skkn khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán tính tích phân thpt ba vì

Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp kháctrong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiềucác học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sa

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

*** S¬ yÕu lý lÞch

Ngày tháng năm sinh: 01 - 08 - 1981

Năm vào ngành: 09 – 2003

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Vì Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

Bộ môn giảng dạy: Toán

Trình độ chính trị: Sơ cấp

Đại học: Đại học Sư Phạm Hà Nội.

Môc lôc Trang

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

VI ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

45667

B– NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN

2.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải

2.1.1 Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm

2.1.2 Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân

2.1.3 Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân

2.1.4 Sai lầm khi đổi biến số

2.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải

2.2.1 Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số

2.2.2 Sai lầm khi thực hiện đổi biến số

2.2.3 Sai lầm vì dùng công thức không có trong SGK

2.2.4 Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức

2.3 Các bài tập tự luyện

4 Thiết kế một giáo án chi tiết

88101011151515171820222224272931

C – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

I KẾT LUẬN

II KHUYẾN NGHỊ

424243

Phụ lụcDanh mục các từ và cụm từ viết tắt

SKKN : sáng kiến kinh nghiệm

của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng, xâydựng thế giới quan và nhân cách.

Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêuchung của chương trình giáo dục phổ thông Mục tiêu chung của mônToán là: Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương phápToán học phổ thông, cơ bản, thiết thực Góp phần quan trọng vào việcphát triển năng lực trí tuệ, hình thành cho học sinh những phương phápluận đặc trưng của Toán học, rất cần thiết cho thực tiễn cuộc sống Từ đóhình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất đạo đức, tác phonglao động khoa học, ý chí và khả năng tự học, tạo cơ sở để học sinh tiếptục học lên ĐH, CĐ và THCN và đi vào thực tiễn cuộc sống Người giáoviên dạy Toán muốn dạy tốt thì cần phải thường xuyên tổng kết, rút kinhnghiệm giảng dạy, để có thể thiết kế ra những bài giảng có tính hệ thống

và tính sư phạm cao

Trong chương trình Toán THPT , Tích phân và các ứng dụng củatích phân chiếm một vị trí quan trọng Luôn có mặt trong tất cả các đề thitốt nghiệp THPT, các đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ và THCN Hơn thế

nó là một công cụ để giải một trong những bài toán thực tiễn phổ biếnnhất trong cuộc sống hằng ngày: Bài toán tính diện tích và thể tích

Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp kháctrong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiềucác học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giốngnhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi

Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như :

- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;

- Đổi biến số nhưng không đổi cận;

- Khi đổi biến không tính vi phân;

- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục;

Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như :

- Hàm số khụng liờn tục trờn vẫn sử dụng được cụng thức Leibnitz.

Newtơn Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) khụng phải là một hàm số liên tục và có

đạo hàm liên tục trờn [a; b]

- Sử dụng cụng thức và khỏi niệm khụng cú trong sỏch giỏo khoa hiệnthời

- Chọn cỏch đổi biến số nhưng gặp khú khăn khi đổi cận ( khụng tỡmđược giỏ trị chớnh xỏc)…

Trước đõy cũng đó cú một số tỏc giả nghiờn cứu và đề cập đến vấn

đề này tuy nhiờn những kết quả thu được cũn hạn chế, hầu như chỉ dừnglại ở việc chỉ ra một vài sai sút của học sinh

Với mong muốn giỳp cỏc em học sinh hiểu được những nhữngkiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toỏn từ đú tựmỡnh làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bàitoỏn nõng cao và thấy yờu thớch mụn Toỏn hơn, trờn cơ sở tiếp thu một sốkết quả của đồng nghiệp đi trước, tụi đó chọn đề tài nghiờn cứu cho mỡnhlà: “ KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI

TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN ”.

II MỤC ĐÍCH NGHIấN CỨU

Đề tài này được nghiờn cứu nhằm mục đớch cải tiến nội dung vàphương phỏp giảng dạy cỏc tiết học lớ thuyết và bài tập Nguyờn hàm vàtớch phõn từ đú:

* Hỡnh thành cho học sinh kiến thức căn bản về Nguyờn hàm và tớch

mà thấy say mê môn Toán hơn Đồng thời rèn luyện những đức tính tốtcho học sinh trong học tập và nghiên cứu.

* Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáoviên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ bản về Nguyên hàm và tích phân;

- Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản;

- Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi

- Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính Tích phân bất kì

- Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố

- Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy

IV ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh khối 12 của trường THPT Ba Vì trong hai năm liên tiếp

2010 - 2011

12A1 12A2

4843

2011 - 2012

12A1 12A2

4749

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Tôi đã nghiên cứu nhiệm vụ giáo dục THPT, chương trình toánhọc phổ thông ( SGK, SGV Giải tích 12), các cuốn sách “ Hướng dẫnthực hiện chương trình, SGK môn Toán THPT ” và một số tài liệu thamkhảo về Tích phân của một số tác giả

2 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Đưa ra bàn luận trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến vàcùng thực hiện;

- Tham khảo ý kiến các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạylâu năm đã có nhiều kinh nghiệm;

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm trên 2 lớp 12 của trường là: 12A2 ( 2010-2011),12A1( 2011-2012) và lấy kết quả đối chứng trên hai lớp 12A1 ( 2010-2011), 12A2( 2011-2012)

4 Phương pháp đánh giá

- Dự giờ, kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh;

- Kiểm tra đánh giá trên 3 đối tượng: Giỏi - Khá - Trung bình, yếu, kémtrong đó nội dung dạy học, phương pháp thực hiện và kết quả thu đượcđánh giá chủ yếu đối với đối tượng học sinh khá, trung bình, yếu, kém

B – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN

Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinhtương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụngcủa tích phân Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phânphối chương trình năm quá ngắn ( với số tiết bài tập là 3 tiết ứng với 3bài của cả chương ) do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều,

mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một sốlượng ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đềthi vào Đại học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa Do vậy họcsinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân

dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nângcao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán

Năm học 2009 - 2010, khi giảng dạy môn Toán khối 12 ở lớp12A1, 12A10 của trường THPT Ba Vì, tôi nhận thấy học sinh thường bếtắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính Tích phân Cáclỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ởcác lớp khác của đồng nghiệp

G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình" Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy

Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thứchoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liênquan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạohàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em haynhầm lẫn giữa hai loại công thức này Các kiến thức căn bản về biến đổiđại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực họctrung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em

có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bếtắc khi thực hiện lời giải Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏitâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương phápgiải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số,thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất cácthao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các

cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việcphát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó Trong quá trình dạy vềphần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logiccủa riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó pháthiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất củavấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu

cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấynhàm chán, mất đi hứng thú học tập Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạttrong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếmlời giải

Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên

đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh Những lớp tôinhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộphận học sinh trung bình, yếu, kém nên các giáo án, các ví dụ và bài tậpcủa tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên

là ưu tiên các em diện trung bình và yếu, kém sau đó nâng cao lên nhữngbài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu

Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhàtrường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọnbám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài với việcsoạn giảng 03 tiết Luyện tập tính nguyên hàm, tích phân

Tiến hành điều tra ban đầu về học lực môn Toán đối với lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng tôi thu được kết quả:

NĂM

SĨSỐ

SL % SL % SL % SL % SL %2010

Đây là các lớp của khối 12 mà đối tượng học sinh khá, giỏichiếm số đông bên cạnh đó có cả học sinh yếu kém Vì thế yêu cầu kiếnthức đưa ra cũng phải phù hợp với nhận thức và khả năng của các em,không gây sự chán nản, học chống đối để các em có thể nắm chắc kiếnthức cơ bản trong sách giáo khoa, giải thành thạo một số dạng tích phâncăn bản ở phần bài tập và sách bài tập và ngày càng say mê, hứng thú với

bộ môn Toán hơn

Đối với lớp 12A1 (năm học 2009 – 2010) là một lớp có chất lượnghọc sinh cao nhất trong khối, tôi chưa áp dụng đề tài khi dạy mà chỉ

giảng dạy bình thường như phân phối chương trình SGK Sau khi kết

thúc chương tôi đã tiến hành kiểm tra 45 phút theo phân phối chươngtrình Kết quả thu được như sau:

Qua kết quả khảo sát nêu trên tôi nhận thấy:

- Kết quả bài làm đạt không cao so với mặt bằng kiến thức của lớp

- Đa phần học sinh mắc những sai lầm thường gặp khi mỗi dạng bài

- Nhiều em bế tắc không biết cách giải những bài từ mức trung bình trởlên

1.1.1 Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn

hay nửa khoảng) hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)

trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K

1.1.2 Định lí:

* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng

số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

* Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số

Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) làf x dx( ) khi đó:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

1.1.5 Bảng công thức các nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp

x dx x

1





3 y = sin x y' = cosx cos xdx  s inx  C

4 y = cosx y' = sinx sin xdx   cos x  C

k 2 x , x cos

1

x cos

dx 2

6 y = cotgx y'= , x k

x sin

1

    cot gx  C

x sin

dx 2

1

,

1 a 0 , R

ln x

10 y = ax y' = ax lna

a dx

a x  x 

(0  a  1)Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm hợp thường gặp:

dx x C

C x

1

(1 tan ) tancos x dx  x dx x C

2 2

u

u

ln '

'

'.(1 tan ) tancos

'

'.(1 cot ) cotsin

a Phương pháp đổi biến số :

Phương pháp này dựa vào định lí sau:

Nếu f t dt( ) F t( )c và t=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục , thì f u x u x dx F u x[ ( )] '( )  [ ( )]C

b Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Phương pháp này có được dựa và định lí sau:

Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

u x v x dx u x v x( ) '( )  ( ) ( ) v x u x dx( ) '( )

Hay viết gọn là:  udv u v    vdu

1.2 Tích phân

1.2.1 Định nghĩa tích phân:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử F(x) là một nguyên

hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] Hiệu số F(b)  F(a) được gọi là tích phân

từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí

f x dx F x   F b  F a

* Ý nghĩa hình học của tích phân :

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì tích

a) Phương pháp đổi biến số:

Đ ị n h l í : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b].

Giả sử hàm số x ( )t có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ;  ] sao cho

Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây

Đ ị n h l í : Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì :

( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )

b a

1

x dx



Cách giải sai của học sinh

(x 1) (d x 1)



=

3 3 2 0

2 ( 1)

3 3 0

2 ( 1)

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Nguyªn nh©n sai lÇm : sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan

đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thứcnày

* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm

số cơ bản Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàmcủa nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?

* Ví dụ 2 : Tính tích phân : I =

1

5 0

(2x 1) dx

1

5 0

1 (2 1) (2 1)

2 x d x

=

1 6 0

1 (2 1)

12 x  = 1

(1 1) 0

12  

( Có thể hướng dẫn các em cách giải khác: đổi biến số t=2x-1)

- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để pháthiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm

.* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm

số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lập ra bảng nguyên hàmcủa hàm hợp ứng với u = ax+b Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tracông thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số

2 ) 1 (

) 1 (

x

x d

Cách giải đúng

)1(

- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để pháthiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân Giúp

các em tạo thói quen: Khi tính f x dx

b a

)(

 cần chú ý xem hàm số y=f(x)

có liên tục trên a; b không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học đểtính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân nàykhông tồn tại

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau

2

2 1 ) ( 

3 2

3

2.1.3 Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân:

* Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =

1 x

xe dx 0

e dx 0

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm

của một tích, nên đã dùng

bu(x).v(x).dx

bu(x)dx0

u x v x dx u x v x   u x v x dx

.* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên

hàm và tích phân Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụngphương pháp tích phân từng phần:

-Cách làm : biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx.

+ chọn u sao cho du dễ tính

+ áp dụng công thức

- Dấu hiệu: hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau

không thỏa mãn công thức nguyên hàm hàm hợp

DẠNG I :

sin cos ( ).

b

kx

kx kx

p x tgkx dx

e m

kx a

dx lx m

e m

lx dx lx

hai lần

( Hoặc ngược lại )

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau

2 0

1 x dx

Cách giải sai của học sinh

Đặt x= sint suy ra dx=costdt

1

2

2 0

0

1 sin cos

1 cos 2 cos

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên

không đổi cận

* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương

pháp đổi biến số Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm trakết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi

dt t I

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên

không tính vi phân dt

* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương

pháp đổi biến số Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm trakết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau

dx2

cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài.

2.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải:

2.2.1 Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số:

* Ví dụ 1 : Tính tích phân :

2 2 0

I  4x  4x 1dx 

Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng

1 0

2 2 1

- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :

* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép biến đổi sai:

2

(x 3)  x 3; với x [0,4] thay vì phải dùng (x 3) 2  x 3 ; với

x [0,4]

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ

chứa hàm số dạng: 2nf x 2n thì dùng phép biến đổi

  2n  

2n f x  f x ( n ≥ 1, n nguyên)    

2n 2n

1 xdx ; B =   

3 0

2

3 2x x

x dx

1 2