bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn ở đầu cấp trung học cơ sở

pha nối khớp biện chứng giữa các hoạt động thực nghiệm - lý thuyết, tăng cường các suy luận và chứng minh mẫu, dùng hình vẽ để làm rõ hạn chế và sai lầm của kết quả rút ra từ ghi nhận th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Huyền

BƯỚC CHUYỂN TỪ HÌNH HỌC GHI NHẬN SANG HÌNH HỌC SUY DIỄN Ở

ĐẦU CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Huyền

BƯỚC CHUYỂN TỪ HÌNH HỌC GHI NHẬN SANG HÌNH HỌC SUY DIỄN Ở

ĐẦU CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

Ban Giám Hiệu cùng quí thầy cô đồng nghiệp trường THPT Vũng Tàu – Tp.Vũng Tàu nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tôi hoàn thành tốt khóa học

Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ toán Trường THCS Nguyễn Thái Bình đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp didactic Toán khóa 20, đặc biệt cảm ơn anh Sinh, chị Hạnh vì những sẻ chia trong thời gian học tập

Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá trình học tập của tôi

Nguyễn Thị Thu Huyền

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 4

4 Cấu trúc của luận văn 5

CHƯƠNG I: HÌNH HỌC GHI NHẬN, HÌNH HỌC SUY DIỄN VÀ KHÁI NIỆM CHỨNG MINH TRONG LỊCH SỬ 6

1 Hình học ghi nhận và Hình học suy diễn Quan điểm thực nghiệm và quan điểm tiên đề 6

2 Hình học ghi nhận và Hình học suy diễn trong lịch sử hình học 7

3 Nhu cầu và các hình thức chứng minh qua các giai đoạn 10

3.1 Chứng minh trong giai đoạn Hy Lạp cổ - Chứng minh để thuyết phục 10

3.2 Chứng minh ở thế kỷ 17, 18 – Chứng minh là soi sáng 11

3.3 Chứng minh ở thế kỷ 19, 20 – Chứng minh tính phi mâu thuẫn 12

KẾT LUẬN 14

CHƯƠNG II: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG GIAI ĐOẠN CHUYỂN TIẾP TỪ HÌNH H ỌC GHI NHẬN SANG HÌNH HỌC SUY DIỄN 15

1 Bước chuyển từ Hình học ghi nhận sang Hình học suy diễn trong các chương trình 1999, 2001 17

2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong chương trình và SGK Hình học 6 18

2.1 Sự chuẩn bị về tiền đề vật chất cho việc học tập suy luận và chứng minh 18

2.2 Những yếu tố đầu tiên của hoạt động suy luận 27

3 Mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong chương trình Hình học lớp 7, tập 1 40

3.1 Trước và tại thời điểm đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý Chương

I « Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song » 40

3.2 Sau khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý Chương II “Tam giác” 45 KẾT LUẬN 50

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM 52

1 Mục đích và giả thuyết nghiên cứu 52

2 Giới thiệu thực nghiệm 52

2.1 Bộ câu hỏi thực nghiệm 52

2.2 Hình thức thực nghiệm 53

3 Phân tích bộ câu hỏi thực nghiệm 53

4 Phân tích tiên nghiệm 55

4.1 Các biến didactic 55

4.2 Các chiến lược có thể 57

4.3 Cái có thể quan sát được 58

5 Phân tích hậu nghiệm 61

KẾT LUẬN 64

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

PHỤ LỤC: XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG THỰC HIỆN SỰ NỐI KHỚP GIỮA HÌNH HỌC GHI NHẬN VÀ HÌNH HỌC SUY DIỄN 71

1 Mục đích 71

2 Giới thiệu tình huống và phân tích tiên nghiệm 72

2.1 Tình huống thực nghiệm số 1 (Lập luận để chứng minh là khái quát cho mọi trường hợp, không phụ thuộc vào dụng cụ đo, vào thực nghiệm, vào từng trường hợp riêng) 72

2.1.1 Bài toán thực nghiệm 72

2.1.2 Kịch bản 73

2.1.3 Biến 74

2.1.4 Các chiến lược có thể 74

2.1.5 Cái có thể quan sát 75

2.2 Tình huống 2: Trò chơi “tập làm thầy giáo” (dùng phản ví dụ để bác bỏ) 76

2.2.1 Giới thiệu tình huống: 76

2.2.2 Kịch bản: 76

2.2.3 Biến 78

2.2.4 Các chiến lược có thể 79

2.2.5 Cái có thể quan sát của các chiến lược 79

PHỤ LỤC: MẪU PHIẾU THỰC NGHIỆM VÀ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH 80

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

“Có ý kiến đồng nhất hình học với phương pháp suy diễn Nói như vậy là để nhấn mạnh vai trò của hình học đối với việc rèn luyện kỹ năng lập luận cho học sinh […] Lập luận trong hình học rất phong phú vì trước hết nó dựa trên việc quan sát hình vẽ, xây dựng phỏng đoán, xem xét có phê phán phỏng đoán vừa được hình thành và cuối cùng là tìm một sự hợp thức có tính thuyết phục bằng cách chứng minh Đây là một quá trình trong đó mối liên hệ giữa trực giác và tính chặt chẽ của lập luận thường xuyên được duy trì” (Lê Thị Hoài Châu, 2004, tr.46)

Việc dạy học hình học được bắt đầu từ bậc tiểu học, thậm chí từ trước đó Ở giai đoạn này, học sinh tiếp thu các kiến thức hình học dựa trên những hình ảnh quan sát trực tiếp và các hoạt động thực hành như đo đạc, tô - vẽ, cắt - ghép, gấp - xếp hình Việc thực hiện các phép chứng minh bằng lập luận suy diễn hoàn toàn

không được đặt ra

Vấn đề là đối với bậc trung học thì dạy học hình học phải thực hiện bước chuyển từ quan sát, thực nghiệm sang lập luận hình thức như thế nào cho phù hợp với trình độ của học sinh để từng bước phát triển năng lực tư duy logic và trừu tượng cho họ

Theo các tác giả Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải, và Trần Thị Tuyết Dung:

“Chương trình và sách giáo khoa thí điểm đã ngầm vận dụng quan điểm thực nghiệm trong dạy học hình học Đây là một sự lựa chọn đúng đắn cho phép tiến hành một sự chuyển tiếp giữa hai cách tiếp cận hình học Tuy nhiên, sự vận dụng này còn nửa vời và chưa triệt để”

“Nhiều biện pháp sư phạm cũng đã được tính đến với mục đích thu nhỏ sự ngắt quãng giữa cách tiếp cận hình học bằng ghi nhận và suy diễn Chẳng hạn tính đến các hoạt động khác nhau như: bước đầu làm quen với diễn đạt “nếu … thì”, thể hiện bằng lời các mệnh đề, tập điền vào chỗ trống, tập suy luận từ đơn giản đến phức tạp, làm quen không tường minh với các định lý thuận và đảo, thực hiện các

pha nối khớp biện chứng giữa các hoạt động thực nghiệm - lý thuyết, tăng cường các suy luận và chứng minh mẫu, dùng hình vẽ để làm rõ hạn chế và sai lầm của kết quả rút ra từ ghi nhận thực nghiệm,…”

Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng việc từ bỏ ghi nhận thực nghiệm với vai trò hợp thức hóa các kết quả lý thuyết không thể thực hiện được chỉ nhờ vào sự ép buộc của giáo viên, mà dường như phải tạo ra những tình huống học tập trong đó chính học sinh tự nhận thức được tính cần thiết của việc loại bỏ này, tình huống cũng phải cho phép học sinh lĩnh hội dần các quy tắc tranh luận và kiểm chứng trong Toán học

Với những ghi nhận ban đầu như trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau đây:

• Q0’: Chứng minh là gì? Vì sao phải chứng minh? Chứng minh xuất hiện và tiến triển ra sao trong lịch sử ?

• Q1’: Bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn được thực hiện như thế nào trong chương trình Toán lớp 6, 7 hiện nay? Sách giáo khoa đã tính đến những hoạt động nào để học sinh ý thức được rằng một kết luận toán học được khẳng định là đúng phải bằng suy luận chứng minh chứ không phải bằng đo đạc hay nhìn hình vẽ - vốn là phương pháp tiếp cận hình học mà học sinh được học một thời gian rất dài ở các lớp trước đó? Những hoạt động nào được tính đến để học sinh làm quen dần với việc suy luận và chứng minh các tính chất hình học?

• Q2’: Sự lựa chọn của chương trình và sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến việc học của học sinh?

• Q3’: Làm thế nào để xây dựng những tình huống cho phép thực hiện sự nối khớp hình học ghi nhận và hình học suy diễn trong đó chính học sinh tự nhận thức được tính cần thiết của việc thực hiện các suy luận để hợp thức hóa một kết quả và lĩnh hội được các quy tắc tranh luận và kiểm chứng trong Toán học?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

Khung lý thuyết tham chiếu được chúng tôi lựa chọn là lý thuyết nhân chủng học và lý thuyết tình huống

Gọi I là thể chế dạy học hình học ở lớp 6, 7 hiện nay (giai đoạn chuyển tiếp

từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn) và O là đối tượng suy luận và chứng minh Lý thuyết nhân chủng học cho phép phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế R(I,O), từ đó xác định ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế này lên việc hình thành mối quan hệ cá nhân của học sinh (X)

Lý thuyết tình huống được vận dụng để xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép thực hiện sự nối khớp giữa hình học ghi nhận và hình học suy diễn - chính học sinh tự nhận thức được tính cần thiết của việc thực hiện các suy luận để hợp thức hóa một kết quả và lĩnh hội được các quy tắc tranh luận và kiểm chứng trong Toán học

Với phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu trên, mục đích của luận văn là tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

• Q0: Các đặc trưng của khái niệm chứng minh là gì?

• Q1: Đặc trưng của cách trình bày các tri thức hình học ở lớp 6 và 7 là gì? Sự nối khớp giữa hình học ghi nhận và hình học suy diễn có được thực hiện hay không

và thực hiện như thế nào?

• Q2: Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng O?

• Q3: Tình huống thực hiện sự nối khớp giữa hình học ghi nhận và hình học suy diễn cần phải đảm bảo những điều kiện gì? Xây dựng như thế nào?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu của mình như sau:

+ Tổng hợp những nghiên cứu liên quan đến đề tài Cụ thể, chúng tôi sẽ tổng hợp kết quả từ các tài liệu sau:

 Trần Thị Tuyết Dung (2002), Nghiên cứu didactic bước chuyển từ hình học

“quan sát – thực nghiệm” sang hình học suy diễn Luận văn thạc sĩ didactic Toán

Người hướng dẫn: Lê Văn Tiến và Đoàn Hữu Hải

 Trần Thị Thanh Hương (2002), Nghiên cứu mối liên hệ giữa kiến thức về

chứng minh trong hình học được giảng dạy cho sinh viên cao đẳng sư phạm và cho học sinh Trung học cơ sở, Luận văn thạc sĩ didactic Toán, Người hướng dẫn: Lê

Văn Tiến

 Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải (2004), Chứng minh ở trường phổ thông:

Nghiên cứu lịch sử, khoa học luận, didactic và điều tra thực trạng dạy học về chứng minh ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu

khoa học cấp bộ

+ Phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 6, 7 hiện hành (có kế thừa các phân tích của Trần Thị Tuyết Dung trên chương trình lớp

7 thí điểm) để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng O

Chúng tôi nhận thấy rằng, nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong chương trình và SGK Hình học 6 là điều mà tác giả Trần Thị Tuyết Dung chưa thực hiện Theo chúng tôi, điều này là cần thiết giúp cho việc nghiên cứubước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn được đầy đủ hơn Mốc T0 (thời điểm đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý) là một thời điểm quan trọng đánh dấu sự chuyển tiếp Do đó, để có thể thấy được từng bước của sự tiến triển trong bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn, chúng tôi tiếp tục phân tích (có kế thừa) về mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong chương trình và SGK Hình học 7 trên các phương diện: các định lý đã được đưa vào như thế nào, suy luận được yêu cầu ở mức độ

nào, trực giác có mặt ở mức độ nào? Như vậy, phân tích để cho thấy sự tiến triển trong bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn từ lớp 6 lên lớp 7 là điểm khác biệt thứ 2 của chúng tôi so với nghiên cứu trước đây của Trần Thị Tuyết Dung

+ Từ các phân tích trên, xác định ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng suy luận và chứng minh Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng

+ Xây dựng và triển khai một tình huống adidactic thực hiện sự nối khớp giữa hình học ghi nhận và hình học suy diễn trên cơ sở các phân tích đã thực hiện

4 Cấu trúc của luận văn

Phần mở đầu

Chương 1: Nghiên cứu các đặc trưng khoa học luận của khái niệm chứng minh Chương 2: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh

trong giai đoạn chuyển tiếp từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn

Chương 3: Thực nghiệm: Kiểm chứng những ảnh hưởng của thể chế đến việc học

của học sinh

KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

Phụ lục: + Xây dựng tình huống thực hiện sự nối khớp giữa hình học ghi nhận và

hình học suy diễn trên cơ sở các phân tích đã thực hiện

+ Phiếu thực nghiệm và một số bài làm của học sinh

CHƯƠNG I: HÌNH HỌC GHI NHẬN, HÌNH HỌC SUY DIỄN

Trong chương này trước hết chúng tôi sẽ giải thích rõ các thuật ngữ Hình học

ghi nhận, Hình học suy diễn Sau đó chúng tôi sẽ cố gắng tìm những yếu tố cho

phép trả lời các câu hỏi liên quan đến đặc trưng của khái niệm chứng minh: Chứng

minh là gì? Vì sao phải chứng minh? Chứng minh xuất hiện và tiến triển ra sao trong lịch sử ?

Những kết quả có được trong chương này là sự tổng hợp các nghiên cứu của

Lê Thị Hoài Châu (2004) (“Phương pháp dạy học - hình học ở trường THPT, Nhà

xuất bản Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh”) và Lê Văn Tiến (2004) (đề tài

cấp Bộ: “Chứng minh ở trường phổ thông: Nghiên cứu lịch sử, khoa học luận,

didactic và điều tra thực trạng dạy học về chứng minh ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay”)

1 Hì nh học ghi nhận và Hình học suy diễn Quan điểm thực nghiệm và quan điểm tiên đề

Chúng tôi dùng hai thuật ngữ “Hình học ghi nhận” và “Hình học suy diễn”

để chỉ hai cách tiếp cận hình học

Trong cách tiếp cận hình học bằng ghi nhận, các kiến thức hình học thu được

là kết quả trực tiếp của việc quan sát hình vẽ, mô hình và các hoạt động thực hành như đo đạc, tô vẽ, cắt ghép, gấp xếp hình

Trong cách tiếp cận hình học bằng suy diễn thì các kết quả hình học đều được chứng minh nhờ vào các định nghĩa và tính chất đã có trước đó, trên cơ sở một

hệ tiên đề và một số khái niệm cơ bản (không định nghĩa)

Nếu như trong việc xây dựng các kiến thức hình học có hai cách tiếp cận -

ghi nhận và suy diễn - thì trong dạy học người ta lại nói đến quan điểm thực nghiệm

và quan điểm tiên đề

Theo quan điểm thực nghiệm, người ta cho học sinh thiết lập các tính chất

hình học trên cơ sở quan sát, đo đạc, cắt ghép hình, “Những sách giáo khoa theo

xu hướng này hình thành các khái niệm và tính chất hình học theo tiến trình quan sát - thực nghiệm - mô tả - khái quát hoá Yêu cầu chủ yếu của dạy - học hình học, nhất là đối với bậc Trung học cơ sở, là luyện tập sử dụng các dụng cụ quen thuộc

để vẽ hình, đo đạc, rồi quan sát và mô tả hình, qua đó hiểu và vận dụng được các khái niệm, rút ra một số tính chất của các hình.[ ] Ở đây người ta chú trọng suy luận quy nạp, thực hành, thí nghiệm trên hình vẽ, cắt ghép hình, xếp hình, đo đạc,

… qua đó “phát hiện” các định lý (hầu hết các định lý không được chứng minh bằng suy diễn) (Lê Thị Hoài Châu, 2004, tr.58)

Khác với quan điểm thực nghiệm, quan điểm tiên đề lại chú trọng vào việc trình bày kiến thức theo một hệ thống logic chặt chẽ trên cơ sở một hệ tiên đề được trình bày tường minh Ở đây người ta đặt ra yêu cầu cao cho học sinh về khả năng suy luận diễn dịch Quan điểm này cho rằng “giai đoạn nghiên cứu hình học bằng

mô tả - thực nghiệm đã được tiến hành ở lớp dưới nên bắt đầu từ Trung học cơ sở phải chuyển sang trình bày nó thành một khoa học suy diễn, tuy không quá hình thức và trừu tượng như thời kỳ hiện đại hoá môn toán” (Lê Thị Hoài Châu, 2007,

tr.84)

2 Hình học ghi nhận và Hình học suy diễn trong lịch sử hình học

Lịch sử hình học trải qua hai giai đoạn, từ hình học ghi nhận đến hình học suy diễn

