Tích phân phức và các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa

Đầu thế kỉ XIX hàm biến phức đã phát triển thành một trong số ngành quan trọng nhất của giải tích toán học.. Trong đó dùng tích phân hàm biến phức có thể chứng minh được định lý cơ bản c

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào thế kỉ XVI G Cardano (1501-1576) đã nói đến các số “ảo” như là căn của các số âm Đến giữa thế kỉ XVIII các số phức rải rác xuất hiện trong các công trình toán học của I Newton, N Bernoulli, A Clairaut Song người được coi là sáng lập môn hàm phức chính là L Euler (1707-1783) Ông đã nghiên cứu các hàm phức sơ cấp, đưa khái niệm khả vi vào năm 1755 và phép tính tích phân năm 1777 Nhiều ứng dụng hàm biến phức vào giải tích thực, thủy động học và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng Đầu thế kỉ XIX hàm biến phức đã phát triển thành một trong số ngành quan trọng nhất của giải tích toán học Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857), người đã phát triển phép tính tích phân, K Weierstrass (1815-1897), người đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B Riemann (1826-1866), người đã xây dựng cơ sở hình học của hàm biến phức (mặt cầu Riemann)

Tích phân hàm biến phức có vai trò quan trọng trong giải tích hàm biến phức Tích phân phức giúp ta chứng minh được nhiều định lý cơ bản Trong đó dùng tích phân hàm biến phức có thể chứng minh được định lý cơ bản của giải tích hàm biến phức là đạo hàm của một hàm chỉnh hình (hay còn gọi là hàm chính quy) là liên tục, thậm chí có thể lấy vi phân/đạo hàm bao nhiêu lần cũng được Thời gian gần đây tuy người ta đã chứng minh các định lý này mà không dùng đến tích phân hàm biến phức, song cách chứng minh phức tạp hơn rất nhiều so với phương pháp cổ điển

Vì vậy, trong quá trình học tập và nghiên cứu môn Hàm biến phức em chọn đề tài

“Tích phân phức và các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa” làm tiểu luận

nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tích phân phức

Một số bài toán về tích phân phức bằng định nghĩa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cụ thể các nội dung về tích phân phức và các bài toán tính tích phân phức bằng định nghĩa

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tích phân phức, cách tính tích phân phức, các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp

Hệ thống kiến thức liên quan và các kết quả thu được để hoàn thiện bài tiểu luận.Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó nhằm giải quyết vấn đề của bài toán đặt ra

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tích phân phức, một số bài toán ví dụ

B NỘI DUNG Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân đường loại 2

∆

o k

k k k

dy y x Q dx y x P dy

y x Q dx y x

 ( , )  ( , ))

,()

,(ˆ

• Nếu chia AB thành các phần cùng chiều nối tiếp nhau AC, CB thì

∫

∫

B C C

A B

dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P

• Trường hợp 1: Nếu đường cong AB có phương trình y= f (x) x A =a,x B =b

a B

dx x f x f x Q dx x f x P dy y x Q dx y x

P( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( )



• Trường hợp 2: Nếu đường cong AB có phương trình x= f ( y),

b y a

a B

dy y y f Q dy y f y y f P dy y x Q dx y x

dt t y t y t x Q dt t x t y t x P dy y x Q dx y x

P( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )



1.2 Đường cong Jordan

Cho đường cong γ có thể biểu diễn tham số f(t) =u(t) +iv(t) với a≤t≤b Ta nói γ là đường cong kín nếu f(a) = f(b). Đường cong γ được gọi là đường cong

Jordan (hay đường cong đơn) nếu nó không tự cắt nhau hay f (z) là đơn ánh trên

Cho γ là đường cong Jordan, trơn từng khúc với hai đầu mút a,b. Trên γ cho

hàm số f (z). Chia γ thành n phần bởi các điểm chia a=z0,z1,z2, ,z n+1 =b Trên mỗi cung z k z k+ 1 lấy điểm t k bất kì Lập tổng tích phân

2.1.1 Mối liên hệ giữa tích phân phức và tích phân đường loại 2

Sự tồn tại của tích phân phức tương đương với sự tồn tại hai tích phân đường sau:

• Xét hàm f(z) =u(x,y) +iv(x,y) xác định trên γ với z= x+iy thì ta có

;

k k

z = +

1 1

dz z f

1

) ( lim )

(

)](

),(),([lim

k k k k k

1

, ,

, ,

( )x y dx v( )x y dy i v( )x y dx u( )x y dy

γ γ

Như vậy, tích phân của hàm f (z) trên đường cong γ được tính theo tích phân

đường loại hai trong giải tích thực với phần thực là tích phân đường loại hai của hàm vector (u, −v) và phần ảo là tích phân đường loại hai của hàm vector ( v u, ), cả hai tích phân đều được tính trên đường cong γ.

