bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán

Dần dần, cùng với sự phát triển của các loại ngôn ngữ lập trình, con người cải tiến chiếc máy tính điện tử sao cho nó có khả năng giải quyết những bài toán phức tạp hơn như kiểm tra một

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BƯỚC CHUYỂN TỪ LỜI GIẢI TOÁN

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BƯỚC CHUYỂN TỪ LỜI GIẢI TOÁN

L ỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Chí Thành, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy, cô: PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga về những bài giảng Didactic Toán sinh động và đầy ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán - Tin trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ Tin học TrườngTHPT Trần Phú đã tạo điều

kiện, giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp didactic Toán khóa 22 vì những sẻ chia, giúp đỡ trong thời gian học tập

Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá trình học

tập của tôi

Cao Thị Hải Yến

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH M ỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 4

M Ở ĐẦU 5

1 Ghi nh ận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 M ục đích và phạm vi nghiên cứu 8

3 Khung lý thuy ết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu 9

4 T ổ chức luận văn 10

CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN – MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN 11

1.1 Th ế nào là vấn đề - bài toán 11

1.2 Thu ật toán và các phương pháp biễu diễn thuật toán 13

1.3 Bi ến và lệnh gán 18

1.4 C ấu trúc cơ bản của thuật toán 20

1.5 M ột số phương pháp giải quyết vấn đề - bài toán 24

1.6 Vai trò c ủa công cụ tính toán 28

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI THUẬT TOÁN TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG GIAI ĐOẠN 1990 – 2000 30

2.1 Khái ni ệm thuật toán 31

2.1.1 Phần lý thuyết 31

2.1.2 Phần bài tập 35

2.2 Ngôn ng ữ biểu diễn thuật toán 38

2.2.1 Phần lý thuyết 38

2.2.2 Phần bài tập 42

CHƯƠNG 3: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI THUẬT TOÁN TRONG D ẠY HỌC TIN HỌC GIAI ĐOẠN 2006 ĐẾN NAY 46

3.1 Bài toán và thu ật toán trong [M] 47

3.1.1 Khái niệm bài toán 48

3.1.2 Khái niệm thuật toán 49

3.1.3 Một số ví dụ về thuật toán 53

3.1.4 Các tổ chức tin học 61

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM 66

4.1 M ục đích và giả thuyết nghiên cứu 66

4.2.1 Hình thức thực nghiệm: 66

4.2.2 Bài toán thực nghiệm 66

4.2.3 Dàn dựng kịch bản 67

4.3 Phân tích tiên nghi ệm 69

4.3.1 Biến tình huống và biến didactic 69

4.3.2 Các chiến lược có thể 70

4.3.3 Phân tích kịch bản 72

4.4 Phân tích h ậu nghiệm 75

K ẾT LUẬN 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

PHỤ LỤC 91

M Ở ĐẦU

1 Ghi nh ận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Toán học và Tin học là hai ngành khoa học có liên quan chặt chẽ mật thiết với nhau Trong toán học, để giải một bài toán chúng ta cần nghiên cứu giả thiết đã cho, tìm ra những phương pháp có thể có để giải, lựa chọn phương pháp thích hợp nhất (có thể là phương pháp

ngắn gọn nhất, cũng có thể là dễ hiểu nhất đối với người làm) và tiến hành giải bài toán đó Trước đây, con người tự mình giải quyết tất cả những bài toán mà họ bắt gặp Cùng với sự phát triển của xã hội, con người tìm cách sáng tạo ra các công cụ giúp họ giải quyết những

vấn đề trong cuộc sống, và máy tính điện tử ra đời Ban đầu máy tính điện tử chỉ giúp con người tính toán những phép tính đơn giản như cộng trừ nhân chia các số, đặc biệt là giữa

những con số có giá trị lớn Dần dần, cùng với sự phát triển của các loại ngôn ngữ lập trình, con người cải tiến chiếc máy tính điện tử sao cho nó có khả năng giải quyết những bài toán

phức tạp hơn như kiểm tra một số nguyên có phải là số nguyên tố không, tìm số lớn nhất trong dãy các số nguyên, và không những trên lĩnh vực tính toán mà trên nhiều lĩnh vực khác nhau, nhiều loại dữ liệu khác nhau: các số liệu, hình ảnh, âm thanh, … Trong các lĩnh

vực đó, chúng tôi quan tâm đến việc lập trình giải các bài toán toán học

Máy tính dưới sự điều khiển của con người (thông qua các chương trình, phần mềm được con người lập trình sẵn trong máy tính) có thể giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp trong thời gian ngắn, không hề biết mệt mỏi hay ảnh hưởng bởi sự tác động của các yếu tố khách quan, trong khi đó, con người không thể làm được, hoặc làm được trong khoảng thời gian lớn và tốn nhiều công sức Nhưng con người lại có khả năng phản ứng linh hoạt với

những tình huống bất ngờ, và xét cho đến cùng con người là nhân tố quyết định khả năng

giải quyết các vấn đề, bài toán của MT Vì vậy trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến quá trình mà con người “ra lệnh” cho MT giải quyết các vấn đề, bài toán

Với những ứng dụng đa dạng và phong phú trong nhiều lĩnh vực, Tin học bắt đầu được đưa vào giảng dạy ở chương trình phổ thông ở hầu hết các nước Theo Nguyễn Chí Thành (2005), tại Pháp và Việt Nam, Tin học được đưa vào trường phổ thông theo hai hình

thức:

- Đưa các yếu tố Tin học vào môn Tin học với tư cách là môn học độc lập;

- Đưa các yếu tố Tin học vào môn Toán học;

Ở Việt Nam, khác với Toán học là môn học xuyên suốt trong chương trình phổ thông, môn Tin học mới được đưa vào giảng dạy ở trường phổ thông từ những năm 1990 Trong chương trình cải cách giáo dục năm 1990 (từ 1990 đến trước 2000) Tin học được đưa vào dạy lồng ghép với môn toán, trong chương IV: Khái niệm sơ đẳng về tin học và thuật toán - đại số lớp 10 (Trần Văn Hạo, Nxb Giáo dục - 1990) Đến chương trình cải cách giáo

dục 2006, Tin học xuất hiện trong chương trình phổ thông với tư cách là môn học độc lập và

là môn học chính khóa

Cũng theo Báo cáo của uỷ ban nghiên cứu Dacunha-Castelle, 1989:

Chúng tôi không nghĩ rằng Tin học phải được giảng dạy như một môn (lí thuyết) riêng biệt ở

cấp bậc phổ thông Thật vậy, Tin học dạy ở trình độ này sẽ chưa các nguy cơ liên quan đến

sự hình thức hoá và nó sẽ còn nghiêm trọng hơn cả những cái có thể có bên Toán học Lập

luận cho rằng một số học sinh yếu kém trong môn Toán học có thể sẽ khá hơn khi học Tin học không có nhiều cơ sở lí thuyết Ngược lại, việc dẫn nhập các phương tiện Tin học có

thể « cứu vãn » các học sinh có khó khăn và khuyến khích các em khác khi học toán

[11, tr 254]

Từ đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Việc đưa tin học vào giảng dạy trong chương trình

ph ổ thông với tư cách là một môn học độc lập ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập môn Toán và môn Tin h ọc của học sinh ở bậc phổ thông? Học sinh có nhận thấy mối liên hệ mật thi ết giữa hai môn học này hay không?

Như đã nói ở trên, việc giải một bài toán trong toán học thì chỉ cần đưa ra một phương pháp hay thuật toán giải và tiến hành giải theo thuật toán để tìm đáp án là bài toán

đã được giải xong Tuy nhiên, để MT giải được bài toán đó, từ lời giải toán học được đưa ra, con người cần phải viết một chương trình hoàn chỉnh theo một ngôn ngữ lập trình nào đó rồi biên dịch thành ngôn ngữ máy và cài đặt vào MT, khi đó MT mới hiểu và giải quyết được bài toán

Vậy thế nào là lời giải toán học, thế nào là lời giải tin học? Chúng tôi đã cố gắng tìm

hiểu các nguồn tài liệu để trả lời cho câu hỏi trên Tuy nhiên, qua những tài liệu mà chúng tôi có được, chúng tôi không tìm được định nghĩa “lời giải toán học” và “lời giải tin học”

Vì vậy, chúng tôi xin đưa ra định nghĩa lời giải toán học và lời giải tin học như sau:

- Lời giải toán học là lời giải của một bài toán dựa trên các kiến thức toán học sao cho tìm được kết quả cho bài toán sau khi kết thúc lời giải mà con người có thể

hiểu được

- Lời giải tin học là lời giải của một bài toán được biễu diễn bằng một thuật toán

hoặc chương trình sao cho có thể cài đặt được trên MT và cho kết quả bài toán Xét bài toán: Với a là số nguyên lớn hơn 2 cho trước, tính tổng:

S bằng cách thực hiện phép cộng dồn từ trái sang phải đến số hạng cuối cùng thì ta có tổng

cần tính (vẫn dùng quy đồng mẫu số các phân số):

Phát biểu lại bài toán:

Và thuật toán để giải bài toán trên như sau:

Bước 1: Khởi tạo S và N;

Bước 3: Nếu N >50 thì chuyển đến bước 5;

Bước 4: S← +S 1 (a+N) rồi quay lại bước 2;

Bước 5: In ra S và kết thúc

Sau đó thuật toán này sẽ được viết thành chương trình trong một ngôn ngữ nào đó để máy tính thực hiện việc tính tổng

Nếu như không có MT, khi các số hạng của tổng được tăng lên đến 100, 1000, … số

hạng hay khi giá trị của a lớn thì con người sẽ mất rất nhiều thời gian và công sức để có thể tính được tổng trên, và đôi khi có thể không tính được giá trị của tổng Tuy nhiên, với sự hỗ

trợ của công cụ tính toán là MT, thông qua việc xây dựng chương trình tính tổng xuất phát

từ thuật toán trên, ta có thể tính tổng S với số lượng số hạng bất kỳ giá trị a nguyên bất kỳ

chỉ trong khoảng thời gian rất ngắn

Từ một bài toán cụ thể thì chưa thể kết luận được điều gì Tuy nhiên chúng tôi nhận

thấy rằng dường như từ lời giải toán học sang thuật toán trong ngôn ngữ lập trình (lời giải tin học) có một bước chuyển Bước chuyển đó là không dễ dàng đối với những người làm công việc lập trình, đặc biệt là đối với học sinh phổ thông - đối tượng mới được làm quen

với tin học và lập trình trong tin học

Vì vậy, câu hỏi chúng tôi đặt ra ở đây là: Học sinh phổ thông sẽ làm như thế nào để

chuy ển từ lời giải toán học của bài toán trên sang lời giải tin học khi mà Toán học và Tin

h ọc được tách thành hai môn học chính khóa?

Tất cả những điều trên dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu “Bước chuyển từ lời giải Toán

h ọc sang lời giải Tin học của một bài toán”

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi ban đầu như sau:

- Giữa lời giải toán học và lời giải tin học của một bài toán có gì giống và khác nhau?

- Liệu rằng học sinh có nhận thấy sự cần thiết hay điều gì dẫn học sinh tới việc sử

dụng tin học để giải quyết các bài toán toán học?

- Học sinh gặp phải khó khăn, chướng ngại và sai lầm gì khi chuyển từ lời giải Toán

học sang lời giải Tin học của một bài toán? Trong quá trình giảng dạy tin học giáo viên quan tâm như thế nào đến việc hình thành bước chuyển đó?

- Bước chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán tin học có tác động như thế nào đến việc hình thành tri thức về thuật toán, tri thức tin học ở học sinh?

- Vai trò của ngôn ngữ thuật toán?

2 Mục đích và phạm vi nghiên cứu

Việc nghiên cứu bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học có thể xem xét

ở nhiều phạm vi khác nhau: trong chương trình và SGK, trong thực hành giảng dạy của GV, trong thực hành giải toán của HS Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi tập trung vào

việc nghiên cứu bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán trong chương trình và SGK Tin học PT hiện hành

Cụ thể, chúng tôi sẽ:

- Làm rõ bước chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học của một bài toán ở bậc trung học phổ thông (nếu có) và ảnh hưởng của nó đến việc hình thành tri thức về thuật toán

và tin học ở học sinh

- Phân tích sự lựa chọn của chương trình và SGK Toán học và Tin học để biết sự lựa

chọn này có ảnh hưởng như thế nào đến việc hình thành bước chuyển đó Những khó khăn, chướng ngại và sai lầm của học sinh khi chuyển từ lời giải Toán học sang lời giải Tin học

của một bài toán

- Những bài toán được giải quyết trong tin học có tồn tại trong toán học và yêu cầu của hai thể chế đối với bài toán đó

3 Khung lý thuy ết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu

3.1 Khung lý thuy ết tham chiếu

Nội dung đề tài liên quan đến cả hai lĩnh vực Toán học và Tin học Vì vậy việc chọn

một khung lý thuyết phù hợp để tham chiếu cho việc nghiên cứu là rất quan trọng Ở đây, chúng tôi muốn ứng dụng lý thuyết Didactic toán, cụ thể: lý thuyết nhân chủng học, chướng

ngại và sai lầm, lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic trong việc nghiên cứu dạy học Tin

học

Dựa trên khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi nghiên

cứu như sau:

Q 1 : Ở cấp độ tri thức luận, thuật toán và ngôn ngữ thuật toán có những đặc trưng cơ

bản nào?

Q 2 : Mối quan hệ thể chế (thể chế dạy học toán học PT giai đoạn 1990 – 2000 và thể

chế dạy học tin học PT hiện nay) đối với thuật toán có những đặc trưng cơ bản nào? Bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán được thực hiện hay không,

nếu có thì được thực hiện như thế nào? Bước chuyển đó tác động như thế nào đến việc hình thành tri thức về thuật toán, tri thức tin học ở học sinh?

Q 3 : Trong thể chế dạy học toán học trung học phổ thông hiện nay, tồn tại hay không

những kiểu nhiệ m vụ liên quan đến thuật toán? Có những bài toán toán học nào được viết dưới dạng thuật toán để chuyển sang bài toán tin học? Và ngược lại, những bài toán được

giải quyết trong tin học có tồn tại trong thể chế dạy học toán học không? Nếu tồn tại ở cả hai thể chế thì những mong đợi thể chế của hai môn học đối với bài toán đó có gì giống và khác nhau?

Q 4 : Học sinh gặp phải khó khăn, chướng ngại và sai lầm gì khi chuyển từ lời giải Toán

học sang lời giải Tin học của một bài toán?

3.2 Phương pháp nghiên cứu

• Tiến hành nghiên cứu lý thuyết thuật toán và các phương pháp giải quyết vấn đề - bài

toán trên máy tính được đề cập trong tài liệu: Hoàng Kiếm, Giải một bài toán tin học như

th ế nào?,tập 1, Nxb Giáo dục Tìm hiểu mối quan hệ giữa thuật toán và công cụ tính toán

qua công trình nghiên cứu của Nguyễn Chí Thành (2005) để trả lời cho câu hỏi Q1

• Tiến hành phân tích làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế đối với thuật toán để trả lời cho câu hỏi Q2 Chúng tôi tiến hành phân tích hai thể chế:

- Thể chế dạy học Toán học phổ thông giai đoạn 1990 – 2000

- Thể chế dạy học Tin học phổ thông giai đoạn hiện hành

• Phân tích giáo khoa Toán hiện hành để tìm hiểu những bài toán trong chương trình toán phổ thông được viết dưới dạng ngôn ngữ thuật toán và sự tồn tại của các bài toán được

đề cập trong tin học trong chương trình toán phổ thông, những mong đợi của hai thể chế đối

với bài toán đó (nếu có) để trả lời cho câu hỏi Q3

• Để trả lời cho câu hỏi Q4: Tiến hành thực nghiệm trên học sinh để biết được những khó khăn và chướng ngại, sai lầm mà học sinh gặp phải khi thực hiện bước chuyển từ lời

giải theo ngôn ngữ toán học sang thuật toán trong tin học thông qua phần mềm Algobox

4 T ổ chức luận văn

Ph ần mở đầu

Chương 1: Thuật toán trong giáo trình bậc đại học

Chương 2: Mối quan hệ thể chế đối vối thuật toán trong dạy học toán học lớp 10 giai

đoạn 1999 – 2000

Chương 3: Mối quan hệ thể chế đối với thuật toán trong dạy học toán học và tin học lớp

10 giai đoạn 2006 đến nay

Chương 4: Thực nghiệm

K ết luận

Tài li ệu tham khảo

C HƯƠNG 1: THUẬT TOÁN – MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC

M ục tiêu của chương

Trong chương này chúng tôi sẽ đi làm rõ những vấn đề liên quan đến thuật toán trong tin học và các phương pháp giải quyết vấn đề - bài toán được trình bày trong giáo trình

“Gi ải một bài toán trên máy tính như thế nào?”, tập 1của tác giả Hoàng Kiếm, Nxb Giáo

dục Qua đó làm cơ sở tham chiếu cho các phân tích ở chương 2 và chương 3

1.1 Th ế nào là vấn đề - bài toán

Theo Hoàng Kiếm, Giải một bài toán trên máy tính như thế nào?, Nxb Giáo dục,

hiểu một cách đơn giản vấn đề là “những vướng mắc, khó khăn trong cuộc sống mà chúng

ta cần giải quyết” và dưới góc nhìn khoa học thì “vấn đề thường được thể hiện dưới dạng

một bài toán” còn “bài toán là một loại vấn đề mà để giải quyết nó, chúng ta phải ít nhiều

cần đến tính toán như các bài toán trong vật lý, hóa học, xây dựng, kinh tế, …”

