Tích phân phức khóa luận tốt nghiệp

Ta đã biết tích phân là một đạng toán cơ bản của toán học giải tích nhưng hầu hết chúng ta chỉ làm quen phần nhiều các tích phân ở trên trường số thực.. Do tính rộng lớn của trường số ph

Bước đầu nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian nghiên cứu còn hạn

chế em khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Em rất mong nhận được sự

đóng góp, chỉ bảo của các thầy cô giáo, của các bạn dé khóa luận hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Lời Cam Đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự giúp đỡ hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng sự cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học tập của bản thân Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bán thân không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

1 Lí do chợn đề tải sex xxx EEEEEESEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEESEkerkerkrrreererrk 4

2 Muc dich nghién CUU "a5 4

3 NhiGm Vu NGHIEN CUU oe eeeeeeecseeseeeeeeeseeseeeeeeesetseeaeeeceeaeeaceessesseeaeeasenees 4

4 Phương pháp nghiên CỨU .- 5 5 + + SE EEeekerrekreererererre 4

5 Cấu trúc khóa luận . -2- 5t E+EE+EEEEESESEESEESEESEESEEEEEEeEkrrkerkererrrrree 4

)/9)89)0)6 5 Chương 1: Một số khái niệm mở đầu . - 2-22 +22 ++£Ee+zxe+rveee 5 1.1 Sơ lược vỀ số phức . +-+©+++E++tSE+ECEEEEtEEEEEEEEErEkkrrrrkrrrrrerrvee 5 1.2 Hàm biến phức . 2-22 2e +E+EEE+EEE+EEESEEEEEEEEE211211711711 71x ELxee §

Bài tập về tích phân và tính tích phân nhờ tham số hóa

B00 50v: 1177 Bài tập về tích phân Cauchyy -22- 22+ EE EEEEEEEEEEEEEErrkrrrkrrrrerrree 41 Chương 3 Ứng dụng tích phân tích phân phức . ¿2 +2 43 3.1 Thặng dư của hàm giải tích và áp dụng .- c s5 s5 s+csssessrers 43 3.2 Ứng dụng tích phân phức vào lý thuyết trường phẳng 50 3.3 Ứng dụng tích phân phức trong các bài toán cơ bản của phương trình vật

LOI MO DAU

1 Li do chon dé tai

Ta đã biết tích phân là một đạng toán cơ bản của toán học giải tích nhưng hầu hết chúng ta chỉ làm quen phần nhiều các tích phân ở trên trường

số thực Như vậy nếu tính tích phân trên trường số phức thì sẽ như thế nào?

Do tính rộng lớn của trường số phức nên tích phân phức cũng được áp dụng vào thực tế để nghiên cứu những ứng dụng trong toán học, vật lý, kỹ thuật, mà trên trường số thực chưa thê thực hiện, hoặc thực hiện khó khăn

Các sách tham khảo và tài liệu nghiên cứu về hàm phức và tích phân phức cho sinh viên cũng như những người yêu thích về tích phân phức chưa nhiều bởi vậy việc nghiên cứu về tích phân phức là cần thiết và quan trọng với sinh viên

Do vậy em đã chọn đề tài “ Tích phân phức” để thực hiện khóa luận tốt

nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu tìm hiểu sâu hơn về công việc nghiên cứu khoa học, về việc nghiên cứu hàm giải tích và tích phân phức của các hàm phức Một số ứng dụng của tích phân phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân phức, trình bày về tích phân dọc theo một đường cong của hàm giải tích, đó là một trong những mặt đặc sắc của hàm giải tích

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung gồm có 3 chương:

Chương I: Một số khái niệm mở đầu

NỘI DUNG

CHUONG I: MOT SO KIEN THỨC MỞ ĐẦU

1.1 SO LUGC VE SO PHUC

1.1.1 Trường số phức

Trường số thực R nhận được từ việc “ làm đầy” trường số hữu tỉ Q

Ta xét một phương trình đơn giản sau:

x +1=0

phương trình trên không có nghiệm trong R

Trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R ta cũng không thê giải thích tại sao hàm:

1

I+a

ƒŒœ)=

không thẻ khai triển thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thang

