TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – ĐẠI SỐ

4 Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ .... Việc nghiên cứu phổ nguyên tố của lớp các vành giao hoán có đơn vị xem như đã hoàn chỉnh.. Ta cố gắng nghiên cứu

Lê Hữu Hòa

TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG

CÁC PI – ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại Số và Lý Thuyết Số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THẦY HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư Tiến sỹ Bùi Tường Trí, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy đã từng bước hướng dẫn tác giả tìm hiểu các kiến thức cơ bản và các kết quả nghiên cứu mới cũng như định hướng và hướng dẫn tác giả tự giải quyết các vấn đề được đề ra trong

đề cương luận văn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Phó Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh Quang, Tiến sỹ Trần Huyên những người thầy đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả nâng cao chuyên môn và phương pháp làm việc có hiệu quả trong suốt thời gian của khóa học sau đại học tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả cũng xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cô giáo thuộc Khoa Toán – Tin của Trường Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Phòng KHCN – SĐH của Trường Đại Học Sư Phạm Tp HCM đã tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp tác giả trong suốt quá trình tham gia khóa học tại trường và quá trình hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và bạn bè cùng khóa học đã động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả có thể hoàn thành luận văn này

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 6

1.1 Một số kết quả về vành giao hoán có đơn vị 6

1.2 Một số khái niệm về không gian tôpô 15

1.3 Một số tính chất về phổ nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị 17

Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 26

2.1 Đại số tự do trên vành giao hoán có có đơn vị K 26

2.2 Một số kết quả về PI – đại số nguyên thủy 33

2.3 Địa phương hóa theo tâm 41

2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự 46

Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ 51

3.1 Ứng dụng của đồng nhất thức, đa thức tâm đối với PI – vành bất kỳ 51

3.2 Phổ nguyên tố của PI – vành nguyên tố và nữa nguyên tố 61

3.2.1 Sự so sánh tập các ideals nguyên tố của vành bất kỳ với phổ nguyên tố của một vành con giao hoán 61

3.2.2 Hạng của ideal nguyên tố 64

3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n của vành R 66

3.2.4 Ideal tối tiểu đối với g R 72 n( ) KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

, , , ,

ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ : Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực,

số phức (theo thứ tự)

S : ideal sinh bởi tập con S của vành R

a : ideal chính sinh bởi một phần tử a của vành R

r α : radial của ideal α

Spec(R) : phổ nguyên tố của vành R

V E : tập tất cả các ideal nguyên tố p của vành R mà p chứa

E, với E là một tập con của R i

x

deg f : bậc của biến x của đa thức i f x , , x , , x( 1 i m)

deg f : bậc của đa thức f x , , x , , x( 1 i m)

[ ]n : phần nguyên của số thực n

S

R : địa phương hóa vành R tại tập con đóng nhân S nằm

trong tâm của R

MỞ ĐẦU

Vấn đề trọng tâm của đại số giao hoán là nghiên cứu về các ideal nguyên tố Khái niệm ideal nguyên tố là sự tổng quát hóa của khái niệm số nguyên tố trong số học và khái niệm tập hợp các điểm trong hình học Vấn đề được tập trung chú ý của hình học là khái niệm “lân cận của một điểm” còn đối với đại số là quá trình địa phương hóa của một vành tại một ideal nguyên tố

Việc nghiên cứu phổ nguyên tố của lớp các vành giao hoán có đơn vị xem như đã hoàn chỉnh Ta cố gắng nghiên cứu tập các ideals nguyên tố của một vài lớp

PI – vành (tức là vành không giao hoán) và mô tả một số tính chất của tập các ideals nguyên tố trong các lớp PI – vành này

Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Tập các ideals nguyên tố trong các PI – đại số” làm chủ đề cho luận văn và bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển và hoàn chỉnh một số kết quả về mối liên hệ giữa tập hợp các ideals nguyên tố của vành R bất kỳ với tập các ideals nguyên tố của một vành con R giao hoán của R và 1đặc biệt hơn khi R là tâm của vành R 1

Hướng nghiên cứu mà chúng tôi tiếp cận là dựa trên một kết quả nghiên cứu của Rowen (giao của một ideal khác không với tâm của PI – vành nguyên tố luôn luôn khác không), từ đó ta có thể nghiên cứu tập hợp các ideals nguyên tố của một PI – vành nguyên tố bất kỳ thông qua việc nghiên cứu các ideals nguyên tố của tâm của nó tức là một vành giao hoán có đơn vị