Trong một thời kỳ dài, các nhà khoa học đều cho rằng “mọi vấn đề đều có thể biểu

diễn dưới dạng một bài toán” Hơn thế nữa, khi đại số đang ở đỉnh cao của sự phát triển, Descartes phát biểu rằng: “tất cả mọi bài toán đều có thể quy về bài toán đại số, từ đó, việc

giải toán chỉ là vấn đề của giải phương trình” Và vì vậy, ở thời kỳ này các nhà khoa học trong tất cả các lĩnh vực đều cố gắng biểu diễn các bài toán trong lĩnh vực của mình dưới

dạng các phương trình toán học Tuy nhiên cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà khoa học cũng dần nhận thức được rằng Toán học không phải là công cụ vạn năng để

giải quyết mọi vấn đề

Về sau, Pythagore chia những vấn đề mà con người cần giải quyết ra làm hai loại: Theorem và Problem Trong đó:

- Theorem là vấn đề cần được khẳng định tính đúng sai

- Problem là vấn đề cần tìm giải pháp để đạt được một mục tiêu xác định từ những điều kiện ban đầu nào đó

Sau đó các nhà nghiên cứu lại cho rằng, hai loại vấn đề mà Pythagore đưa ra đều có

thể được diễn đạt bằng sơ đồ sau:

Trong đó:

A là giả thuyết hoặc điều kiện ban đầu

B là kết luận hoặc mục tiêu cần đạt

“⇒” là suy luận, giải pháp cần xác định

Tuy nhiên trên thực tế, không phải lúc nào ta cũng gặp những vấn đề mà A và B được xác định rõ ràng, chính xác Vì vậy, nếu xét theo tính rõ ràng của vấn đề thì người ta chia vấn đề thành 4 loại: Loại 1 là các vấn đề - bài toán với thông tin về A và B rất rõ ràng,

loại 2 có mục tiêu không rõ ràng, loại 3 có giả thiết không rõ ràng và cuối cùng là loại 4 với

cả giả thiết và mục tiêu đều không rõ ràng

Việc giải quyết các vấn đề - bài toán nhanh hay chậm, đơn giản hay phức tạp là phụ thuộc nhiều yếu tố khác nhau Có những vấn đề được giải quyết thông qua nhiều quá trình

phức tạp và cũng có những vấn đề tưởng chừng như rất đơn giản nhưng để giải quyết nó đôi khi con người phải lặp đi lặp lại các thao tác giống nhau dẫn đến sự nhàm chán Vì vậy sự ra đời của MT đã giúp cho con người giải quyết các vấn đề - bài toán một cách đơn giản hơn

Bởi vì so với con người, MT có thể tính toán một khối lượng phép tính rất lớn với tốc độ

cực nhanh, chính xác mà không hề biết “mệt mỏi” hay nhàm chán

Tuy nhiên, như đã nói trong phần mở đầu, không phải là MT tự bản thân nó có khả năng thực hiện những tính toán đó, mà con người chính là nhân tố quyết định cho quá trình

giải quyết các vấn đề - bài toán của máy tính MT chỉ thực hiện các quá trình tính toán theo các yêu cầu của con người được cài đặt sẵn trong chương trình của máy Nhưng MT lại không hiểu được ngôn ngữ của con người, mà chỉ hiểu những yêu cầu dưới dạng những con

số nhị phân 0 và 1

Ban đầu (trong các thế hệ MT đầu tiên) để hướng dẫn cho MT thực hiện các yêu cầu

của mình con người phải “ra lệnh” cho MT bằng ngôn ngữ máy, tuy nhiên việc này tốn quá nhiều công sức Sau này con người sáng tạo ra một loại ngôn ngữ “dễ chịu” hơn mà ta thường gọi là ngôn ngữ bậc cao Ngôn ngữ bậc cao gần giống với tiếng Anh nên việc ra lệnh

bằng ngôn ngữ này dễ dàng hơn so với ngôn ngữ máy Có nhiều loại ngôn ngữ bậc cao khác nhau, trong đó phải kể đến ngôn ngữ Basic, Pascal và C

Với sự ra đời của ngôn ngữ bậc cao, việc ra lệnh cho MT không còn phức tạp như trước nữa Lúc này, việc quá trình giải quyết một vấn đề - bài toán nào đó bắt đầu từ việc xác định bài toán, nghĩa là xác định dữ liệu vào, ra và các yêu cầu đối với thuật toán rồi lựa

chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp với dữ liệu vào ra của bài toán Tiếp đó là xây dựng thuật

toán, lập trình, kiểm thử và cuối cùng là tối ưu chương trình Sau khi xây dựng được một chương trình hoàn thiện, chương trình sẽ được biên dịch thành ngôn ngữ máy và cài đặt vào

MT Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết tất cả các quá trình trên mà tập trung nghiên cứu thuật toán và việc xây dựng thuật toán

1.2 Thuật toán và các phương pháp biễu diễn thuật toán

Từ “thuật toán” (Algorithm) xuất phát từ tên một nhà toán học người Trung Á là Abu

Abd - Allah ibn Musa al’Khwarizmi Ông là tác giả một cuốn sách về số học, trong đó ông

đã dùng phương pháp mô tả rất rõ ràng, mạch lạc cách giải những bài toán Sau này, phương pháp mô tả cách giải của ông đã được xem là một chuẩn mực và được nhiều nhà toán học khác tuân theo Từ Algorithm ra đời dựa theo cách phiên âm tên của ông

Trong từ điển bách khoa toàn thư, Hebeinstrait đưa ra định nghĩa sau đây cho “thuật toán”:

Thuật toán là một dãy hữu hạn các quy tắc cần áp dụng trong một thứ tự nhất định cho một số

hữu hạn các dữ liệu, để sau một số bước hữu hạn có thể đi đến một kết quả, và điều đó không

phụ thuộc vào các dữ liệu

[11, tr 258]

Còn trong khoa học về máy tính, “thuật toán được định nghĩa là một dãy hữu hạn các bước không mập mờ và có thể thực thi được, quá trình hành động theo các bước này phải

dừng và cho kết quả như mong muốn”, [8, tr 50]

 Các tính chất cơ bản của thuật toán:

Thuật toán có ba tính chất cơ bản là tính xác định, hữu hạn, tính đúng Trong đó, số bước hữu hạn của thuật toán và tính chất dừng của nó được gọi chung là tính hữu hạn Số bước hữu hạn của thuật toán là một tính chất khá hiển nhiên Tính “không mập mờ” và “có

thể thực thi được” gọi chung là tính xác định

Ngoài những đặc trưng trên, thuật toán còn có những đặc trưng khác như sau:

Th ứ nhất, đầu vào và đầu ra Mọi thuật toán cho dù đơn giản hay phức tạp đến đâu

cũng phải nhận dữ liệu đầu vào, xử lý nó và cho ra kết quả cuối cùng

Th ứ hai, tính hiệu quả Tính hiệu quả được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như

khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thi hành Đây là yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế Phương pháp

phổ biến nhất để đánh giá thuật toán là độ phức tạp của thuật toán

Khi viết thuật toán để giải quyết một bài toán nào đó thì thông thường thuật toán phải

áp dụng được cho mọi trường hợp chứ không phải chỉ một vài trường hợp riêng lẻ của bài

toán Đó chính là tính tổng quát của thuật toán Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc

hai bằng Delta luôn áp dụng được cho mọi số thực a, b, c Tuy nhiên, trong thực tế không

phải lúc nào người ta cũng xây dựng được các thuật toán tổng quát, mà đôi khi chỉ xây dựng được thuật toán áp dụng cho một số trường hợp hay cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi

 Các phương pháp biểu diễn thuật toán

Thuật toán là phương pháp biểu diễn lời giải của bài toán dưới một góc độ nào đó, vì

vậy cũng cần phải tuân theo một số quy tắc nào đó Để biểu diễn thuật toán, người ta thường dùng 3 phương pháp sau:

- Dùng ngôn ngữ tự nhiên

- Dùng lưu đồ - sơ đồ khối (flowchart)

- Dùng mã giải (ngôn ngữ giả lập trình)

• Ngôn ngữ tự nhiên

Đó là cách biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ thường ngày, liệt kê các bước của thuật toán Phương pháp này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc phải

nắm các quy tắc nào cả Tuy nhiên cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ

cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu lầm và khó hiểu cho người đọc Vì vậy để dễ đọc, người ta thường viết các bước con lùi vào bên phải và đánh số bước theo quy tắc phân cấp như 1, 1.1, 1.1.1

