Tích phân phức

Do tính rộng lớn của trường số phức nên tích phân phức cũng được áp dụng vào thực tế để nghiên cứu những ứng dụng trong toán học, vật lý, kỹ thuật,… mà trên trường số thực chưa thể thực

Bước đầu nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian nghiên cứu còn hạn chế em khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Em rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy cô giáo, của các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh Phúc , tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Trần Thị Thu Khuyên

Lời Cam Đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự giúp đỡ hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng sự cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học tập của bản thân Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Vĩnh Phúc , tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Trần Thị Thu Khuyên

Mục Lục Trang

LỜI MỞ ĐẦU 4

1 Lí do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Cấu trúc khóa luận 4

NỘI DUNG 5

Chương 1: Một số khái niệm mở đầu 5

1.1 Sơ lược về số phức 5

1.2 Hàm biến phức 8

1.3 Hàm giải tích 10

Chương 2: Tích phân phức 12

2.1 Tích phân phức 12

2.2 Tích phân đường 14

2.3 Các định lí Cauchy và tích phân các hàm phức giải 18

tích trên đường cong kín

2.4 Lý thuyết Cauchy 24

2.5 Một số định lí quan trọng hàm giải tích 28

2.6 Hàm điều hòa 35

Bài tập 40

Bài tập về tích phân và tính tích phân nhờ tham số hóa 40

đường cong

Bài tập về tích phân Cauchy 41

Chương 3 Ứng dụng tích phân tích phân phức 43

3.1 Thặng dư của hàm giải tích và áp dụng 43

3.2 Ứng dụng tích phân phức vào lý thuyết trường phẳng 50

3.3 Ứng dụng tích phân phức trong các bài toán cơ bản của phương trình vật lý – toán 53

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ta đã biết tích phân là một dạng toán cơ bản của toán học giải tích nhưng hầu hết chúng ta chỉ làm quen phần nhiều các tích phân ở trên trường

số thực Như vậy nếu tính tích phân trên trường số phức thì sẽ như thế nào?

Do tính rộng lớn của trường số phức nên tích phân phức cũng được áp dụng vào thực tế để nghiên cứu những ứng dụng trong toán học, vật lý, kỹ thuật,… mà trên trường số thực chưa thể thực hiện, hoặc thực hiện khó khăn

Các sách tham khảo và tài liệu nghiên cứu về hàm phức và tích phân phức cho sinh viên cũng như những người yêu thích về tích phân phức chưa nhiều bởi vậy việc nghiên cứu về tích phân phức là cần thiết và quan trọng với sinh viên

Do vậy em đã chọn đề tài “ Tích phân phức” để thực hiện khóa luận tốt

nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu tìm hiểu sâu hơn về công việc nghiên cứu khoa học, về việc nghiên cứu hàm giải tích và tích phân phức của các hàm phức Một số ứng dụng của tích phân phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân phức, trình bày về tích phân dọc theo một đường cong của hàm giải tích, đó là một trong những mặt đặc sắc của hàm giải tích

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung gồm có 3 chương:

Chương 1: Một số khái niệm mở đầu

Chương 2: Tích phân phức

Chương 3: Ứng dụng tích phân phức

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.1 SƠ LƯỢC VỀ SỐ PHỨC

1.1.1 Trường số phức

Trường số thực R nhận được từ việc “ làm đầy” trường số hữu tỉ Q

Ta xét một phương trình đơn giản sau:

x2 1 0

phương trình trên không có nghiệm trong R

Trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong Rta cũng không thể giải thích tại sao hàm:

Như vậy chứng tỏ rằng trường số thực R vẫn chưa đầy đủ

Với lí do trên ta cần đi xét một trường C nào đó hoàn thiện hơn và đó là

trường số phức

Trước tiên trường C phải có một phần tử i để 2

1

Do R C nên C chứa các phần tử dạng : a + bi ; a,b R

Xét tập C = ( , ) : ,a b a b R sau đó đưa các quan hệ bằng nhau và các

phép toán sao cho với chúng C là một trường chứa trường R:

(i) Quan hệ bằng nhau: (a,b) = (c,d)  a = c và b = d

(ii) Phép cộng : (a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d )

(iii) Phép nhân: (a,b) (c,d) = ( ac - bd , ad + bc )

Trường C với hai phép cộng nhân như trên là trường các số phức

số i C được gọi là đơn vị ảo

Chú ý:

z = a + bi với a,b R

a là phần thực, kí hiệu Rez = a

b là phần ảo, kí hiệu Imz = b

ii) Số phức liên hợp:

Cho số phức có dạng đại số z = a + bi với a,b R

Xét số : z = a – bi C được gọi là số phức liên hợp của số phức z

R tương ứng như vậy được gọi là mặt phẳng phức

iv) Mô đun của số phức:

Với mỗi z = x+iy ta đặt : 2 2

x c

r , sin 0

y r

vi) Dạng lượng giác của số phức:

Ta có thể viết số phức dưới dạng thuận tiện hơn đó là :

z z c Argz (1.1.2) Dạng (1.1.2) là dạng lượng giác của số phức z

Với mọi số thực đặt

os isin

i

e c (1.1.6) Như vậy ta có:

i

z e (1.1.7) được gọi là dạng mũ của số phức z

Công thức Euler:

1os

21sin

viii) Phép khai căn một số phức

Ta nói w là căn bậc n của số phức z nếu wn z Đặt z re i , w e i

1.2.1 Khái niệm hàm biến phức

Cho A là tập con của C (C C ) Một hàm biến phức xác định trên

A là một quy luật đặt tương ứng mỗi z A với 1 phần tử w f z( ), ( )f z C

ảo

1.2.2 Hàm số liên tục

Hàm w = f(z), z A được gọi là liên tục tại z0 A nếu

1( )

Cho hàm w = f(z) xác định trên miền , z0 Cho z0 có số gia z

sao cho z0 z Khi đó số gia của hàm là w f z( 0 z) f z Nếu ( )0

tồn tại và hữu hạn:

0

wlim

z z thì hàm gọi là có đạo hàm tại z0 và giới hạn đó

được gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại z0 Kí hiệu '

0( )

f z

Như vậy: '

w( ) lim

dw f z( ) z f z dz là vi phân của hàm f(z) tại z( ) 0

Chú ý: Đạo hàm của hàm phức có các công thức, quy tắc tương tự hàm thực

1.3.2 Hàm giải tích

Định lí Cauchy – Riemann:

Hàm số f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z0 u x y( , ) iv x y( , )(như là hàm số của biến số phức z) các hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x0,y0) và các đạo hàm riêng của chúng tại điểm (x0,y0) thỏa mãn điều kiện:

Định nghĩa hàm giải tích:

+) Hàm w = f(z) xác định trên C được gọi là hàm giải tích (hay

chỉnh hình) tại z0 nếu hàm f(z) có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân cận nào đó của điểm z0

Hay: nếu 0 sao cho f(z) có đạo hàm tại z B z( , )0

+) Hàm số w = f(z) được gọi là được gọi là hàm giải tích trên miền nếu f(z) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền

+) Nhận xét:

Ta có thể mở rộng định nghĩa trên tới trường hợp là miền tùy ý

trong C còn f là ánh xạ từ vào C bởi phép nghịch đảo

Như vậy z0 hữu hạn còn f z( )0 ta nói f giải tích tại z0 nếu 1

Để tính tích phân phức ta thay

'( )t x t'( ) iy t'( ) và f ( )t u x t y t( ), ( ) iv x t y t( ), ( ) u t( ) iv t ( )vào công thức (2.2.1) rồi tách phần thực, phần ảo suy ra công thức sau:

2.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

2.2.1 Định nghĩa tích phân đường

Cho là đường cong trong mặt phẳng (z) không kín với hai đầu mút A và

B và hàm f(z) xác định trên Chia thành các cung nhỏ bởi các điểm chia lần lượt A s s s0 1, 2, s n B và lập tổng tích phân

1

1 0

v

s thì giới hạn đó được gọi là tổng

tích phân của hàm f(z) theo đường cong từ A tới B và kí hiệu là ( )

I f z dz( )

:

Nếu f có tích phân dọc theo thì còn gọi là khả tích trên

Nếu đặt : f(z) = u(z) + iv(z),

s v 1 s v (x v 1 x v) i y( v 1 y v) x v i y v, v 0,n 1

, à

Do đó tích phân (2.2.4) tồn tại khi và chỉ khi tồn tại tích phân đường loại 2

Như vậy nếu trơn từng khúc và f liên tục trên thì tích phân (2.2.2) tồn tại và

Nếu z ( )s là khả vi liên tục ánh xạ 1 – 1 đường lên và

( ')A A, ( ')B B với A’, B’ là hai đầu mút của thì

Nếu đường cong là đường cong

kín (không tự cắt) trước hết theo lẽ thông

thường định hướng theo chiều dương

sau đó chọn tùy ý hai điểm A, B nằm trên

khác nhau sao cho chiều từ A tới B cùng

chiều với chiều Khi đó f là hàm bất kì

trên ta đặt:

A

B

»

»

(Lưu ý vế phải không phụ thuộc vào việc chon A, B)

Tính chất 7:

Trong trường hợp là

đường cong tự cắt ta phân ra một

số hữu hạn các đường cong kín và

(Công thức Newton – Leibniz)