Có thể nói rằng hình học là một phân môn toán học phát triển sớm hơn so với các phân môn khác Giai đoạn đầu của hình học đã có từ thời Ai Cập và Babilon

cổ Những tài liệu toán học cổ nhất cho thấy nguồn gốc của hình học gắn liền với các vấn đề thực tế mà trước hết là đo đạc ruộng đất và xây cất các công trình kỷ niệm Vào thời kỳ này, những khái niệm đầu tiên của hình học đã ra đời, người ta

đã biết tính diện tích các hình phẳng đơn giản như hình tam giác, hình thang, hình tròn và thể tích một số hình không gian thông thường như hình hộp chữ nhật, hình chóp đáy vuông …

“ Tuy nhiên, dù đã tích lũy được một số lượng khá lớn các khái niệm cũng như công thức phức tạp, loài người cho đến lúc bấy giờ vẫn chưa thiết lập mối liên

hệ logic giữa chúng, và vì thế các bài toán riêng lẻ chưa được thống nhất lại trong một hệ thống chung Hình học Ai cập và Babylone cổ chỉ là tập hợp một số khái niệm và công thức tính toán cho phép đo đạc trên các hình, chưa đạt đến trình độ của một khoa học suy diễn” (Lê Thị Hoài Châu, 2004, tr.7)

Các nhà hình học Hy Lạp là những người đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển môn hình học Nếu trước kia các nhà bác học chỉ đặt câu hỏi

“làm thế nào” trước một bài toán thì bây giờ họ đặt thêm câu hỏi “tại sao” Trong thời kì này, phải kể đến tên tuổi của Thalès và Pythagore, Zénon, Hyppocrates và Platon

Thalès là người đã đưa ra cách xác định tam giác bởi một cạnh và hai góc kề với nó, phương pháp tính khoảng cách giữa hai địa điểm mà người ta không có điều kiện để đo trực tiếp hoặc tính chiều cao một vật khi biết chiều dài bóng của nó trên mặt đất và giải thích cho các cách tính này Ông cũng đã chứng minh được một số tính chất như: “đường kính chia đường tròn thành hai hình bằng nhau”, “góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông”, “tam giác cân có các góc ở đáy bằng nhau”, “mọi góc vuông đều bằng nhau”, “ hai đường thẳng cắt nhau tạo thành các

góc đối đỉnh bằng nhau”

Pythagore được xem như là người đầu tiên xây dựng hình học như một khoa

học suy diễn “Để nghiên cứu hình học, ông xuất phát từ một số cơ sở đầu tiên của

nó, và cố gắng chứng minh các định lý bằng suy luận logic chứ không phải bằng cách dựa vào trực giác” (Lê Thị Hoài Châu, 2004, tr.9) Một số kết quả của ông và

những người cùng trường phái: Định lý về tổng các góc trong một tam giác, chia mặt phẳng thành các đa giác đều, giải phương trình bậc hai bằng hình học – áp dụng các phép tính về diện tích, dựng một đa giác có diện tích cho trước và đồng dạng với một đa giác cho trước, có năm loại khối đa diện đều, định lý Pythagore (trước đây người Babylon mới chỉ biết đến một số trường hợp riêng của định lý này), tính cực trị đường tròn và mặt cầu, tồn tại các đoạn thẳng vô ước

Hyppocrates, một người thuộc trường phái Pythagore, đã áp dụng một cách triệt để các quy tắc suy diễn để đi từ kết quả này đến kết quả khác

Platon cũng là người có nhiều đóng góp cho việc xây dựng hình học thành khoa học suy diễn Năm 337 trước CN, ông đã lập ra một viện nghiên cứu giảng dạy

triết học và toán học, trên cửa chính của viện có khắc dòng chữ “Không ai cần vào

dưới mái nhà của tôi nếu đó không phải là một nhà hình học” “Chính từ những người thân cận của Platon mà xuất hiện sự phân biệt giữa thế giới thực với thế giới trừu tượng Các phép chứng minh do họ xây dựng đã mang đặc trưng toán học, tách khỏi những yếu tố thu được qua kinh nghiệm hoặc quan sát đơn giản”(Lê Thị

Hoài Châu, 2004, tr.12);

Kể từ giai đoạn Hy Lạp cổ trở đi, sự chứng minh bằng logic đã trở thành phương pháp cơ bản để khẳng định tính chân thật của một mệnh đề toán học Nói đến hình học là phải nói đến suy diễn logic Môn cơ sở hình học được ra đời vào thế

kỉ III trước công nguyên với mục đích là nghiên cứu việc sắp xếp các kiến thức hình học theo một trình tự suy luận logic Nhiều tác phẩm về hình học đã xuất hiện

nhưng tất cả dường như bị bỏ quên sau khi Bộ Cơ sở của Euclid ra đời

“ Với bộ Cơ sở, Euclid nhằm hệ thống hóa kho kiến thức hình học mà loài người tích luỹ được cho đến thời ông thành một lý thuyết toán học hoàn chỉnh

Mỗi cuốn của bộ Cơ sở đều bắt đầu bằng những định nghĩa, ngoài ra, trong cuốn thứ nhất còn có 5 định đề và 5 tiên đề Sau khi đưa ra các định nghĩa, định đề

và tiên đề, Euclid trình bày hình học theo một thứ tự suy diễn logic sao cho mọi kết quả đều được chứng minh bằng cách dựa vào các định nghĩa, định đề, tiên đề và định lý đã có trước đó Toàn bộ 13 cuốn của bộ Cơ sở thể hiện ý đồ xây dựng hình học một cách chặt chẽ, hợp logic Do đó người ta xem Euclid như là người đầu tiên đặt nền móng cho phương pháp tiên đề và lấy tên ông đặt cho Hình học đã được ông xây dựng lại - hình học Euclid

Tuy nhiên, trực giác vẫn có mặt ở một mức độ nào đó trong công trình của Euclid Chính điều này đã dẫn đến sự không đầy đủ trong những cái có liên quan đến thứ tự và tính liên tục Dù vậy, tác phẩm của ông đã tạo nên bước tiến vĩ đại đến lập luận trừu tượng Trong tác phẩm này hình học đã có một mục đích, một đối tượng, một nghĩa khác với những gì có trong hình học thực hành trước đó Như

chúng ta biết, việc trừu tượng hoá hình học bằng phương pháp tiên đề sau này đã

mở rộng phạm vi áp dụng của hình học, tạo điều kiện cho sự ra đời của nhiều môn hình học khác” (Lê Thị Hoài Châu, 2004, tr.14)

Chính là trong quá trình hoàn thiện hệ tiên đề của Euclid mà các lý thuyết hình học phi Euclid ra đời Và cho đến thế kỉ thứ XIX thì người ta đã đưa ra được một hệ tiên đề đầy đủ về hình học Euclid trong đó không cho phép bất cứ trực giác nào được xen vào quá trình chứng minh các định lý từ các tiên đề đó Hình học ngày càng phát triển và đạt được nhiều thành tựu to lớn

Trong phần dưới, trên cơ sở công trình nghiên cứu của các tác giả Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải (2004), chúng tôi sẽ tìm hiểu sâu hơn sự hình thành các hình thức chứng minh trong hình học

3 Nhu cầu và các hình thức chứng minh qua các giai đoạn

3.1 Chứng minh trong giai đoạn Hy Lạp cổ - Chứng minh để thuyết phục

Những mầm mống của chứng minh thực ra được tìm thấy từ thời kì cổ đại, là các “kiểm chứng”, “giải thích”, “kiểm tra” xuất hiện một cách tách rời Tuy nhiên hầu như các nhà nghiên cứu đều thỏa thuận chấp nhận rằng chứng minh nảy sinh vào thời Hy Lạp cổ Lí do vì trong thời kì này người ta đã sử dụng một cách hệ thống các chứng minh

Trong giai đoạn này, chứng minh xuất hiện như một hành vi xã hội trong một nhóm người có cùng suy nghĩ, cùng hiểu biết giao tiếp với nhau, và có mục đích

thuyết phục người khác Nói cách khác, chứng minh lấy nghĩa là thuyết phục

Nhiều nhà nghiên cứu (như Arsac, Barbin, …) chia sẻ ý kiến cho rằng thói quen biện lí, tranh luận được chuyển từ lĩnh vực chính trị sang toán học Tuy nhiên, nghiên cứu trong didactic lại dẫn Arsac đến một giả thuyết khác về nguồn gốc của chứng minh, ông cho rằng sự ra đời của chứng minh còn có thể xuất phát từ mong muốn giải quyết một số vấn đề toán học chuyên biệt Ông đưa ra lí do cho các giả thuyết của mình như sau:

+ Có sự trùng hợp về mặt lịch sử (trong khoảng thời gian gần một thế kỉ) giữa sự ra đời của hình học và sự ra đời của triết học và nền dân chủ