Trong luận văn này chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu về tập các ideals nguyên tố của các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Luận văn được chia thành 3 chương

CHƯƠNG I: Giới thiệu về vành giao hoán và các kết quả chính về phổ nguyên tố

trong một vành giao hoán có đơn vị

CHƯƠNG II: Giới thiệu các PI – vành không giao hoán và các kết quả cơ bản của

các PI – vành không giao hoán

CHƯƠNG III: Tìm hiểu về tập hợp các ideals nguyên tố trong các PI – vành

nguyên tố và nửa nguyên tố

Chương 1:

TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hoán có đơn vị là một tập hợp R khác rỗng cùng

với hai phép toán hai ngôi, một viết theo lối cộng và một viết theo lối nhân, thỏa mãn các điều kiện sau:

i) R cùng với phép cộng là một nhóm abel

ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm

iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là:

Với mọi x, y,z R∈ ta có:

x y z+ =xy xz+

(y z x yx zx+ ) = +iv) Với mọi x, y A∈ thì xy yx=

v) Tồn tại phần tử 1 R∈ sao cho x1 1x x= = với mọi x∈R

Trong chương này chúng tôi chỉ đề cập đến vành giao hoán có đơn vị do đó nếu không nói gì thêm thì vành R thường được hiểu là một vành giao hoán có đơn vị,

tức là một vành thỏa mãn 5 tính chất trên

Định nghĩa 1.1.2: Cho R là một vành bất kỳ Vành con α của R gọi là ideal của A

nếu xa ∈ α với mọi x∈ α ∈,a R

Nhận xét:

- Giao của một họ không rỗng các ideal của vành R là một ideal của R

- Cho S là một tập con của vành R Khi đó có ít nhất một ideal của vành R chứa S (chẳng hạn R) Bởi vậy giao của tất cả các ideal của R chứa S là một ideal của R chứa S Ideal này được gọi là ideal sinh bởi tập S, kí hiệu: S Hiển nhiên đây là ideal bé nhất (theo quan hệ bao hàm) trong lớp các ideal của R chứa S

Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} gọi là ideal chính sinh

p là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi A p là miền nguyên

m là ideal tối đại của vành R khi và chỉ khi A m là trường

Hệ quả 1.1.6: Mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố

Mệnh đề 1.1.7:

Cho R là một vành Giả sử p là một ideal nguyên tố và ,α β là các ideal của

R Khi đó nếu αβ ⊂ thì p α ⊂ hoặc p β ⊂ p

Bằng phản chứng giả sử α ⊂i p; i 1, n∀ = ⇒ ∃ ∈α nhưng fi i fi∉ với mọi i p

Bổ đề Zorn: Cho S là tập không rỗng được sắp thứ tự bởi ≤ Nếu mọi tập con T

của S, được sắp toàn phần bởi ≤ , đều có cận trên thì S có phần tử tối đại

Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác 0 có đều ít nhất một ideal tối đại

Hệ quả 1.1.10:

Nếu α ≠ 1 là ideal của vành R thì α được chứa trong một ideal tối đại của R Mọi phần tử không khả nghịch của vành R đều được chứa trong một ideal tối đại của R

Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x R∈ được gọi là lũy linh nếu có số nguyên dương n sao cho: xn = Hiển nhiên, nếu x0 ≠0, x lũy linh thì x là ước của 0 Tập hợp gồm các phần tử lũy linh của vành R là một ideal của R và được gọi là nilradical của R, kí hiệu: rad R Khi đó: ( )

( )

Rrad R không có phần tử lũy linh khác 0

Mệnh đề 1.1.12: Nilradical của vành R là giao của các ideal nguyên tố của vành R

Chứng minh:

Gọi ℜ là giao của tất cả các ideal nguyên tố của R

Giả sử f∈R là phần tử lũy linh và p là ideal nguyên tố Khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho: fn = ∈ ⇒ ∈ (vì p là ideal nguyên tố) Do đó: 0 p f p rad R ⊂ ℜ ( )

Ngược lại: giả sử f là một phần tử không lũy linh, tức là ∀ ∈n ℕ*: fn >0 Xét Σ là tập hợp gồm các ideal α thỏa mãn tính chất: ∀ ∈n ℕ*: fn∉ α Hiển nhiên Σ ≠ ∅ (vì 0∈ Σ ) Σ được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm

Định nghĩa 1.1.13: Cho α là một ideal bất kỳ của vành R Tập tất cả các phần tử

x R∈ sao cho có n 0 : x> n∈ α , gọi là radical của ideal α , kí hiệu: r α ( )

Mệnh đề 1.1.14: r α là một ideal của R ( )

Mệnh đề 1.1.15: Radical của ideal α là giao của tất cả các ideal nguyên tố mà chứa

α

Chứng minh:

Giả sử α là một ideal của R Gọi A là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa α

Gọi S là tập hợp tất cả các ideal β của R sao cho β ⊃ α và fn∉β ∀ ∈ ℕ , n *

Ta thấy S ≠ ∅ vì α ∈S, do đó S có phần tử tối đại Gọi p là phần tử tối đại của S với p là ideal nguyên tố chứa α Vậy f p∉ ⇒ ∉f A (mâu thuẫn f A∈ )

Vậy R là vành giao hoán

Mệnh đề 1.1.18: Mọi ideal nguyên tố trong vành Boole là ideal tối đại

Chứng minh:

Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Boole R

Giả sử tồn tại ideal α của R sao cho: p⊂ α ⇒ ∃ ∈ αf : f∉ p

Vì R là vành Boole nên: f f 1( − )=f2− = ∈ f 0 p

Suy ra f 1 p− ∈ (vì f∉ ) p

Suy ra f 1− ∈ α ⇒ −f (f 1− ∈ α ⇒ ∈ α ⇒ α =) 1 R

Vậy p là ideal tối đại của vành Boole R

Mệnh đề 1.1.19: Mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính

Mệnh đề 1.1.20: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:

i) Mọi ideal trong R là hữu hạn sinh

ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R, tức là: α ⊂ α ⊂ α ⊂1 2 3 với α ≠ α i i 1+đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho:

Theo giả thiết chuỗi tăng các ideal này hữu hạn, vậy S có phần tử tối đại

iii)⇒ i)

Giả sử α là một ideal bất kỳ trong R Lấy f ∈ α 1

Nếu f = α thì α là hữu hạn sinh 1

Nếu f1 ≠ α ⇒ ∃ ∈ αf2 : f2∉ f1 ⇒ f1 ⊂ f ,f1 2

Nếu f ,f = α thì α là hữu hạn sinh 1 2

Nếu f ,f1 2 ≠ α ⇒ ∃ ∈ αf3 : f3∉ f ,f1 2 ⇒ f ,f1 2 ⊂ f ,f ,f1 2 3

Tiếp tục như vậy ta được một chuỗi tăng các ideal hữu hạn sinh của R

Gọi S là tập các ideal hữu hạn sinh, khi đó S ≠ ∅ và S có phần tử tối đại Giả sử

⇒ ∈ (mâu thuẫn tính tối đại của f ,f , ,f trong S) 1 2 n

Vậy f ,f , ,f = α do đó α là hữu hạn sinh 1 2 n

Vậy mọi ideal của R là hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.1.21: Một vành R được gọi là vành Nether nếu thỏa mãn một trong ba

điều kiện tương đương của mệnh đề 1.1.20

Mệnh đề 1.1.22: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:

i) Mọi dãy giảm các ideal trong R, tức là: α ⊃ α ⊃ α ⊃1 2 3 với α ≠ α i i 1+đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho:

S ⇒ ∃α ∈2 S :α ⊃ α Tương tự như vậy nếu 1 2 α không phải là phần tử tối đại của 2

S ⇒ ∃α ∈3 S :α ⊃ α … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi giảm các ideal của A: 2 3

Định nghĩa 1.1.23: Một vành R được gọi là vành Artin nếu thỏa mãn 1 trong 2 điều

kiện tương đương của mệnh đề 1.1.22

Mệnh đề 1.1.24: Cho R là vành Artin, α là ideal của R Khi đó vành thương R

αcũng là vành Artin

Chứng minh:

Xét toàn cấu chính tắc: ϕ: R→R

α

Giả sử α ⊃ α ⊃ α ⊃1 2 3 là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của Rα Khi đó :

Mệnh đề 1.1.25: Mọi ideal nguyên tố trong vành Artin R là ideal tối đại

Chứng minh:

Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Artin R Khi đó R p là miền nguyên

Mặt khác ∀ ∈f Rp,f ≠ ta có: 0 f ⊃ f2 ⊃ f3 ⊃ là chuỗi giảm các ideal của R

p , theo mệnh đề trên ta có Rp là vành Artin nên ∃ ∈n ℕ*: fn = fn 1+ = Suy ra: g R : fn fn 1.g 1 f.g

Vậy f khả nghịch trong R p , do đó R p là trường

Suy ra p là ideal tối đại trong R

Mệnh đề 1.1.26: Trong vành Artin R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại

m là ideal tối đại của R)

Vậy trong R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại

1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ

Định nghĩa 1.2.1: Cho một tập hợp X Một họ τ gọi là một tôpô trên X nếu tỏa

mãn các điều kiện:

( )τ X và ∅ thuộc τ ; 1

( )τ Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; 2

( )τ Giao của hữu hạn các tập thuộc 3 τ là thuộc τ

Định nghĩa 1.2.2: Cho một tập hợp X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian

tôpô

Định nghĩa 1.2.3: Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G

của X có X \ G hữu hạn, là một tôpô trên X và tôpô này được gọi là tôpô Zariski

Định nghĩa 1.2.4: Cho τ là một tôpô trên X Một họ con β của τ gọi là cơ sở của

τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x G∈ tồn tại V ∈β sao cho

x V∈ ⊂G

Định nghĩa 1.2.5: Cho X là một không gian tôpô

• Không gian tôpô X gọi là T − không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất 0

kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x

• Không gian tôpô X gọi là T − không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất 1

kỳ của X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x

• Không gian tôpô X gọi là T − không gian (hay không gian Hausdorff) nếu 2

hai điểm x, y khác nhau bất kỳ của X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U∩V= ∅

• Không gian tôpô X gọi là T − không gian (hay không gian chính quy) nếu X 3

là T − không gian và với mọi x X1 ∈ , mọi tập con đóng F của X không chứa

x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x U, F∈ ⊂V và U V∩ = ∅

• Không gian tôpô X gọi là 1

2

T − không gian (hay không gian hoàn toàn chính quy) nếu X là T − không gian và với mọi x X1 ∈ , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại tồn tại một hàm liên tục f : X→[ ]0;1 sao cho f x( )= 0

và f y( )= với mọi 1 y F∈

• Không gian hoàn toàn chính quy còn gọi là không gian Tikhonov

• Không gian tôpô X gọi là T − không gian (hay không gian chuẩn tắc) nếu X 4

là T − không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, 1tồn tại các tập mở U và V sao cho A⊂U, B⊂V và U V∩ = ∅

Mệnh đề 1.2.6: Cho X là không gian tôpô Khi đó X là T − không gian khi và chỉ 1khi với mọi x X∈ , tập { }x là tập đóng

Hệ quả 1.2.7: Không gian chuẩn tắc là không gian chính quy Không gian chính

quy là không gian Hausdorff

Hiển nhiên theo định nghĩa ta có không gian Hausdorff là T − không gian và 1

1

T − không gian là T − không gian 0

Định nghĩa 1.2.8: Cho X là một không gian mêtric

• Một họ { }Vα (α∈I) các tập con của không gian X được gọi là một phủ của của

tập con A của X nếu

• Cho { }Vα (α∈I) là một phủ của A Nếu J⊂ mà I { }Vα (α∈J) cũng là một phủ của

A thì { }Vα (α∈J) gọi là một phủ con của { }Vα (α∈I) Nếu J là tập hữu hạn thì

{ }Vα (α∈J) gọi là một phủ con hữu hạn của phủ { }Vα (α∈I)

Định nghĩa 1.2.9: Cho X là không gian tôpô

• Tập con A của X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X

đều có một phủ con hữu hạn

• Không gian X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X

• Tập con A của X được gọi là tập compact tương đối nếu bao đóng A là

compact trong X

Mệnh đề 1.2.10:

a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact

b) Tập con compact của một không gian Hausdorff là tập đóng

c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2.11:

• Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới

dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập

mỡ, khác rỗng U và V sao cho U V X∪ = và U V∩ = ∅

• Tập con A của không gian X gọi là tập liên thông của X nếu A với tôpô cảm

sinh là không gian liên thông

Mệnh đề 1.2.12: Không gian tôpô X là không gian liên thông khi và chỉ khi thỏa

mãn một trong hai điều kiện sau:

a) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau b) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở

1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

Định nghĩa 1.3.1: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, với mỗi tập con E của R ta

kí hiệu V(E) là tập tất cả các ideal nguyên tố p của R mà p chứa E

Mệnh đề 1.3.2: Cho R là vành, E là tập con của R Nếu α là ideal của R sinh bởi E

Do r α là giao của mọi ideal nguyên tố của R chứa α nên ( ) r α là ideal chứa α ( )

