhóm của nhóm G thỏa

mãn điều kiện dãy (2)

Ngợc lại, nếu trong G có dãy (2) Ta chứng minh G là nhóm giải đợc hay chứng minh dãy đạo nhóm của G bị dừng tại {e} sau một số hữu hạn bớc Giả sử trong G có dãy : G A 1 A n = {e}

Vậy G là nhóm giải đợc Bổ đề đợc chứng minh 

1.1.8 Định lý Nếu nhóm G là mở rộng của nhóm giải đợc H nhờ nhóm giải

1.1.9 Định nghĩa. Nhóm trừu tợng G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu

nh mọi nhóm con hữu hạn sinh đều là nhóm hữu hạn

1.1.10 Định lý. Mở rộng nhóm G của nhóm hữu hạn địa phơng A bởi nhóm hữu hạn địa phơng B là nhóm hữu hạn địa phơng

Chứng minh Rõ ràng G là nhóm xoắn Giả sử <x 1 , , x n > là tập hữu hạn các

phần tử của nhóm G Vì B là nhóm hữu hạn địa phơng suy ra nhóm thơng G

A

là nhóm hữu hạn địa phơng Ta có mỗi lớp ghép của G theo ớc chuẩn A chứa ít nhất một phần tử trong tập <x 1 , , x n > Điều này thực hiện đợc, vì tập <x 1 , ,

x n > là tập hữu hạn, nên nếu cần ta bổ sung một số hữu hạn phần tử Bất kì tích

x i x j nằm trong lớp ghép của G theo ớc chuẩn A, nó đợc biểu diễn dới dạng tích một phần tử trong tập <x 1 , , x n > và một phần tử trong A Đối với mỗi cặp chỉ

1.1.11 Định lý. Mọi nhóm xoắn Aben G đều là nhóm hữu hạn địa phơng.

Chứng minh.Giả sử G là nhóm Aben xoắn và <x 1 , , x n > là tập hữu hạn các phần tử G Ta chứng minh nhóm con { x 1 , , x n } là nhóm hữu hạn Ta ký hiệu:

X i = { x i } là nhóm con sinh bởi x i , i = 1,2,3, ,n vì nhóm G là nhóm Aben, nên

H = x 1 x n Vậy H là nhóm hữu hạn 

1.1.12 Định lý Nhóm xoắn giải đợc là nhóm hữu hạn địa phơng.

Chứng minh.Vì G là nhóm giải đợc nên trong G có dãy giải đợc:

định lý 1.1.10) Khi đó (theo định lý 1.1.10) nhóm A n-2 là nhóm hữu hạn địa

phơng Tiếp tục quá trình trên ta có A 1 là nhóm hữu hạn địa phơng và

1

G A

cũng là nhóm hữu hạn địa phơng (theo định lý 1.1.11) Vậy (theo định lý

1.1.10) G là nhóm hữu hạn địa phơng 

Một số ví dụ về nhóm giải đợc trừu tợng

1) Mọi nhóm Aben G đều là nhóm giải đợc, vì G’ ={e}

2) Nhóm đối xứng S 3 bậc 3 là nhóm giải đợc, vì trong S 3 có nhóm thay phiên

A 3 là ớc chuẩn và nhóm thơng 3

3

S

A là nhóm Xyclic cấp 2 Nên S 3 có dãy ớc chuẩn S 3 A 3 {e} với các thơng Aben.

3) Nhóm đối xứng S 4 bậc 4 cũng là nhóm giải đợc Thật vậy ta có

với 4

4

S

A là nhóm Aben Vậy S 4 là nhóm giải đợc

4) Nhóm S n (đối xứng bậc n) với n5 là nhóm không giải đợc

1.2 Nhóm tôpô giải đợc

1.2.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm Aben nếu nhóm trừu tợng G

là nhóm Aben

Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm giải đợc nếu nhóm trừu tợng G là nhóm

giải đợc

tợng G Khi đó H là nhóm con giải đợc của nhóm tôpô G.

Chứng minh Giả sử G là nhóm tôpô, H là nhóm con giải đợc của nhóm

trừu tợng G Ta luôn có H là nhóm con của nhóm tôpô G 

Ta chứng minh H giải đợc khi H giải đợc.