+ Có sự trùng hợp về mặt lịch sử giữa sự xuất hiện phép chứng minh với việc giải các bài toán về tính vô tỉ: một mặt, số hai không có căn bậc hai hữu tỉ, mặt khác, đường chéo của hình vuông vô ước với cạnh của nó

Theo ông, các kiểm chứng liên quan tới tính vô tỉ trong phạm vi số học kéo theo việc sử dụng một cách tự nhiên suy luận bằng phản chứng Theo Lê Văn Tiến (2004), ông viết: “Kiểu kiểm chứng này chỉ sử dụng suy luận bằng phản chứng và

những tính chất chẵn lẻ mà không cần đến một tiến trình tiên đề hóa và tiến trình chứng minh” ; “suy luận phản chứng xuất hiện trước tất cả những chứng minh”

Điều này trái ngược hẳn với quan điểm của chúng ta ngày nay khi cho rằng chứng minh bằng phản chứng là rất khó đối với học sinh, và do đó, tránh đề cập chúng ngay từ giai đoạn khởi đầu của dạy học chứng minh

Một điểm đặc biệt là, các chứng minh Hy Lạp hầu như không tách rời các sơ

đồ, hình vẽ Người Hy Lạp không bao giờ đối lập hai yếu tố sơ đồ và chứng minh, trái lại, một sơ đồ có thể giữ vai trò một chứng minh Về mặt xã hội, việc nhờ đến tính rõ ràng của hình, của ngữ cảnh, thậm chí đến thứ bậc xã hội là những phương tiện hợp thức hóa được ngầm ẩn thừa nhận

Một câu hỏi khác cũng được các nhà nghiên cứu quan tâm làm rõ là: Nếu xem chứng minh như là thuyết phục thì làm thế nào để chứng minh Theo Lê Văn

Tiến (2004), vấn đề này Barbin viết: “Trước hết, cần thiết là người đối thoại phải

thừa nhận một vài điểm Đó là những lí lẽ đầu tiên mà trong tác phẩm Eléments

d ’Euclide chúng có tên là các định đề hay các yêu cầu Sau đó cần làm cho người đối thoại chấp nhận Suy luận diễn dịch được thực hiện với mục đích này” Ông

cũng viết “Đối với người Hy Lạp cổ, phép chứng minh được tiến hành theo cách

tổng hợp, tức là từ cái đã biết đến cái chưa biết”

3.2 Chứng minh ở thế kỷ 17, 18 – Chứng minh là soi sáng

Những chỉ trích chủ yếu (của Torricenli, Descartes, Pascal, Arnauld, Wallis,

….) về các chứng minh trong thời kì trước (của Eulide, Archimede,….) là:

+ Không làm rõ vì sao lại đề nghị chứng minh một kết quả nào đó Nói cách khác, không cho biết mệnh đề cần chứng minh có được từ đâu

+ Không chỉ rõ phương tiện khám phá, nghĩa là không cho biết làm thế nào

có được phương pháp chứng minh đó

Chính vì vậy, chứng minh ở thế kỷ 17 được quan niệm là có mục đích soi sáng, làm rõ Người ta nhấn mạnh trên việc thiết lập kết quả (mệnh đề cần chứng minh) và giải thích các phương pháp giải

Theo Lê Văn Tiến (2004), Barbin viện dẫn lời của Descartes từ tác phẩm

Phép tổng hợp vận dụng đến một loạt các định nghĩa, tiên đề, định lý và cả những

yêu cầu khác …., nó nhằm chiếm được sự đồng tình của độc giả cho dù họ có ngoan

cố đến đâu chăng nữa, nhưng nó không làm thỏa mãn hoàn toàn tâm trí của những người ham học hỏi, bởi lẽ nó không chỉ ra bằng cách nào mà sự việc được hình thành”

Như vậy, ở thế kỷ 17, 18, chứng minh không chỉ có vai trò hợp thức hóa chân lý của một mệnh đề mà còn có chức năng khám phá và tạo ra kết quả

3.3 Chứng minh ở thế kỷ 19, 20 – Chứng minh tính phi mâu thuẫn

Đến thế kỷ 19, một số nhà bác học không đồng tình rằng cái đưa đến sự rõ ràng là một chứng minh Bolzano đã không xem giải thích hình học và cả chứng minh của Cauchy về định lý giá trị trung gian như là một chứng minh Theo Lê Văn

Tiến (2004), ông viết: “Tuyệt nhiên không có gì để phản bác về tính đúng đắn và

tính hiển nhiên của định lý hình học này Nhưng rõ ràng cũng có một lỗi không thể chấp nhận được … vì người ta đã dựa trên những ghi nhận hình học để suy ra những chân lí toán học thuần túy … Trong khoa học, các chứng minh không thể là các p hương pháp đơn giản nhằm đạt được sự rõ ràng mà trước hết phải là những

cơ sở Cần phải làm rõ nền tảng khách quan của chân lý cần chứng minh” Bolzano

cũng bác bỏ các chứng minh dựa trên tư tưởng chuyển động và thời gian (như chứng minh của Legendre về định lý: Qua một điểm nằm trên một đường thẳng có thể kẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

Nhà bác học người Ý, Nardi cũng viết “tất cả những sự rõ ràng là chắc chắn

trong khi không phải mọi sự chắc chắn là rõ ràng”

Các phát biểu này đánh dấu một sự ngắt quãng lần hai về nghĩa của chứng minh: Chứng minh bây giờ được quan niệm là tạo ra sự không mâu thuẫn Như

vậy, một mệnh đề là đúng khi nó không mâu thuẫn với hệ tiên đề, với các mệnh đề

đã biết

Sau này sự ra đời của hình học phi Ơclid đã củng cố thêm quan điểm này Đồng thời cơ chế của các tiên đề bị thay đổi, đó không còn là những chân lý hiển nhiên đối với mọi người mà là những giả thiết tự do không bị bất cứ ràng buộc nào

Einstein viết “Điều duy nhất mà ta phải đặt ra là tính hợp thức của các tiên đề, các

tiên đề phải được quan niệm một cách hoàn toàn hình thức, tức là không có gì liên quan đến trực giác hay kinh nghiệm ….”

được xem như một điều kiện để có thể đi vào nghiên cứu toán học (“không

ai phải vào đây cả nếu không phải là một nhà hình học”)

- Hai yếu tố chủ yếu tạo động cơ cho sự nảy sinh chứng minh là: mâu thuẫn nội tại của toán học (mà việc giải quyết nó cho phép chứng minh xuất hiện như một công cụ giải quyết vấn đề) và mâu thuẫn tác động trong hoạt động xã hội dẫn tới nhu cầu thuyết phục người khác

- Trong giai đoạn Hy Lạp cổ, chứng minh lấy nghĩa là thuyết phục Đến thế kỷ

17, chứng minh được quan niệm là có mục đích soi sáng, làm rõ Và ở thế kỷ 19,

20, chứng minh được quan niệm là tạo ra sự không mâu thuẫn

- Suy luận bằng phản chứng xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử (thời Hy Lạp cổ) Tuy nhiên, theo Descartes, có hai cách chứng minh: chứng minh bằng phân tích (chỉ ra con đường đúng, theo đó về mặt phương pháp, một sự việc được tạo ra như thế nào) và chứng minh bằng tổng hợp (đi từ cái đã biết đến cái chưa biết)

- Đối với người Hy Lạp cổ, chứng minh hầu như không tách rời các sơ đồ, hình vẽ

Những kết quả đạt được trong chương I sẽ là cơ sở cho việc phân tích Sách giáo khoa và cho việc hình thành ý tưởng thiết lập các tình huống dạy học cho phép thực hiện sự nối khớp giữa hình học ghi nhận và hình học suy diễn mà chúng tôi sẽ thực hiện tiếp theo

CHƯƠNG II: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG GIAI ĐOẠN CHUYỂN TIẾP TỪ

HÌNH HỌC GHI NHẬN SANG HÌNH HỌC SUY DIỄN

Theo chúng tôi, để có thể nghiên cứu đầy đủ mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong giai đoạn chuyển tiếp từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn, cần phải có sự xem xét một cách tổng thể chương trình Hình học ở cấp Trung học cơ sở Với nhận xét rằng khái niệm định lý và chứng minh định lý được đưa vào bài học cuối cùng của chương I, Sách giáo khoa Hình học 7 - tập 1, chúng tôi xem đây là thời điểm (T0) đánh dấu sự chuyển tiếp từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn Phân tích của chúng tôi sẽ được tiến hành trong hai giai đoạn:

+ Giai đoạn trước T0: gồm lớp 6 và chương I hình học 7

+ Giai đoạn sau T0: chúng tôi sẽ phân tích chương II của hình học 7

Trên cơ sở những phân tích này, chúng tôi mong muốn tìm được các yếu tố trả lời cho các câu hỏi sau:

+ Đối tượng suy luận và chứng minh đã được đưa vào như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa ở đầu cấp Trung học cơ sở?