Vì vậy với mọi ideal nguyên tố p của R ta có:

Mệnh đề 1.3.3: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, đặt X là tập gồm tất cả các

ideal nguyên tố của R Khi đó ta có: V 0( )=X;V 1( )= ∅

Định nghĩa 1.3.7: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, không gian tôpô Zariski X

được gọi là phổ nguyên tố của vành R Kí hiệu: Spec(R)

Như vậy ta có thể hiểu phổ của vành R, Spec(R) là tập các ideal nguyên tố của vành

R Tập con V của Spec(R) được gọi là đóng, nếu như tồn tại ideal α của vành R sao cho V gồm tất cả các ideal nguyên tố p của R mà chứa α Khi đó ta kí hiệu:

( )

V V= α Phần bù của tập con đóng trong Spec(R) được gọi là tập con mở trong Spec(R)

Ví dụ phổ nguyên tố của vành số nguyên ℤ

Ta đã biết các ideal trong ℤ có dạng: n ,n ∈ℤ ℤ Theo định nghĩa của ideal nguyên

tố và số nguyên tố trong ℤ ta thấy các ideal nguyên tố trong ℤ là ideal 0 và ideal

pℤ , trong đó p P∈ , với P là tập hợp các số nguyên tố của ℤ

Vậy Spec( ℤ ) = { p , p = 0 hoặc p P∈ }

Như ta đã biết mỗi điểm x của khơng gian tơpơ Zariski X = Spec(R) là một ideal nguyên tố mà ta gọi là p Ta quy ước là ghi x hay x p nếu như ta nĩi nĩ là một xđiểm trong Spec(R) hay nĩi nĩ là một ideal nguyên tố của R

Với mỗi f∈R ta kí hiệu X là phần bù của V(f) trong X = Spec(R) Hiển nhiên f

f

X là một tập mở và với mọi x X Spec R , x X∈ = ( ) ∈ f ⇔ ∉f px

Mệnh đề 1.3.8: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị, họ B={ }Xf f A∈ là cơ sở của khơng gian tơpơ Zariski

Vậy B là cơ sở của tơpơ Zariski

Mệnh đề 1.3.9: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị và f R∈ , ta cĩ:

1) Xf = ∅ ⇔ là lũy linh trong R f

là ideal nguyên tố trong R

là lũy linh trong R

Giả sử f không khả nghịch, suy ra f thuộc một ideal tối đại nào đó mà mọi ideal tối đại cũng là ideal nguyên tố nên V f ≠ ∅ , do đó ( ) X \ V f( )≠X⇒Xf ≠X (trái với giả thiết)

Ngược lại, giả sử f là khả nghịch trong R

Mệnh đề 1.3.11: Cho vành R giao hoán có đơn vị, khi đó với mọi f ,g R∈ ta có:

Mệnh đề 1.3.12: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, X = Spec(R) Khi đó với mọi

x thuộc X thì: { }x =V p( )x , trong đó { }x là bao đóng của {x}

Ta chứng minh: y∈{ }x , nghĩa là chứng minh y thuộc mọi tập đóng chứa x

Thật vậy, giả sử: V α là một tập đóng bất kỳ chứa x, với α là ideal của R ( )

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng: px ⊄py

Suy ra: y∉{ }x do đó tồn tại một lân cận U của y sao cho: y Uy∩{ }x = ∅ Hiển nhiên x U∉ y do đó ∀x, y Spec R , x y∈ ( ) ≠ , luôn tồn tại một lân cận của y mà không chứa x hoặc ngược lại tồn tại một lân cận của x mà không chứa y

Vậy X = Spec(R) là T0 – không gian

Như vậy phổ nguyên tố Spec(R) của một vành R luôn thỏa mãn tiên đề tách T0

Mệnh đề 1.3.15: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, khi đó X = Spec(R) là không

∪ được chứa trong một ideal tối đại nào đó và

ideal đó cũng chính là ideal nguyên tố nên: { }i

⇒ là một phủ con hữu hạn của X

Do đó X = Spec(R) là không gian compact

Như vậy phổ nguyên tố của một vành R là không gian compact và do đó với tập con

E của R ta luôn có V(E) là tập compact trong Spec(R)

Chương 2:

MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHƠNG GIAO HỐN

2.1 ĐẠI SỐ TỰ DO TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ CĨ ĐƠN VỊ K:

Định nghĩa 2.1.1: Cho K là vành giao hốn cĩ đơn vị Ta nĩi R là một đại số trên

vành K nếu: R là một vành và R là K – mơ đun Ngồi ra giữa phép nhân vơ hướng

và phép nhân trong vành K phải thỏa điều kiện:

{1, x x xi 1 i 2 i r trong đó: i là phép thế, r ∈ ℕ}

1 là đơn vị của X và các đơn thức

Tính chất 2.1.3: (tính chất cơ bản của đại số tự do)

Cho A là một đại số bất kỳ và σ là một ánh xạ từ {x , x , vào R Khi đĩ tồn tại 1 2 }

duy nhất một đồng cấu η của K X vào R là mở rộng của σ nghĩa là biểu đồ sau { }

giao hốn:

Đa thức f được gọi là đồng nhất thức của R nếu: f r ,r , , r(1 2 m)=0; r∀ ∈i R

Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thật sự của R nếu f là đồng nhất thức của R và tồn tại một hệ số của f không linh hóa R

Định nghĩa 2.1.7: Một đại số R trên vành giao hoán có đơn vị K được gọi là PI –

đại số nếu tồn tại đa thức f x , x , , x( 1 2 m)∈K X{ } là đồng nhất thức thật sự của mọi ảnh đồng cấu khác 0 của đại số R hay nói cách khác nếu f là đồng nhất thức thật sự của đại số R thì R được gọi là PI – đại số

R

Nếu S là tập con của K khi đó SR={ ∑αi ir /α ∈i S, ri∈R} là một ideal của R Giả

sử f là đồng nhất thức của R Khi đó f là đồng nhất thức cho mọi ảnh đồng cấu khác

0 của R Do đó f là đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi S R 0f ≠ với S là tập gồm fcác hệ số của f Hiển nhiên ta có: S R S Rf( f )= Khi đó nếu 0 S R Rf ≠ thì f không

là đồng nhất thức thật sự của R S R Mặt khác, nếu f S R Rf = thì S R Rf = với mọi

R là ảnh đồng cấu của R, do đó S R 0f ≠ với mọi R≠ và f là đồng nhất thức thật 0

sự của mọi ảnh đồng cấu khác 0 Vậy ta có một định nghĩa khác của PI – đại số như sau:

Định nghĩa 2.1.8: R là đại số trên K được gọi là PI – đại số nếu tồn tại một đồng

nhất thức f của R sao cho S R Rf = với S là tập gồm các hệ số của f f

Định lý 2.1.9: (Amitsur) Nếu R là PI – đại số thì tồn tại số nguyên dương m và n

Gọi a là phần tử của R ' sao cho giá trị của nó tại chỉ số j i=(r , r , , r1 2 2n) là r Khi j

đó S2n(r , r , , r1 2 2n)∈N ' và do đó tồn tại m sao cho S2n(r , r , , r1 2 2n)m = Suy ra: 0

Định nghĩa 2.1.10: Đa thức f được gọi là đồng nhất thức chính quy mạnh trên đại

số R nếu f là đồng nhất thức khác 0 và mọi hệ số khác 0 của f đều là phần tử đơn vị hoặc khả nghịch của K

Nếu f là đồng nhất thức chính quy mạnh của đại số R thì nó cũng là đồng nhất thức chính quy mạnh cho đại số con của R và ảnh đồng cấu của đại số R

Định nghĩa 2.1.11: Một đơn thức

1 2 r

i i i

x x x được gọi là có mặt trong đa thức f nếu

nó có hệ số khác 0 trong biểu diễn của f theo cơ sở của X

Định nghĩa 2.1.12: Bậc của đơn thức 1 n n

1 2 n

x x xλ λ λ

α có mặt trong đa thức f là:

1 2 n

λ + λ + + λ Bậc của đa thức f là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f

Kí hiệu: deg f Bậc theo x của đa thức i f x , x , , x , , x là bậc của ( 1 2 i n) x khi xem i

f là đa thức theo biến x Kí hiệu: i

i

x

deg f

Định nghĩa 2.1.13: Chiều cao của đơn thức là bậc của đơn thức đó trừ đi số các

biến có mặt trong đơn thức đó Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f Kí hiệu: htf

Định nghĩa 2.1.14: Đa thức f được gọi là trộn đều theo x nếu i x có mặt trong mọi iđơn thức có mặt trong f Đa thức f được gọi là trộn đều nếu nó trộn đều theo mọi x i