Chẳng hạn thuật toán Euclide tìm UCLN của hai số nguyên được biễu diễn như sau:

[8, tr 58]

• Lưu đồ - sơ đồ khối

Đây là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán Việc biểu diễn bằng sơ đồ

khối sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán, thường sử dụng trong những thuật toán rắc rối phức tạp và khó theo dõi được quá trình xử lý

Việc biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối yêu cầu người viết cần phân biệt hai loại thao tác, đó là thao tác lựa chọn dựa theo một điều kiện nào đó và thao tác hành động (hay thao tác xử lý)

• Thao tác chọn lựa được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu

Khi biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên ta mặc định hiểu rằng quá trình thực

hiện diễn ra theo trình tự từ bước trước sang bước sau và chỉ nhảy tới bước nào đó khi có yêu cầu Đối với việc biểu diễn bằng sơ đồ khối, các bước được thể hiện bằng hình vẽ và có

thể đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên cần phải có phương pháp để thể hiện trình tự thực

hiện các thao tác

Theo đó hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một cung, trên cung có mũi tên chỉ hướng thực hiện Như vậy việc thực hiện các thao tác trên sơ đồ khối tuân theo chỉ dẫn của đường mũi tên

Từ thao tác lựa chọn có thể có đến hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện thỏa

và hướng còn lại ứng với điều kiện không thõa Do vậy ta dùng hai cung xuất phát từ các đỉnh hình thoi, trên mỗi cung có ký hiệu Đ/S hoặc Yes/No để chỉ hướng đi ứng với hai trường hợp thõa điều kiện và không thõa điều kiện đặt ra

0

∆ >

a = b

Tăng i lên 1 Chọn một hộp bất kỳ

Ví dụ: thuật toán giải phương trình bậc hai được biểu diễn bằng sơ đồ khối

Ngoài ra, việc biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối là khá cồng kềnh nên trong môt

số thuật toán phức tạp, trên sơ đồ khối thường được chia thành nhiều phần khác nhau, và các phần đó được nối với nhau bằng các điểm nối (connector) Khi sơ đồ biểu diễn thuật toán quá lớn, phải trình bày trên nhiều trang giấy, người ta phải dùng các điểm nối phần sơ

đồ từ trang này sang trang khác, đó gọi là điểm nối sang trang (off – page – connector) Bên trong các điểm nối đặt một ký hiệu để biết được sự liên hệ giữa các điểm nối hay các điểm

nối sang trang

[8, tr 63]

• Ngôn ngữ giả lập trình (mã giả)

Một nhược điểm của việc biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối là sự cồng kềnh, dù

chỉ để mô tả một thuật toán nhỏ ta cũng phải cần đến một không gian rất lớn Hơn thế nữa

sơ đồ khối chỉ phân biệt hai loại thao tác là thao tác lựa chọn và thao tác rẽ nhánh trong quá trình xử lý, nhưng trong thực tế còn có thêm các thao tác lặp Vì vậy ta sử dụng một phương pháp biểu diễn thuật toán khác, đó chính là dùng ngôn ngữ giả lập trình (mã giả)

Khi sử dụng thuật toán bằng ngôn ngữ giả lập trình, ta sẽ vay mượn các cú pháp của

một ngôn ngữ lập trình nào đó và dùng một phần ngôn ngữ tự nhiên để thể hiện thuật toán

Tất nhiên, mọi ngôn ngữ lập trình đều có những thao tác cơ bản là xử lý, rẽ nhánh và lặp Từ

Điểm nối sang trang (off - page - connector) Điểm nối giữa các phần khác nhau của sơ đồ

thuật toán người ta cần phải viết thành chương trình trong một ngôn ngữ lập trình cụ thể và biên dịch thành ngôn ngữ máy Vì vậy, việc dùng ngôn ngữ giả lập trình vừa tận dụng được các khái niệm trong ngôn ngữ lập trình, vừa giúp người cài đặt dễ dàng nắm bắt nội dung thuật toán Và một khi đã vay mượn cú pháp và khái niệm của ngôn ngữ lập trình nào đó thì

chắc chắn rằng ngôn ngữ giả lập trình sẽ bị phụ thuộc vào ngôn ngữ lập trình (NNLT) đó

Sau đây là một ví dụ về biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ giả lập trình:

số nguyên thì nó không thể lưu trữ giá trị số thực hay chuỗi kí tự

Mỗi biến đều có tên riêng để phân biệt với các biến khác Trong các chương trình, tùy vào từng ngôn ngữ lập trình khác nhau mà có những yêu cầu đối với việc đặt tên biến nhưng đều tuân thủ một nguyên tắc chung là ngắn gọn và dễ nhớ

Biến có thể thay đổi giá trị trong quá trình thực hiện chương trình Để thay đổi giá trị

của biến, ta sử dụng lệnh gán với cú pháp như sau:

Biến:=<biểu thức>

Lệnh gán không phải là phép so sánh giữa hai biểu thức mà là thao tác tính giá trị

biểu thức bên phải lệnh gán và đặt kết quả này vào biến ở bên trái lệnh gán Lệnh gán làm thay đổi giá trị hiện tại của biến và không thể nào lấy lại giá trị này của biến Chẳng hạn, xét

bài toán: “Cho hai biến A và B Hãy thực hiện lệnh gán sao cho giá trị của hai biến A và B hoán đổi cho nhau”

Nếu thực hiện hoán đổi bằng hai lệnh gán: A:=B; B:=A thì sau lệnh gán thứ nhất giá

trị ban đầu của A đã mất, thay vào đó là giá trị của B, sau lệnh gán thứ hai B vẫn có giá trị là

B Như vậy việc hoán đổi không thành công

Để thực hiện việc hoán đổi này, ta xem xét bài toán hoán đổi nước trong hai ly A và

B Việc hoán đổi sẽ được thực hiện cùng với một ly TẠM có dung tích bằng hai ly A và B như sau:

Quay trở lại với bài toán hoán đổi giá trị hai biến A và B, việc hoán đổi sẽ được thực

hiện thông qua 3 lệnh gán:

Tam:=A; A:=B; B:=Tam;

Ngoài ra, có thể thực hiện việc hoán đổi bằng ba câu lệnh gán sau:

A:= A+B; B:=A-B; A:=A-B;

Tuy nhiên, trên thực tế người ta không bao giờ dùng cách này mà dùng cách hoán đổi giá trị hai biến bằng biến trung gian Tam

Như vậy, có phép gán được sử dụng để gán giá trị cho biểu thức, biến hay hoán đổi giá trị hai biến cho nhau

1.4 C ấu trúc cơ bản của thuật toán

Một vấn đề nữa mà chúng tôi muốn đề cập đến trong chương này, đó là cấu trúc cơ

bản của thuật toán

Dù biễu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên, sơ đồ khối hay dùng ngôn ngữ giả

lập trình thì việc xây dựng thuật toán đều dựa trên ba cấu trúc cơ bản: cấu trúc tuần tự, cấu

trúc rẽ nhánh và cấu trúc lặp Đây cũng là cấu trúc cơ bản của một chương trình

• Cấu trúc tuần tự

Đây được xem như là cấu trúc được mặc định trong MT, các thao tác được thực hiện

tuần tự từ thao tác đầu tiên đến thao tác cuối cùng Nếu thuật toán có n bước thì việc thực

hiện sẽ được tiến hành từ bước đầu tiên đến bước thứ n

• Cấu trúc rẽ nhánh

Cấu trúc rẽ nhánh có hai dạng cơ bản là rẽ nhánh có điều kiện và rẽ nhánh không có

điều kiện

o Cấu trúc rẽ nhánh có điều kiện bao gồm hai dạng:

D ạng 1, rẽ nhánh đơn (hay còn gọi là rẽ nhánh dạng khuyết) Nghĩa là chỉ thực hiện

rẽ nhánh khi biểu thức logic đúng Nếu biểu thức logic sai thì thực hiện bước kế tiếp của

thuật toán

[8, tr 148]

D ạng 2, rẽ nhánh đôi (hay còn gọi là rẽ nhánh dạng đủ) Nghĩa là nếu biểu thức

logic đúng hay sai thì đều thực hiện công việc đối với trường hợp đúng hoặc sai tương ứng

[8, tr 148]

Trong thực tế có nhiều lúc ta còn gặp những dạng rẽ nhánh không chỉ là xét một biểu

thức logic với hai trường hợp tương ứng là đúng, sai mà còn dựa vào giá trị một biểu thức

số học, ứng với mỗi giá trị của biểu thức ta lại có một xử lý riêng

Nó được phát biểu như sau:

[8, tr 157]

Và biễu diễn dưới dạng sơ đồ khối như sau:

o Cấu trúc lặp xác định được sử dụng khi ta “biết trước” số lần lặp trước khi

thục hiện “Biết trước” ở đây phải hiểu theo kiểu số lần lặp có thể tính được theo tham số

nào đó của bài toán Chẳng hạn như việc tính tổng S với hằng số n cho trước:

S

= + + + + =∑ hay việc tính x

e , x là số thực cho trước với độ chính xác nhỏ

hơn hằng số ε cho trước bằng công thức: 1 2

= + + + + Trong trường hợp này

ta chỉ biết quá trình tính toán sẽ dừng lại khi tính đến số hạng thứ n nào đó và số hạng này

có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hằng số ε :

!

n

x

n <ε

Đối với NNLT Pascal, lặp với số lần biết trước bắt đầu với từ khóa for Có hai kiểu

vòng lặp for, một kiểu là for “tăng” nghĩa là biến đếm bắt đầu tại một giá trị bắt đầu “start”, sau đó tăng dần từng đơn vị cho đến khi lớn hơn giá trị kết thúc “stop” Một kiểu là for

“giảm”, nghĩa là biến đếm bắt đầu tại một giá trị bắt đầu và giảm dần cho đến khi nhỏ hơn giá trị kết thúc Hai dạng vòng lặp for được thể hiện bằng sơ đồ khối như sau:

[7, tr 172]

o Cấu trúc lặp không xác định, nghĩa là số lần

lặp không thể xác định bằng công thức tính toán nào trước

khi bước vào vòng lặp Trong NNLT Pascal có hai loại cấu

trúc lặp không xác định là While và Repeat … Until được

biễu diễn bằng sơ đồ khối như sau:

Trong đó, vòng lặp “While … do” thực hiện <lệnh> cho đến khi “điều kiện thi hành” không thõa

thực hiện phép chia nguyên a cho b bằng các phép trừ

Đối với vòng lặp Repeat … until, thay vì kiểm tra điều kiện

trước ngay đầu vòng lặp như While … do, vòng lặp Repeat kiểm

tra điều kiện sau khi thân vòng lặp được thực hiện một lần

So với vòng lặp While, vòng lặp Repeat … until đơn giản hơn

vì nó gần gũi với suy nghĩ con người – bao giờ cũng làm trước rồi

mới kiểm tra sau

1.5 M ột số phương pháp giải quyết vấn đề - bài toán

Chúng tôi đặt ra một câu hỏi là “Từ bộ Input và Output” của một vấn đề - bài toán,

dựa trên những yếu tố nào để xây dựng một thuật toán phù hợp để giải quyết vấn đề - bài toán đó?

Về cơ bản, việc giải quyết vấn đề - bài toán bằng máy tính được thực hiện bằng hai phương pháp: phương pháp trực tiếp và phương pháp gián tiếp

Phương pháp trực tiếp được sử dụng khi xác định được lời giải qua các công thức,

hệ thức, định luật hay qua các bước căn bản để có được lời giải Lúc này việc giải quyết vấn

đề trên máy tính chỉ là sự chuyển đổi lời giải từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ lập trình

Về cơ bản, phương pháp trực tiếp gồm 3 loại Loại thứ nhất dùng để biễu diễn cho các bài toán đã có lời giải chính xác bằng một công thức toán học nào đó Loại thứ hai là

biểu diễn cho các bài toán có công thức giải gần đúng (như các công thức tính gần đúng sin, cos, giải phương trình siêu việt, …) Loại cuối cùng là biểu diễn các lời giải không tường minh bằng kỹ thuật đệ quy

Chẳng hạn như bài toán tính tổng n số tự nhiên đầu tiên Bài toán này nhà toán học Gauss đã đưa ra công thức giải tổng quát, việc giải bài toán này trên máy tính chỉ còn là

biễu diễn lại công thức giải theo các quy tắc của máy tính mà thôi Hay như việc giải phương trình bậc hai, khi viết thuật toán ta chỉ việc biễu diễn lại cách tính giá trị Delta và công thức nghiệm trong các trường hợp nghiệm kép, hai nghiệm phân biệt

Tuy nhiên quá trình chuyển đổi từ các lời giải có sẵn sang chương trình không phải lúc nào cũng dễ dàng Và nếu không nắm vững các quy tắc chuyển đổi hay quy ước của ngôn ngữ lập trình thì khi máy tính chạy chương trình sẽ cho kết quả sai lệch với kết quả

mong muốn, đôi khi quá trình tính toán cũng khác xa so với lời giải được mô tả trước đó

Việc biểu diễn lời giải vấn đề - bài toán thành chương trình trên máy tính diễn ra theo các quá trình: chuyển đổi dữ liệu bài toán thành dữ liệu chương trình, chuyển đổi quá trình tính toán của bài toán thành các cấu trúc của chương trình, phân chia vấn đề bài toán ban đầu

thành những vấn đề - bài toán nhỏ hơn, biễu diễn các tính toán không tường minh bằng đệ quy Các quá trình đó được thực hiện dựa trên các nguyên lý sau:

Nguyên lý 1: Dữ liệu của bài toán sẽ được biểu diễn lại dưới dạng các biến của chương trình thông qua các quy tắc xác định của ngôn ngữ lập trình cụ thể

Nguyên lý 2 (Định lý Bohn-Jacopini): Mọi quá trình tính toán đều có thể mô tả và

thực hiện dựa trên ba cấu trúc cơ bản: cấu trúc tuần tự, cấu trúc rẽ nhánh và cấu trúc lặp

Nguyên lý 3: Chương trình tính toán theo các biểu thức chính xác không đồng nhất

với quá trình tính toán chính xác về mặt hình thức

Nguyên lý 4: Mọi quá trình tính toán gần đúng đều dựa trên cấu trúc lặp với tham số xác định

Nguyên lý 5: Mọi vấn đề bài toán lớn đều có thể giải quyết bằng cách phân chia thành những vấn đề bài toán nhỏ hơn

Nguyên lý 6: quá trình đệ quy trong máy tính không đơn giản như các biểu thức quy

nạp toán học

Phương pháp gián tiếp được sử dụng khi chưa tìm ra lời giải chính xác của vấn đề

Đây cũng là cách tiếp cận chủ yếu của loài người Phương pháp này đưa ra các giải pháp mang tính chất đặc trưng của máy tính và dựa trên sức mạnh tính toán của máy tính để giải quyết các bài toán

 Phương pháp đầu tiên được sử dụng để đi tìm lời giải gián tiếp cho một bài toán là phương pháp thử sai Phương pháp này nghe có vẻ rất tầm thường, tuy nhiên nó lại đóng vai trò hết sức rất quan trọng việc giải quyết các vấn đề - bài toán Khi xây dựng lời giải bài toán theo phương pháp thử - sai, người ta thường dựa vào 3 nguyên lý cơ bản sau:

• Nguyên lý duyệt toàn bộ hoặc vét cạn toàn bộ Nguyên lý đã được nhà bác học Edison sử dụng để tìm ra vật liệu thích hợp làm dây tóc bóng đèn điện đầu tiên của nhân

loại và cũng được sử dụng trong nhiều các phát minh của mình Nguyên lý này thực tế rất đơn giản, để giải quyết một vấn đề - bài toán nào đó ta chỉ cần liệt kê tất cả các trường hợp

có thể xảy ra của bài toán sau đó lần lượt đi kiểm tra tất cả các trường hợp đó để tìm ra lời

giải chính xác cho bài toán Chẳng hạn như để liệt kê các số nguyên tố trong khoảng từ m

đến n, ta liệt kê tất cả các số nguyên k trong khoảng từ m đến n rồi đi kiểm tra các số nguyên k đó có phải là số nguyên tố không bằng cách chia số đó cho các số tự nhiên từ 2 cho đến k-1

Nguyên lý này có một nhược điểm cơ bản là sẽ tiêu tốn rất nhiều thời gian khi gặp

phải các vấn đề - bài toán có tập các khả năng lớn Vì vậy một nguyên lý khác được ưu tiên

sử dụng lúc này là nguyên lý ngẫu nhiên

• Nguyên lý ngẫu nhiên Nguyên lý này dựa trên việc thử một số khả năng được

chọn một cách ngẫu nhiên trong tập các khả năng Khả năng tìm ra lời giải đúng hoặc gần đúng của phương pháp này tùy thuộc vào chiến lược chọn ngẫu nhiên và một số điều kiện

cụ thể của bài toán

Trong một số vấn đề xác định, việc áp dụng nguyên lý ngẫu nhiên đã giúp đưa ra được lời giải rất tốt, đôi khi là lời giải tối ưu Sau này người ta phát triển nguyên lý này thành một phương pháp mới gọi là phương pháp Monté – Carlos Và trên thực tế phương pháp này cũng giúp cho con người tìm được lời giải cho nhiều bài toán quan trọng mà trước