Có một sự chuyển tiếp đột ngột hay không giữa hai cách tiếp cận hình học: bằng ghi nhận và bằng suy diễn? Chương trình và Sách giáo khoa đã chuẩn bị cho học sinh những gì trước khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý? Những hoạt động nào được tính đến để học sinh ý thức được rằng một kết luận toán học được khẳng định là đúng phải bằng suy luận chứng minh chứ không phải bằng

Tài liệu chúng tôi tiến hành phân tích là các sách giáo khoa Hình học lớp 6, lớp 7 viết theo chương trình hiện hành

Để hiểu rõ hơn quan điểm, ý đồ của sách giáo khoa, khi phân tích chúng tôi

đã tham khảo hai cuốn Sách giáo viên tương ứng với các cuốn sách Hình học lớp 6

và lớp 7

Các phân tích sẽ là sự kế thừa, so sánh và nối tiếp hai nghiên cứu sau:

+ Nghiên cứu của Trần Thị Tuyết Dung về chương trình, sách giáo khoa Hình học 7 thí điểm, Nhà xuất bản Giáo dục 2001 (Luận văn thạc sĩ: Nghiên cứu didactic bước chuyển từ hình học “quan sát – thực nghiệm” sang hình học “suy diễn”)

+ Nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương về chương trình, sách giáo khoa Hình học 7, Nhà xuất bản Giáo dục 1999 (Luận văn thạc sĩ: Nghiên cứu mối liên hệ giữa kiến thức về chứng minh trong hình học được giảng dạy cho sinh viên cao đẳng sư phạm và cho học sinh Trung học cơ sở)

Kể từ chương này trở về sau, chúng tôi sử dụng các kí hiệu viết tắt sau:

SGK: Sách giáo khoa ; SGV: Sách giáo viên

SGK HH6 T1: Sách giáo khoa hình học 6 tập 1 chương trình hiện hành

(Nhà xuất bản Giáo dục, 2007)

SGK HH6 T2: Sách giáo khoa hình học 6 tập 2 chương trình hiện hành

SGV HH6 T1: Sách giáo viên hình học 6 tập 1 chương trình hiện hành

SGV HH6 T2: Sách giáo viên hình học 6 tập 2 chương trình hiện hành

SGK HH7 T1: Sách giáo khoa hình học 7 tập 1 chương trình hiện hành

SGV HH7 T1: Sách giáo viên hình học 7 tập 1 chương trình hiện hành

Trước khi bước vào phân tích chương trình, sách giáo khoa Hình học lớp 6

và lớp 7 hiện hành, chúng tôi sẽ nhìn lại hai chương trình đã từng được áp dụng trước đó – chương trình 1999 và chương trình 2001 Ở đây, chúng tôi sẽ tham khảo các công trình của Trần Thị Tuyết Dung và Trần Thị Thanh Hương để tìm hiểu xem bước chuyển từ hình học ghi nhận sang Hình học suy diễn đã được thực hiện ra sao trong các chương trình, sách giáo khoa của hai giai đoạn đó

1 Bước chuyển từ Hình học ghi nhận sang Hình học suy diễn trong các chương trình 1999, 2001

 Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7, Nhà xuất bản Giáo dục

1999 của Trần Thị Thanh Hương

- Đối tượng suy luận và chứng minh chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình Hình học 7 Nó xuất hiện ngay từ bài học đầu tiên của SGK mặc dù lúc đó các thuật ngữ “suy luận, lập luận, chứng minh và vì sao” đều chưa được đưa vào

- Trong giai đoạn trước khi đưa vào khái niệm định lý và chứng minh định lý, nhiều chứng minh với nhiều bước suy luận đã được trình bày Yêu cầu suy luận được thể hiện chủ yếu thông qua biểu tượng “vì sao”; các thuật ngữ “suy luận, lập luận và chứng minh” đều chưa xuất hiện Để rèn luyện kỹ năng suy luận, SGK đã đưa vào các dạng bài tập sau: bài tập làm bộc lộ cấu trúc logic của khái niệm, bài tập khẳng định một đối tượng nào đó có những thuộc tính của khái niệm đã biết, bài tập nêu những tính chất của một đối tượng nào đó mà ta đã biết nó có những thuộc tính của khái niệm đã biết

- Trong giai đoạn tường minh (từ khi đưa vào các khái niệm định lý và chứng minh định lý), các khái niệm định lý, chứng minh định lý, lập luận và suy luận được trình bày rõ ràng với một vài mô tả và một mô hình chứng minh mẫu Yêu cầu suy luận và chứng minh xuất hiện chủ yếu qua biểu tượng “chứng minh rằng”

 Kết luận về phân tích chương trình, SGK Hình học 7 thí điểm, Nhà xuất bản Giáo dục 2001 của Trần Thị Tuyết Dung

- Trong chương trình và SGK thí điểm, hình học không còn được xây dựng dựa trên quan điểm tiên đề, phần lý thuyết được cắt giảm, phần thực hành, quy nạp thực nghiệm được tăng cường Tầm quan trọng của suy luận và chứng minh đã bị thu hẹp

- Quan điểm thực nghiệm được vận dụng Các hoạt động góp phần thực hiện bước chuyển từ hình học quan sát – thực nghiệm sang hình học suy diễn và cho phép tiếp cận chứng minh gồm có: Hoạt động thực nghiệm và sự nối khớp thực nghiệm – lý thuyết, hoạt động “tập suy luận”, hoạt động ngôn ngữ trên các mệnh đề,

hoạt động liên quan trực tiếp đến định lý và chứng minh định lý (Qua việc đọc luận

văn của tác giả Trần Thị Tuyết Dung chúng tôi nhận thấy rằng cụm từ ”hình học quan sát – thực nghiệm” của tác giả cũng có ý nghĩa như cụm từ ” hình học ghi nhận” của chúng tôi)

Tuy nhiên việc vận dụng quan điểm thực nghiệm còn nửa vời và chưa triệt để Hoạt động thực nghiệm được trình bày trong một vài bài học, hoạt động nối khớp thực nghiệm – lý thuyết có vị trí rất mờ nhạt trong SGK Hoạt động tập suy luận chủ yếu là giải thích, chứng minh một tính chất hay một định lý mà tính đúng đắn

đã được khẳng định trước – không có đặc trưng của một phỏng đoán Các hoạt động còn lại không được mô tả rõ ràng, nhất là hoạt động ngôn ngữ trên các mệnh đề toán học

2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận và chứng minh trong chương trình và SGK Hình học 6

Trên cơ sở kế thừa tri thức trực quan ở tiểu học, hình học lớp 6 được xây dựng theo đường lối quy nạp, từ quan sát, thử nghiệm, đo vẽ, đi dần đến kiến thức mới (Theo SGV HH6 T1) Đây được xem là giai đoạn “tiền chuẩn bị” cho việc học tập hình học bằng suy diễn ở các lớp tiếp theo: học sinh được cung cấp tiền đề vật chất (là những khái niệm, tính chất mở đầu của hình học phẳng) và làm quen với một số kỹ năng suy luận diễn dịch đơn giản (kỹ năng phân tích cấu trúc logic của các khái niệm và kỹ năng suy luận dạng “Nếu có a + b = c và biết hai trong ba số a,

+ Các số đo: Độ dài đoạn thẳng, số đo góc

+ Các quan hệ: Điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai điểm, tia nằm giữa hai tia, hai góc kề bù, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

+ Sử dụng các dụng cụ đo vẽ: thước thẳng, thước có chia khoảng, thước đo góc, compa, êke

§9 Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài

§10 Trung điểm của đoạn thẳng

§4 Khi nào thì   xOy+yOz=xOz

§5 Vẽ góc khi biết số đo

§6 Tia phân giác của góc

Cụ thể:

 Các khái niệm được trình bày theo một trong những cách sau:

+ Cách thứ nhất (không định nghĩa khái niệm): Khái niệm được giới thiệu thông qua hình ảnh thực tế hoặc hình vẽ minh họa (hoặc cả hai) – giống như ở bậc tiểu học

