chỉnh hóa nghiệm một bài toán đàn hồi ba chiều

Mặc dù 0có tính duy nhất nhưng vấn đề chỉnh hóa f vẫn chưa được thỏa mãn, nghĩa là với một sai sót nhỏ trong dữ kiện cũng có thể gây ra sai số lớn trong kết quả.. Vì vậy, điều quan trọn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoài Phúc

CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoài Phúc

CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI

Chuyên Ngành : Toán Giải Tích

GI ỚI THIỆU BÀI TOÁN

Cho       0,1  0,1  0,1 biểu diễn một vật thể đàn hồi đẳng hướng ba chiều và cho T  là khoảng thời gian quan sát Với mỗi 0 x :x x x1, ,2 3  , ta

kí hiệu u x t( , )u x t u x t u x t1( , ), ( , ), ( , )2 3  là độ chuyển dịch (displacement), trong

đó u là độ chuyển dịch tính theo phương j x Như chúng ta đã biết, u thỏa mãn hệ j

Trong năm 2005, Grasselli, Ikehata và Yahamoto [2] đã chứng minh được lực thể tích F x t , j( ) ( )t f x là duy nhất được xác định từ các phương trình trên với điều kiện j C1 0,T , (0)j 0 và thời gian quan sát T  đủ lớn Mặc dù 0

có tính duy nhất nhưng vấn đề chỉnh hóa f vẫn chưa được thỏa mãn, nghĩa là với

một sai sót nhỏ trong dữ kiện cũng có thể gây ra sai số lớn trong kết quả Vì vậy, điều quan trọng trong thực tế là tìm ra một quá trình chỉnh hóa nghiệm, cụ thể là xây dựng giải pháp gần đúng bằng cách sử dụng các dữ kiện gần đúng

Gần đây, vấn đề chỉnh hóa đã được giải quyết một phần trong [6], trong đó

phương pháp chỉnh hóa một phần của f được đưa ra từ việc sử dụng thông tin về

các điều kiện cuối cùng u x T Điều kiện cuối cùng đóng một vai trò thiết yếu  ,trong [6] từ đó nó cho phép tác giả tìm ra một công thức rõ ràng cho việc biến đổi

Fourier của f , và sau đó sử dụng thông tin này để phục hồi f

Còn lại là một vấn đề mở trong [6] (xem phần kết luận của họ) là tìm ra một quá trình chỉnh hóa cho f Mục đích của luận văn là giải quyết vấn đề này một cách

hoàn chỉnh, đó chính là việc tìm ra quá trình chỉnh hóa f mà không cần sử dụng

đến điều kiện cuối Quá trình chỉnh hóa nghiệm được nêu ra trong luận văn chủ yếu

sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier kết hợp với các bất đẳng thức nội suy Lagrange, dựa theo phương pháp nội suy được giới thiệu trong [7] trong đó các tác giả đã xây dựng quá trình chỉnh hóa cho các nguồn nhiệt của phương trình nhiệt

Trong luận văn này, để chỉnh hóa được nghiệm của bài toán, ngoài điều kiện đầu và điều kiện biên bị kẹp ta cần có thêm sức ép bề mặt trên cả biên của vật thể, nghĩa là

trong đó n n n n1, ,2 3 là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của  và các sức ép s và t được định nghĩa

Luận văn này chủ yếu là trình bày lại bài báo [10] Và để rõ ràng hơn, luận

văn đã chi tiết hóa phần chứng minh bổ đề 2.3 nhằm bổ trợ cho quá trình chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán và bổ đề 2.5 giúp chỉnh hóa nghiệm đồng thời ước lượng sai số một cách dễ dàng hơn Phần còn lại của luận văn được chia làm ba chương :

Ch ương một: là phần kiến thức chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một

số kiến thức cơ bản và nêu một vài kết quả cần thiết cho phần sau

Chương hai: nêu một số kí hiệu và kết quả chính Sau đó sẽ chứng

minh sự duy nhất của f và chỉnh hóa f

Chương ba: trình bày một ví dụ cụ thể minh họa cho các tính toán lý

thuyết

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm

Trước hết, xin nhắc lại các không gian L và p W 1,p

Cho  là một tập đo được trong  N

Định nghĩa 1.1.1 Với mỗi ánh xạ đo được :f    và 1 p  , ta kí hiệu

Định lý 1.1.3 Với mỗi 1 p   , m nguyên dương, W m p, ( ) là không

gian Banach với chuẩn

, ( ) ( )

p p

Tiếp theo, ta nhắc lại các không gian C I X và m , L I X , trong đó I là p ,một khoảng (mở hoặc đóng) trong  và X là không gian Banach

Một cách đơn giản, ta định nghĩa C I X là tập hợp các ánh xạ liên tục từ I  ,vào X

Định nghĩa 1.1.3 Cho I một khoảng (mở hoặc đóng) trong  và

Với mỗi số nguyên dương m, ta nói u khả vi m lần trên I nếu các ánh xạ đạo

hàm sau đây tồn tại

 Nếu I là một khoảng đóng và m nguyên dương, ta nói u khả vi m

lần trên I nếu tồn tại một khoảng mở I  chứa I và một ánh xạ : v I  khả vi m X

lần trên I  sao cho v | u I Ta cũng kí hiệu k k k k

Định nghĩa 1.1.4 Cho I là một khoảng (mở hoặc đóng) và m là một số

nguyên dương, ta kí hiệu C I X là tập hợp các hàm : m , u I  khả vi m lần X

trên I sao cho m m u C I X ,

t

 

Định nghĩa 1.1.5 Cho I là một khoảng mở trong R và :u I  Ta nói u X

là đo được nếu có một dãy hàmu trong n C I X sao cho ( ) c , u t n u t( ) với mỗi

t I

(Trong đó C I X là tập hợp các hàm liên tục có giá compact trên I) c ,

Định nghĩa 1.1.6 Cho I là một khoảng mở trong R và 1 p   Ta kí

hiệu L I X là tập hợp (các lớp tương đương) các hàm đo được : p , u I  sao X

cho hàm thực t  u t( )X thuộc L I , trong đó ta đồng nhất u với v nếu p( )( ) ( )

u t v t với mỗi một t I

Định lý 1.1.4 Cho I là một khoảng mở trong R, 1 p    và X là một

không gian Banach Khi đó L I X là không gian Banach với chuẩn p ,

l à cơ sở trực giao của L  2( )

Chứng minh Ta chứng minh hệ sin( )cos   *,

m N n N

m xp n yp

  là cơ sở trực giao,

hệ còn lại chứng minh tương tự

Kiểm tra trực tiếp thấy các hệ trên là hệ trực giao trong L  Bây giờ giả 2( )

sử f L2( ) và f x y , sin(m xp )cos n y dxdyp 0,





 với mọi m N n N *, 

Ta chứng minh f  trong 0 L  2( )

là cơ sở trực giao của L  2( )

Định nghĩa 1.2.1 Cho C là trường số phức và hàm số :Cf  Ta nói f C

là hàm nguyên nếu f giải tích trên C

Mệnh đề 1.2.5 Cho f là hàm nguyên khác hằng, khi đó tồn tại r  sao 0 0

Mệnh đề 1.2.7 Cho  là tập mở trong C và B z r    0, (B z r là quả  0,

cầu mở tâm z , bán kính r trong C) Cho f là giải tích trên  trừ tại một số hữu 0hạn cực điểm a a1, , ,2 a nằm trong n B z r Khi đó ta có  0,

ở đây u x t( , )u x t u x t u x t1( , ), ( , ), ( , )2 3  thỏa mãn hệ Lamé, trong đó u là độ j

chuyển dịch theo hướng j của vật thể đàn hồi và F x t( , )F x t F x t F x t1( , ), ( , ), ( , )2 3 

biểu thị lực thể tích Các hằng số l và m được gọi là hằng số Lamé (có thể xem trong [4,5])

1.4 Bài toán không ch ỉnh và vấn đề chỉnh hóa

Những bài toán phương trình đạo hàm riêng (đặc biệt là những bài toán có nguồn gốc từ vật lý) thường có dạng tìm nghiệm từ dữ kiện cho trước Xuất phát từ

ý nghĩa thực tế của bài toán, khái niệm về chỉnh hóa bài toán được đặt ra, một bài toán được gọi là chỉnh nếu có ba tính chất:

 Tính tồn tại: Bài toán có nghiệm

 Tính duy nhất: Bài toán có nhiều nhất một nghiệm

 Tính ổn định: Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện

Một bài toán được gọi là không chỉnh nếu thiếu một trong ba tính chất trên

Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không

gian nghiệm Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bị thiếu, và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất Yêu cầu quan trọng nhất là sự ổn định của nghiệm, bởi nếu thiếu điều này thì dù một sai sót nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm Điều này làm cho chúng ta không thể tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ kiện

đo đạc điều phải đi kèm với sai số

Để khắc phục tính không chỉnh của bài toán, ta phải thực hiện công việc chỉnh hóa Tức là trước hết ta chứng tỏ bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm và sau

đó ta đi chỉnh hóa nghiệm đó Sự chỉnh hóa nghiệm tức là từ những dữ kiện đo đạc (có thể sai số so với dữ kiện chính xác) ta đi xây dựng nghiệm mới, gọi là nghiệm chỉnh hóa Nghiệm chỉnh hóa có thể không phải là nghiệm chính xác của bài toán (ứng với dữ kiện chính xác) nhưng ta có thể kiểm soát sai số của nghiệm chỉnh hóa với nghiệm chính xác nhỏ như mong muốn

Chương 2: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH

2.1 Phát bi ểu bài toán

Cho       0,1  0,1  0,1 và T  Chúng ta xét bài toán tìm 0  u F ,

ở đây ,l m là các hằng số Lamé thỏa m  và 0 l2m  0

Với các điều kiện đầu là

Hơn nữa biên của vật thể đàn hồi bị giữ cố định nên hàm u u u u1, ,2 3

thỏa mãn điều kiện biên

u x t u x t u x t1( , ), ( , ), ( , )2 3   0, 0, 0 , x   ,t  0,T (2.3) Cuối cùng, sức căng bề mặt được cho trên 

(2.4)

Trong đó : n n n n1, ,2 3 là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của  và các sức ép s và t được định nghĩa

E và E tương đối nhỏ khi so sánh với 2j* E và 1j E , và có thể 2j

được giảm nhẹ khi tính tích phân f Gdx j



 với các hệ số Fourier của f Vì thế ta j

sử dụng một vài kí hiệu tiện lợi hơn

Định nghĩa 2.1 (Thông tin từ dữ kiện) Cho I j, , ,X g h và a   mà 3

Định nghĩa 2.2 (Hệ số Fourier) Cho   3

1, ,2 3

a  a a a   , w L2( ) , ta

đặt

D I a Ta giả định các điều kiện sau đây trên j và T

(W1) Tồn tại ( )j  0,T và C j  sao cho : hoặc ( )( ) 0 j t C( )j với hầu hết

j  Các điều kiện (W2) và (W2’) có nghĩa là thời gian quan sát phải đủ dài

Điều kiện (W2) là đủ cho sự duy nhất, trong khi điều kiện mạnh hơn là (W2’) thì

cần thiết trong bước chỉnh hóa nghiệm

Định lý 2.1 (Tính duy nhất) Giả sử các giả thiết (W1) và (W2) thỏa mãn

Khi đó hệ (2.1) – (2.4) có nhiều nhất một nghiệm

Điểm chính trong chỉnh hóa nghiệm là tìm lại ( )( ) f a với a nhỏ từ giá trị gần đúng của ( )( ) f a với a lớn, như trong [7] chúng ta có thể sử dụng đa thức nội suy Lagrange

Định nghĩa 2.3 (Đa thức nội suy Lagrange) Cho Ax x x1, , , ,2 3 x nlà tập gồm n số phức phân biệt và cho w là hàm phức Khi đó đa thức nội suy Lagrange L A w là [ ; ]

Định lý 2.2 (Chỉnh hóa nghiệm) Giả sử rằng ( , )u f là nghiệm chính xác 0 0

của hệ (2.1) – (2.4) đối với dữ kiện chính xác  0 0 0 0

Nghiệm chỉnh hóa f je được xây dựng từ Ie je,X g he, ,e e như sau :

(i) (Hội tụ) f je C( ) và 3 f je  f j0 trong L  khi 2( ) e  0

(ii) (Ước lượng trên L ) Nếu 2 f j0 H1( ) thì 0

fe  f trong H  và tồn tại 1( )

hai hằng số e  và 0 0 C  chỉ phụ thuộc vào dữ kiện chính xác sao 0 0

cho với mọi e  0,e0 ,

Chú ý 2.2 Trong các bước xây dựng này, sự hội tụ trong H  không xét 2( )

đến ngay cả khi f j0 C( ) khi f j 0

2.3 Ch ứng minh tính duy nhất nghiệm

Trong phần này ta sẽ chứng minh Định lý 2.1 Ta bắt đầu với việc chứng minh Bổ đề 2.1

ts

( ) 2

u div u

2

u u

Ta có thể thấy (2.6) và (2.7) là phương trình vi phân dạng

Bổ đề sau cung cấp một ràng buộc thấp hơn cho D I a (được định nghĩa j( )( )

trong bổ đề 2.1) khi j thỏa mãn điều kiện (W1)

Bổ đề 2.2 Giả sử j L1(0, )T thỏa mãn điều kiện (W1) khi đó tồn tại hằng

số ( ) 0 R j  sao cho với mọi   3

cosh

T

j j

( )coshsinh ( )( )

coshsinh ( )

cosh

T

j j

j j j T

j j

j

aa

aj

aaj

Mặt khác vì    

0

0 0

1 2 0

4 max ,cosh

j j

Bổ đề 2.3 Cho f là một hàm nguyên khác hàm hằng thỏa mãn điều kiện:

tồn tại hằng số k  sao cho với mọi số thực dương r thì 0

( ) r

M rf ke , trong đó M rf( ) maxf( ) :z z r Khi đó ta có

ln ( )lim sup 1

r

r r

f

Chứng minh Đặt

ln ( )( ) sup

r

r g

r

a

fa

 Nếu lnk  , giả sử 0 lim supln ( ) 1

r

r r

Bây giờ ta chứng minh định lý 2.1

Giả sử  u f và 1, 1  u f là hai nghiệm của hệ (2.1) – (2.4) với dữ kiện 2, 2

r

r r

y

Mặt khác, theo bổ đề 2.1 ta có

( )( ) ( )( )( ) ( )

r r

y

e

Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.3 Vì thế f  0

Bây giờ áp dụng (2.6) và (2.7) cho  u f (đặt , a2 : a12a22a32) ta có

'(0) 0

y t y t y

Chứng minh Cố định z   với z  pr Tính thặng dư tại 49 cực điểm đơn ta được

j

z z x

z L B g z r

x z x z

x

ww

h h r

r

j k

Dễ dàng suy ra J(1)e30 và bằng sự mở rộng trực tiếp

2 29

(i) r( )w  trong w L  khi r   2( )

(ii) Nếu w H1( ) thì ( )r w  trong w H  và 1( )

Vậy ( )r w  trong w L  khi r   2( )

(ii) Bây giờ giả sử w H1( ) Trong trường hợp này ta có

2 ( )

m n p m n p

m n p m n p m n p r

r

pwp

(iii) Bây giờ giả sử rằng w H2( ) Nếu r 256 thì yêu cầu của (iii) được suy ra

dễ dàng từ r( )w w H1( )  w H1( )  w H2( ) Vì thế ta sẽ chứng minh với giả thiết r 256 Sử dụng tích phân từng phần ta được

+ +

Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức  2  2 2 2 2

4

a b c d    a   b c d với , , ,

Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả chính

Chứng minh định lý 2.2 Đầu tiên ta sẽ ước tính sai số 0

j r j

f f

e

e   , trong đó  rđược định nghĩa trong bổ đề 2.5 Sau đó ta sử dụng bổ đề 2.5 để so sánh 0

e  đủ nhỏ nghĩa là e  0,e0 với hằng số e  chỉ phụ thuộc vào dữ kiện 0 0chính xác

Bước 1 : Ta có :

.( ) , , ( ) , ,

Mặt khác, từ bổ đề 2.2 và công thức của E , E ,1j 2j E E , suy ra tồn tại 1*j, 2*j C  1 0,

( )( , ) ( )( , )

( )( , ) ( )( , ),

29 3

( )( , ) ( )( , ) ,( )( , ) ( )( , ) ,

29 3

29 3

29 3

( )( , ) ,( )( , ) ,

r j

r j

e e e

e m

Hơn thế nữa , sử dụng (2.23) và đẳng thức Parseval trongH ta có 1

Chương 3: VÍ DỤ MINH HỌA

Trong phần này, ta sẽ kiểm tra quá trình chỉnh hóa nghiệm trong một ví dụ rõ ràng Chọn m 1,l  1,T 30 và xét hệ (2.1) – (2.4) với dữ kiện chính xác

, , , cos( ) 4 sin(2 )sin(2 )

2 sin(4 )sin(2 ) 2 sin(4 )sin(2 ) ,

, , , cos( ) 2 sin(4 )sin(2 )

4 sin(2 )sin(2 ) 2 sin(2 )sin(4 ) ,

, , , cos( ) 2 sin(2 )sin(4 )

2 sin(2 )sin(4 ) 4 sin(2 )sin(2 ) ,

Chú ý rằng trong ví dụ này các điều kiện (W1) và (W2) đều thỏa mãn Nghiệm

chính xác của hệ (2.1) –(2 4) được tính toán rõ ràng

Tuy nhiên, ta thấy nghiệm nhiễu này khá xa so với nghiệm chính xác khi n tiến ra vô cùng bởi vì

2

0

3 ( )

Do đó sai số càng nhỏ của dữ kiện lại dẫn đến sai số càng lớn của nghiệm bài toán

Sự chỉnh hóa nghiệm là cần thiết

Bây giờ ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa với e 0.01 và dữ liệu bị nhiễu với 10

n  Kết quả của chỉnh hóa nghiệm đưa đến

 

, , 0.035 0.063 cos( ) 0.156 cos( ) 0.455 cos( )

0.033 cos( )cos( ) 0.027 cos( )cos( )0.15 cos( )cos( ) 0.005 cos( )cos( )cos( )

K ẾT LUẬN

Luận văn đã sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier kết hợp với nội suy Lagrange để chỉnh hóa nghiệm cho một bài toán đàn hồi ba chiều Ưu điểm của phương pháp này là chỉnh hóa được nghiệm của bài toán đồng thời ước lượng sai số

so với nghiệm chính xác mà không cần đến điều kiện cuối của thời gian quan sát Tuy nhiên nó có nhược điểm là khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì việc tính toán sẽ càng phức tạp

Mặc dù kiến thức còn hạn hẹp nhưng tôi luôn mong muốn nghiên cứu toán học, ứng dụng của toán học để phục vụ các ngành có liên quan Trong thời gian tới tôi hy vọng sẽ tìm được nhiều phương pháp chỉnh hóa nghiệm khác nhau, để thu được những kết quả tốt hơn và sẽ thể hiện chúng bằng hình vẽ để minh họa kết quả một cách rõ ràng hơn

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

1 K Aki and P.G Richards, Quantitative Seismology Theory and Methods, Vol

I, NewYork, Freeman (1980)

2 M Grasselli, M Ikehata and M Yamamoto, An inverse source problem for

the Lamé system with variable coefficients, Applicable Analysis 84 (4) (2005),

357-375

3 B.Y Levin, Lectures on Entire Functions, Trans Math Monographs, Vol 150,

AMS,Providence, Rhole Island (1996)

4 M.H Sadd, Elasticity Theory, Applications, and Numerics, Elsevier (2005)

5 S Timoshenko and J.N Goodier, Theory of Elasticity, New York, Mc

Graw-Hill (1970)

6 D.D Trong, A.P.N Dinh, P.T Nam and T.T Tuyen, “Determination of the

body force of a two-dimensional isotropic elastic body”, J Comput Appl

Math 229 (2009), no.1,192-207

7 D.D Trong, A.P.N Dinh and P.T Nam, “Determine the spacial term of a

two-dimensional heat source”, Applicable Analysis 88 (3) (2009) 457-474

8 D.D Trong, M.N Minh, A.P.N Dinh and P.T Nam, “Holder-Type

approximation for the spatial source term of a backward heat equation”,

Numer Funct Anal Optim 31 (12) (2010), 1386-1405

9 T.Cazenave, A Haraux, An introduction to semilinear evolution equation,

Clarendon Press Oxford (1998)

10 D.D Trong, P.T Nam and P.T Thuc, “The body force in a

three-dimensional Lamé system: identification and regularization”, inverse

Problems in Science and Engineering, volume 20, issue 4, 2012