đó vẫn chưa tìm được

Cùng với sự ra đời và phát triển của máy tính, việc giải toán theo nguyên lý ngẫu nhiên ngày càng được chú trọng nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ, trong số đó có một phương pháp nổi bật là phương pháp Genetic Phương pháp này giải quyết bài toán bằng phương pháp mô phỏng quá trình chọn lọc và thích nghi của tự nhiên

• Nguyên lý mê cung

Nguyên lý này được áp dụng khi chúng ta không biết được chính xác “hình dạng”

của lời giải mà phải xây dựng dần lời giải qua từng bước giống như tìm đường ra khỏi một

mê cung Giống như khi đang ở trong mê cung, khi phải lựa chọn đường đi tiếp theo từ một ngã rẽ ta buộc phải chọn một con đường bất kỳ để đi tiếp Nếu đi vào ngõ cụt thì ta đánh

dấu con đường đó và quay lại ngã rẽ và chọn hướng đi khác

Một điều dễ nhận thấy ở phương pháp thử sai này đó là sự may rủi Nghĩa là việc tìm được lời giải hay không, thời gian tìm kiếm lời giải tùy thuộc rất nhiều vào từng vấn đề Cùng với đó, đối với một số bài toán, phương pháp này đòi hỏi một khối lượng thời gian

khổng lồ cho việc thực hiện các phép thử để cho ra kết quả Vì vậy, một phương pháp khác được sử dụng là các phương pháp Heuristic

 Các phương pháp Heuristic

Các thuật toán Heuristic được xây dựng dựa trên một số nguyên lý đơn giản như vét

cạn thông minh, nguyên lý tối ưu cục bộ (Greedy), nguyên lý hướng đích, nguyên lý sắp thứ

tự, …

 Các phương pháp trí tuệ nhân tạo

Phương pháp thử - sai và Heuristic nói chung đều có một điểm chung cơ bản là dựa trên trí thông minh của con người để giải bài toán, máy tính chỉ đóng vai trò thực thi mà thôi Phương pháp trí tuệ nhân tạo lại khác, nó dựa vào trí thông minh của máy tính Trong phương pháp này người ta sẽ đưa vào máy tính trí thông minh nhân tạo giúp máy tính bắt chước một phần khả năng suy luận như con người để từ đó khi gặp một vấn đề, máy tính sẽ

dựa trên những điều nó đã được “học” để tự đưa ra phương án giải quyết vấn đề

Một ví dụ kinh điển được Hoàng Kiếm đưa ra cho phương pháp trí tuệ nhân tạo này

là bài toán đong nước Cụ thể như sau:

Có hai bình đựng nước là B5 có dung tích 5 lít và B8 có dung tích 8 lít Hãy chỉ ra cách đong

để có được 2 lít nước Các thao tác có thể thực hiện được là:

1 Hứng đầy nước vào bình B5 hoặc B8

2 Đổ hết nước trong một bình

3 Đổ nước từ bình này sang bình kia cho đến lúc bình kia đầy

[7, tr 28]

Lời giải theo phương pháp trí tuệ nhân tạo được đưa ra như sau: Thay vì tìm lời giải

bằng cách tìm trình tự đổ nước, người ta đưa ra các luật sau và để cho máy tính tự tìm lời

giải thông qua các luật này

Luật 1: B8 rỗng thì đổ đầy B8

Luật 2: B5 đầy thì đổ hết nước trong B5

Luật 3: Nếu B5 chưa đầy nước thì đổ nước trong bình B8 sang bình B5 cho đến lúc B5 đầy

Dựa trên các luật được đưa ra ở trên, quá trình suy luận để đưa đến kết quả được mô

tả như sau:

[8, tr 29]

Tuy rằng có thể giải quyết vấn đề - bài toán bằng phương pháp gián tiếp và trực tiếp, tuy nhiên chúng tôi vẫn không tìm thấy được trong các tài liệu kĩ thuật xây dựng thuật toán cho một bài toán

Việc giải quyết các vấn đề - bài toán trên MT không thể không nhắc đến công cụ tính toán

1.6 Vai trò c ủa công cụ tính toán

Quay trở lại với bài toán tính tổng S mà chúng tôi giới thiệu trong phần mở đầu, giữa

lời giải toán học và lời giải tin học (dưới dạng thuật toán) có một khoảng cách nhất định

Nếu không có sự xuất hiện của MT thì chỉ cần lời giải toán học (quy đồng rồi cộng các phân

số cùng mẫu) Nhưng nếu muốn MT giải quyết bài toán này thì ta không thể sử dụng lời giải toán học đó để cài đặt trên MT mà sử dụng lời giải tin học được xây dựng dựa vào vòng lặp

để tính tổng Nghĩa là giữa lời giải toán học và lời giải tin học của một bài toán có một khoảng cách nhất định Và dĩ nhiên người dùng không ý thức được điều đó khi không có sự

xuất hiện của công cụ tính toán Và cho dù là người dùng đưa ra lời giải tin học cho bài toán nhưng nếu không có hiện diện của MT thì lời giải là chấp nhận được (chấp nhận theo ý thức con người), chỉ khi cài đặt chương trình lên MT thì người dùng mới nhận thấy những vấn đề chưa tường minh trong lời giải đó và cần phải chỉnh sửa để hoàn thiện lời giải tin học

Trong công trình nghiên cứu (2005), Nguyễn Chí Thành đã chỉ ra mối quan hệ giữa tính toán số, thuật toán và công cụ tính toán như sau:

• Tính toán số và công cụ tính toán

Một phần khá quan trọng của tính toán lặp có thể được trao cho một hay nhiều công cụ tính toán Các công cụ này cho phép người vận hành có thể thực hiện công việc tính toán nhờ vào thuật toán được tường minh hay được kết tinh trong một công cụ tính toán, ví dụ như bảng số, bàn tính, máy tính bỏ túi không lập trình được, v.v Khả năng có thể trao việc tính toán lặp như vậy được khai thác khi các nhà làm chương trình tìm cách đưa một công cụ tính toán mới trong DHTPT để nhấn mạnh việc thu được các kết quả cụ thể của các tính toán số

Việc đưa công cụ tính toán vào các thể chế dạy học môn toán như DHTPT dẫn đến sự phát sinh có tính thể chế Sự phát sinh này sẽ tổ chức lại các tri thức và các kĩ thuật tính toán số

Ngược lại, ta cũng có thể dự đoán rằng việc đưa các yếu tố của lý thuyết thuật toán và lập trình có thể làm thay đổi việc chủ thể hoá công cụ tính toán số và sự đảm trách của thể chế đối với việc thu được kết qủa cụ thể trong tính toán

Trong chương này chúng tôi đã làm rõ các vấn đề cơ bản sau:

- Thuật toán và các vấn đề có liên quan (biễu diễn thuật toán, tính chất thuật toán) làm

cơ sở so sánh đối chiếu cho chương 2 và chương 3

- Các phương pháp giải quyết vấn đề trên MT Việc xây dựng thuật toán hay lời giải cho vấn đề - bài toán bằng máy tính dựa vào hai phương pháp cơ bản là phương pháp

trực tiếp và phương pháp gián tiếp hay tìm kiếm lời giải Phương pháp trực tiếp được

sử dụng khi xác định được lời giải qua các công thức, hệ thức, định luật hay qua các bước căn bản để có được lời giải Lúc này việc giải quyết vấn đề trên máy tính chỉ là

sự chuyển đổi lời giải từ ngôn ngữ thông thường sang thuật toán rồi từ đó chuyển sang ngôn ngữ lập trình một ngôn ngữ lập trình nào đó Khi không xác định được lời

giải qua các công thức, định luật, … thì sử dụng phương pháp gián tiếp thông qua các nguyên lý của ba phương pháp cơ bản là thử sai, Heuritic và trí tuệ nhân tạo Tuy nhiên chúng tôi không tìm thấy một kĩ thuật hay thuật toán nào cho việc xây dựng thuật toán giải một bài toán

Từ đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Trong thể chế dạy học Toán học giai đoạn 1990 –

2000 và thể chế dạy học Tin học phổ thông hiện nay, các yếu tố về thuật toán và phương pháp xây dựng thuật toán cho một bài toán được giới thiệu như thế nào? Yếu tố công cụ (MT) có được hai thể chế quan tâm không?

Để trả lời cho câu hỏi đó, chúng tôi tiến hành nghiên cứu chươn 2: Mối quan hệ thể chế với thuật toán trong dạy học toán PT giai đoạn 1990 – 2000

C HƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI THUẬT TOÁN

M ục tiêu của chương

Làm rõ mối quan hệ thể chế đối với thuật toán trong dạy học toán phổ thông giai đoạn 1990 – 2000, trả lời cho một phần câu hỏi Q2:

Q 2 : Mối quan hệ thể chế đối với thuật toán có những đặc trưng cơ bản nào? Bước chuyển từ lời giải toán học sang lời giải tin học của một bài toán được thực hiện hay không,

nếu có thì được thực hiện như thế nào? Bước chuyển đó tác động như thế nào đến việc hình thành tri thức về thuật toán, tri thức tin học ở học sinh?