Trớc hết ta có nhận xét: Nếu K và H là nhóm con của tôpô G sao cho HK

H’ trong đó H’ là đạo nhóm của H thì H 'K

Thật vậy, xét ánh xạ liên tục f: G  G  G

(x,y) x -1 y -1 xy Khi đó f(HH)  K vì H’K và f ( H H )K vì H H = H  H ,

do đó f( H  H )  H 'K

Nếu H giải đợc trong nhóm trừu tợng G thì dãy đạo nhóm của H sau một hữu

hạn bớc phải dừng lại tại đơn vị

Chứng minh: Ta luôn có H là nhóm con của nhóm G.

Ta chứng minh H là nhóm Aben Thật vậy, theo nhận xét định lý 1.2.2 tacó: H' H' Do H là nhóm con Aben nên H' = {e}, suy ra H'= {e}

Vậy ta có H' {e} H ={e} suy ra ' H là nhóm Aben

1.2.4 Hệ quả. Nếu G là nhóm tôpô giải đợc khi đó trong G có dãy giải đợc gồm các nhóm con đóng của G.

Chứng minh: Vì G giải đợc nên G có dãy đạo nhóm {G } ’ là dãy giải đợc: G’

là nhóm Aben và G ⊳ i G( -1)i , trong đó G (i) là ớc chuẩn

trừu tợng của nhóm G thì G i là ớc chuẩn của G Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Chơng này là nội dung chính của luận văn Trong chơng này chúng tôitrình bày một số kết quả chính của nhóm compact địa phơng thỏa mãn điềukiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng

2.1 Nhóm con - mở rộng của nhóm - tích trực tiếp của nhóm con thỏa mãn n điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng

2.1.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng, nếu nh mọi dãy nhóm con giải đợc đóng

giảm A 1A 2 A n… đều hữu hạn, trong đó đều hữu hạn, trong đó A i là nhóm con giải đợc

đóng

2.1.2 Định lý. Nhóm con của nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng là nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng.

Chứng minh Giả sử A là nhóm con của nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối

với nhóm con giải đợc đóng của G và:

2.1.3 Định lý. Giả sử H là ớc chuẩn compact của nhóm tôpô G Nhóm tôpô

G thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng khi và chỉ khi

nhóm H và nhóm G

H thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc

đóng.

Chứng minh Trong phần chứng minh này ta sẽ chứng minh cho trờng hợp

tổng quát là G thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng khi và chỉ

khi H và G

H thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng Thật vậy,giả sử H là compact và có dãy nhóm con giảm

A 1A 2 A H (1)

là dãy các nhóm con đóng trong H.

Ta có R là nhóm compact và các A i là các nhóm con đóng của H suy ra

A i là nhóm compact trong G nên dãy (1) là dãy các nhóm con đóng trong G

và G thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng Vậy dãy (1) dừng

Từ đó suy ra B 1B 2 B n là dãy nhóm con đóng trong G Vậy (2) hữu hạn suy ra G

điều kiện đối với nhóm con đóng

Giả sử ngợc lại, nhóm tôpô H và G

H thỏa mãn điều kiện cực tiểu đốivới nhóm con đóng ta chứng minh nhóm tôpô G thỏa mãn điều kiện cực tiểu

đối với nhóm con đóng

Thật vậy, giả sử A 1A 2 A n (3) là dãy nhóm con đóng trong G, ta

chứng minh dãy (3) dừng hữu hạn

Trong H và G

H có hai dãy giảm tơng ứng

A 1  H  A 2  H … A n  H  … đều hữu hạn, trong đó (4)

A 1 H

H  A 2 H

H … A n H

H  … đều hữu hạn, trong đó (5)

là hai dãy giảm các nhóm con đóng trên H và G

H Giả sử trong G có hai nhóm con A,B đóng, A B.

Mà A  H =B.H (vì H là compact) và A.H = B.H nên A i H, B i H, A i H, B i H

đều là nhóm con đóng trong G.

Nếu bB thì bB.H = A.H nên b = a.x.