2.1.2 Các tính chất của tích phân phức

Cũng từ mối liên hệ giữa tích phân của hàm phức trên đường cong và tích phân đường loại hai trong giải tích thực nên các tính chất của tích phân đường loại hai vẫn đúng cho tích phân của hàm phức theo đường cong

•Tính chất 1 : Nếu hàm f (z) có tích phân trên đường cong γ thì hàm kf (z) với

k là một hằng số phức cũng có tích phân trên đường cong γ

dz z f k dz z

kf( ) ( )

•Tính chất 2 : Nếu hai hàm f (z) và g (z) có tích phân trên đường cong γ thì

hàm tổng f(z) +g(z) cũng có tích phân trên đường cong γ

dz z g dz z f dz z g z

f( ) ( )) ( ) ( )(

•Tính chất 3 : Cho hàm f (z) có tích phân trên đường cong γ Gọi γ− là đường cong γ nhưng được định hướng có chiều ngược lại Khi đó, hàm f (z) cũng có tích phân trên γ−

∫

γ γ

dz z f dz

z

•Tính chất 4 : Giả sử γ1 và γ2 là hai đường cong sao cho điểm cuối của γ1 là

điểm đầu của γ2 Nếu hàm f (z) có tích phân trên hai đường cong γ1 và γ2 thì f (z) có tích phân trên đường cong γ ∪1 γ2

()

(

γ γ

γ γ

dz z f dz z f dz z f

Công thức trên vẫn được dùng để ký hiệu cho trường hợp điểm cuối của γ1không trùng với điểm đầu của γ2; khi đó, γ ∪1 γ2 không là đường cong mà chỉ là ký hiệu hợp hai đường cong ấy theo nghĩa tập hợp

•Tính chất 5 : Cho hàm f (z) có tích phân trên đường congγ Khi đó, ta có

l M dz z

f( ) ≥

∫

γ

trong đó f (z) là hàm bị chặn, f(z) ≥M, l là độ dài của đường cong γ .

Chứng minh: Ta chứng minh trong trường hợp γ là đường cong trơn Giả sử γ

có biểu diễn tham số w (t) với a≤t≤b Khi đó, ta có:

∫

a

dt t w t w f dz z

f( ) ( ( )) ( )

γ

dt t w t w f

b

a

)(.))(

≥∫

.)

(t dt Ml w

f hội

tụ đều trên D tới hàm f Khi đó, với mọi đường cong trơn (hay đường trơn từng khúc) γ ⊆D ta có:

) ( )

(

1

dz z f dz

z f

∑∫

γ γ

f( )− n( )<ε

với mọi z∈D trong đó l là độ dài đường cong

γ Vậy với mọi n>N ta có

)

()()

()

(1

( lim )

z f

n

k k n

n n

•Tính chất 7 : Giả sử {f n} là dãy các hàm liên tục trên miền D và hội tụ đều về hàm f Khi đó, với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc) γ ⊂D ta có:

.)(lim)

γ γ

dz z f dz

z

n

•Tính chất 8 :

Nếu γ là đường cong kín (không tự cắt) trước

hết theo lẽ thông thường định hướng γ theo chiều

thuộc γ sao cho chiều từ A đến B cùng chiều với γ

Khi đó với f là hàm bất kỳ trên γ ta đặt:

∫

∫

A B

dz z f dz z f dz z f



)(

Lưu ý: Vế phải không phụ thuộc vào việc chọn Avà B

•Tính chất 9:

Trong trường hợp γ là đường cong tự cắt ta phân ra một số hữu hạn các đường

cong kín và xác định như ở tính chất 8 sao cho

khi ghép lại là hợp lý:

A A

B

dz z f dz z f dz z f dz z f dz z f

Chứng minh: Nếu ∫b =

a

dz z

f( ) 0, thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên

đúng Giả sử ∫b ≠

a

dz z

f( ) 0 Khi đó, tồn tại r0 và ϕ0 sao cho ( ) 0

viết lại:

.)(

0

0 e f z dz r

z f e dz

z f e

b

a i b

a i b

2.1.3 Cách tính tích phân phức bằng định nghĩa

Giả sử f (z) xác định, liên tục trên đường cong γ trơn với hai đầu mút a, b Khi

đó, tích phân của hàm f (z) được tính như sau:

Bước 1: Chia đường cong γ thành n phần

Bước 2: Tính ∆z k =z k+1 −z k Lấy t k bất kì với t k∈z k,

n

ik n

n

dz z f

1

).(

( lim lim

) (

2.2 Một số bài toán tính tích phân phức:

2.2.1 Bài toán tính tích phân phức bằng định nghĩa:

ik n

k n

i n n

i

n+ ,2+2 , , + , ,1+

1,0

Khi đó

n

i n z z

z k = k − k = +

n

ik n

k

t k = + t k∈∆z k thì ( )

n

k t

n

i n n

k z

z t f S

1 1

i n n

k S

zdz

1

)

1(limlim

1 lim

2 .