• Đa thức f được gọi là t – tuyến tính nếu với các biến x , , x , x , , x1 t t 1+ d

với t d≤ thì f tuyến tính theo t biến x , , x 1 t

• Đa thức f được gọi là đa tuyến tính nếu f là tuyến tính đối với mọi x có i

( 1 j 1 j j 1 m) ( 1 m)

f x , , x , x , x , , x− β + = βf x , , x ;∀β ∈K

Những tính chất này dẫn đến nếu { }u là tập các phần tử sinh của đại số R như là i

một K – mô đun thì f là đồng nhất thức trên R khi và chỉ khi: f u ,u , , u( i 1 i 2 i m)= 0với mọi sự lựa chọn các

j

i

u trong { }u i

Nhận xét: đa thức f là đa tuyến tính khi và chỉ khi f trộn đều và có chiều cao bằng 0

Mệnh đề 2.1.16: Mọi đa thức f K X∈ { } đều là tổng các đa thức trộn đều f sao jcho:

i) deg fj≤deg f , htfj≤htf

ii) f tuyến tính theo j x nếu f tuyến tính theo i x i

iii) Với mọi vành R và nhóm con G của nhóm cộng R, f là G – giá trị với j

nghĩa là f a ,a , ,aj( 1 2 m)∈G; a∀ ∈i A nếu f là G – giá trị

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo t là số các biến x có mặt trong đa thức f mà f ikhông trộn đều

Nếu t 0= thì f là đa thức trộn đều

Nếu t 0> , giả sử f không trộn đều theo x 1

Đặt f ' f 0, x , , x= ( 2 m) và f " f f '= −

Khi đó f ' là tổng các số hạng trong f mà x không có mặt Do đó số các biến 1 x itrong f ',f " nhỏ hơn t nên theo giả thiết quy nạp ta có f ',f " thỏa mãn các tính chất i) – iii) Do đó f thỏa mãn các tính chất i) – iii)

Vậy mệnh đề đúng cho đa thức f

Định nghĩa 2.1.17: Đa thức f được gọi là thay phiên nếu:

( 1 2 i 1 j i 1 j 1 i j 1 m)

f x , x , , x , x , x , , x , x , x , , x− + − + = 0với mọi sự lựa chọn i< j

Nếu đa thức f là đa tuyến tính và thay phiên thì f là đồng nhất thức khi và chỉ khi ( i 1 i 2 i m)

f u , u , , u = đối với tất cả cách chọn các 0 u trong một tập sinh ij { }u của K i

Do đó nếu R có một mô đun hữu hạn sinh {u , u , ,u thì mọi đa thức tuyến tính 1 2 n}

thay phiên có bậc m n> là đồng nhất thức của A

Đa thức f là đa thức chính quy mạnh nếu f ≠ và các hệ số khác 0 của f là đơn vị 0hoặc khả nghịch trong K

Định nghĩa 2.1.18: Đa thức f x , x , , x( 1 2 m) được gọi là đa thức tâm của đại số R nếu f không là đồng nhất thức của R nhưng f x , x , , x , x( 1 2 m) m 1+  là đồng nhất thức của R

Tính chất:

• Sk 1+ (x , x , , x1 2 k 1+ )=x S x , , x1 k( 2 k 1+ )−x S x , x , , x2 k( 1 3 k 1+ )

( )k k 1 k( 1 2 k)

1 x S x , x , , x++ + −

Do đó nếu S là một đồng nhất thức của đại số R thì k Sk 1+ cũng là đồng nhất thức của đại số R

= ± Như vậy Sk r− là đồng nhất thức trên mọi

K – đại số hữu hạn sinh với tập sinh có số phần tử bé hơn k

Vì M K được sinh ra bởi n( ) n ma trận đơn vị 2 e (xem như là K – mô đun) do đó ij2

n 1

S + là đồng nhất thức trên M K Đặc biệt, n( ) S là đồng nhất thức trên 2n M K n( )

Nếu R là đại số n chiều trên trường F thì R thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn

k

g và có tính chất nếu ta thay x bởi j x trong i g thì k g trở thành g k

• Nếu f là đa thức trộn đều với deg f 1xi > và

∆ là tập con của tập các hệ số của f

Mệnh đề 2.1.21: Nếu R thỏa mãn đồng nhất thức thật sự f thì R cũng thỏa mãn

đồng nhất thức đa tuyến tính có bậc nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức f

