bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trường thpt

Trong chương trình môn Toán, lượng giác được giảng dạy ở cả 3 khối lớp của cấp THPT, và cả ở lớp 9 của cấp THCS, với nội dung cụ thể như sau:  Ở lớp 9: Lượng giác có mặt ở phần: Hệ thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Hạnh

BƯỚC CHUYỂN TỪ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC SANG LƯỢNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Tóan

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ VĂN PHÚC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Cách đây rất lâu, con người đã biết sử dụng kiến thức lượng giác trong thực tế cuộc sống, chẳng hạn như đo góc quay của kim đồng hồ, đo khoảng cách giữa các ngôi sao gần, hoặc để đo khoảng cách giữa các con tàu trên đại dương… Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức lượng giác đã có từ khi nào? Và kiến thức ấy xuất hiện trong tình huống nào? Khi ấy con người đã dùng lượng giác để giải quyết thứ tự các dạng toán nào?

Ngày nay, trong chương trình và SGK Toán ở trường phổ thông, kiến thức lượng giác được đưa vào giảng dạy chủ yếu ở 3 khối lớp (lớp 9, lớp 10, lớp 11) Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức lượng giác được giảng dạy hiện nay ở bậc phổ thông có đi theo trình tự giống như kiến thức lượng giác trong quá khứ đã đi qua hay không? Đồng thời giữa từng cặp khối lớp (Lớp 9 sang lớp 10); lớp

10 sang lớp 11 thì kiến thức lượng giác có sự gián đoạn hoặc kế thừa không?

Lượng giác là một nội dung học phong phú Trong chương trình môn Toán, lượng giác được giảng dạy ở cả 3 khối lớp của cấp THPT, và cả ở lớp 9 của cấp THCS, với nội dung cụ thể như sau:

 Ở lớp 9: Lượng giác có mặt ở phần: Hệ thức lượng trong tam giác vuông qua bài tỉ số

lượng giác của góc nhọn

 Ở lớp 10: Lượng giác được đề cập trong 2 phần

- Chương II (Sách Hình học 10): Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng

- Chương VI (Sách Đại số 10): Góc lượng giác và công thức lượng giác

 Ở lớp 11: Lượng giác được đề cập đến trong phần Hàm số lượng giác và phương trình

lượng giác

 Ở lớp 12: Lượng giác có ở phần ứng dụng của đạo hàm, nguyên hàm, tích phân…

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi quan tâm đến bước chuyển từ lượng giác Lớp

9 sang lượng giác ở Lớp 10 để tìm các yếu tố gián đoạn hoặc sự kế thừa của các kiến thức ấy

Ở Lớp 9, lượng giác luôn gắn liền với tam giác vuông, đi liền với nó là các tỉ số giữa cạnh đối với cạnh huyền, cạnh kề với cạnh huyền … của 1 tam giác vuông Do vậy lượng giác ở lớp 9

còn có tên gọi khác là lượng giác trong tam giác Ở đây học sinh đã “giải được tam giác vuông”

khi biết ít nhất 2 yếu tố của nó trong đó phải có ít nhất 1 yếu tố độ dài, đồng thời số đo của 1 góc nhọn nằm trong phạm vi từ 0o đến 90o

Ở Lớp 10, lượng giác có mặt trong 2 cuốn SGK Hình học 10 và Đại số 10

Trong cuốn Hình học 10 thì lượng giác có mặt trong chương tích vô hướng 2 véctơ và ứng dụng, đi liền sau đó là giải tam giác thường Và từ đây số đo của góc đã được mở rộng ra từ 0o đến

180o

Trong cuốn Đại số 10 thì lượng giác có mặt ở phần góc lượng giác và công thức lượng giác, mà góc lượng giác lại có số đo là 1 số thực bất kỳ

Do có sự tương ứng giữa số thực  và điểm M trên đường tròn lượng giác nên với mọi số thực  cho trước sẽ tìm được duy nhất 1 điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo AM =  Từ đó, điểm M có thể nằm ở bất kỳ 1 vị trí nào trên đường tròn lượng giác mà chỉ phụ thuộc vào số

thực  cho trước Bởi vậy lượng giác ở lớp 10 còn có tên gọi khác là lượng giác trong đường tròn

Từ những vấn đề vừa trình bày ở trên, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông”

Sự lựa chọn này xuất phát từ những lý do sau:

- Tại sao lượng giác trong tam giác lại được giảng dạy trước lượng giác trong đường tròn?

- Lượng giác trong tam giác đã trang bị những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của lượng giác trong tam giác

- Lượng giác trong đường tròn đã trang bị những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của lượng giác trong đường tròn

Qua đó cho thấy có mối quan hệ nào giữa lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn?

Việc nghiên cứu về bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông là thực sự cần thiết; vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá trình truyền thụ tri thức gắn liền với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn

2 Mục đích nghiên cứu

Qua những ghi nhận ban đầu được trình bày ở trên, dẫn chúng tôi đến các câu hỏi dưới đây, mà việc tìm kiếm câu trả lời là mục đích của luận văn này

Trong quá khứ kiến thức lượng giác được hình thành trong tình huống nào? Các kiến thức lượng giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào?

Trong 1 số giáo trình được giảng dạy ở trường Sư phạm, các TCTH nào được xây dựng xung quanh lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn

Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình huống nào? Đâu là các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu với các TCTH được dạy ở phổ thông? Có sự gián đoạn hoặc kế thừa từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn?

Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình làm việc với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?

Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn không? Đó là những khó khăn nào?

Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào?

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để trả lời cho các câu hỏi trên, nghiên cứu của chúng tôi, dựa vào khung lý thuyết tham chiếu là didactic Toán cụ thể là một số khái niệm của lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học – praxéologie), tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic Sự chọn lựa này xuất phát từ những lý do sau:

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết, vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi

Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho chúng tôi làm rõ những mối quan hệ thể chế với tri thức và giữa tri thức với cá nhân nào đó Qua đó cho chúng tôi biết tri thức xuất hiện ở đâu, có vai trò gì trong thể chế và việc học tập của cá nhân về tri thức bị ảnh hưởng bởi những ràng buộc nào trong mối quan hệ với thể chế

Việc mô hình hoá các hoạt động toán học theo cách tiếp cận của tổ chức toán học (trong lý thuyết nhân chủng học) sẽ giải thích được thực tế của hoạt động toán học theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau thành 1 hệ thống các nhiệm vụ xác định Đánh giá từng thành phần của tổ chức toán học cho biết chúng có được nêu lên một cách rõ ràng hay không? Có dễ hiểu không? Phạm vị hợp thức như thế nào? Có đáp ứng nhu cầu hiện tại và trong tương lai?

Nghiên cứu các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và là công cụ phân tích thực tế dạy học Việc chỉ rõ các mối quan hệ với tri thức cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactic

Đặc biệt ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành trong quá trình giảng dạy

4 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm hiểu câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn

Q1: Trong quá khứ, kiến thức lượng giác được hình thành gắn liền với tình huống nào? Kiến thức lượng giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào?

Q2: Trong một số giáo trình ở Đại học; các TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn

Q3: Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình huống nào? Các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu với các TCTH được giảng dạy ở bậc phổ thông

Q4: Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?

Q5: Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn hay không? Đó là những khó khăn nào?

Q6: Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào?

5 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:

 Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ

 Phân tích một số giáo trình được dùng trong đào tạo giáo viên ở trường sư phạm để làm rõ chiến lược đào tạo nói chung, cũng như mối quan hệ của thể chế này với đối tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn

 Phân tích đồng thời chương trình và SGK Toán các lớp 9 và 10 để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu

 Xây dựng các tình huống thực nghiệm dựa trên các giả thuyết nghiên cứu

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này gồm:

 Mở đầu

 Chương 1: Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn

 Chương 2: Mối quan hệ thể chế với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn trong chương trình Toán ở bậc phổ thông

 Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

 Kết luận

Chương 1

SƠ LƯỢC QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC QUA CÁC THỜI KỲ CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU LIÊN QUAN ĐẾN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG

TRÒN

1.1 Sơ lược quá trình hình thành và phát triển

1.1.1 Thời kỳ thứ nhất

Ngay từ thời kỳ cổ Hy Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài, Kim Tự Tháp, người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng trùng với khái niệm côsin ngày nay Độ lớn của các tỉ số này rất quan trọng đối với những người xây dựng Kim Tự Tháp, bởi vì họ cần tính toán chính xác để ghép những khối đá liên tiếp nhau

Về phương diện này, những nhà thiên văn học xứ Babylone thế kỷ IV và V trước công nguyên đã tích lũy một lượng lớn dữ liệu về thiên văn