1 2

) 1 (

2

4 + , …,

n

ik n

k t

ik n

ik n

2

) 1 (

, 1

n

i

n +

−1) 1 ( , ( 1 2) 2 ,

n

ki n

k

t k = ( 1 − ) + , ta có

n

k t

k k n

n

i n n

k z

z t f S

1

1 1

)

1 1 ( )

k S

k n

)

1 1 ( lim

lim Im

1 1 (

1 lim

.

2 2

42

+ Chọn 2 4 ,

n

ik n

k

t k = + thì

2

4 2 )

k t

ik n

k z

z t f

k k k n

k k n

4 2 4 2 )

)(

(

2 1

1 1

Theo định nghĩa tích phân ta có:

ik n

k S

dz z

k n n n AB

42.42limlim

2 1

i

1

2 2

2

42.1216lim

n n

n n

i n n n

i

6

) 1 2 )(

1 ( 4 2 12 16

.3

163

re

t f

π

1 2

1 )

i k

z

π

) 1 ( 2 1

+

i k i n k k

−

i k i n k n

k k n

k k

re

z z t f S

π π π

2 ) 1 ( 2 1

0 2 11

1 1

.

1 )

)(

(

sin 2

1

n

i n i n

k

n

i n

2 lim  =

=

a z

I p = 0, 1, 2, …Trong đó L là đường cong tùy ý có độ dài L với điểm đầu z = a và điểm cuối

z = b (a và b là những số phức tùy ý)

Bài giải:

Giả sử z0, z1, z2, …, z n là các điểm chia trong phép phân hoạch đường cong L Trong trường hợp đó: z0 ≡a,z n ≡bvà:

=

+

− + +

+ − = n −

k

p k

p k p

b

1

1 1 1 1

∑

− + + ∆ +

= n

p k k

p k

+

∆ +

+

∆ +

∆

p k n

m p k

m k n

p k n

z

p k r

n

p k

m k

S

1 1 '

Ta có

k n

k

m k

m k m p k n

1 1

m k

m k m p

Lim Thật vậy, ta có:

L r z r z z

k k k

n

k k n

r n

→

→

' 0

Qua giới hạn (1) khi r  0 ta thu được:

1)

1(

1 1 1

b

p p p

p

Tức là:

1

1 1 )

b L p

2.2.2 Bài toán tính tích phân phức dùng tích phân đường loại hai

γ

- Tính tích phân của phần thưc, phần ảo chính là tích phân đường loại hai đã học Bài toán 1: Tính tích phân dọc theo L, trong đó L là đoạn thẳng với điểm đầu z1 =1,điểm cuối z2 =i của hàm số z.

Bài giải:

Phương trình đường thẳng đi qua z1 =1, z2 =i có dạng x+y= 1 hay y= −x+ 1

Phương trình đoạn thẳng L cần tính tích phân là:

L: y= −x+ 1 0≤x≤1

Áp dụng công thức

( )x y dx v( )x y dy i v( )x y dx u( )x y dy u

dz z f I

L L

L

,,

,,

ydx xdy i ydy xdx dz

iy x dz

i dx i dx

Bài toán 2: Tính I =∫ ( + − )dz

c

z2i

1 với C là cung parabol y= x2, nối gốc O và điểm

C

,,

,,

Chuyển mỗi tích phân đường loại 2 thành tích phân xác định ta có:

∫

∫

0 3 1

0

2 c

21)dx4x4x()2xdx2x

(12x)dx(1

2y)dy(1

0

2

41)dx2x2x(2x)2xdx(1

)dx2x(12x)dy(1

Bài toán 3: Tính tích phân I =∫xdz trên Oz với z=2+i

i dx x i xdx udy

i udx z

f

oz Oz

+

=+

=+

2

1.)

(

2 0

2 0

Bài toán 4: Tính = ∫

AB

2dzz

I , ABlà đoạn thẳng nối điểm A là toạ vị của số phức 2 và

điểm B là toạ vị của số phức i

Bài giải:

Ta có f(z)= z2 =(x+iy)2 =(x2 −y2 +2ixy) nên u= x2 −y2 và v=2xy.

Áp dụng công thức: I f z dz u( )x y dx v( )x y dy i v( )x y dx u( )x y dy

AB AB

AB

,,

,,

(x I

AB

xydx dy

y x i xydy dx

2 2

2

2

3

8)

2(2)2)(

844(2

2 2

2

2

3

1)2)(

22(2)8

44(2

y x v

x y x u

Khi đó: ∫ = ∫ + ∫ =∫ + 1∫

0

1 0

Rezdz xdx i xdy xdx i xdy

γ γ

γ

2 2

x v

x y x u

),(

),

Khi đó ∫z zdz =∫x dx+xydy+i∫3x dy−xydx

0 2 3

0

2Re

γ

2

27 2

∫ giữa hai điểm z = và 1 0 z2= + nếu 1 i

đường nối liền hai điểm có dạng gãy khúc L=L1+ L2 như hình vẽ

Bài giải:

Ta có L1: y = 0 0≤x≤1

1:

()(

)

(

2 2

1 1

i udx udy

vdx i

vdy udx dz

z

f

Biết rằng

e z =e x iy+ =e e x iy =e x(cosy i+ sin )y =e xcosy ie+ xsiny

nên u=e xcosy và v=e xsiny, ta có

ydy e

i ydy e

ydx e

i ydx e

1 0

1 0

dt t z t z f dz z

dz = it

e z

12

2 0

2 0

π

π π

z dọc đường cong L, trong đó L là một phần của

đường tròn z =2, nằm trong nửa mặt phẳng dưới Imz ≤0 với điểm đầu z1 = -2, điểm cuối z2= 2

Bài giải:

Đường cong L có phương trình z =2⇔ x2 +y2 =2⇔ x2 +y2 =4 có dạng tham số là

) sin (cos

Hay z=z(t)=2e it π ≤t≤2π

Áp dụng công thức f z dz f e ie dt i f e it e it dt

L

it it

)2(2)2)(

2()

(

i dt i dt e e

2

2

2 2

Bài giải:

Tích phân lấy trên đường tròn z =1 có phương trình tham số z=e it, 0≤t≤2π, nên

0 )

(

2 0

2 0 1

dt ie e

d e e dz z

0

t

t y x

−

=

= +

1 0

1 1

1 1

2 2 1

Tích phân lấy trên nửa đường tròn C2 có phương trình tham số:

z it it

i i i i

i e

dt e i

2

sin2

cos2

3sin2

3cos2

3 2

2 3

z it it

i i i i

i e

dt e

i

2

3sin2

3cos2

sin2

cos2

2 3 2

=I1 I2 I3 I4

z

z dz z

z dz z

z dz z

z

C C

C

4 3

2 1

Tích phân lấy trên đường thẳng C2 có phương trình tham số: BC

0

t y

t x

t t iy t x t

z( ) = ( ) + ( ) =

1

1 2 1

2

2 =∫ dt =t = −

t t I

Tích phân lấy trên đường thẳng C4 có phương trình tham số: DA

0

t y

t x

t t iy t x t

z( ) = ( ) + ( ) =

1

2 1 2

1

4 =− = −− = −

−∫ dt t t

t I

Tích phân lấy trên nửa đường tròn C1 có phương trình tham số:

e re

z it it

( ) 343

23

22

it it

it

e e e

i

i dt e i e

e

π π

e re

z it it

01

( ) 323

13

0 3 0

3 0

3 =∫ − = e = e −e =−

i

i dt e i e

π

Vậy

3

4 3

4 3

2 1

I với C là đường nối từ z=0→z=4+2i trong các trường hợp sau:

2

t

t y

t x

it t t iy t x t

z( )= ( )+ ( )= 2 +

( ) ( )

3

8 10 2

3 2 2

2

0

2 3 4 2

0

dt i t it t

0

t

t y x

it t iy t x t

z( ) = ( ) + ( ) =

2 2

2

0

2 2

2

t y

t x

i t t iy t x t

z( ) = ( ) + ( ) = + 2

2 2

4

0

2 4

0

Vậy I =I1 +I2 =12−8i

KẾT LUẬN

Qua thời gian thực hiện đề tài: “Tích phân phức và các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa” em đã thu được một số kết quả sau:

- Nắm được các định nghĩa và các tính chất của tích phân phức.

- Tìm hiểu được mối liên hệ giữa tích phân phức và tích phân đường loại hai.

- Biết được cách tính tích phân phức bằng định nghĩa và một số bài toán tính tích phân phức bằng định nghĩa.

Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc chắn không thể tránh được sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng hàm biến phức – Phạm Nguyễn Hồng Ngự

2 Hàm số biến số phức – Trương Văn Thương

3 Bài tập hàm biến phức – Nguyễn Văn Trào và Phạm Nguyễn Thu Trang 4.http://dlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/1277/1/BG%20Toan%20ky

%20thuat.pdf

5 http://123doc.org/document/695325-chuong-3-tich-phan-ham-phuc.htm

6 http://tailieu.tv/tai-lieu/ham-phuc-va-bien-doi-laplace-11615/

MỤC LỤC