Ví dụ: để giới thiệu đường thẳng, SGK HH6 T1

(tr.103) đưa ra những hình ảnh thực tế của đường

thẳng là “sợi chỉ căng thẳng, mép bảng…”, nêu

cách vẽ đường thẳng “Với bút và thước thẳng, ta vẽ

được vạch thẳng Ta dùng vạch thẳng để biểu diễn

đường thẳng” và minh họa bằng hình vẽ hai đường

AB như sau: “Đặt cạnh của thước thẳng đi qua hai

điểm A, B rồi lấy đầu chì vạch theo cạnh thước từ A

đến B (h.32a) Nét chì trên trang giấy là hình ảnh của

đoạn thẳng AB (h.32b) Trong khi vẽ đoạn thẳng AB, ta

thấy đầu C của bút chì hoặc trùng A hoặc trùng B hoặc

nằm giữa hai điểm A và B Đoạn thẳng AB là hình gồm

điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B

+ Cách thứ 3: Định nghĩa khái niệm ngay từ đầu, hình vẽ đóng vai trò minh họa cho khái niệm

Ví dụ: SGK HH6 T2 (tr.73) định nghĩa “góc” ngay từ đầu: “Góc là hình gồm

hai tia chung gốc Gốc chung của hai tia là đỉnh của góc Hai tia là hai cạnh của góc” Sau đó vẽ hình minh họa

O

Hình 4

 Các tính chất được trình bày gắn liền với quan sát - thực nghiệm, được công nhận và phát biểu dưới dạng các “nhận xét” Kết quả của các hoạt động thực nghiệm không đóng vai trò dự đoán mà là cơ sở để rút ra các nhận xét

Một số ví dụ:

+ Tính chất đầu tiên được tìm thấy trong SGK HH6 T1 là ở §2.(Ba điểm thẳng hàng) Sau khi cho học sinh quan sát trên hình vẽ để hình thành các khái niệm (không được định nghĩa): Hai điểm nằm cùng phía, khác phía đối với một điểm,

điểm nằm giữa hai điểm, SGK rút ra nhận xét: ”Trong ba điểm thẳng hàng, có một

và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại”

(SGK HH6 T1, tr.106) 2 Quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng

Với ba điểm thẳng hàng A, B, C như trên hình 9 ta có thể nói:

- Hai điểm C và B nằm cùng phía đối với điểm A;

- Hai điểm A và C nằm cùng phía đối với điểm B;

- Hai điểm A và B nằm khác phía đối với điểm C;

- Điểm C nằm giữa hai điểm A và B

Nhận xét: Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại

+ Ở §3.(Đường thẳng đi qua hai điểm), SGK HH6 T1 tr.108, sau khi nêu cách vẽ

đường thẳng đi qua hai điểm A và B, SGK cũng nêu một nhận xét: ”Có một và chỉ

một đường thẳng đi qua hai điểm A và B” – đây thực chất là tiên đề về sự xác định

đường thẳng

+ Ở §8.(Khi nào thì AM + MB = AB), SGK HH6 T1 tr.120, để tiếp cận tính chất

”khi nào thì tổng độ dài hai đoạn thẳng AM + MB bằng độ dài đoạn thẳng AB”, SGK đưa ra hai hình vẽ với điểm M nằm giữa hai điểm A và B

Nhiệm vụ của HS là đo độ dài các đoạn thẳng AM, MB, AB và so sánh AM + MB

với AB ở từng hình Từ đó rút ra ”nhận xét”: ”Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và

B thì AM + AM = AB Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B”

Chúng tôi tổng kết dưới đây các định nghĩa và tính chất được phát biểu trong SGK hình học 6:

 Các khái niệm được định nghĩa trong SGK bao gồm:

+ Ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng

+ Hai đường thẳng cắt nhau, trùng nhau, song song

+ Đoạn thẳng, hai đoạn thẳng bằng nhau, trung điểm của đoạn thẳng

+ Tia, nửa mặt phẳng

+ Góc, hai góc bằng nhau

+ Tia nằm giữa hai tia, điểm nằm trong góc, tia phân giác của góc

+ Góc bẹt, góc không

+ Hai góc phụ nhau, hai góc bù nhau, hai góc kề nhau, hai góc kề bù

+ Tam giác, điểm nằm trong tam giác

+ Đường tròn, cung tròn

 Các tính chất được công nhận làm cơ sở cho việc chứng minh suy diễn:

+ Tồn tại những điểm thuộc hoặc không thuộc một đường thẳng cho trước

+ Tồn tại duy nhất đường thẳng đi qua hai điểm

+ Trong ba điểm thẳng hàng, tồn tại duy nhất điểm nằm giữa hai điểm còn lại + Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau

+ Mỗi đường thẳng trên mặt phẳng là bờ chung của hai nữa mặt phẳng đối nhau + Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định lớn hơn không

+ Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB và ngược lại + Trên tia Ox, tồn tại duy nhất điểm M sao cho OM = m (m > 0)

+ Mỗi góc có một số đo xác định lớn hơn 0 Số đo độ của góc bẹt bằng 1800 + Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì   xOy+yOz=xOz và ngược lại

+ Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, tồn tại duy nhất tia Oy sao cho

động suy luận xuất hiện chủ yếu ở hai nội dung “điểm nằm giữa hai điểm – trung điểm của đoạn thẳng” và “tia nằm giữa hai tia - tia phân giác của góc” Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích hai nội dung này dưới đây:

 Phân tích cách trình bày của SGK về nội dung “điểm nằm giữa hai điểm”

Đầu tiên, “điểm nằm giữa hai điểm” được giới thiệu thông qua hình vẽ trong §2 (Ba điểm thẳng hàng), SGK HH6 T1 tr.106 : “Với ba điểm thẳng hàng A, C, B như trên

hình 9, ta có thể nói … điểm C nằm giữa hai điểm A và B”

Sau đó, trong §5.(Tia) có các bài tập như sau (Bài tập 26, 28, 29 trang 113, 114)

“ BT26: Vẽ tia AB, lấy điểm M thuộc tia AB b) Hỏi điểm M nằm giữa hai điểm A và B hay điểm B nằm giữa hai điểm A và M

BT28: Vẽ đường thẳng xy Lấy điểm O trên đường thẳng xy Lấy điểm M thuộc tia Oy, lấy điểm

N thuộc tia Ox b) Trong ba điểm M, O, N thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

BT29: Cho hai tia đối nhau AB và AC

a) Gọi M là điểm thuộc tia AB Trong ba điểm M, A, C thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại b) Gọi N là điểm thuộc tia AC Trong ba điểm N, A, C thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ”

Đối các bài tập này, SGV viết “ Học sinh quan sát rồi trả lời, không yêu cầu nêu lí do”. Tiếp theo, hai kĩ thuật chứng minh một điểm M nằm giữa hai điểm A, B lần lượt được đưa vào trong §8.(Khi nào thì AM + MB = AB) và §9.(Vẽ đoạn thẳng cho biết

độ dài)

+ Kĩ thuật 1 (§8): Kiểm tra đẳng thức AM + MB = AB Nếu đẳng thức thỏa mãn thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B

Bài tập 51 trang 122: Trên một đường thẳng, hãy vẽ ba điểm V, A, T sao cho TA = 1cm, VA =

2cm, VT = 3cm Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Lời giải: (SGV HH6, tập 1):Ta thấy TA + AV = TV nên ba điểm T, A, V thẳng hàng và điểm A nằm giữa hai điểm T và V

+ Kĩ thuật 2 (§9): Tìm một tia Ox chứa các điểm A, B, M Giả sử OM = a, ON =

b Nếu 0 < a < b thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N

Bài tập 59 trang 124: Trên tia Ox, cho ba điểm M, N, P biết OM = 2cm, ON = 3cm, OP =

3,5cm Hỏi trong ba điểm M, N, P điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?Vì sao?

Lời giải: (SGV HH6, tập 1): Trên tia Ox:

OM < ON nên M nằm giữa O và N Suy ra MN = ON – OM = 1cm

OM < OP nên M nằm giữa O và P Suy ra MP = OP – OM = 1,5 cm

O M N P

Trên tia Mx: MN < MP nên điểm N nằm giữa hai điểm M và P

Nhận xét: Các kĩ thuật đều được đưa vào dưới dạng các nhận xét rút ra từ việc quan

sát, thử nghiệm trên một đối tượng hình vẽ cụ thể

Để đưa vào kĩ thuật 1, SGK cho học sinh thực hiện hoạt động: “Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B Đo độ dài các đoạn thẳng AM, MB, AB So sánh AM + MB với AB ở hình 48a và 48b (độ dài đoạn thẳng AB không đổi) và sau đó rút ra nhận xét

Còn để đưa vào kĩ thuật 2, SGK viết như sau:

“Ví dụ: Trên tia Ox, hãy vẽ hai đoạn thẳng OM và ON biết OM = 2cm, ON = 3cm Trong ba điểm

