Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace

Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace. Hệquả • Nếu hàm f(z) giải tích trong miền đơn liên D và C là đường cong kín nằm trong D thì ∫f (z) dz = 0 • Nếu hàm f(z) giải tích trong miền đơn liên D , thì tích phân ∫f (z) dz với mọi đường cong C nằm trong D có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau.

Be Be W W Be Ae He he d W W W ie He Be YY

Tom tắt và các ví dụ Phân Tích phần phức và Phép biên đôi Laplace

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM Chú ý

Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng

cùng điểm đầu va điểm cuối nhận giá trị như nhau

VD 2 Tinh tích phân T= [ 3zdz, trong đó C lacung y = 2° — 3z? nối z = 0 với z=1— 2i

Cc

Giải, Đoạn thắng OA néi z = 0 voi z = 1—2i c6 phương trình: z(f) = £ — 2i, £: 0 — 1

Do ƒ(2z) = 2z giải tích trong C nên:

Cho mién D—n liên (w > 1) có biên AD gim C,,C,, ,C,,, trong đó C, bao các chu tuyến khác và các chu

tuyến Œ,, ,C, nằm ngoài nhau Nếu ƒ(2) giải tích trong D va lién tyc trong D = DU OD thi:

Hé qua (tinh bắt biến khi biến dang chu tuyén)

Nếu chu tuyén C,, cé thé bién dang liên tục ma không vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của ƒ(z) để trở thành chu

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

Do ham f(z) = » giải tích trong miền đóng có biên Œ nên I, = 0 (định lý 2)

Lm)

s Trường hợp 2: điểm ø nằm trong Ơ

Ta chọn z đủ bé để đường tròn Ở, tâm a, bán kính r nằm trong C

Phương trình tham số của Ơ, là: z = ø + re” (¿ € [0:2n])

0

Và f dz 2zi, n = LUồ a nằm trong C

œ(z—g)” 0, các trường hợp còn lại

§4 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY

4.1 Định lý (công thức tích phân Cauchy)

Giả sử hàm ƒ(2) giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền D = DU OD Khi d6, gid tri f(z,) tai điểm bất kỳ z„ € D được biễu diễn qua giá trị trên biên Ø7 theo công thức tích phân Cauchy:

Giải, Hàm dưới dấu tích phân có điểm bất thường z = i nam trong đường tròn | z — ¡ | = 1

Dođó I= f LO gy, với hàm ƒ(z) =—— giải tích trong hình tròn | z — 7| < 1

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

cos^ +isin—

Vậy » Ï = 27¡.ƒ|—| = 2mi——“———— ig] 4m “` =—— 2

b) Ham w = Poe có 2 điểm bất thường z = +5 nằm trong Œ Xét miền đa liên như hình vẽ và áp dụng

4.2 Hệ quả 1 (công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích)

Giả sử hàm ƒ(z) giải tích trong miễn giới nội 7 và liên tục trong miền 7 = ? Uô7 Khi đó, hàm ƒ(z) có đạo

hàm mọi cấp tại điểm z„ bất kỳ trong miền 7 và được biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy:

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

Chương 4 Chuỗi và Thặng dư

§2 THANG DU

2.1.3 Cách tìm cực điểm cấp

Cho z = ø z oo là điểm bat thường cô lập của ƒ(z)

= Néu lim f(z) = b z œo thì z = a là cực điểm cấp 0

, {lim f(z) = 00 tà

Nề liN(s— a)*/(2)|= beC\ 10)

“ Nếu lim ƒ(z) không tồn tại thì z = ø là điểm bất thường cốt yếu

z= a là cực điểm cấp ?m

VD 5 Tim va phân loại điểm bất thường cô lập của ƒ(z) =

Giải Hàm f(z) c6 2 điểm bất thường là z = 0 và z = 1

VD 6 Xác định điểm bất thường cô lập của ƒ(z) = cos

LH

Giải Hàm ƒ(z) có điểm bắt thường cô lập là z = ¡

Do lim cos zi mm - không tồn tại nên z = ¿ là điểm bắt thường cốt yếu

2.1.4 Điểm bất thường cô lập tại vô cùng

s Giả sử hàm ƒ(z) giải tích trong miên z < | z |< +œo với z > 0 và không giải tích tại z = co

Dat t= *m ƒ(z)= sf = g(t) Khi d6 ø(£) giải tích trong miền 0 < | z | < Ì nên có khai triển Laurent

2 Tr

s Trong khai triển Laurent của ø(/), tùy theo £ = 0 là cực điểm bỏ được, cực điểm cấp m hay điểm bất thường

cốt yếu ta có z = oo là cực điểm tương ứng của ƒ(2)

VD 7 Xác định điểm bất thường cô lập z = oo của:

Vay z = oo là điểm bat thường cốt yếu của g(z)

c) Bat t= 4, taco: TH 1 , a z 0 nhận # = 0 làm cực điểm z phó mm ‘m cấp rn

Vậy z = co là cực điểm cấp mm của P (z)

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Res{f(2), a] = liml(z — a)f(2)]

“_ Nếu ø =oo là cực điểm cấp m (m > 2) thì:

2

Zz a2 +3 94 (yy 4 3 (0 <|z-2|<oo)

Vậy Res[ƒ(z), 2]=ec , =3

Cách 2 Ta có z = 2 là cực điểm đơn của ƒ(z) nên:

Res{f(z), 2] = lim|(z — 2)f(2)] = lim(2? — 9z + 3) = 3

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

VD 12, Tìm thặng dư của ƒ(z) = 222+ tại các điểm bắt thường cô lập hữu hạn

F4

Giải, Hàm /(2) = Ÿ?“ có ¿ — 0 là cực điểm cấp 4

z

+ ua

Vay Res{[f(z), 0] = Ptim| 1 2+) = —liimeosz = -* 31 20 zs 6 20

§3 UNG DUNG CUA THANG DU’

3.1 Tính tích phân dọc theo đường cong kin

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Trong đó a, (x = Ln) là các điểm bắt thường cô lập nằm trong hình tròn | z | < 1

Vậy I =2.2zi.Res|[ƒ(2), a] = 4mi.liữũắ=————————— = 4mi.lim—y”—————; = ~=

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM 3.3 Tính tích phân suy rộng

Cho ƒ(z) giải tích trong nửa mặt phẳng trên (trừ một số hữu hạn điểm bắt thường cô lập 4, a„ đ,)

Néu f(z) = on , với bac P(x) < (bac Q(x) + 2) thi:

Trong đó, ø, là các điểm bắt thường nằm trong nửa mặt phẳng trên

+ Bước 2 Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có 7, và I,

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

z=l+3i

= ao (eo 1— 3sin1) + is e *(3cos1+ sinl)

2

vay I, = se (eos 1-3sinl), I, = 3° (3cos1+ sinl)

Chương 5 Phép bién déi Laplace

§1 DINH NGHIA PHEP BIEN DOI LAPLACE

1.2 Định nghĩa phép biến đỗi Laplace

1.3 Biến đỗi Laplace của một số hàm thông dụng

§2 TINH CHAT CUA PHEP BIEN DOI LAPLACE

2.1 Tinh chat tuyén tinh

Néu L{f(t)} = F(s) va L{g(t)} = G(s) thi L{a.f(t) + b.g(t)} = aF(s) + bG(s)

Trong đó, ø và b là các hằng số phức

10

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

b) Tacé: L(sin 2t) = (sin 2t) P44 = F(s) Vay L(e™ sin2t) = F(s (s) Vay L( ) = F(s — 8) (G3) 44 — 3) = ———_

2.3 Tính chất trễ (dời theo ?) (biến đổi của ham u(t — T).f(t — T))

11

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Ta có: ƒ(#) = [u(t — 0) — u(t — 1)](Œ + 1) + 3u(£ — 1)

= uf)-(t + 1) + u(£ T— 1).(2— #) = t +1 + u(£ — 1) — u(# — 1).(£— 1)

Tacé: f(t) =[u(t) — u(t — D]t +[u(t — 1) — w(t — 2)]( — £)

= u(t)t — 2u(t — 1)(¢ — 1) + u(t — 2)(t —2)

Vậy L{f()}= > -2.5€° +5e 2

8 8 8

2.5 Biến đổi Laplace cia dao ham f(t)

Néu L{f(t)} = F(s) va ham géc f(t) có đạo hàm đến cấp ø và các đạo hàm cũng là hàm gốc thì:

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Vậy L{g()} = L{y"()}T~ 3L{w'()} + 4L{w()} — LQ) = (s” ~ 3s + 4)Y(s) + s — ð — 2

2.6 Biến đổi Laplace cia ham /'ƒ()

b) Biết /(e”) = , ta suy ra L(t"e”) = (—1)” asaya Le") = ( roe] =a — đ" 1 =" n!

VD 11 Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) ø(/) = £sin 3í; b) g(t) = # cos4t

a) Tacé: f(t) = sin3t > F(s) = —— Vay L(tsin 3t) = —F"(s) =— 6s >

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

LO

2.8 Biến đổi Laplace của hàm va

Néu L{f(t)} = F(s) và 3 tim£O en:

2.9 Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn

Nếu ƒ() là hàm tuần hoàn với chu kỳ 7 > 0 thì:

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

3.2 Các phương pháp tìm biến đỗi Laplace ngược

VD 4 Tim biến đổi /7!|——?2Đ8— |, s“+ 4s+ 13

Giai, Ta c6: F(s) = ye Vậy '{F(s)} =3L" li = 3e ” cos3t

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

3.2.2 Phân tích ảnh thành tổng các phân thức tối giản

"Phân thức tối giản loại I có dạng: —— với ø là số thực

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

VD 12 Tìm biến đổi 771 lai

Gidi, Ta c6: _>— =+.4 F :

s(s° +9) 98? 9 2+9

VD 13* Tìm biến déi Z* mi!

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

= F(s) = "¬ Gls) = = sO =sint, git) =e

Vay Lt = = f'(t) * g(t) + f(O)g(t) = cost xe! = foo ze dr = se —cost+e')

$4 UNG DUNG CUA PHEP BIEN DOI LAPLACE

4.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

" Phương pháp giải Xét phương trình vi phân với nghiệm cần tìm là y(t)

« Bước 1 Biến đối Laplace hai về của phương trình vi phân ta thu được một phương trình bậc nhất với hàm cần

tim 1A Y(s) = L{y(#)}

* Bude 2 Thay diéu kién dau (nếu có), tìm Y(s) theo s

+ Bước 3 Nghiệm cần tìm là y(t) = /'{Y(s)}

Chú ý Đề đơn giản, ta viết Y thay cho Y(s); y thay cho y(t)

VD 1, Giải phương trình vi phân: ¿— 2 = 3e; (0) = —1

Giải Lay biến đổi Laplace hai về, ta được:

sY —(0)— 2Y =

s—1 Thay y(0) = —1 va giải theo Y, ta được:

VD 2 Giải phương trình vi phân: ?/ + 3y = e ”; g(0) = 2

Giải Lấy biến đổi Laplace hai về, ta được:

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên - ĐHCN Tp.HCM

VD 4 Giải phương trình vi phân: ÿ” — 3y + 2y = 4€”; g(0) = —3, (0) =5

Giải Ta có:

Thay các điều kiện đầu và giải theo Y , ta được:

Vậy =_—7e' +4e” + 4te”

VD 5 Giải phương trình vi phân: ¿” + / =1; g(0) = (0) = y”(0) =0

Giải Lấy biến đổi Laplace hai về, ta được:

Giai Dat _X = L(x), Y = L(y)

Lấy biến đổi Laplace cả hai phương trình, ta được:

23

Tóm tắt và các ví dụ Phân Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên —- ĐHCN Tp.HCM

VD 8 Giải hệ phương trình vi phân: |

Giai, Dat _X = L(x), Y = L(y) Tacé: