Tích phân phức Tích phân phức Ví dụ: Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm được nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải: - Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y..
Trang 1Toán kỹ thuật
III Hàm phức và ứng dụng
Trang 25 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
6 Phép biến đổi bảo giác
Trang 32 Tích phân phức
a Tích phân đường phức
b Công thức tích phân Cauchy
c Công thức tích phân Poisson
Trang 42 Tích phân phức
Tích phân phức
Ví dụ:
Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm được
nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải:
- Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y
- Dùng các định lý
2 2
2 2
0 0
Trang 81 Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
ii Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục trên C, |f(z)| ≤ M, thì:
iii Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơn
từng đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y và ∂Q/∂x liên tục trong và trên biên của D thì:
Trang 91 Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
iv Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) là giải tích tại mọi
điểm thuộc miền D giới hạn bởi đường cong C trơn từng
Trang 101 Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
v Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đường
cong C1 có thể biến dạng thành C2 mà không vượt qua bất
kỳ điểm nào mà tại đó f(z) không giải tích thì:
Ví dụ: Tính tích phân với C là một đường cong bất
Trang 111 Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
Giải:
a Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có
(gốc tọa độ z0 = 0 là một điểm mà f(z) không giải tích)
b Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chu
tuyến, có thể chọn C là đường tròn z = re iθ (0 ≤ θ ≤ 2π) Khi
Trang 121 Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
vi Định lý 3.7: Nếu f(z) giải tích trong một miền đơn liên D
thì tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích
Trang 141 Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
Ví dụ: Tính tích phân:
a. C là đường cong chứa cả hai điểm 1, -2j
b. C chỉ chứa -2j, không chứa điểm 1
Trang 151 Hàm giải tích
b Công thức tích phân Cauchy
Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm thuộc miền D, C là một đường kín, trơn từng đoạn trong D, z 0 ∈ D thì:
Nếu đạo hàm bậc n của f(z) tồn tại thì:
Trang 161 Hàm giải tích
b Công thức tích phân Cauchy
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
C là đường tròn bán kính 1 và có tâm là: i z = j; ii z = -j
C là đường cong kín bất kỳ chứa 3 điểm z = 1; -2 và –j
C là đường cong kín chứa điểm z = 1
Trang 191 Hàm giải tích
b Công thức tích phân Cauchy
Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục trong miền D và
với mọi đường kín C trong D thì f(z) giải tích trong D
Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) giải tích trong miền D, C là
một đường tròn tâm z 0 bán kính r nằm trong D thì:
Trang 201 Hàm giải tích
c Công thức tích phân Poisson
Công thức tích phân Poisson:
Trang 211 Hàm giải tích
Bài tập:
1 Tính trực tiếp các tích phân sau:
2 Kiểm tra lại kết quả câu 1d bằng cách chuyển sang tích phân thực với 2 biến x,y và đường lấy tích phân là đường thẳng nối liền 2 điểm 0, 3 + j
2 0
j
Trang 221 Hàm giải tích
Bài tập:
3 Tính tích phân sau:
Với đường lấy tích phân:
a. Nữa đường tròn |z| = 1 ở bên phải mặt phẳng phức
b. Dọc theo trục tung
4 Tính tích phân sau:
Với C là:
a. Đường thẳng nối 2 điểm z = 2 và z = j2
b. 2 đoạn thẳng, đoạn 1 từ z = 2 đến z = 2 + j2, đoạn 2 từ z
Trang 23Với C là: a Đường tròn |z| = 1
b Đường tròn |z - 2j| = 3
c Đường tròn |z – 1 + 2j| = 2
2 5.