Từ (2.2.10) ta thấy nếu là đường cong kín tức A trùng B thì

Định lí 2: (Bổ đề Goursat) Nếu hàm f z( ) liên tục trong miền đơn liên

và là một đường cong kín, trơn từng khúc nằm trong , thì với mọi

A

C

B

Đường thẳng đi qua điểm z =1 và z = i có phương trình:

x + y = 1 hay y = 1 – x do đó x biến thiên từ 1 -> 0 thay vào ta được:

2

neáu n -1 neáu n = -1

2.3.1 Định lí Cauchy cho miền đơn liên

Định lí 1: (định lí Cauchy) Nếu hàm f z( ) giải tích trong miền đơn liên thì với chu tuyến trơn từng khúc ta có

fdz 0 (2.3.1) Chứng minh:

1) Trường hợp = với là tam giác mà

Nối trung điểm các cạnh của , tam giác được chia thành 4 tam giác ( )k

không nằm trên cạnh của tam giác được tính hai lần nhưng với chiều ngược nhau vì thế vế phải bằng vế trái (hình 1)

Khi đó vì

0

n n là dãy các tam giác đóng lồng nhau với chu vi tiến

tới 0, nên tồn tại duy nhất 0 0

0

n n

Vì f giải tích tại z nên có 0

f z( ) f z( )0 f z'( )(0 z z0) (z z h z (2.3.4) 0) ( )Với z đủ gần z và 0

2) Trường hợp P với P là đa giác

Chia đa giác thành một số hữu hạn tam giác k, k = 1,2, ,N Và xét tưng tự các tam giác giống như trường hợp 1) ta có:

3) Trường hợp tổng quát là chu tuyến trơn từng khúc tùy ý Theo bổ

đề Goursat với mọi tồn tại đa giác P sao cho

tuyến trơn từng khúc Khi đó nếu f là hàm liên tục trên và giải tích trên thì:

2.3.2 Định lí Cauchy cho miền đa liên

Ta gọi là miền n – liên (hay đa liên bậc n)

nếu biên của gồm chu tuyến ngoài

Định lí 3: Nếu là một miền n – liên ,

f là hàm liên tục trên , giải tích trên thì Hình 2

Khi đó ° trở thành miền đơn liên với các biên của nó là:

2.3.3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Giả sử f là hàm giải tích trên miền đơn liên Ω và z0, z là các điểm trong

Không phụ thuộc vào hình dạng đường cong nối z0 với z trong Ω

Chứng minh: Thật vậy, giả sử 1 và 2 là hai đường cong nối z0 với z Bởi vì

1 2 là chu tuyến trong Ω , theo định lí 1 ta có

( , )z z là nguyên hàm của hàm f trong miền Ω và ( ,z z0 0) 0

Định lí 4: Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn điệu Ω sao cho tích

phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kì nằm trong đều bằng 0 Khi đó với mọi z Ω cố định, hàm

Định lí 5: Giả sử Ω là miền đơn liên còn f là hàm giải tich trên Ω

khác không tại mọi điểm Khi đó tồn tại hàm g giải tich trên Ω để eg

= f Chứng minh: Giả thiết của định lí suy ra '

/

f f chỉnh hình trên Ω vì vậy theo

định lí 4 nó có một nguyên hàm g H Mặt khác vì logf giải tích trên

2.4.1 Công thức tích phân Cauchy

Định lí 1: Giả sử f là hàm giải tích trên miền và z0 Khi đó với mọi chu tuyến sao cho z0 ta có công thức tích phân Cauchy

0

0

12

f s

Chứng minh: Giả sử là chu tuyến tùy ý vây quanh z0 sao cho Chọn 0 đủ bé để hình tròn z0, Kí hiệu C là biên của

0

2 if

i i i

0

Vì thế

0 0

Trường hợp f liên tục trên và giải tích trên có thể lấy thay cho trong chứng minh trên Khi đó với mọi z các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thỏa mãn Vì thế ta có công thức (2.4.2)

Hình 3

2.4.2 Tích phân loại Cauchy

Giả sử là đường cong Jordan trơn từng khúc, f s là hàm liên tục

trên Với mọi z C\ , hàm

f s s

Liên tục trên Do đó nếu đặt

12

f s

Ta nhận được hàm F xác định trên C\

Hàm F(z) được gọi là tích phân loại Cauchy

Định lí 2: Giả sử f(s) là hàm liên tục trên đường cong Jocdan trơn từng khúc

Khi đó tích phân (2.4.5) là một hàm giải tích trên C\ Hơn nữa có đạo hàm mọi cấp cho bởi công thức

Suy ra hàm F có đạo hàm cấp 1 trong miền C\ tính theo công thức (2.4.6)

Do đó giải tích trong miền C\

Giả sử F có đạo hàm cấp n-1 trong miền C\ Ta chứng minh F có đạo hàm cấp n trong C\

Thậy vậy: với a C\

1

1 ( 1) ( 1)

Vậy F cũng có đạo hàm cấp n trong C\

Hệ quả 1: Cho miền có biên định hướng dương, hữu hạn, trơn từng

khúc Hàm f giải tích trên miền đó Khi đó f có đạo hàm mọi cấp trên và các đạo hàm này cũng là hàm giải tích trên Và các đạo hàm của f tại

z cho bởi công thức :

i s z n 0,1,2, (2.4.7)

trong đó là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho

Hệ quả 2: (được coi như định lí đảo của định lí Cauchy) Giả sử f là

hàm liên tục trên miền đơn liên sao cho tích phân của nó theo chu tuyến trong đều bằng 0 Khi đó f giải tích trên

Chứng minh: Theo định lí 4 phần 2.3.3 ta có f là hàm liên tục trên miền đơn liên sao cho tích phân của nó theo chu tuyến trong đều bằng 0 Khi đó với mọi z0 cố định, hàm

Suy ra:

2 1 2

Khi đó ta có bất đẳng thức sau đây

,

!2

M a r n

n M a r

n r

2.5.2 Định lí Liouville

Định lí 2 Nếu hàm f(z) giải tích và bị chặn trên C, thì f = const

Chứng minh Giả sử z C tùy ý Theo bất đẳng thức Cauchy (với n = 1) ta có

nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính bằng một số lần bằng đúng bội của nó Chứng minh Giả thiết đầu tiên đa thức P bậc m 1 không có nghiệm Khi đó 1/P(z) là hàm giải tích và bị chặn trên C và do đó theo định lí Liouville 1/P(z)

và vậy thì P(z) là hằng số Trái với giả thiết m 1

Vậy P(z) có ít nhất một nghiệm z z0 C Khi đó 1

2.5.4 Nguyên lí môđun cực đại

Định lí 4 Giả sử f là hàm giải tích trên miền bị chặn Ω và liên tục trên

Khi đó hoặc f = const hoặc f z chỉ đạt cực đại trên biên của Ω Chứng minh Vì f liên tục trên tập compact nên tồn tại z0 sao cho

(2.5.3)

12

z tùy ý trong Ω Gọi L là đường cong nối z0 với z* Do L

L U z r và z j 1 z r j, , j 0,1, ,n 1

Bởi vì f z M trên z r nên 0, f z1 M Vì vậy theo lập luận

trên f z M với mọi z z r1, , , f z1 M với mọi z z n 1,r

Khi M = 0 thì hiển nhiên f = const Còn khi M 0 thì 0

Định lí 5 Giả sử f là hàm giải tích biến hình tròn đơn vị Ω(0,1) vào

chính nó, hơn nữa giả sử f(0) = 0 Khi đó

(i) f z z với mọi z (0,1)

(ii) Nếu f z0 z với điểm z0 0 nào đó trong Ω(0,1) khác không thì

s2

f z z

f z z

z với z0 (0,1),z0 0 thì theo nguyên lí

2.5.6 Tự đẳng cấu của hình tròn đơn vị

Định lí 6 Mọi phép tự đẳng cấu của hình tròn đơn vi (0,1) là tự đẳng cấu phân tuyến tính

Chứng minh: Giả sử f z( ) là tự đẳng cấu của (0,1) Ta kí hiệu

0

(0) và dựng phép tự đẳng cấu phân tuyến tính

0 0

:

1của hình tròn (0,1)biến điểm 0 thành điểm 0 xét ánh xạ hợp thành

h of Đó cũng là một tự đẳng cấu của (0,1) với h(0) = 0 Vì h z 1với mọi z 0,1 , theo bổ đề Schwarz ta có

Nhưng hiển nhiên ánh xạ ngược z = h-1

Nhưng khi đó:

1( i )

Như vậy kí hiệu Aut (0,1) là nhóm các tự đẳng cấu (với các phép toán hợp thành) thì

Giả sử f n là dãy các hàm liên tục trên miền Ω Ta nói dãy f n hội

tụ đều trên mọi tập compact (trong Ω) tới hàm f nếu với mọi compact K

với mọi 0 tìm được N N K, sao cho

n

f z f z với mọi z K và mọi n > N

Định lí 7 Giả sử f n hội tụ đều trên mọi tập compact trong Ω tới hàm f, thì f là hàm giải tích trong Ω

Chứng minh Cho z0 Chọn r > 0 đủ bé để z0,r Theo công thức tích phân Cauchy với mọi z z r ta có 0,