Về sau, những kiến thức lượng giác đầu tiên đã xuất hiện ở thời kỳ cổ Hy Lạp do nhu cầu của thiên văn Lúc bấy giờ Hippác và Plôtême (thế kỷ thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng về sự liên hệ giữa góc ở tâm đường tròn với chiều dài cung bị chắn

Tóm lại: Trong thời kỳ thứ nhất, kiến thức lượng giác mới chỉ là một lý thuyết về những thủ

thuật tính toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể qui về những tam giác Vì lẽ đó, người

Hy Lạp hồi xưa gọi bộ môn này là “tam giác lượng” tức là đo đạc các tam giác “Tam giác lượng” phát sinh trên cơ sở của hình học, có ngôn ngữ hình học và được áp dụng vào các bài toán hình học

do các vấn đề cụ thể của kỹ thuật thời bấy giờ đặt ra

1.1.2 Thời kỳ thứ hai

Trong nhiều thế kỷ, lượng giác đã xuất hiện như là một khoa học về “tam giác lượng” Đến thế kỷ 17 và 18, cùng với việc ra đời và phát triển mạnh của giải tích toán đã tạo điều kiện cho lượng giác phát triển hơn nhưng theo một hướng mới Trước đây, các đại lượng của lượng giác chỉ được coi như là phương tiện để giải quyết các vấn đề của hình học thì nay đã trở thành đối tượng để nghiên cứu Các đại lượng đó được xem như là những hàm và một hướng mới của lượng giác đã phát triển gọi là “giác lượng” – tức là đo đạc về góc được xuất hiện Lý thuyết về các hàm lượng giác được Ơle nghiên cứu lần đầu tiên (1748) trong tác phẩm “Mở đầu về giải tích của các vô cùng bé” Trong đó các hàm lượng giác được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi Hướng mới trên đây của lượng giác bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và sóng điện từ Các hàm sin và côsin bây giờ được nghiên cứu như là các chuỗi lũy thừa

! 4

x

! 2

x 1 x

cos

! 5

x

! 3

x x x

sin

4 2

xo, của con lắc, việc đo đạc, các hiện tượng thủy triều, chu kì một trăng mọc,… (Trích Lê Đình Phi

– Nguyễn Đức Thuần – Nguyễn Đình Thọ – Quốc Trinh (1975), Hướng dẫn giảng dạy lượng giác cấp III, NXB Giáo dục)

1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn

Chương này có mục đích trả lời cho nhóm câu hỏi Q2 cụ thể là:

Trong các giáo trình Toán ở bậc Cao đẳng, Đại học

 TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam giác

 TCTH nào gắn liền với lượng giác trong đường tròn

Để xây dựng các TCTH tham chiếu, chúng tôi sẽ tham khảo một số giáo trình sau:

- Nguyễn Mạnh Quý; Nguyễn Tiến Đức (1980) Toán tập 1 (Sách đào tạo và bồi dưỡng) NXB Giáo dục

- Nguyễn Duy Thuận (1998) Đại số và giải tích (Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ Trung học Sư phạm) NXB Giáo dục

1.2.1 Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác trong tam giác

Trong giáo trình Toán tập 1 (Đã nói ở trên) chúng tôi tìm thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lượng giác trong tam giác là:

T 1 (Chuyển đổi): Đổi hàm số lượng giác của 1 góc cho trước thành hàm số lượng giác của

góc nhỏ hơn 45 o (Trong giáo trình Toán tập 1 của tác giả Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Tiến Đức thì sin, cos, tg, cotg được gọi là các hàm số lượng giác của góc

)

T 2 (Tính GT): Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc đặc biệt

T 3 (Dựng góc ): Dựng góc nhọn  khi biết 1 trong các hàm số lượng giác của nó

T 4 (Tìm góc ): Tìm góc nhọn  khi biết 1 hàm số lượng giác của nó

T 5 (Giải tg vuông) Giải tam giác vuông (khi biết 1 cạnh và 1 góc nhọn hoặc biết trước 2

cạnh)

T 6 (Giải tg thường) Giải tam giác thường (Biết 2 góc và 1 cạnh)

1.2.1.1 Các tổ chức toán học gắn liền với kiều nhiệm T 1(Chuyển đổi)

“Đổi hàm số lượng giác của 1 góc cho trước thành hàm số lượng giác của góc nhỏ hơn

45 o ”

Có 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này:

1 định lý:

 Dùng định lý nói về hàm số lượng giác của 2 góc phụ nhau Nếu 2 góc phụ nhau thì:

 sin của góc này bằng cosin của góc kia và cosin của góc này bằng sin của góc kia

 tang của góc này bằng cotang của góc kia và cotang của góc này bằng tang của góc kia

1 định lý: Định nghĩa của hàm số lượng giác

Như vậy: Trong định nghĩa này, tác giả đã dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng có cùng 1 góc

nhọn, để từ đó xác lập các tỉ số đồng dạng; đồng thời tác giả gọi sin, cos, tg, cotg là các hàm số lượng giác của 1 góc  mà trước đó không hề đưa vào khái niệm hàm số lượng giác Điểm đặc biệt nữa của định nghĩa này là sau phần định nghĩa thì tác giả đã suy ra ngay 2 công thức:

1gcot

1 định lý :

 Định lý nói về điều kiện để 2 tam giác vuông đồng dạng

 Định lý “Một đường thẳng song song với 1 cạnh của 1 tam giác tạo thành với 2 cạnh kia một tam giác mới có 3 cạnh tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác thứ nhất

Kỹ thuật thứ 2 giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

1 bảng số : Dùng bảng số với 4 chữ số thập phân

1 (bảng số): Định nghĩa các hàm số lượng giác

1.2.1.2 Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 2 (Tính GT)

“Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc đặc biệt” (30 o , 45 o , 60 o )

Có 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

2 tam giác vuông :

(Nếu góc là 30o hoặc 60o) thì nội dung kỹ thuật này như sau:

- Vẽ 1 tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 30o hoặc 60o (Đây là nửa tam giác đều cạnh BC)

* Nếu góc nhọn là 45o thì vẽ một tam giác vuông cân làm tương tự như trên

Sau đó áp dụng định nghĩa hàm số lượng giác để tính

2 (tam giác vuông): Định nghĩa các hàm số lượng giác

Nhận xét:

Đặc điểm của kỹ thuật 2 tam giác vuông là phải dựng tam giác vuông, có số đo của 1 góc nhọn bằng số đo đã cho Từ đó vận dụng định nghĩa các hàm số lượng giác của góc  để thiết lập các tỉ số cần thiết

- Kết quả của phép tính là các số đúng

3

1

; 3

; 2

2

; 2

Kỹ thuật thứ 2 giải quyết kiểu nhiệm vụ này là

2 bảng lượng giác :

Nội dung kỹ thuật này như sau:

- Tra trong bảng sin hoặc cos hoặc tg hoặc cotg để tìm giá trị các hàm số lượng giác đã cho

2 bảng lượng giác: Định nghĩa các hàm số lượng giác của góc 

2 bảng lượng giác :

Các tỉ số của 2 tam giác vuông đồng dạng

1.2.1.3 Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 3 (Dựng góc )

“Dựng góc nhọn  khi biết một hàm số lượng giác của nó”

Trong kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi thấy có 4 nhiệm vụ con

b  9

31 : Vẽ góc vuông xOy Lấy 1 đoạn thẳng làm đơn vị

x

- Trên Oy lấy 1 điểm M sao cho OM = a

- Lấy M làm tâm, vẽ một cung tròn có bán kính R = b cắt Ox tại N;

31 : Định nghĩa hàm số lượng giác của góc nhọn

T 32 : Dựng góc nhọn khi biết cos =

dc ; c,d  N*; c < d ≤ 9

32 : Vẽ góc vuông xOy

x

- Trên Ox lấy điểm P sao cho OP = c

- Lấy P làm tâm vẽ 1 cung tròn có bán kính R = d cắt Oy tại Q

- Góc OPQ= 

32 : Định nghĩa hàm số lượng giác của góc nhọn

T 33 : Dựng góc nhọn khi biết tg =

- Vẽ góc vuông Oxy sao cho OS = m

- Trên Ox lấy điểm R sao cho OR = n

- Trên Ox lấy điểm R sao cho OR = p

- Góc ORS = 

34 : Định nghĩa các hàm số lượng giác của góc nhọn

Công nghệ giải thích cho các công nghệ trên là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác vuông đồng dạng có chung 1 góc nhọn

Nhận xét:

- Chúng tôi tạm gọi các kỹ thuật 31; 32; 33; 34 thuộc nhóm kỹ thuật 3 (dựng góc)

- Ngoài kỹ thuật dựng góc nhọn đã trình bày ở trên, vẫn còn cách khác để dựng góc nhọn khi biết 1 giá trị hàm số lượng giác của nó đó là:

- Nếu sin = A thì tra bảng với 4 chữ số thập phân xem A = sin của góc bao nhiêu độ

- Dùng thước đo góc, ta sẽ dựng được góc nhọn ở trên

- Tương tự cho cos, tg, cotg

1.2.1.4 Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ

T 4 (Tìm góc ) “Tìm góc nhọn  khi biết 1 hàm số lượng giác của nó”

Kỹ thuật 4 để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

4 :

- Tra bảng 4 chữ số thập phân và tính được số đo góc 

- Dùng thước đo góc để dựng góc nhọn có số đo là 

4 : Định nghĩa hàm số lượng giác của góc nhọn

1.2.1.5 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ “T 5(Giải tg vuông) : “Giải tam giác vuông”

Trong kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi thấy có 2 dạng đó là: Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn và giải tam giác vuông khi biết 2 cạnh

T 51 :“Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn”

51 :

- Tính góc nhọn còn lại (dựa vào định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác là 180o)

- Tính 2 cạnh còn lại (dựa vào định nghĩa các hàm số lượng giác của góc nhọn Thực chất là dựa vào định lý

“Trong 1 tam giác vuông:

 Một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề

 Một cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối, hay nhân với cotang góc kề”

51 :

- Định lý tổng 3 góc trong tam giác

- Định lý về mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

- Tính cos của 1 góc nhọn  (khi biết 1 cạnh kề và cạnh huyền)

- Tra bảng 4 chữ số thập phân để tìm giá trị của 

- Tính góc nhọn còn lại (dựa vào định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác)

- Tính cạnh góc vuông còn lại (Dựa vào định lý Pitago hoặc định lý nói về mối quan hệ giữa cạnh và góc trong 1 tam giác vuông)

52 :

- Định lý Pitago

- Định lý về mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

52 :

- Chứng minh định lý Pitago và các yếu tố để chứng minh nó

- Tỉ số đồng dạng của 2 tam giác vuông

Như vậy đến đây học sinh đã hoàn toàn giải được tam giác vuông khi biết 2 yếu tố trong đó phải có 1 yếu tố độ dài

1.2.1.6 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 6(Giải tg thường) “Giải tam giác thường”

Kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là hình thành nên các tam giác vuông có thể giải được dựa vào các yếu tố đã cho

Đoạn trích sau đây thể hiện kiểu nhiệm vụ này

Bảng 1.1: Thống kê số lượng bài tập và ví dụ ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ của lượng giác trong

T 6

(Giải tam giác thường)

Số lượng

Số lượng

Nhận xét chung:

Khi phân tích các TCTH tham chiếu liên quan đến lượng giác trong tam giác, chúng tôi có 1 vài ghi nhận sau:

 Cách dùng từ “hàm số lượng giác” để chỉ cho sin, cos, tg, cotg là chưa chính xác

 Tính đơn điệu của sin; cos; tg; cotg trong lý thuyết nói rất kỹ nhưng trong phần bài tập không có 1 bài nào

 Để tìm sin, cos, tg, cotg hoặc tìm  khi biết 1 trong các “hàm số lượng giác” của nó, tác giả chỉ hướng dẫn cách tra bảng và như vậy vai trò của máy tính bỏ túi là mờ nhạt

 Qua bảng thống kê số lượng bài tập và ví dụ thì thấy kiểu nhiệm vụ T5: Giải tam giác vuông được ưu tiên hơn

1.2.2 Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác trong đường tròn

Trong giáo trình “Nguyễn Duy Thuận (1998) đại số và giải tích (Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ Trung học sư phạm) NXB Giáo dục, chúng tôi tìm thấy các kiểu nhiệm vụ sau liên quan đến lượng giác trong đường tròn đó là:

T 1 (Chuyển đổi độ, radian) “Chuyển đổi giữa độ và radian”

T 2 (Xác định điểm cuối B) “Xác định điểm cuối B của cung AB khi biết số đo của nó”

T 3 (Tính GTHSLG) “Tính các giá trị sin, cos, tg, cotg khi biết số đo góc ”

T 4 (Tính GT còn lại) “Tính các giá trị sin, cos, tg, cotg Khi biết 1 trong các giá trị ấy”

T 5 (Chứng minh đẳng thức) “Chứng minh đẳng thức lượng giác”

1.2.2.1 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 1 (chuyển đổi độ, radian) Chuyển đổi giữa độ và radian

1 :

 Một nửa đường tròn có số đo bằng  radian

 Do đó góc bẹt cũng có số đo bằng  radian

Với lý do, đơn vị “độ” tỏ ra bất tiện trong khoa học kỹ thuật Vì vậy người ta đã dùng 1 đơn

vị khác là radian, được định nghĩa như sau:

“Cung 1 radian là cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn hay bằng 1

2độ dài đường tròn”

Và do đó từ đây có một tương ứng giữa “độ” và “radian” (là một số thực) hay nói cách khác là giữa độ và số thực

1.2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 2 “Xác định điểm cuối của cung lượng giác , khi biết số đo của nó” AB

2 :

Trên đường tròn định hướng, lấy điểm A làm điểm gốc Điểm cuối B của cung này được xác định bởi hệ thức sđ =  AB

2 :

 Định nghĩa đường tròn định hướng

 Định nghĩa cung lượng giác là:

Đường vạch ra bởi 1 điểm M chạy trên đường tròn định hướng từ điểm gốc A đến điểm B của đường tròn được gọi là cung lượng giác

Công nghệ của công nghệ 2:

 Công thức chuyển đổi giữa độ và radian

 Nếu bán kính R = 1 thì độ dài cung tròn bằng số đo của cung tròn ấy

Nhận xét: Trong giáo trình này, khái niệm cung lượng giác được đưa vào trước, sau đó mới định nghĩa góc lượng giác như sau:

M chạy trên đường tròn định hướng từ A đến B (vạch ra cung lượng giác AB) được gọi là góc lượng giác

M

Kí hiệu (OA, OB)

Do đó sđ(OA, OB) = sđ AB

Trong định nghĩa này, không đề cập đến điểm M có thể trùng B một lần hay nhiều lần Khi ấy sđ(OA, OB) =  + k2 (k  Z)

Cũng tương tự như vậy sđ =  + k2 (k  Z) AB

1.2.2.3 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 3(Tính GTHSLG) “Tính các giá trị sin, cos, tg, cotg”

như sau:

cuối OM cắt đường tròn đơn vị tại điểm M(x, y) O

 Góc  ở đây hiểu là góc lượng giác nên có số đo bất kỳ

Như vậy: Trong phần TCTH tham chiếu của lượng giác trong tam giác thì nói cho góc nhọn Còn trong TCTH tham chiếu của lượng giác trong đường tròn thì mở rộng ra là góc lượng giác  có số đo bất kỳ và không thông qua giai đoạn trung gian là góc   [0o, 180o]

3 :

 Xác định toạ độ của điểm M trên đường tròn đơn vị sao cho

sđ =  Ta có M (x, y) AM Sử dụng định nghĩa các “giá trị sin, cos, tg, cotg”

3 :

Định nghĩa các giá trị sin, cos, tg, cotg

3 : Định nghĩa góc, cung lượng giác

“Theo định nghĩa của hàm số lượng giác, nếu biết giá trị của góc  có thể xác định được dấu của sin, cos, tg, cotg dựa vào vị trí của điểm M trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng toạ độ”

1.2.2.4 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 4 (Tính GT còn lại) “Tính các giá trị sin, cos, tg, cotg khi biết 1 trong các giá trị ấy”

4 :

Đối với kiểu nhiệm vụ này và trong giáo trình tham khảo chúng tôi thấy có các kỹ thuật sau để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

 Dùng các hệ thức cơ bản

 Dùng bộ công thức liên hệ của các cung (góc) có liên quan đặc biệt (đối, bù, phụ, hơn kém ; hơn kém /2)

 Dùng phương pháp hình học (Xác định toạ độ của điểm M (x, y) trên đường tròn đơn

vị trong mặt phẳng toạ độ)

4 :

 Định nghĩa các giá trị sin, cos, tg, cotg

 Định nghĩa góc lượng giác

Nhận xét: Trong các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này chúng tôi thấy kỹ thuật “dùng các

hệ thức cơ bản” được ưu tiên sử dụng nhiều hơn

1.2.2.5 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 5(Chứng minh đẳng thức) “Chứng minh các đẳng thức lượng giác”

5 :

Đối với kiểu nhiệm vụ này, trong giáo trình tham khảo, chúng tôi thấy có các kỹ thuật sau để giải quyết kiểu nhiệm vụ này