Như vậy chứng tỏ rằng trường số thực R vẫn chưa đầy đủ

Với lí do trên ta cần đi xét một trường C nào đó hoàn thiện hơn và đó là trường số phức

Trước tiên trường C phải có một phần tử ¡ để ¡?=—]

Do RCC nên C chứa các phần tử dạng: a+bi;a,bc R

Xét tập C= (a,b):a,beR sau đó đưa các quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng C là một trường chứa trường R:

(1) Quan hé bang nhau: (a,b) =(c,d)<@ a=c va b=d

(ii) Phép cộng : (a,b) + (c,d) =(a+ec,b+d)

(iii) Phép nhan: (a,b) (c,d) = (ac - bd, ad +bce )

Trường C với hai phép cộng nhân như trên là trường các số phức

số ¡ eC được gọi là đơn vị ảo

z=a+bi với abe R

a là phần thực, kí hiệu Rez = a

b là phần ảo, kí hiệu Imz = b

ii) Số phức liên hợp:

Cho số phức có dạng đại số z=a +bi với a,beR

Xét số : z =a— bi e C được gọi là số phức liên hợp của số phức z

Mặt phẳng R” tương ứng như vậy được gọi là mặt phẳng phức

iv) Mô đun của số phức:

Với mỗi z = x+iy ta đặt : KỈ = 4z” +y = Vez được gọi là mô đun của số phức z

v) Argument cua mot sỐ phức

vi) Dạng lượng giác của số phức:

Ta có thê viết số phức dưới dạng thuận tiện hơn đó là :

Dạng (1.1.2) là đạng lượng giác của số phức z

Ta có:

“2

Cong thirc Moivre:

cosp + ising "=cosng + isinng (M)

vii) Dạng mũ của số phức

Với mọi số thực gy dat

2i viii) Phép khai căn một sô phức

Ta nói w là căn bậc n của số phức z nếu w" = z Đặt z= re”,w = øe”

Khi đó :

"r= text 7kZ +isin?” =)ù = 0ị nl|

1.2 HAM BIEN PHUC

1.2.1 Khái niệm hàm biến phức

Cho A là tập con của Cc (C =CU®) Một hàm biến phức xác định trên

A là một quy luật đặt tương ứng mỗi ze A với I phần tử w= ƒ(z),ƒ(z)e C

Kí hiệu w= ƒ(z).zeA

+) Nếu ƒ(z)#œ Vze A thì hàm gọi là hữu hạn

+) Nếu 3M e Ñ, : ƒ(z)|<MYze A thì hàm gọi là bị chặn

+) Dat z =x + iy Khi do:

+) Ham f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại Zo = Xọ + Iyo © u(x,y) và

v(x,y) liên tục tại (Xo,yo)

+) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) của hai hàm số liên tục tại

Zp € A la ham sé lién tuc tai zo

+) Ham w = f(z) được gọi là liên tục đều trén A néu

IƑŒ~ƒŒ)|<#

Ve>0,3ö>0,Vz,z

1.2.3 Một số hàm phức cơ bản:

ƒŒ)= az+b - hàm phân tuyến tính

ƒ(Œ)= z" (n là số nguyên không âm) — hàm lãy thừa

ƒŒ)= _ -1" mm - ham cosz 2! a" On! 2

ƒŒ0=siz=Š+Š-+ — TT Ont)! an =£ —# ` ~_jsiniz - hàm sh: 2

2 a 2n Zz ~Z ƒŒ)=chz=Š+ÃT-+ = NV TT “ny! =Ê# “Ê— —cosiz - hàm chị, 2

ƒŒœ)= I ham nghich dao

z

f= at + 4 - ham Jukowsky Z

1.3 HÀM GIẢI TÍCH

Tap hop B(z,r)= zeEC: lz - Zo| <r_ được gọi là lân cận Zp (r là số

dương nào đấy) nếu zạ # œ Còn tập Ð œ,r = z€ C:|s| >r được gọi là lân

cận của điểm xa vô tận

1.3.1 Đạo hàm của hàm phức

Cho hàm w = f(z) xác định trên miền ©, zạ e© Cho zạ có sé gia Az sao cho z, +AzeQ Khi do số gia của hàm là Aw = #Œ+Az)— ƒŒ) Nếu tôn tại và hữu hạn: iim ~~ thì hàm gọi là có dao ham tai Zp va gidi han do

> Z được gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại zọ Kí hiệu ƒ 'ạ)

A Như vậy: f'(z)= lim=—-

Ham f(z) co dao ham tai zp thi Aw = f (z,)Az+ (Az)

Ø(Az) là vô cùng bé bậc cao hơn Az khi Az—>0 Do đó f{z) cũng khả vi tại Z0 Ta gọi dw = ƒ '()Az= f (zy )dz là vi phân của ham f(z) tai Zo

Chú ý: Đạo hàm của hàm phức có các công thức, quy tắc tương tự hàm

(Xo,yo) và các đạo hàm riêng của chúng tại điểm (Xo.yo) thỏa mãn điều kiện:

_ oy ou = _— (điều kiện Cauchy — Riemanm)

Oz oy oy Ox

Định nghĩa hàm giải tích:

+) Hàm w = f(z) xac định trên ‹3 C được gọi là hàm giải tích (hay chỉnh hình) tai z, €Q néu ham f(z) có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân

cận nào đó của điểm zụ

Hay: néu Je >0 sao cho f(z) co dao ham tai Vze B(.£)

+) Ham sé w = f(z) duoc gọi là được gọi là hàm giải tích trên miền Q

nếu f(z) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền ©

giải tích tai z) con khi z, = ta nói f- giải tích tại zo nêu ƒ (+) giai tich

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỨC 2.1 TICH PHAN PHUC

là tham số cung cùng hướng với 7 Tức có phép biến đổi bảo toàn hướng

@:a,ba a,b, với pŒ)>0 và 2(s)=#,(@0))

khi đó ta có:

[rp rorwar= fF no) rsa

Suy ra tích phân hàm phức không phụ thuộc vào lớp các cung tham số cùng hướng

Nếu Z là đường cong định hướng ta có tích phân của hàm f trên đường cong y (xem phan sau tích phân đường)

Nếu tích phân (2.1.1) tồn tại hữu han thì hàm f được gọi là khả tích 2.1.2 Cách tính tích phân phức

Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 12 Lớp: k33C - Toán

Để tính tích phân phức ta thay

zŒ)=x)+iy0) và ƒ 7) =u x),yứ) +iv x),yŒ) =u()+ivữ)

vào công thức (2.2.1) rồi tách phần thực, phần ảo suy ra công thức sau:

Tham sé héa doan thang [1,2i]

2.2 TICH PHAN DUONG

2.2.1 Dinh nghĩa tích phân đường

Cho z là đường cong trong mặt phẳng (z) không kín với hai đầu mút A và

B va ham f(z) xác định trên 7 Chia 7 thành các cung nhỏ bởi các điểm chia

lần lượt A= sạs, „82 9„ = B và lập tổng tích phân

ởđây s„ là các điểm của đường cong 7 nằm giữa s, và s„„,,v=0,l, n-l vtl 3

Nếu khi |s vel -S,

thuộc vào phép chia và cách chọn điểm s„ thì giới hạn đó được gọi là tổng tích phân của hàm f(z) theo đường cong Z từ A tới B và kí hiệu là j f(@adz hay [r (z)dz

n-1

va Ir Œ)đ:= Jim VCH 4-5,) max|s, e178) J>0v= 0 (2.2.2)

Thay cho tổng tích phân (2.2.1) ta có thể xét tổng tích phân:

S= © £63) Suy] —

Nếu khi |s,„— s,|—>0 họ $ có giới hạn là 7 thì 7 được gọi là tích

phân đường loai | cua f(z) theo z Kí hiệu

1= [ƒ(z)|4|

Nếu f có tích phân doc theo Z thì còn gọi là khả tích trên Z

Néu dat: f(z) = u(z) + iv(z),

So yị 7 Sy = Ga — XI FIO ~ Y= Ax, +iAy,, v=0,n-1

Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 14 Lớp: k33C - Toán

Nếu z= Ø(s) là khả vi liên tục ánh xạ 1 — I đường Ï` lên y va

ø(A)= A,0(B)= B với A', B' là hai đầu mút của T thì

kín (không tự cắt) trước hết theo lẽ thông

thường định hướng Z theo chiều đương

sau đó chọn tùy ý hai điểm A, B nằm trên

+ khác nhau sao cho chiều từ A tới B cùng

chiều với chiều 7 Khi đó f là hàm bat ki

trên y ta đặt:

Ỉ ƒd:= Ỉ fdz+ Ỉ fdz Nếu về phải tồn tai

(Lưu ý về phải không phụ thuộc vào việc chon A, B)

Trong trường hợp Z là

đường cong tự cắt ta phân ra một

số hữu hạn các đường cong kín và

(Công thức Newton — Leibniz)

Từ (2.2.10) ta thấy nếu z là đường cong kín tức A trùng B thì

trên © tới hàm f Khi đó với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc)

yc©Ð tacó: [faz = Io poaz = » kua

2.2.3 Bé dé Goursat

Dinh li 2: (Bé dé Goursat) Néu ham @ = f (z) lién tục trong miền đơn liên

© và 7 là một đường cong kín, trơn từng khúc nằm trong ©, thì với mọi

£ >0 tổn tại một hình đa giác PO có các định trên 7 sao cho:

Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 17 Lớp: k33C - Toán

Đường thắng 7 đi qua điểm z =1 và z = ¡ có phương trình:

x+y= l1 hay y= 1 —x do đó x biến thiên từ I -> 0 thay vào ta được:

Vậy: ; li 2z¡ neän = -Í oo,

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ CAUCHY VE TiCH PHAN CAC HÀM PHỨC GIẢI

TÍCH TRÊN ĐƯỜNG CONG KÍN

2.3.1 Định lí Cauchy cho miền đơn liên

Định li 1: (dinh li Cauchy) Néu ham ø = ƒ(z) giải tích trong miền đơn liên © thì với chu tuyến trơn từng khúc z ta có

[=0 (2.3.1)

7 Chứng minh:

1) Truong hop y = ôA với A là tam giác mà Ac ©

Nối trung điểm các cạnh của A , tam giác A được chia thành 4 tam giác A“, k= 1,2,3,4 bằng nhau với biên ôA* Ta có:

Như vậy bằng quy nạp toán học ta xây đựng được một dãy các tam giác

A, trong 2 sao cho:

(i) Ana CA, CQVn= 1

(ii) Chu vi tam gidc A, 1a = (1 là chu vi tam giác A )

Khi đóvì A 1 n>0 là day các tam giác đóng lồng nhau với chu vi tiến

tới 0, nên tồn tại duy nhất ze A,,Ao=A

n=0

Vì f giải tich tai z, nén cd

FO= Sf Zo) + FM Z = 2) + Z = Z)A(Z) (2.3.4) Với z đủ gần z„ và lim h(z)= 0

Từ đó với mọi n ta có

J fac = Pe) fact f Œạ) [ (—s2)dz+ [(Œ— s,)hŒG3đ:

Theo công thức (2.2.11) phần 2.2 thì tích phân đầu trong về phải bằng 0

vì thế: f faz= [ (2- )h(@adz (2.3.5)

eA,

aA,

Do limh(z)=0 nén với mọi £ > 0 tùy ý ta tìm được số ở,0<ổ<1 sao

cho nếu |z— zạ|< ở thì zeA và |h()|<£ Chọn N đủ lớn để 2y Sổ: Vì Zạ€ Aw và chu vi của Ax nhỏ hơn ổ nên Á„ c D(z,,ö) Từ đó theo công

2) Trường hợp z=ôÔP với P là đa giác

Chia đa giác thành một số hữu hạn tam giác A,, k = I,2, N Và xét

tưng tự các tam giác giống như trường hợp l) ta có:

N

fraz=>, J faz=0

£ k=l dA,

3) Trường hợp tong quat y 1a chu tuyến trơn từng khúc tùy ý Theo bố

đê Goursat với mọi £ tôn tại đa giác P sao cho [#ms- | faz <é

1) Trường hợp 1: Tén tai z¿ 6© sao cho moi tia xuất phát từ zạ chi cắt

@@ có dang: Z=2Z+A(t),t€ 0,2, với 4 là hàm trơn từng khúc

Với mọi 0< Ø< I, xét đường cong 7„ có phương trình:

6Q | faz < (I= p)MI+ 2apm max |ƒ(sạ + Ä))— ƒ( + 2Â@)|| (2.3.6)

Trong đó: M = max| f(z) ,m= max A(t) j= leo

2.3.2 Định lí Cauchy cho miền đa liên Ta gọi © là miền n — liên (hay đa liên bậc n)

nếu biên của © gồm chu tuyến ngoài

Định lí 3: Nếu © là một miền n — liên ,

f là hàm liên tục trên Q, giai tich trén © thi Hinh 2

Khi đó Ổ trở thành miền đơn liên với các biên của nó là:

0B =6QULYV VI,, Bởi vì | fdz=— | fdz nên theo định lí 2

hy h

| fac= | faz=0

2.3.3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Giả sử f là hàm giải tích trên miền đơn liên © và zọ, z là các điểm trong

Ó Khi đó tích phân

B(29,2)= | f(s)ds (2.3.7)

Không phụ thuộc vào hình dạng đường cong nối zọ với z trong ©

Chứng minh: Thật vậy, giả sử 7, và 7; là hai đường cong nối zạ với z Bởi vì

y, +7; la chu tuyén trong ©, theo định lí 1 ta có

Ø(z¿.z) là nguyên hàm của hàm f trong mién Q và Ø(z¿,zạ) = Ö

Dinh li 4: Gia str f là hàm liên tục trên mién don diéu Q sao cho tich

phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kì nằm trong © đều bằng 0 Khi đó với mọi z € Q cố định, hàm

ý(z)= Í f(s)ds — là giải tích trong miền Q va

O\/' o,+e Nguyên lí duy nhất suy ra f= e trên ©

2.4 LY THUYET CAUCHY

2.4.1 Công thức tích phân Cauchy

Dinh li 1: Gia sử f là hàm giải tích trên miền và z¿ 6 Khi đó với mọi chu tuyến CÔ sao cho % €Q, CO ta có công thức tích phân Cauchy

Chứng minh: Giả sử 7 là chu tuyến tùy ý vây quanh zạ sao cho Q, <Q Chọn ø>0 đủ bé để hình tròn © z2 c@, Kí hiệu C, là biên của

Trường hợp f liên tục trên Q và giải tích trên Q cé thé lay GQ thay cho 7 trong chứng minh trên Khi đó với mọi ze© các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thỏa mãn Vì thế ta có công thức (2.4.2)

Hình 3

2.4.2 Tích phân loại Cauchy

Giả sử L' là đường cong Jordan trơn từng khúc, ƒ s là hàm liên tục

trén [ Voi moi zEC\T, ham

Lién tuc trén I Do dé néu dat

2ni = S—Z

Ta nhận được hàm F xác định trên CAI"

Ham F(z) dugc gọi là tích phân loại Cauchy

Dinh li 2: Gia str f(s) là hàm liên tục trên đường cong Jocdan trơn từng khúc

I Khi đó tích phân (2.4.5) là một hàm giải tích trên C\I" Hơn nữa có đạo hàm mọi cấp cho bởi công thức

Do đó giải tích trong mién C\T

Giả sử F có đạo hàm cấp n-1 trong miền C\T` Ta chứng minh F có đạo hàm cấp n trong CÁ”

Thay vay: voi VaeC\T

Hệ quả 1: Cho miền © có biên định hướng dương, hữu hạn, trơn từng khúc Hàm f giải tích trên miền đó Khi đó f có đạo hàm mọi cấp trên Q va các đạo hàm này cũng là hàm giải tích trên €2 Và các đạo hàm của f tại

ze© cho bởi công thức :

wits 4 ds, n=0,1,2 (2.4.7)

~ Oni: ;(—

trong đó Z là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho Q, <Q,

Hệ quả 2: (được coi như định lí đảo của định lí Cauchy) Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên © sao cho tích phân của nó theo chu tuyến

trong © đều bằng 0 Khi đó f giải tích trén Q