O, M, N, điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Giải: Sau khi vẽ hai điểm M, N (h.59) ta thấy điểm M nằm giữa hai điểm O và N (vì 2cm < 3cm) Nhận xét: Trên tia Ox, OM = a, ON = b Nếu 0 < a < b thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N ” (2.) Ở đây chúng tôi thấy rằng, nếu trong ví dụ học sinh được phép vẽ hình và đưa

ra câu trả lời cho câu hỏi của bài toán, thì tại sao trong các bài tập khác tương tự như vậy, họ lại phải dùng nhận xét (2)

Hai kĩ thuật nói trên sau đó cũng chỉ được ứng dụng trong các bài toán có các yếu tố độ dài cụ thể (những bài toán mà học sinh có thể vẽ hình một cách “chính xác” và rút ra được các kết luận đúng từ việc quan sát hình vẽ) Điều này khiến học sinh không thấy được ý nghĩa của suy luận, hơn nữa còn dẫn đến một sự nhập nhằng, có khi SGK chấp nhận các kết quả từ hình vẽ, có khi lại yêu cầu phải giải thích chặt chẽ bằng suy luận

Sự nhập nhằng này còn thể hiện ở lời giải của Bài tập 61 và 64, trang 126, SGK hình học 6, tập 1 Ở bài tập 64, SGV có đoạn viết “Điểm C nằm giữa hai điểm D

và E (do vẽ hình chính xác nên quan sát thấy như vậy, không cần chứng minh ý này)” Còn ở

Bài tập 61, trang 126, SGK hình học 6, tập 1 “Cho hai tia đối nhau, Ox và Ox’ Trên tia

Ox vẽ điểm A sao cho OA = 2cm Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho OB = 2cm, ” SGV đã giải thích về việc điểm O nằm giữa hai điểm A và B như sau “Điểm O là gốc chung của hai

tia đối nhau Ox và Ox’ Điểm A nằm trên tia Ox, điểm B nằm trên tia Ox’ nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B” Cách giải thích này không dựa trên một tính chất nào đã được phát biểu trước đó Chính vì vậy, đối với học sinh nó dường như là việc ghi lại kết quả của việc “quan sát hình vẽ và thấy” – điều mà trước đó SGK cho là hợp thức, không cần giải thích gì trong các bài tập 26, 28, 29 trang 113

 Phân tích cách trình bày của SGK về nội dung “trung điểm của đoạn thẳng”

SGK định nghĩa: “Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa và cách đều A và B

Trung điểm của AB còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB” Yêu cầu về mặt tư duy đối với học sinh là: “Biết phân tích trung điểm của đoạn thẳng phải thỏa mãn hai tính

chất Nếu thiếu một trong hai tính chất thì không còn là trung điểm của đoạn thẳng” (SGV, trang 168)

Từ định nghĩa ta có kĩ thuật 1 để “giải thích” vì sao điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB: M nằm giữa A, B và MA = MB

Tiếp đó, cách vẽ trung điểm M của đoạn thẳng AB được nêu dưới dạng bài tập với hai cách giải:

Cách 1: Vẽ điểm M trên AB sao cho AM = AB/2

Cách 1: Trên AB, vẽ điểm M sao cho AM = 2,5 cm

Cách 2: gấp giấy Vẽ đoạn thẳng AB trên giấy trong Gấp giấy sao cho điểm B trùng vào điểm A Nếp gấp cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M cần xác định”

Theo yêu cầu của SGV trang 168, “qua bài tập này ta phát hiện được tính chất của

trung điểm: M là trung điểm của AB

2

AB

MA MB

Từ ví dụ này, ta có kĩ thuật 2 để “giải thích” vì sao điểm M là trung điểm của

đoạn thẳng AB: M là trung điểm của AB

2

AB

MA MB

Phần bài tập có các bài tập sau:

BT 60 trang 125: Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không?

b) So sánh OA và AB

c) Điểm A có là trung điểm đoạn thẳng OB không, vì sao?

BT 61 trang 126: Cho hai tia đối nhau Ox, Ox’ Trên tia Ox vẽ điểm A sao cho OA = 2cm Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho OB = 2cm Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?

BT 63 trang 126: Khi nào ta kết luận được điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB Em hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu trả lời sau:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi

a) Điểm C là trung điểm của vì

b) Điểm C không là trung điểm của vì C không thuộc đoạn thẳng AB

c) Điểm A không là trung điểm của BC vì

Các bài tập chủ yếu được cho dưới dạng câu hỏi vì sao Trừ câu d bài 63, các bài tập đều hướng đến việc vận dụng kĩ thuật 1 để chứng minh trung điểm, độ khó được nâng dần qua từng bài tập Ở bài tập 60, học sinh được hướng dẫn suy luận từngbước, từ việc nhận xét điểm nằm giữa đến so sánh độ dài các đoạn thẳng, từ đó giải thích vì sao A là trung điểm của OB Đến bài 64, học sinh phải thực hiện nhiều bước tính toán và suy luận trung gian, cũng như tự lựa chọn kĩ thuật để chứng minh trung điểm Bài tập 65 cho thấy các trường hợp điểm M vi phạm một trong hai điều

kiện của định nghĩa, và do đó không là trung điểm của đoạn thẳng AB Qua bài tập này, học sinh được rèn về phân tích cấu trúc logic của một khái niệm

 C ách trình bày của SGK về nội dung góc – tia phân giác của góc

Bố cục trình bày của SGK về nội dung này nhìn chung tương đối giống hai nội dung đã phân tích ở trên

2.2 Những yếu tố đầu tiên của hoạt động suy luận

Suy luận được yêu cầu lần đầu tiên trong §5, SGK HH6 T1: Tia(Trang 112)

“Hai tia chung gốc Ox và Oy tạo thành đường

thẳng xy (h.26) được gọi là hai tia đối nhau”

“Lấy điểm B khác A thuộc tia Ax Tia Ax còn

có tên là tia AB Trên hình 29, tia Ax và tia AB

là hai tia trùng nhau”

“a) Trên đường thẳng xy lấy hai điểm A và B Tại sao hai tia Ax và By không phải là hai tia đối nhau”,

“ b) Trên hình 30, hai tia Ox và Ax có trùng nhau không? Vì sao?”

“ c) Tại sao hai tia chung gốc Ox và Oy không đối nhau”

Phân tích:

Suy luận để trả lời cho các câu hỏi này dựa trên việc phân tích cấu trúc logic của một khái niệm

SGV tr.150 viết “Hai tia đối nhau phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: chung

gốc và cùng tạo thành một đường thẳng Nếu vi phạm một trong hai yếu tố trên thì không phải là hai tia đối nhau” Như vậy, câu trả lời cho câu a: hai tia Ax, By vi

phạm điều kiện 1, do đó chúng không đối nhau Câu trả lời cho câu c, hai tia Ox, Oy

vi phạm điều kiện 2, do đó chúng không đối nhau

Đối với nội dung hai tia trùng nhau, SGK chỉ trình bày một câu duy nhất “Trên

hình 29, tia Ax và tia AB là hai tia trùng nhau” Như vậy, không có căn cứ nào để

giải thích cho câu b Còn theo như SGV trang 150: “Cần nhấn mạnh ý: hai tia

trùng nhau thì mọi điểm đều là điểm chung” Do đó, hai tia Ox và Ax không trùng nhau được giải thích là vì O không phải điểm chung của chúng Đây thực chất là

một chứng minh bằng phản ví dụ

Mục đích khi đưa ra những câu hỏi này, SGV viết: “Về việc giải bài tập, chỉ yêu

cầu học sinh vẽ hình, quan sát, nhận xét rồi kết luận, tuy có chứa đựng ẩn tàng một

số hoạt động logic Chẳng hạn:

a) Hai tia đối nhau có hai tính chất Nếu thiếu một trong hai tính chất thì chúng không đối nhau Từ đó xây dựng các ví dụ để hiểu sâu sắc đặc trưng của hai tia đối nhau

b) T ương tự, từ định nghĩa hai tia trùng nhau, ta phủ định để nhận biết hai tia không trùng nhau

c) Các định nghĩa mô tả về tia, tương đương về mặt logic, được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau ”

Qua đó, chúng tôi thấy các câu hỏi nói trên được đặt ra với mục đích đưa ra các trường hợp khác nhau giúp học sinh nhận biết được các tia đối nhau, trùng nhau

trên hình vẽ, chứ chưa nhằm mục đích rèn luyện tư duy SGV tr.150 viết: “SGK nêu

hai ví dụ về hai tia không đồng thời thỏa mãn hai điều kiện trên Ở hình 28 SGK: Hai tia Ax và By không chung gốc Ở hình 30 SGK: Hai tia không tạo thành một đường thẳng” Những suy luận kiểu này, sau đó cũng không xuất hiện trong bất cứ

bài học nào khác

Các tổ chức toán học liên quan đến dối tượng suy luận và chứng minh

 Kiểu nhiệm vụ T1: Tính độ dài một trong các đoạn thẳng xác định bởi các điểm

thẳng hàng

Ví dụ, tr.120, SGK HH6 T1

Cho M là điểm nằm giữa A và B Biết AM = 3cm, AB = 8cm Tính MB

Giải: Vì M nằm giữa A và B nên AM + MB = AB

Thay AM = 3cm, AB = 8cm, ta có 3 + MB = 8

MB = 8 – 3 Vậy MB = 5cm

Kỹ thuật τ1:

- Viết hệ thức tương ứng của 3 điểm thẳng hàng trong bài toán

- Thay các đại lượng đã biết vào và giải phương trình để tính các đại lượng chưa biết

Công nghệ θ1: Tính chất “Nếu M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB”

Nhận xét: Trong tất cả các bài tập thuộc T1, yếu tố độ dài được cho luôn là các số

cụ thể và bé Học sinh có thể vẽ hình, đo và cho kết quả của bài toán Chính vì vậy

họ không thấy được ý nghĩa của suy luận Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra câu hỏi:

“yếu tố nào trong bài toán cho biết cần phải suy luận mà không được vẽ hình và đo”

 Kiểu nhiệm vụ T2 : Xác định thứ tự của 3 điểm thẳng hàng và giải thích vì sao

Bài tập 51, tr.122, SGK HH6 T1: Trên một đường thẳng,

hãy vẽ ba điểm V, A, T sao cho TA = 1cm, VA = 2cm, VT

= 3cm Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Bài tập 59, tr.124, SGK HH6 T1: Trên tia Ox, cho ba

điểm M, N, P biết OM = 2, ON = 3, OP = 3,5 Hỏi trong

ba điểm M, N, P điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì

giữa hai điểm M và P

BT26, tr.113, SGK HH6 T1: Vẽ tia AB, lấy điểm M thuộc

tia AB b) Hỏi điểm M nằm giữa hai điểm A và B hay

điểm B nằm giữa hai điểm A và M

SGV viết “Học sinh quan sát rồi trả lời, không yêu cầu nêu lí do”

BT28, tr.113, SGK HH6 T1: Vẽ đường thẳng xy Lấy SGV viết “Học sinh quan sát rồi trả

O M N P

điểm O trên đường thẳng xy Lấy điểm M thuộc tia Oy,

lấy điểm N thuộc tia Ox b) Trong ba điểm M, O, N thì

điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

lời, không yêu cầu nêu lí do”

BT29, tr.113, SGK HH6 T1: Cho hai tia đối nhau AB và

AC

a) Gọi M là điểm thuộc tia AB Trong ba điểm M, A, C thì

điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Gọi N là điểm thuộc tia AC Trong ba điểm N, A, C thì

điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

SGV viết “Học sinh quan sát rồi trả lời, không yêu cầu nêu lí do”

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này có các kỹ thuật và công nghệ tương ứng như sau:

+ Kỹ thuật τ21: Tính toán và kiểm tra xem độ dài 3 đoạn thẳng (được lập từ 3 điểm cần xác định thứ tự) có thỏa mãn hệ thức nào không

Công nghệ θ21: Tính chất: “Nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A

Nhận xét: Để đưa vào hai kĩ thuật τ22, SGK đã cho học sinh quan sát hình vẽ và rút

ra tính chất Khiếm khuyết là ở chỗ: các ví dụ và bài tập sau đó, SGK đều cho các yếu tố độ dài cụ thể và bé Điều này khiến học sinh không thấy được ý nghĩa của suy luận, họ vẫn vẽ hình và nêu kết luận giống như họ đã làm trước đó, và không hiểu vì sao phải dùng tính chất trên để giải thích khi mà nhìn vào hình vẽ họ có thể kết luận được điểm nào nằm giữa hai điểm nào

+ Kỹ thuật τ23: Sử dụng các tính chất:

 “Nếu hai điểm B và C lần lượt nằm trên hai tia đối nhau Ax và Ay thì A nằm giữa B và C”

 “Nếu điểm M thuộc tia AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B”

Công nghệ θ23: Định lý 14 của hình học Ơclid: “Một điểm O của đường thẳng a chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía với O và bất cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với O”

Nhận xét: Hai tính chất “Nếu hai điểm B và C lần lượt nằm trên hai tia đối nhau Ax

và Ay thì A nằm giữa B và C” và “Nếu điểm M thuộc tia AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B” không được phát biểu tường minh trong SGK Trong các trường hợp này, SGK cho học sinh quan sát hình vẽ và trả lời Nếu phải giải thích thì theo như SGV, giải thích như sau: “Điểm A là gốc chung của hai tia đối nhau Ax và Ay Điểm B nằm trên tia Ax, điểm C nằm trên tia Ay nên điểmA nằm giữa hai điểm B và C” Cách giải thích này không dựa trên một tính chất nào đã được phát biểu trước đó Và đối với học sinh nó dường như chỉ là một sự diễn tả lại những điều quan sát được trên hình vẽ

 Kiểu nhiệm vụ T3 : Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng

Ví dụ, tr.125, SGK HH6 T1

Đoạn thẳng AB có độ dài bằng 5cm Hãy vẽ

trung điểm của đoạn thẳng ấy

Giải: Ta có MA + MB = AB ; MA = MB

Suy ra MA = MB = AB/2 = 2,5 cm Cách 1: Trên AB, vẽ điểm M sao cho AM = 2,5

cm Cách 2: gấp giấy Vẽ đoạn thẳng AB trên giấy trong Gấp giấy sao cho điểm B trùng vào điểm

A Nếp gấp cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M cần xác định”

Công nghệ θ3 : Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng

 Kiểu nhiệm vụ T4 : Giải thích vì sao một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng

Bài tập 64, trang 126, SGK HH6 T1

Cho đoạn thẳng AB dài 6cm Gọi C là

trung điểm của AB Lấy D và E là hai điểm

thuộc đoạn thẳng AB sao cho AD = BE =

2cm Vì sao C là trung điểm của DE?

Điểm C nằm giữa hai điểm D và E (do vẽ hình

chính xác nên quan sát thấy như vậy, không cần chứng minh ý này) và CD = CE = 1 Vậy C là

trung điểm của DE

+ Kỹ thuật τ41:

- Nêu lý do vì sao điểm cần chứng minh là trung điểm nằm giữa hai điểm còn lại

- Tính và so sánh khoảng cách từ điểm đó đến hai đầu mút của đoạn thẳng

Công nghệ θ42: Các tính chất liên quan đến điểm nằm giữa hai điểm, định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng

+ Kỹ thuật τ42:

- Tính khoảng cách từ điểm cần chứng minh là trung điểm đến hai đầu mút của đoạn thẳng So sánh độ dài hai đoạn thẳng đó với nhau và với một nửa

độ dài đoạn thẳng

Công nghệ θ42: Các tính chất liên quan đến điểm nằm giữa hai điểm, tính chất: “M

là trung điểm của AB

BOC Suy ra BOC

Hình 26 cho biết hai góc kề bù xOy và yOy’,

' 180

xOy yOy yOy Suy ra yOy

MAP= NAQ= , tia AQ nằm giữa hai tia

AN và AP Hãy tính số đo x của PAQ

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ

BOA= COA= Tính số đo góc BOC

Bài tập 29, tr.85, SGK HH6 T2:

Gọi Ot và Ot’ là hai tia nằm trên cùng một mặt

phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O Biết

xOt=tOy= = (Vì Ot là tia phân giác của góc xOy)

Không yêu cầu chứng minh tia Oy nằm giữa

hai tia Ox’ và Ot)

Bài tập 37, tr.87, SGK HH6 T2:

Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt

phẳng có bờ chứa tia Ox Biết

xOy= xOz=

a) Tính số đo góc yOz

b) Vẽ tia phân giác Om của góc xOy, tia phân giác

On của góc xOz Tính số đo góc mOn

xOm=mOy= =

0

120 60 2

xOn=nOz= =

45

mOn=xOn−xOm=

Chú ý: Chỉ yêu cầu học sinh giải thích vì sao một tia nằm giữa hai tia còn lại trong những trường hợp đơn giản như ở bài 29,

30

Bài tập 35, tr.87, SGK HH6 T2:

Vẽ góc bẹt xOy Vẽ tia phân giác Om của góc đó Vẽ

tia phân giác Oa của góc xOm Vẽ tia phân giác Ob

của góc mOy Tính số đo góc aOb

SGV chỉ ghi kết quả  0

90

aOb=

Kỹ thuật τ5:

- Viết hệ thức liên hệ giữa các góc

- Thay các đại lượng đã biết vào và giải phương trình để tính các đại lượng chưa biết

Công nghệ θ5: - Định nghĩa hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù

- Tính chất “Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì   xOy+yOz=xOz và ngược lại ”