 Dùng các hệ thức cơ bản hoặc cung liên kết

 Dùng công thức cộng, nhân đôi, hằng đẳng thức

 Cuối cùng biến đổi sao cho 2 vế bằng nhau

5 :

Các hệ thức cơ bản; các công thức cộng, nhân đôi, cung liên kết Lý thuyết giải thích cho công nghệ 5 là:

5 : Các phép biến đổi tương đương

Bảng 1.2: Thống kê số lượng bài tập và ví dụ ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ của lượng giác trong

T 3

(Tính GTHSLG)

T 4

(Tính GT còn lại)

T 5

(Chứng minh đẳng thức)

Nhận xét chung:

Khi phân tích các TCTH tham chiếu liên quan đến lượng giác trong đường tròn, chúng tôi có

1 vài ghi nhận sau:

- Trong giáo trình tham khảo không nói đến tính biến thiên của sin, cos, tg, cotg

- Không nêu bật được đặc điểm của góc lượng giác là cùng một ký hiệu góc lượng giác (OA, OB) nhưng có vô số góc lượng giác, số đo các góc này hơn kém nhau một bội nguyên của 2 (hay 360o)

- Tương tự cũng không nêu bật được đặc điểm của cung lượng giác đó là những cung lượng giác có số đo hơn kém nhau 1 bội nguyên 2 (hay 360o) sẽ có điểm cuối trùng nhau

- Từ bảng thống kê trên, chúng tôi thấy kiểu nhiệm vụ T5 (chứng minh đẳng thức) được ưu tiên hơn Trên đây là các TCTH tham chiếu cho phép chúng tôi phân tích trở lại vấn đề có thể xây dựng được những TCTH cần giảng dạy liên quan đến lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn trong chương trình và SGK ở bậc phổ thông trong chương 2

Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN Ở

BẬC PHỔ THÔNG

2.1 Mở đầu

Mục đích chủ yếu của chương này là làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Toán ở bậc phổ thông với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn Cụ thể, chúng tôi sẽ làm rõ và giải quyết các vấn đề đặt ra trong 4 nhóm câu hỏi Q3, Q4, Q5, Q6

Q 3 : Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình huống nào?

Các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn Có sự chênh lệch nào giữa TCTH tham chiếu với các TCTH được dạy ở phổ thông

Q 4 : Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?

Q 5 : Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn hay không? Đó là những khó khăn nào?

Q 6 : Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào?

Trong các chương trình CCGD năm 1990 và chương trình SGK chỉnh lý năm 2000 thì lượng giác trong đường tròn không được giảng dạy ở lớp 10 Nhưng sang chương trình thí điểm phân ban

2003 và phân ban đại trà năm 2006, với lý do tránh dạy dồn dập kiến thức lượng giác ở lớp 11, một nội dung mà học sinh cho là khó nhớ, khó học, khó vận dụng… thì những người làm chương trình đã đưa phần góc lượng giác và công thức lượng giác từ lớp 11 xuống Chương VI của SGK Đại số 10

Bởi vậy trong chương trình thí điểm 2003 và phân ban đại trà 2006; lượng giác trong đường tròn được dạy và học ở lớp 10

Giữa 2 bộ sách thí điểm 2003 và phân ban đại trà hiện nay, về nội dung và phân phối chương trình là hoàn toàn giống nhau Do vậy để thuận lợi trong việc nghiên cứu tìm kiếm sự kế thừa hoặc yếu tố gián đoạn giữa lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn, chúng tôi đã chọn phân tích các tài liệu sau

1 Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005) Sách giáo khoa Toán 9 tập 1 NXB Giáo dục

2 Tôn Thân (Chủ biên) (2006) Sách Bài tập Toán 9 tập 1 NXB Giáo dục

3 Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005) Sách giáo viên Toán 9 tập 1 NXB Giáo dục

4 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006) Sách giáo khoa Hình học 10 NXB Giáo dục

5 Văn Như Cương (Chủ biên) (2006) Sách Bài tập Hình học 10 NXB Giáo dục

6 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006) Sách Giáo viên hình học 10 NXB Giáo dục

7 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006) Sách Giáo khoa Đại số 10 NXB Giáo dục

8 Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) (2006) Sách Bài tập Đại số 10 NXB Giáo dục

9 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006) Sách giáo viên Đại số 10 NXB Giáo dục

10 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 THPT

(2006) NXB Giáo dục

2.2 Lượng giác trong tam giác (lượng giác ở lớp 9)

 Phần lý thuyết

Như chúng ta đã biết, chương “Hệ thức lượng trong tam giác vuông” được coi như một ứng

dụng của chương “Tam giác đồng dạng” Trước đây, trong chương trình cũ, chương này được sắp

xếp ở lớp 8, ngay sau chương “Tam giác đồng dạng” Trong chương trình mới, vì phải chuyển 1

phần hình học không gian xuống lớp 8 nên chương này được chuyển lên lớp 9 Mục đích của

chương này là giải tam giác vuông khi biết hai cạnh hoặc 1 cạnh và 1 góc nhọn Với mục đích ấy,

SGK Toán 9, tập 1 đã đưa bài “Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông” vào

trước, sau đó mới đến bài “Tỉ số lượng giác của góc nhọn”

Trong bài “Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông” SGK đã xây dựng

được các công thức tính độ dài đường cao, hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền, khi biết

2 cạnh

Trong bài “Tỉ số lượng giác của góc nhọn” với tình huống đưa ra là:

Trong một tam giác vuông, nếu biết tỉ số độ dài của 2 cạnh thì có biết được độ lớn của các góc

nhọn hay không?

Sách giáo khoa đưa ra định nghĩa sau:

“Cho góc nhọn  Vẽ một tam giác có 1 góc nhọn  Khi đó:

 Khi nói đến các tỉ số lượng giác (TSLG) của góc nhọn thì luôn đi kèm với nó là 1 tam

giác vuông Tỉ số của các cạnh trong 1 tam giác vuông Do vậy các TSLG của 1 góc

nhọn luôn luôn dương và ta có 0< sin < 1; 0 < cos < 1

 sin, cos, tg, cotg được gọi là các TSLG của góc nhọn, đây là điểm khác biệt so

với cách gọi trong 2 giáo trình tìm TCTH tham chiếu trước đây

Chúng tôi cho rằng, có thể có các kiểu nhiệm vụ sau trong lượng giác trong tam giác

T 1 (viết, tính) : Viết (Tính) các TSLG của 1 góc nhọn

T 2 (Dựng góc) : Dựng 1 góc nhọn khi biết 1 TSLG của góc ấy

T 3 (So sánh) : So sánh các TSLG của cùng góc nhọn (2 hay nhiều góc nhọn)

T 4 (Chứng minh) : Chứng minh các hệ thức cơ bản

T 5 (Tam giác vuông) : Giải tam giác vuông

T 6 (Phụ nhau) : Tỉ số lượng giác của các góc phụ nhau

T 7 (Tam giác thường) : Giải tam giác thường

2.2.1 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 1 (viết, tính) : Viết (Tính) các TSLG của 1 góc nhọn

Để giải thích cho định nghĩa TSLG của góc nhọn, chúng tôi dựa vào định lý sau:

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau, nếu xảy ra một trong các trường hợp sau:

 Khi có 1 góc nhọn bằng nhau

 Khi có 2 cạnh góc vuông tỉ lệ với nhau từng đôi một

 Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ với nhau từng đôi một

 Kỹ thuật  1 này là vết của kỹ thuật  2 (Tính GT) trong TCTH tham chiếu

2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 2 (dựng góc) : Dựng góc nhọn khi biết 1 TSLG của góc ấy

T 21 : Dựng góc nhọn  khi biết sin a

b

  ; a, b  N*, a< b  9

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, kỹ thuật đưa ra như sau:

21 : Vẽ góc vuông Oxy

 Lấy 1 đoạn thẳng làm đơn vị

T 22 : Dựng góc nhọn  khi biết cos c

22 : Vẽ góc vuông Oxy

 Trên Ox lấy P sao cho OP = c

 Lấy P làm tâm vẽ 1 cung tròn có

 Góc OPQ 

22 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

T 23 : Dựng góc nhọn khi biết tg = m

n ; m, n  N*, m; n  9

23 : Vẽ góc vuông Oxy

 Trên Oy lấy S sao cho OS = m

S

Om

y

 Trên Ox lấy R sao cho OR = n

 Góc OSR  

23 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

T 24 : Dựng góc nhọn  khi biết cot g p

q

 ; p, q  N*, p; q  9

24 : Dựng góc vuông Oxy

 Trên Oy lấy V sao cho OV = q

 Trên Ox lấy U sao cho OU = p

 Góc OVU  

24 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

Lý thuyết để giải thích cho các công nghệ 21, 22, 23, 24 tương tự trong p 1

q

U x O

yV



Nhận xét:

- Chúng tôi tạm gọi các kỹ thuật 21; 22; 23; 24 thuộc nhóm kỹ thuật 2 (dựng góc) thì nhận thấy 2 (dựng góc) là vết của kỹ thuật 3 (dựng góc) trong TCTH tham chiếu

- Kỹ thuật 2 (dựng góc) thuần túy chỉ là kỹ thuật mang đặc trưng hình học bình thường

- Kỹ thuật này được trình bày tường minh trong các ví dụ sau:

Ví dụ 3 trang 73: Dựng góc nhọn , biết tg 2

3

 

Ví dụ 4 trang 74: Dựng góc nhọn , biết sin = 0,5

Trong ví dụ trên thì giá trị của sin là số thập phân nếu viết dưới dạng phân số thì sin 1

2

 đều là số hữu tỉ đồng thời 0 < sin < 1 Kỹ thuật này một lần nữa xuất hiện trong bài 13 trang 77 với nội dung

“Dựng góc nhọn , biết:

b hoặc số thập phân dương mà khi viết dưới hình thức số hữu tỉ phải có dạng a

b (với a

Ví dụ: 15 17;

26 142Như vậy ở đây chúng tôi thấy tồn tại ngầm ẩn một quy tắc của hợp đồng didactic là:

R 1 : Dùng thước khắc vạch dựng góc nhọn  khi biết 1TSLG của nó luôn cho:

 sin và cos có giá trị là phân số dương dạng a

b hoặc số thập phân dương mà khi viết dưới dạng phân số phải có dạng a

Quy tắc hợp đồng này được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T2 (dựng góc) của lượng giác trong tam giác

Cần nói thêm rằng bài “Bảng lượng giác” và bài đọc thêm “Tìm TSLG và góc bằng MTBT casio FX220” được trình bày sau phần ví dụ và bài tập nêu trên, đồng thời sau đó SGK yêu cầu: “Dùng bảng lượng giác hoặc MTBT tìm góc nhọn x

Rõ ràng thể chế mong muốn học sinh thành thạo cách tìm góc nhọn  khi biết 1 TSLG của nó bằng MTBT hoặc bảng lượng giác Điều này được thể hiện rõ trong sách giáo viên như sau:

“Đây là loại bài dạng thực hành là chính Do đó, cần chú ý đến mục tiêu cuối cùng là học sinh phải biết tìm các TSLG của 1 góc cho trước và ngược lại, tìm số đo góc nhọn khi biết 1 TSLG của góc đó” Như vậy đến đây nếu yêu cầu dựng góc nhọn  khi biết 1TSLG của nó mà không giới hạn dụng cụ thì học sinh có thể dùng thước khắc vạch để dựng góc nhọn  hoặc dùng bảng số; MTBT để tính số đó góc , từ đó dùng thước đo góc (đo độ) để dựng góc nhọn 

2.2.3 Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ

T 3 (so sánh) : So sánh các TSLG của góc nhọn

T 31 : So sánh 1 TSLG của 2 hay nhiều góc

31 : Sử dụng nhận xét sau

Khi góc  tăng từ 0o đến 90o thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm

31 : Cấu tạo của bảng lượng giác hoặc thông qua máy tính bỏ túi

31 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

T 32 : So sánh sin với cos hoặc tg với cotg

32 :

 Đưa về cùng sin hoặc cùng cos

Hoặc  Đưa về cùng tang hoặc cùng cotang

Bằng cách: Dùng định lý “Nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia”

Nhận xét:

 Ngoài kỹ thuật được trình bày ở trên thì học sinh có thể dùng bảng lượng giác hoặc

MTBT Tính trực tiếp giá trị của từng TSLG, sau đó có kết quả

32 :

 Định lý TSLG của 2 góc phụ nhau

 Bảng lượng giác

 MTBT

32 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

T 33 : So sánh 2 TSLG của cùng 1 góc nhọn hoặc 2 góc phụ nhau

33 : Đưa về so sánh giữa tg với sin hoặc so sánh giữa cotg với cos, dựa vào công

Trong đó 0 < sin; cos < 1

33 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

Nhận xét:

Các kỹ thuật 31; 32; 33 chúng tôi tạm gọi vào nhóm 3 (so sánh) Nhận thấy 3 (so sánh) không là vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu

Giải thích cho sự vắng mặt của kỹ thuật này trong TCTH tham chiếu

Chúng tôi đã trình bày trong phần: Nhận xét chung của TCTH tham chiếu

Trong SGK không giới thiệu tường minh tính đơn điệu của từng TSLG của góc nhọn  mà chỉ đề cập đến vấn đề này thông qua bảng số và MTBT dựa vào nhận xét “Khi  tăng từ 0o đến 90o thì sin và tan tăng, còn cos và cot giảm dần”

Như vậy: Nếu so sánh TSLG của 2 hay nhiều góc nhọn (Ví dụ: sin, sin, sin…) hoặc so sánh giữa sin với cos hoặc tg với cot của 2 góc phụ nhau thì ta dựa vào nhận xét trên

 Vấn đề đặt ra là: SGK không nêu ràng buộc của các góc ,  đồng thời cũng không cho

,  có số đo bất kỳ và cũng không có một sự giải thích nào ở đây Chúng tôi cho rằng ở đây có sự ngầm ẩn trong việc cho số đo của các góc ,  trong dạng toán trên thông qua quy tắc

R 2 : Không dùng bảng số và MTBT luôn so sánh được các TSLG sau:

 tan với sin; 0 o <  < 90 o ; tan với cos; ( +  = 90 o )

 cot với cos; 0 o <  < 90 o ; cot với sin; ( +  = 90 o )

Mở rộng quy tắc R 2 :

Không dùng bảng số và MTBT luôn so sánh được:

 tan với sin ; 0 ; 90

2.2.4 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 4 (Chứng minh) : Chứng minh các hệ thức cơ bản

4 :

 Mô phỏng một tam giác vuông có ghi rõ các cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền

 Dùng định nghĩa TSLG của góc nhọn để viết được

“Cho tam giác ABC vuông tại A Biết cosB = 0.8, hãy tính các TSLG của góc C

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14”

 Rõ ràng từ đây SGK cho phép học sinh được quyền vận dụng các hệ thức cơ bản để chứng minh, như vậy học sinh đã có 2 cách để tính tg, cotg đó là tính bằng định nghĩa các TSLG của góc nhọn đó là:

4 : Công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên là:

- Dựa vào định nghĩa TSLG của góc nhọn

- Định lý Pitago

4 : Lý thuyết giải thích cho công nghệ 4 là

Định nghĩa TSLG của góc nhọn

 Kỹ thuật  4 (Chứng minh) không là vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu

Sở dĩ kỹ thuật này không là vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu, bởi lẽ:

Sau phần định nghĩa các “hàm số lượng giác của góc nhọn ”, tác giả đã đưa ra ngay kết quả là:

Từ định nghĩa trên ta có:

sintg

coscot g

sin



 

 và tg cotg = 1

2.2.5 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 5 (giải tam giác) : Giải tam giác vuông

Kiểu nhiệm vụ T5 (Giải tam giác), theo chúng tôi có 2 kiểu nhiệm vụ con đó là:

T 51 : Giải tam giác vuông khi biết 2 cạnh

51 : - Tính cạnh còn lại dựa vào Định lý Pitago

- Dùng định nghĩa TSLG của góc nhọn để tính các góc

51 : - Định nghĩa TSLG của góc nhọn

- Định lý Pitago

T 52 : Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh và 1 góc nhọn

52 : - Tính góc nhọn còn lại dựa vào định lý Tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180o

- Tính cạnh còn lại dựa vào định nghĩa TSLG của góc nhọn

52 : - Định lý Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180o

- Định nghĩa TSLG của góc nhọn

SGK Toán 9 ưu tiên kiểu nhiệm vụ T52: Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh và 1 góc hơn Điều đặc biệt là trong cả 2 ví dụ 4 và ví dụ 5 thì SGK luôn tính góc nhọn trước dựa vào định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác Sau đó mới tính độ dài các cạnh

Bên cạnh ấy sách giáo viên còn hướng dẫn: “Khi đã biết hai cạnh của tam giác vuông, nên tìm góc trước, sau đó mới tính cạnh thứ 3 nhờ các hệ thức trong định lý vừa học (Định lý nói về mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Theo cách ấy, việc tính toán bằng máy có thể liên hoàn hơn, đơn giản hơn” (Trích sách giáo viên Toán 9 – Trang 108 – NXB Giáo dục)

Kỹ thuật  51 ;  52 là vết của kỹ thuật  5 (Giải tam giác vuông) trong TCTH tham chiếu

2.2.6 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 6 (phụ nhau) : Viết TSLG của góc phụ với góc đã cho

6 : Dùng định lý nói về quan hệ giữa 2 góc phụ nhau: “Nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này

bằng cos góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia”

6 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

Kiểu nhiệm vụ này có mặt trong 2 ví dụ như sau:

tg30o = cotg60o = 3

3 cotg30o = tg60o = 3 Sau kiểu nhiệm vụ này, SGK đã đưa ra TSLG của các góc đặc biệt như sau:

Bảng 2.1: Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

3 2

2

2 2

1 2

3

Trong bảng này, không có TSLG của góc 0o và 90o

2.2.7 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 7 (Tam giác thường) : Giải tam giác thường

Kiểu nhiệm vụ này chỉ có mặt trong phần bài tập của SGK Toán 9 (không có mặt trong ví dụ của bài học) Thể hiện qua các bài tập sau:

Gợi ý: Kẻ BK  AC

Bài 31 trang 89 (SGK) Trong hình vẽ sau:

AC = 8cm; AD = 9,6cm; ABC 90 ;ACB 54 ;ACD 74  o  o  o Hãy tính:

a) AB

b) ADC

Từ lời giải của 2 bài tập này, chúng tôi hình thành kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

7 : - Đặt cạnh cần tính độ dài hoặc góc cần tính vào 1 tam giác vuông giải được

- Dùng các hệ thức của tam giác vuông để tính cạnh hoặc góc cần tính

7 : Định nghĩa TSLG của góc nhọn

Nhận xét:

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện không nhiều nhưng từ đây học sinh có thể tính được cạnh, góc

trong tam giác thường thông qua 1 tam giác vuông trung gian Hay nói cách khác là: Với lượng giác trong tam giác đã làm gián đoạn việc giải tam giác thường, hoặc số đo các góc chỉ giới hạn trong phạm vi 0 o <  < 90 o mà không có góc lớn hơn

- Kỹ thuật  7 (tam giác thường) là vết của kỹ thuật  6 (tam giác thường) trong TCTH tham chiếu

Bảng 2.2: Thống kê số lượng ví dụ và bài tập trong SGK ứng với

mỗi kiểu nhiệm vụ của lượng giác trong tam giác Kiểu nhiệm vụ Số lượng ví dụ Số lượng BT trong SGK

Qua bảng thống kê này, thì kiểu nhiệm vụ T1 và T5 được ưu tiên hơn Đây chính là yêu cầu

cơ bản của chương: “Mục đích của chương này là giải tam giác vuông khi biết 2 cạnh hoặc 1 cạnh và 1 góc nhọn Chính vì vậy, chương này gồm các nội dung sau:

 Hình thành các công thức về TSLG của góc nhọn Quan hệ giữa TSLG của2 góc phụ nhau

 Từ định nghĩa TSLG của góc nhọn, xây dựng các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông… để giải được tam giác vuông” Trích sách giáo viên Toán 9 – Trang 9 – NXB Giáo dục – 2005)

Phần nghiên cứu bài tập sau đây sẽ cho thấy các TCTH đã phân tích trong phần lý thuyết được thể hiện như thế nào trong phần này

 Phần bài tập

Trong số các bài tập của phần lượng giác trong tam giác của sách bài tập Toán 9 có:

4 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T1 (viết, tính)

1 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T2 (dựng góc)

4 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T3 (so sánh)

5 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T5 (tam giác vuông)

3 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T6 (phụ nhau)

7 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T7 (tam giác thường)

 Đối với T 1(viết, tính) : Sách bài tập có đưa ra một cách khác để giải mà chúng tôi tạm gọi đó

là kỹ thuật

1’ : Dùng các hệ thức cơ bản

sintg

Cho cos = 0,8 Tìm sin, tg, cotg

Đáp số: sin = 0,6; tg = 0,75; cotg  1,3333

 Đối với T3 (so sánh) thì sách bài tập yêu cầu không dùng Bảng lượng giác và MTBT để

so sánh, thể hiện qua các bài tập sau:

Bài 45 trang 96 (SBT) Không dùng bảng lượng giác và MTBT, hãy so sánh:

a) sin25o và sin70o b) cos40o và cos75o

c) sin38o và cos38o d) sin50o và cos50o

Bài 46 trang 96 (SBT) Không dùng bảng lượng giác về MTBT, hãy so sánh

a) tg50o28’ và tg63o b) cotg14o và cotg35o12’

c) tg27o và cotg27o d) tg65o và cotg65o

Bài 48 trang 96 (SBT) Không dùng bảng lượng giác về MTBT, hãy so sánh

a) tg28o và sin28o b) cotg42o và cos42o

c) cotg73o sin17o d) tg32o và cos58o

 Giáo viên có nhiệm vụ giải thích để học sinh thấy được tính đồng biến của sin  và nghịch biến của cos khi  tăng từ 0o đến 90o

Như vậy một lần nữa lại thể hiện quy tắc R2 của hợp đồng didactic

 Học sinh có nhiệm vụ hoặc là so sánh cùng 1 TSLG của 2 góc ;  hoặc dùng định lý mối quan hệ của 2 góc phụ nhau để đưa về cùng 1 TSLG hoặc đánh giá thông qua hệ thức cơ bản tg sin (0 cos 1)

Sơ đồ 2.1: Đối chiếu giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy của lượng giác trong tam

T5 (tam giác vuông) T5(tam giác vuông)

T6 (tam giác thường) T7(tam giác thường)

T2(dựng góc)TCTH tham chiếu

2.3 Lượng giác trong đường tròn (với 0 o ≤  ≤ 180 o )

Ở lớp 9 học sinh đã được làm quen với TSLG của góc nhọn, gắn với nó là giải tam giác vuông Lên lớp 10, trong phần hình học, một kiến thức mới được đưa vào đó là “Tích vô hướng của 2 véctơ” mà định nghĩa này lại phụ thuộc cosin của góc giữa 2 vectơ (góc giữa 2 vectơ có số đo  [0o,

180o])

Như vậy, từ góc nhọn, giờ đây học sinh đã làm quen với các góc có số đo  [0o; 180o] được đưa vào ngay bài đầu tiên của chương 2: Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng, với mục đích sẽ sử dụng các GTLG của góc  trong 1 số tính toán cần thiết

 Trước khi vào phân tích TCTH liên quan đến lượng giác trong đường tròn, chúng tôi lướt qua cách xây dựng định nghĩa giá trị lượng giác (GTLG) của góc [0o, 180o]

 Điểm khác biệt đầu tiên là tên gọi

Với góc  nhọn thì sin, cos, tg, cotg được gọi là các TSLG của góc , bởi định nghĩa này đi liền với nó là các “tỉ số” giữa các cạnh trong một tam giác vuông

 Trong SGK hình học lớp 10, số đo của góc  được mở rộng ra [0o, 180o] đồng thời để chuẩn

bị cho học sinh học các hàm số lượng giác ở lớp 11 thì giờ đây sin , cos , tan, cot  được gọi là giá trị lượng giác của góc 

Việc hình thành khái niệm toạ độ của điểm trên đường thẳng và trong mặt phẳng là một dịp ngầm hình thành cho học sinh có sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp các điểm M (x, y) với tập hợp số thực R

Trên cơ sở khái niệm toạ độ của điểm trong mặt phẳng, SGK hình học lớp 10 đã xây dựng định nghĩa giá trị lượng giác (GTLG) của góc  [0o, 180o] như sau:

“Trong hệ toạ độ Oxy và nửa đường tròn đơn vị, cho trước 1 góc nhọn  thì ta xác định được duy nhất 1 điểm M (x,y) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MOX   ”

Định nghĩa: Với mỗi góc  (0o    180o), ta xác định

Giả sử điểm M (x,y) Khi đó:

sin = y ; tan = y

x ; với (x 0) cos = x ; cot = x

y ; với (y 0) các giá trị sin, cos, tan gọi là các giá trị lượng giác của góc 

Như vậy:

sin = y; cos = x; tan sin x

cos x ; cot = x cos x

y  sin x

M (x,y) 1

-1

y

y

Nhận xét:

 Trong định nghĩa TSLG của góc  nhọn, ta đã biết các tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn không phụ thuộc vào từng tam giác vuông có 1 góc bằng góc nhọn đã cho, mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc nhọn này