Bây giờ, chúng tôi tiến hành phân tích chương IV, SGK Đại số 10 giai đoạn 1990 –

2000 để tìm hiểu xem các khái niệm mở đầu về tin học và thuật toán được trình bày như thế nào? Qua đó làm cơ sở để so sánh đối chiếu với khái niệm về thuật toán và các vấn đề có liên quan được trình bày trong SGK Tin học 10 (Chương trình cải cách 2006) Sỡ dĩ chúng tôi chọn SGK Đại số 10 giai đoạn 1990 – 2000 là vì trong giai đoạn này Tin học được đưa vào lồng ghép trong Toán học, cụ thể ở chương IV Trong giai đoạn trước đó (giai đoạn trước 1990), Tin học chưa được đưa vào giảng dạy trong chương trình phổ thông, trong chương trình cải cách 2006 thì Tin học được đưa vào giảng dạy đại trà trong cả nước với vai trò là môn học chính khóa

Giai đoạn 1990 – 2000 có ba bộ SGK được lưu hành trong cả nước của các nhóm tác

giả khác nhau, chúng tôi chọn bộ sách do Trần Văn Hạo chủ biên để tiến hành nghiên cứu

của mình vì đây là bộ sách giới thiệu đầy đủ và chi tiết về thuật toán và các vấn đề liên quan Cụ thể chúng tôi tiến hành phân tích trên hai tài liệu chính sau:

- Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, Hoàng Mạnh Để, Trần Thành Minh, Đại số 10, Nxb Giáo dục 1998

- Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, Trần Thành Minh, Bài tập Đại số 10, Nxb Giáo

dục 1998

Trong chương trình toán phổ thông giai đoạn 1990 – 2000, một số khái niệm cơ bản

về tin học và thuật toán được giới thiệu trong chương 4: Khái niệm sơ đẳng về tin học và thuật toán, gồm các bài như sau:

§1 Khái niệm thuật toán

§2 Mô hình hoạt động của máy tính điện tử

§3 Ngôn ngữ sơ đồ khối

§4 Sai số và thuật toán xấp xỉ với một sai số cho trước

Trước hết, chúng tôi tìm hiểu khái niệm thuật toán được giới thiệu trong §1 Khái

niệm thuật toán

2.1 Khái niệm thuật toán

2.1.1 Ph ần lý thuyết

Trước khi đến với khái niệm thuật toán, Stoán 10 (SGK Đại số 10 – 1998) giới thiệu

mở đầu về thông tin, xử lý thông tin và khái niệm tin học là gì? Bắt đầu với việc giới thiệu khái niệm Tin học là gì?

Tin học là ngành khoa học nghiên cứu về quá trình lưu trữ và xử lý thông tin một cách tự động bằng máy tính điện tử

[6, tr 111]

Vậy làm thế nào mà máy tính có thể lưu trữ và xử lý thông tin một cách tự động? Để

làm được điều đó người ta phải “căn cứ vào bài toán cần giải quyết, tạo ra một loạt các câu

l ệnh, mỗi lệnh là một chỉ thị làm một công việc cụ thể nào đó, các lệnh này sắp theo một trình t ự nhất định mô tả quá trình giải quyết bài toán đó rồi đưa vào máy”, [6, tr 111] Máy

tính sẽ thực hiện các lệnh đó một cách máy móc cho đến kết quả cuối cùng Chẳng hạn như

việc xác định tính axit của một dung dịch bằng giấy quỳ, dựng đường trung trực của một đoạn thẳng AB bằng thước kẻ và compa hay giải và biện luận phương trình bậc hai được minh họa trong các thí dụ trang 111 Các thí dụ này đơn giản là chỉ ra các lệnh một cách

tuần tự để giải quyết các bài toán đó

Từ việc đưa ra các ví dụ minh họa danh sách hữu hạn các lệnh cần phải làm theo

từng bước để giải một bài toán, Stoán 10 đưa ra khái niệm thuật toán như sau:

Một danh sách hữu hạn các lệnh cần phải làm theo từng bước một để giải quyết một bài toán được gọi là thuật toán giải bài toán đó

[6, tr 112]

Lấy ví dụ đối với thuật toán tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số Trước tiên SToán

10 giới thiệu thuật toán giải mà học sinh đã được học trong chương trình toán lớp 6:

Việc xây dựng thuật toán bắt đầu bằng việc phân tích: “xuất phát từ việc xét 2 là ước chung của 90 và 54 thì 2 cũng là ước chung của hiệu hai số đó Từ đó mọi ước chung của 90

và 54 cũng là ước chung của hiệu 90-54 và ngược lại mọi ước chung của 54 và 36 cũng là ước chung của tổng 54+36 Từ đó để tìm UCLN của 90 và 54 ta chỉ cần tìm UCLN của 36

và 54 là cặp số nhỏ hơn cặp số ban đầu.”

Trên cơ sở đó, thuật toán Euclide tìm UCLN của hai số được đưa ra như sau:

[6, tr 113 - 114]

Trong thuật toán này, có sự xuất hiện của một phép toán mới đó là phép gán (trong tin học) ở bước 3 và bước 4 Ở bước 4 là phép gán giá trị một biểu thức cho một biến nhưng Stoán 10 trình bày phép gán đó bằng cách mô tả quá trình thực hiện của phép gán: “Trừ số

thứ nhất cho số thứ hai và thay số thứ nhất bởi hiệu đó” Ở bước 3, phép gán hoán đổi giá trị hai biến cho nhau

Để minh họa cho thuật toán, Stoán 10 giới thiệu bảng theo dõi thuật toán Euclide trong bảng sau:

là thuật toán dãy số Phibônaxi)

Vì trước đó học sinh chưa được học về dãy số Phibonaxi, nên trước khi tìm thuật toán, Stoán 10 giới thiệu về dãy số và quy tắc để tìm số hạng tiếp theo khi biết các số hạng đứng trước nó Quy tắc đó được thể hiện thông qua bảng sau:

[6, tr 115]

Từ quy tắc và bảng mô tả trên xây dựng nên thuật toán viết số tìm được trước tiên trong dãy Phibonaxi lớn hơn 500 được thể hiện bằng sơ đồ khối

[6, tr 116]

Với ví dụ này HS được làm quen với một cách diễn tả thuật toán mới, đó là biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối: “Sơ đồ khối gồm những khung hay những hộp mà hình dạng

của nó sẽ định rõ loại công việc hay chỉ thị mà máy tính cần thực hiện”

Stoán 10 không giới thiệu một cách đầy đủ về sơ đồ khối mà chỉ là giải thích cho HS

hiểu về các hình khối được sử dụng trong sơ đồ khối bao gồm: hộp hình thoi, hình chữ nhật

và “bắt đầu”, “kết thúc” Sau đó, Stoán 10 quay trở lại với thuật toán Euclide được trình bày

ở phần trước nhưng trong phần này được mô tả lại bằng sơ đồ khối

Ngoài các khái niệm trên, thông qua hai thuật toán được biểu diễn bằng sơ đồ khối này còn có sự xuất hiện khái niệm mới nữa – khái niệm vòng lặp: “trong sơ đồ khối hình 53

ta thấy mũi tên ra khỏi hộp số 5 và quay lại làm công việc như cũ từ hộp số 2 Phần lặp lại này tạo thành một vòng lặp tức là một dãy khép kín các công việc, trong ấy có ít nhất một công việc là phép kiểm nghiệm điều kiện, dùng để xác định sự kết thúc vòng lặp”

Một điều mà chúng tôi nhận thấy qua hai thuật toán được trình bày dưới dạng sơ đồ

khối nêu trên đó là các công việc được thể hiện trong các hình khối được mô tả rất chi tiết

bằng ngôn ngữ tự nhiên giống như khi diễn tả thuật toán bằng các bước Nghĩa là việc biểu

diễn thuật toán bằng sơ đồ khối ở đây chỉ là thay các bước bởi các hình khối chứa nội dung công việc và chiều mũi tên để chỉ thứ tự thực hiện các thao tác mà chưa hề có sự xuất hiện

của các biến, các phép toán Hơn nữa, Stoán 10 trình bày thuật toán bằng sơ đồ khối trước

rồi mới giải thích các kí hiệu, hình khối dùng trong sơ đồ khối Như vậy Stoán 10 muốn HS

hiểu thế nào là biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối mà chưa đi sâu vào việc làm thế nào để

biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối

Phép gán - thay số này bởi số kia cũng xuất hiện ngầm ẩn trong thuật toán dãy Phibonaxi, ở bước 4: “giáng cấp số cuối thành áp cuối” và ở bước 5 là “lấy tổng vừa tính coi

là số cuối.”

2.1.2 Ph ần bài tập

Gồm 6 bài tập như sau:

Bài 1: Nêu các thông tin nh ận được khi gặp các biển báo giao thông sau đây

Bài 2: Một học sinh kiểm tra xe đạp để chuẩn bị đi cắm trại ngày chủ nhật, thấy bánh xe bị xẹp Bơm lên, bánh xe vẫn bị xẹp Thông tin nhận được là: ruột xe bị thủng Có mấy cách xử

lý thông tin đó:

1 Mượn chiếc xe khác

2 Mang ra ti ệm sửa xe

3 T ự vá lấy ruột xe

Hãy mô t ả chi tiết quy trình xử lí theo cách thứ ba đó (bao gồm: dụng cụ và vật liệu chuẩn bị, các bước tiến hành theo một thứ tự nhất định)

Bài 3: Hãy trình bày thu ật toán giải bài toán sau:

D ựng đường phân giác của một góc xOy bằng thước kẻ và compa

Bài 4: Vi ết thuật toán vẽ đồ thị hàm số y=a x căn cứ vào đồ thị hàm số y=ax

Bài 5: Hai h ọc sinh A và B chơi trò chơi như sau: Có 15 que diêm, hai người lần lượt đi, mỗi

l ần mỗi người được lấy 1, 2 hoặc 3 que diêm Người nào phải lấy que diêm cuối cùng thì thua Ch ứng tỏ rằng nếu học sinh A là người đi trước và đi theo thuật toán sau:

Bước 1: A lấy 2 que diêm

Bước 2: Sau khi B lấy x que diêm (1≤ ≤x 3) thì A l ấy 4-x que diêm

L ặp lại bước 2, thì A sẽ thắng, nghĩa là B phải lấy que diêm cuối cùng

Bài 6: Ch ứng tỏ rằng nếu trong trò chơi ở bài tập 5 lúc đầu có 20 que diêm thì học sinh A chơi theo thuật toán đó không thắng Hãy đổi thuật toán để học sinh A đi trước sẽ thắng

[6, tr 119]

Trong số những bài tập này thì chỉ có bài tập đầu tiên không liên quan đến thuật toán, các bài tập còn lại đều tập trung hướng vào thuật toán Cũng giống như cách trình bày khái

niệm thuật toán là bắt đầu làm quen với việc liệt kê một dãy có thứ tự các bước để thực hiện

một công việc nào đó (bài 2), đến việc viết thuật toán giải quyết một bài toán nào đó (bài 3, 4) và sau đó là thực hiện các công việc theo các bước đã chỉ ra Hơn thế nữa, hai bài tập yêu

cầu học sinh viết thuật toán là các bài toán học sinh đã gặp trong toán học và đã có cách giải

cụ thể, HS chỉ cần dựa trên cách giải đã có liệt kê lại theo thứ tự từng bước tạo nên thuật toán Hai bài tập 5 và 6 về trò chơi lấy que diêm, bài toán này HS chưa có công thức hay lời

giải cụ thể Mặt khác trong nội dung lý thuyết trình bày ở trên cũng chưa trình bày cụ thể cách thức hay một phương pháp nào để xây dựng thuật toán để giải một bài toán cho nên hai bài tập này chỉ yêu cầu HS thực hiện theo thuật toán được cho sẵn để đi đến kết quả của trò chơi và dựa trên thuật toán đó xây dựng thuật toán khác sao cho kết quả trò chơi không thay đổi khi thay đổi số que diêm

Các t ổ chức toán học gắn với khái niệm thuật toán

• T 1 : Trình bày (viết) thuật toán giải bài toán mà HS đã biết lời giải toán học

Ví d ụ: Thuật toán Euclide và thuật toán dãy Phibonaxi được giới thiệu trong mục 2 Khái ni ệm thuật toán Sơ đồ khối ở phần b và c

Bài 3: (Stoán 10 tr 119) Hãy trình bày thu ật toán giải bài toán sau:

D ựng đường phân giác của một góc xOy bằng thước kẻ và compa

L ời giải mong đợi được Sách bài tập toán 10 đưa ra ở trang 182 như sau:

Thuật toán dựng đường phân giác của góc xOy bằng thước kẻ và compa:

1 Đặt đầu nhọn ccompa tại O

2 Mở compa một độ tùy ý và quay compa cắt Ox tại A, Oy tại B

3 Đặt đầu nhọn tại A, đầu kia tại B và quay compa

4 Đặt đầu nhọn tại B, đầu kia tại A và quay compa

5 Dùng thước kẻ nối giao điểm của hai đường tròn với O (ba điểm này thẳng hàng)

Đó là đường phân giác

[7, tr 182]

Bài 4: (Stoán 10 tr 119) Vi ết thuật toán vẽ đồ thị hàm số y=a x căn cứ vào đồ thị

Ngoài ra ở phần ôn tập chương, có 4 bài tập yêu cầu viết bằng lời các lệnh liên tiếp của thuật toán

Dựa trên lời giải được đưa ra ở Sách bài tập Toán 10, chúng tôi đưa ra kĩ thuật như sau:

Kĩ thuật τ1:

- Tìm lời giải toán học của bài toán

- Chia lời giải tìm được thành các bước nhỏ theo trình tự nhất định ta có được thuật toán giải bài toán đó được biểu diễn dưới dạng liệt kê các bước

Công ngh ệ θ1 : khái niệm thuật toán

• T 2 : Chạy thuật toán (Thực hiện thuật toán)

Các bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này:

Bài 6: Ch ứng tỏ rằng nếu trong trò chơi ở bài tập 5 lúc đầu có 20 que diêm thì học sinh A chơi theo thuật toán đó không thắng Hãy đổi thuật toán để học sinh A đi trước sẽ

th ắng

Đối với kiểu nhiệm vụ này, kĩ thuật khá đơn giản là: lần lượt thực hiện các bước theo trình từ được mô tả trong thuật toán và ghi lại kết quả sau từng bước thực hiện

• T 3 : Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán Nghĩa là kiểm tra từ dữ liệu vào

của bài toán, sau khi thuật toán ta nhận được kết quả như mong muốn

Bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này:

Bài 5: Hai h ọc sinh A và B chơi trò chơi như sau: Có 15 que diêm, hai người lần lượt

đi, mỗi lần mỗi người được lấy 1, 2 hoặc 3 que diêm Người nào phải lấy que diêm cuối cùng thì thua Ch ứng tỏ rằng nếu học sinh A là người đi trước và đi theo thuật toán sau: Bước 1: A lấy 2 que diêm

Bước 2: Sau khi B lấy x que diêm (1≤ ≤x 3) thì A l ấy 4-x que diêm

L ặp lại bước 2, thì A sẽ thắng, nghĩa là B phải lấy que diêm cuối cùng

L ời giải mong đợi được Sách bài tập toán 10 đưa ra ở trang 182 như sau:

5.Học sinh A muốn thắng thì phải buộc cho học sinh B lấy que diêm cuối cùng

Sau bước 1, số que diêm còn lại là 13

Sau bước 2, khi B đã bốc x que và A lấy 4-x que thì còn lại 9 que và đến lượt B Tiếp tục bước 2 một lần nữa, số que diêm còn lại là 5 que và lại đến lượt B

Tiếp tục bước 2 một lần nữa thì còn lại một que diêm và B phải lấy que diêm cuối cùng này [7, tr 182]

viết thuật toán, các bài toán đơn giản đã có lời giải toán học

2.2 Ngôn ng ữ biểu diễn thuật toán

2.2.1 Ph ần lý thuyết

Trước khi phân tích các ngôn ngữ biểu diễn thuật toán, chúng tôi tìm hiểu khái niệm

biến và phép gán được giới thiệu trong §2 Mô hình hoạt động của máy tính Khái niệm

được đề cập đến đầu tiên trong bài này là khái niệm biến

“Trong các tính toán dùng đến MT, biến là một chữ hay chuỗi chữ dùng làm tên gọi cho một đối tượng biến đổi” và “ở một thời điểm, biến là một đối tượng nhất định gọi là giá

trị của biến tại thời điểm đó” Giá trị này thay đổi tại các thời điểm khác nhau và đôi khi thay đổi rất nhiều trong quá trình thực hiện thuật toán

Đến đây, việc thực hiện bước số 2 trong thuật toán dãy Phibonaxi:

được mô tả lại với sự xuất hiện của các biến TỔNG, CUỐI, ÁP CUỐI và phép gán như sau:

Tìm tổng số của số cuối

và số áp cuối

TỔNG ←CUỐI + ÁP CUỐI