Suy ra x BH = AH  xA Vậy b = a.x  A  A=B Vậy tồn tại dãy các nhóm con đóng trong B dẫn tới tồn tại dãy các nhóm con đóng H và G

H.Nếu dãy nhóm con đóng trong G và dãy (3) là vô hạn thì dãy nhóm con đóng.

thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng

Suy ra G thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng 

2.1.4 Định lý. Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm tôpô thỏa mãn

điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng là nhóm tôpô thỏa mãn

điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng.

Chứng minh.Ta chỉ cần chứng minh với hai nhóm.

Giả sử kết luận của định lý đúng cho n-1 nhân tử Ta chứng minh kết luận

của hệ quả đúng cho n nhân tử

Mà A 1A 2  A n lànhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con

giải đợc đóng Theo giả thiết suy ra

n

G

A thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối vớinhóm con giải đợc, mà A n là nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm

con giải đợc đóng Do đó suy ra G là nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối

với nhóm con giải đợc đóng 

2.1.5 Định lý. Nhóm Lie compact đều thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng.

Chứng minh Ta biết rằng dimG 0 = n hữu hạn vì G 0 là thành phần liên thông

của đơn vị Từ đó suy ra mọi nhóm con của G 0 đều có chiều nhỏ hơn n và

Khi đó sẽ tồn tại một chỉ số A k để A kGo, mặt khác

0

G

G hữu hạn và dimG 0

hữu hạn Do đó dãy trên dừng hữu hạn

Vậy nhóm compact Lie G thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con

giải đợc đóng 

cực tiểu đối với nhóm con đóng.

Chứng minh Thật vậy trong R ta lấy phần tử a bất kỳ khác e Khi đó ta có

dãy nhóm con giảm thực sự:

A = { a }  {a,a}   {na} 

là một dãy vô hạn

Do a có cấp vô hạn nên dãy trên không dừng Vậy R không thỏa mãn điều

kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng 

2.2 Tính chất hữu hạn địa phơng tôpô và tính chất thành phần liên thông đơn vị của nhóm compact địa phơng thỏa mãn n điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng

2.2.1 Định lý. Nếu G là nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với

Chứng minh Giả sử phần tử g  G khi đó nhóm con sinh ra bởi g hoặc

là nhóm rời rạc đẳng cấu với Z nhóm cộng các số nguyên, hoặc là nhóm compact của G Trong trờng hợp đầu không thể xảy ra vì nhóm con sinh ra bởi {g} đẳng cấu với Z, khi đó nhóm con sinh ra bởi {g} không thỏa mãn điều kiện cực tiểu giải đợc đóng Nên nhóm sinh bởi {g} là nhóm compact.

Nhóm thơng sinh bởi  

 0

g

g là nhóm compact hoàn toàn không liên thông

thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con giải đợc đóng nên suy ra nhóm thơng

t-nhóm tuyến tính (t-nhóm ma trận) với phần tử nguyên và tôpô tự nhiên Ơclit.

Khi đó theo định lí Fermart suy ra bất kì một nhóm con xoắn của nhóm A(T)

Chứng minh Một nhóm compact liên thông G có thể phân tích thành dạng

G=A.P, trong đó A là nhóm con liên thông thuộc tâm G và





P Z

với 

 P là tích trực tiếp tôpô của các nhóm liên thông compact, Z là nhóm con hoàn toàn không liên thông thuộc tâm của nhóm G (nếu tập các chỉ số

vô hạn thì P không thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.1.3)

Thật vậy, giả sử Q i là xuyến tối đại của P i

A cũng là nhóm Lie Thật vậy nếu A không phải là nhóm Lie thì trong mỗi lân cận bất kì U của đơn vị của nhóm A chứa một ớc chuẩn không tầm th-

ờng H U sao cho

U

A

H là nhóm Lie Giả sử H 1 và H 2 là hai ớc chuẩn phân biệt

của A sao cho

1

A

H và A H là những nhóm Lie thì 2 A(H 1H cũng là 2)nhóm Lie

Suy ra A không thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con.

Thật vậy, ứng với mỗi dãy giảm thực sự các lân cận của đơn vị

Chứng minh Theo định lí Manxev - Kartan - Ivanxav (MKI )

G = K H 1 H n với K là nhóm compact cực đại liên thông còn H i là nhóm

đẳng cấu với R, vì theo ví dụ trên R không thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với