 Trong định nghĩa GTLG của góc  (0 o   180 o ) đã đặt góc  vào trong hệ toạ độ với nửa đường tròn đơn vị, việc đưa khái niệm đường tròn đơn vị vào đây là 1 sự kế thừa định nghĩa TSLG của góc nhọn  (trên cơ sở TSLG của góc  nhọn không phụ thuộc vị trí điểm M, nên ta có quyền chọn OM = 1)

sin



 ; sin  = y, cos = x Tức là sin, cos được tính thông qua tọa độ của điểm M, còn tan và cotg định nghĩa thông qua sin và cos Khi điểm M chạy khắp đường tròn lượng giác, lúc ấy việc mở rộng định nghĩa GTLG của góc  được thuận tiện

 Với định nghĩa này thì 0 ≤ sin ≤1; -1 ≤ cos ≤1 có nghĩa là giờ đây cos có thể mang dấu âm

Trong SGK hình học lớp 10 Chúng tôi thấy có thể có những kiểu nhiệm vụ sau:

T 1 (tìm) : Tìm các GTLG của góc  đặc biệt (0 o ≤  ≤ 180 o )

T 2 (dấu) : Xác định dấu của các GTLG

T 3 (tam giác thường) : Giải tam giác thường

Sau đây là phần phân tích các TCTH có mặt trong lý thuyết của SGK hình học 10

 Phần lý thuyết

2.3.1 Tổ chức toán học liên quan đến các kiểu nhiệm vụ

T 1 (tìm): Tìm các GTLG của góc  đặc biệt (0 o ≤  ≤ 180 o )

1: - Xác định tọa độ điểm M (x,y) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc MOx = 

- Dùng định nghĩa GTLG của góc , ta có sin  = y; cos = x, tan = y

x (x≠0), cotg = x

y (y≠0)

1:

 Sự tương ứng 1–1 giữa điểm M(x,y) trên nửa đường tròn đơn vị với 1 số thực  sao cho sđ

MOx= 

 Dùng định nghĩa GTLG của góc , ta có

sin = y; cos = x, tan = y

– Các chứng minh, các hệ thức về 2 tam giác vuông đồng dạng

Nhận xét: Kiểu nhiệm vụ này được đưa vào ngay sau định nghĩa GTLG của góc  như là để

vận dụng định nghĩa và thực hành tính toán Đây là góc tù (=135o) Còn đối với góc  nhọn thì SGK không đề cập qua bất kỳ ví dụ nào và coi đây là kiến thức đã biết nên không nhắc lại

Ở lớp 9 với lượng giác trong tam giác, học sinh đã làm quen với công thức liên hệ giữa các TSLG của 2 góc phụ nhau với công thức ấy học sinh sẽ tính được TSLG của 1 góc nếu biết TSLG của góc phụ với nó, như vậy học sinh sẽ tính toán được TSLG của góc  trong giới hạn 0o <  <

90o

Sang phần hình học của lớp 10, thông qua bài GTLG của góc  (0o ≤  ≤ 180o), học sinh sẽ tính toán được GTLG của góc  (với 0o ≤  ≤ 180o) Giải thích cho điều này sách “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK Lớp 10 THPT môn Toán” NXBGD 2006 nói rõ: “Sở dĩ vấn đề được trình bày một cách tối thiểu như vậy vì ta chỉ cần khái niệm cos, với 0o ≤  ≤ 180o để có thể

định nghĩa được tích vô hướng của 2 vectơ Như vậy ở đây chúng tôi thấy có một sự gián đoạn không liên tục trong việc tính TSLG của góc  (lúc đầu là góc  nhọn, tiếp theo là 0 o ≤  ≤

T 2 (dấu) : Xác định dấu của các GTLG

Đây là một kiểu nhiệm vụ hoàn toàn mới đối với học sinh, bởi lẽ TSLG của góc  nhọn được định nghĩa dựa trên tỉ số độ dài các cạnh trong 1 tam giác vuông, do đó các TSLG này luôn mang dấu dương

Trong định nghĩa GTLG của góc  (0o ≤  ≤ 180o) thì sin; cos được định nghĩa thông qua tọa độ của điểm M (x, y) trên nửa đường tròn đơn vị, trong mặt phẳng tọa độ nên cos sẽ đổi dấu, kéo theo tan và cot cùng đổi dấu Nhưng kiểu nhiệm vụ này xuất hiện rất mờ nhạt trong phần lý thuyết thông qua

Hoạt động 2 trang 41 (SGK)

Với góc nào thì sin < 0? Với các góc  nào thì cos < 0?

2 (dấu):

 Xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng tọa độ sao cho MOx  Giả sử M (x, y)

 Dựa vào định nghĩa GTLG của góc , ta có kết luận về dấu của GTLG 

Kỹ thuật này không là vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu

Sở dĩ có điều này là do trong giáo trình tham khảo để tìm kiếm các TCTH tham chiếu ở phần định nghĩa hàm số lượng giác, giáo trình đã nêu rõ: “Nếu biết giá trị của góc  thì có thể xác định được dấu của cos, sin, tan, cot dựa vào vị trí của điểm M trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng tọa độ”

Công nghệ giải thích cho kỹ thuật 3 (dấu) là:

3 (dấu):

Định nghĩa GTLG của góc  (0o ≤  ≤ 180o)

Ngoài hoạt động 2 trang 41 (SGK) nói về dấu của các GTLG của góc  ra, chúng tôi không thấy kiểu nhiệm vụ này xuất hiện ở đâu nữa trong phần lý thuyết và bài tập của SGK hình học 10

Liệu SGK ít đề cập đến phần dấu của GTLG thì học sinh có gặp khó khăn gì trong quá trình giải toán hay không? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở phần sau

Trong bài chứng minh các công thức:

Chứng minh 2 công thức còn lại dựa vào công thức thứ nhất vừa chứng minh

Như vậy, công thức sin2 + cos2 = 1 bây giờ đã đúng cho 0o ≤  ≤ 180o

Trong sách bài tập Hình 10

Ở phần GTLG của góc  (0o ≤  ≤ 180o) có một bài liên quan đến tính giá trị của biểu thức; trong đó số đo các góc là không đặc biệt, câu trả lời là dựa vào tính chất 2 góc bù nhau, 2 góc phụ nhau

Có 3 bài liên quan đến vận dụng hệ thức cơ bản để tính toán:

Như vậy, trong phần GTLG của 1 góc, SGK và SBT hình 10 đã đề cập đến các dạng góc, đặc biệt và không đặc biệt, đồng thời cũng tiếp cận luôn vấn đề dấu của các GTLG; trong đó có 1 bài tập

đã nói được cùng 1 giá trị sin > 0 thì có 2 số đo góc   [0o, 180o] thoả mãn giá trị đó (Bài số 3 trang 38) (SBT hình 10)

2.3.3 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 3 (tam giác thường) : Giải tam giác thường

Phần này đã được Nghiêm Thị Xoa nghiên cứu và trình bày trong luận văn “Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề “Giải tam giác” Vì thế, trong phần này, chúng tôi sẽ tóm tắt những kết quả mà tác giả Nghiêm Thị Xoa đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình

“Sau khi được trang bị thêm GTLG của góc  (0o ≤  ≤ 180o) thì học sinh đã tính được góc, cạnh của tam giác thường bằng:

 Định lý côsin

 Định lý sin

 Kết hợp cả định lý sin và định lý cosin

Tác giả đã tìm được 2 quy tắc hợp đồng didactic trong phần này là:

 Số đo của 1 góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 90o

 Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được”

Sau đây là những ghi nhận của chúng tôi

 TSLG của góc nhọn đã làm gián đoạn việc giải tam giác (học sinh không giải tam giác

thường trực tiếp được) và chỉ tìm được các TSLG của góc nhọn mà thôi (Học sinh không có công cụ để làm việc với các góc có số đo lớn hơn)

 Định nghĩa GTLG của góc  (0 o ≤  ≤ 180 o ) là “cầu nối” để chuyển từ TSLG của góc nhọn sang GTLG của góc  bất kỳ

 Quá trình chứng minh định lý sin, SGK đã kế thừa hệ thức lượng trong tam giác vuông

(mà thực tế là TSLG của góc nhọn) Hay nói chính xác là SGK đã vận dụng các TSLG của góc nhọn vào chứng minh định lý sin

Bây giờ chúng tôi sẽ phân tích tiếp lượng giác trong đường tròn được thể hiện ở chương VI của SGK Đại số 10 Chúng tôi chỉ tiến hành phân tích, các TCTH liên quan đến những kiểu nhiệm vụ thể hiện yếu tố kế thừa hoặc gián đoạn từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn

2.4 Lượng giác trong đường tròn (với  bất kỳ)

Từ TSLG của góc nhọn (0 o <  < 90 o ), mở rộng ra là GTLG của góc hình học  (0 o ≤  ≤

180 o ) nhờ nửa đường tròn đơn vị trong sách Hình học 10 nâng cao Sau đó trong SGK Đại số 10 nâng cao lại mở rộng GTLG của góc hình học thành GTLG của góc lượng giác  (cung lượng giác

), người ta cần đến đường tròn lượng giác và hệ toạ độ vuông góc gắn với nó

SGK đại số 10 nâng cao đã định nghĩa các GTLG của góc lượng giác (cung lượng giác) như sau:

Với mỗi góc lượng giác (Ou; Ov) có số đo , ta lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho = 

Gọi M (x; y)

AM

 sin (Ou, Ov) = sin = y (Tung độ của M)

 cos (Ou, Ov) = cos = x (Hoành độ của M)

 tan (Ou, Ov) = tan = sin ( k ; k Z)

Định nghĩa GTLG của góc lượng giác đã kế thừa định nghĩa GTLG của góc hình học Định

nghĩa này mang tính chất trực quan mô tả

Chúng ta nhìn lại định nghĩa này trong từng giai đoạn

Giai đoạn 1: Định nghĩa TSLG của góc nhọn  (0o <  < 90o)

Giai đoạn 2: Định nghĩa GTLG của góc  (0o    180o)

Giai đoạn 3: Định nghĩa GTLG của góc  ( bất kỳ)

Để thấy rằng việc mở rộng số đo của góc  trong mỗi định nghĩa trên là hợp lý và đi đôi với nó là mức độ phức tạp của các định nghĩa này cũng tăng dần lên

Cả 3 giai đoạn của định nghĩa này đều xoay quanh vấn đề định nghĩa sin, cos, tan, cot qua đó thể hiện rõ lượng giác được giảng dạy trong một số giai đoạn ở bậc phổ thông có tính chất đồng tâm, lớp trước học, lớp sau cũng học nhưng chiều sâu và chiều rộng tăng lên, kiến thức ở lớp trước hỗ trợ cho kiến thức ở lớp sau, ngược lại kiến thức ở lớp sau giải thích rõ các vấn đề ở lớp dưới đã học

Trong 3 định nghĩa của 3 giai đoạn trên thì

 Định nghĩa ở giai đoạn 2 đúng cho trường hợp ở giai đoạn 1

 Định nghĩa ở giai đoạn 3 lại đúng luôn cho cả 2 giai đoạn trước đó

Hay nói cách khác với định nghĩa sin, cos, tan, cot ở giai đoạn 3 có thể giải quyết được hầu hết các vấn đề của lượng giác xoay quanh sin, cos, tan, cot Vậy tại sao SGK vẫn phải đi vòng qua định nghĩa cho giai đoạn 1, giai đoạn 2 rồi mới đến giai đoạn 3

Chúng tôi giải thích điều này như sau:

Thứ nhất:

Để đi đến định nghĩa GTLG của góc  bất kỳ học sinh phải được trang bị các kiến thức sau:

 Hệ toạ độ vuông góc

 Sự tương ứng giữa 1 số thực  với 1 điểm M (x, y) trên đường tròn lượng giác

 Mở rộng góc hình học ra thành góc lượng giác mà học sinh ở lớp 9 thì không thể một lúc đồng thời đón nhận khối kiến thức lớn như vậy

Thứ hai:

Sở dĩ phải qua 2 giai đoạn 1 và 2 bởi lẽ kiến thức lượng giác đưa vào ở mỗi giai đoạn đã giải quyết thoả đáng cho các yêu cầu theo sau nó Hay nói cách khác là lượng giác đã đóng vai trò là công cụ để giải quyết cho “lớp” bài toán theo sau:

Ví dụ:

 TSLG của góc nhọn: Giải quyết loại toán giải tam giác vuông

 GTLG của góc   [0o; 180o]: Giải quyết được dạng toán liên quan đến tích vô hướng của 2 véctơ và giải tam giác thường

 GTLG của góc  bất kỳ: Giải quyết các dạng toán liên quan đến công thức lượng giác, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác…

Như vậy, việc đưa kiến thức vào thời điểm nào là vô cùng quan trọng bởi lẽ: “Một khái niệm mới chỉ được tiếp nhận 1 cách có hiệu quả khi nó được đưa vào đúng chỗ, đúng lúc, vì đưa ra sớm quá thì không gắn được với các khái niệm khác, học sinh sẽ chóng quên, do chưa thấy ngay

những ứng dụng của khái niệm mới” (Trích tài liệu bồi dưỡng dạy SGK lớp 11 CCGD - Bộ GD và

ĐT – Vụ giáo viên – 1991)

Nếu định nghĩa TSLG của góc  nhọn là nền tảng cơ sở cho GTLG của góc  với   [0o;

180o] thì GTLG của  với   [0o; 180o] lại đóng vai trò trung gian, là cầu nối để chuyển từ TSLG của góc nhọn sang GTLG của góc  bất kỳ; đồng thời nó còn là “bước đệm” để chuẩn bị cho học sinh lớp 11 học Phương trình lượng giác, hàm số lượng giác…

Theo chúng tôi có thể có những kiểu nhiệm vụ sau:

T1 (Tính) : GTLG của góc  có số đo đặc biệt

T2 (Dấu): Xác định dấu của GTLG

T4 (Tính GTLG còn lại) : Tính các GTLG còn lại của góc  khi biết một GTLG của nó

T5 (Chứng minh): Chứng minh đẳng thức lượng giác

2.4.1 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ

T 1 (Tính): Tính GTLG của góc  có số đo đặc biệt1

1 (Tính):

 Định nghĩa GTLG của góc 

 Tương ứng 1-1 giữa số thực  với 1 điểm M (x, y) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ =  AM

1 (Tính):

 Định nghĩa góc lượng giác, cung lượng giác

 Kỹ thuật này được thể hiện qua ví dụ 1 trang 194 (SGK Đại số 10)

Đây là vết của kỹ thuật  3 (Tính GTHSLG)

Nhận xét: Các góc

y

O

M

Ax

3 2



y

O

M

2 2



225 o

2 2

Trong dạng bài tập “Không dùng bảng số và MTBT để tính các GTLG của góc ” đều có chung một đặc điểm là các góc này có số đo là góc đặc biệt hoặc có thể biến đổi đưa về các góc đặc biệt dựa vào bộ công thức liên hệ giữa các cung liên kết (đối, bù, phụ…) Bởi vậy chúng tôi đặt câu hỏi: Nếu yêu cầu tính GTLG của  mà  không là góc đặc biệt và cũng không liên quan với góc đặc biệt thì học sinh ứng xử như thế nào Do đó ở đây chúng tôi thấy tồn tại ngầm ẩn một quy tắc của hợp đồng didactic đó là:

R 3 : Tính các GTLG của góc  mà không dùng bảng số và MTBT thì  luôn có số đo đặc biệt

hoặc có liên quan với các góc đặc biệt

Từ đó phân chia trách nhiệm và nhiệm vụ của giáo viên và học sinh Quy tắc này xuyên suốt các bài tập thuộc dạng này trong SGK và SBT

2.4.2 Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ:

 Định nghĩa GTLG của góc (cung) lượng giác

 Kiểu nhiệm vụ này thể hiện qua:

Ví dụ 4 trang 199 (SGK Đại số 10)

H4: Trên đường tròn lượng giác gốc A, xét cung lượng giác AM có số đo  Hỏi điểm M nằm trong nửa mặt phẳng nào thì cos > 0, cos < 0 Cũng câu hỏi đó cho sin

H5: Hỏi điểm M nằm trong góc phần tư nào thì:

a) tan(OA, OM) > 0?

b) cot(OA, OM) < 0?

Như vậy SGK đã quan tâm đến phần dấu của các GTLG của góc , nhưng SGK không đưa ra bảng tóm tắt dấu của các GTLG của góc  Và với chú ý trong SGV là: “nên nhắc nhở học sinh là nếu cần thì vẽ hệ toạ độ rồi từ định nghĩa sin; cosin (nhờ toạ độ), suy ra dấu của sin, cos, tan, cot …

Nhận xét:

Kỹ thuật tìm GTLG của góc  khi biết 1 GTLG của nó đã có sự gián đoạn và kế thừa như sau:

 Với TSLG của góc nhọn, học sinh chỉ làm việc với góc có số đo thuộc (0o; 90o)

 Với GTLG của góc ,   [0o; 180o], học sinh được làm việc với góc có số đo thuộc [0o;

180o]

 Với GTLG của góc  bất kỳ, học sinh đã được làm việc với góc có số đo bất kỳ

Ngược lại: Mỗi định nghĩa của giai đoạn sau lại là sự kế thừa và mở rộng của định nghĩa

trong giai đoạn trước nó