Chứng minh:

Áp dụng mệnh đề 2.1.16 với G 0= và ta có thể giả sử f là trộn đều

Để chứng minh f là đa tuyến tính ta chỉ cần chứng minh f có chiều cao bằng 0 Giả sử htf > và tồn tại 0 x sao cho i

deg∆ f ≤deg f ;deg ∆ f =deg f 1;ht− ∆ f <htf

Vậy áp dụng quy nạp theo chiều cao của f thì ta có được điều phải chứng minh

2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ PI – ĐẠI SỐ NGUYÊN THỦY:

Mệnh đề 2.2.2: Cho F là một trường trên K và V là không gian vectơ vô hạn chiều

trên F Khi đó đại số các phép biến đổi tuyến tính End V không thỏa mãn đồng Fnhất thức thực sự nào

Chứng minh:

Giả sử f là đồng nhất thức thực sự trên End V và deg fF = d

Với bất kỳ phần tử x V∈ , ta xét M là không gian vectơ con hữu hạn chiều của V chứa x sao cho: 2 M : F[ ]> d

Đặt M ' V \ M= Gọi B là đại số con không có đơn vị của End V như sau: F

Vậy f không là đồng nhất thức thật sự của End V F

Mệnh đề 2.2.3: Cho ∆ là thể và đại số trên K Khi đó ∆ chứa trường con tối đại F

(trên K) và với mọi trường con F như thế thì tâm tập của trường con F trong thể ∆ là:

C F∆ = c∈ ∆/ cf =fc,f∈F = F

Định nghĩa 2.2.4: Cho R là đại số trên K, đại số đối của R, kí hiệu R , là đại số sao 0

cho: R0 =R và R là K – mô đun và phép nhân, kí hiệu a b0 ∗ , được định nghĩa như sau: a b ba∗ =

Mệnh đề 2.2.5: Cho R là đại số con đơn của đại số E, B là tâm tập của R trong E

Khi đó: Z R( )=B R∩ là tâm của R Giả sử a ,a , ,a1 2 r∈R là độc lập tuyến tính

trên Z R thì ( ) a ,a , ,a là độc lập tuyến tính trên B, tức là: 1 2 r r i i

Đặt Re =R⊗R0, với phép nhân được định nghĩa như sau: (a⊗b x axb) = thì R là

Z R =End R là một trường Hơn nữa nếu R đơn thì R là R − mô đun trung e

thành vì với x a= ⊗a ' và xR 0= ⇒aRa ' 0= ⇒RaRa ' 0= , nếu a 0≠ thì RaR R=

do đó Ra ' 0= ⇒a ' 0= ⇒ = Vậy nếu R là đơn thì tâm x 0 Z R là trường và ( ) R e

tác động dày đặc đại số các phép biến đổi tuyến tính của R xem là không gian vectơ trên trường Z R , tức là ( ) R dày đặc trong e EndZ R( )R

Tác động của R trong R được mở rộng đến sự tác động của e R trong E sao cho: e

Vì a ,a , ,a1 2 r∈A là độc lập tuyến tính trên Z R và ( ) R dày đặc các phép biến e

đổi tuyến tính của R trên Z R nên với hệ r vectơ 0,0, ,0,1,0, ,0 trong R thì ( )

R là đại số nguyên thủy nên R là đại số dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ V trên thể ∆ V là R – mô đun bất khả quy trung thành và

Ta có tâm tập của R trong End V là K ∆ Tức là: L Z R( )End VK ( )R = ∆ ≡ ∆ L

Gọi F là trường con tối đại của ∆ và xét đại số R ' của K – tự đồng cấu trên V sinh bởi F và R, tức là: L R '= F ,RL ⊂End VK Vì các phần tử của F giao hoán được Lvới các phần tử của R nên R ' F R RF= L = L và F nằm trong tâm của R ' (vì các Lphần tử của F giao hoán được với các phần tử của L F và của R nên giao hoán được Lvới R ') Vì thế R ' có thể được xem là đại số trên F (hoặc trên F ) Nếu ta xem V là Lkhông gian vectơ trên F thì R ' là đại số các phép biến đổi tuyến tính của V trên F, tức là R '⊂End VF (do mọi phần tử của F giao hoán được với mọi phần tử của R ')

Ta sẽ chứng minh rằng R ' dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của V trên F

Vì V là R – mô đun và F – mô đun nên V là R ' – mô đun với phép nhân ngoài: