Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các PI.đại số không có nil-ideal khác(0)

Luận văn Các PI.đại số không có nil-ideal khác(0) trình bày những kết quả nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PI. đại số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các PI. đại số không có ideal lũy linh khác (0). Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN ĐÌNH HIỀN

CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2003

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.Hồ CHÍ MINH

NGUYỄN ĐÌNH HIỀN

CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0)

CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ

MÃ SỐ : 1.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

TP.HỒ CHÍ MINH - năm 2003

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 3

1.1 Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành: 3

1.2 Một vành đặc biệt : 9

1.3 Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn 11

1.4 Tổng trực tiếp con : 13

CHƯƠNG2: CÁC PI ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 15

2.1 PI đại số trên vành giao hoán có đơn vị : 15

2.2 Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky : 19

2.3 Đa thức tâm của đại số ma trận 30

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÁC PI ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC KHÔNG 34

3.1 Tổng quan về lớp vành không có nil-ideal khác không 34

3.2 Đồng nhất thức thực sự của đại số nguyên tố 39

3.3 PI.đại số không có ideal lũy linh khác 0 48

KẾT LUẬN 51

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tôn kính Quý Thầy, Cô trong tổ Đại số Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh đã trang

bị cho tôi đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng toàn thể Quý Thầy, Cô Khoa Toán, Phòng Khoa học Công nghệ & Sau Đại Học và Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP TP.HỒ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Thuận, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu hoàn thành chương trình khoa học Tôi xin

chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đôi với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo trong quá trình xây dựng hoàn thành luận văn này

Quá trình xây dựng luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự động viên về mặt tinh thần của các học viên cao học khoa 11 Xin các anh, chị cùng toàn thể các bạn ghi nhận nơi đây một tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tác giả luận văn

LỜI MỞ ĐẦU

Mục đích của luận văn này là: Từ các kết quả định lý Kaplansky-Amitsur-Levitiky trên

PI đại số nguyên thủy, mở rộng dần kết quả đó trên lớp các PI đại số không có nil-ideal khác (0) và trên lớp các PI.đại số không có ideal lũy linh khác (0) Đồng thời hệ thống lại một số kiến thức cơ bản có liên quan, nhằm làm cơ sở lý luận cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu trong luận văn này

Như chúng ta đã biết nhà toán học Wedderburn đã chứng minh được "Định lý dày đặc", còn trong PI.đại số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đã đặt nền móng trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những phương hướng nghiên cứu mới trong toán học Sau những kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học trên thế giới đã phát triển và mở rộng các kết quả này theo nhiều hướng khác nhau

Do phạm vi nghiên cứu của đề tài, trong luận văn này không thể đề cập hết được các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nói trên, mà luận văn chì trình bày những kết quả nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PI đại số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các

PI đại số không có ideal lũy linh khác (0) Tuy nhiên một số định lý, bổ đề và hệ quả ở chương 1 luận văn bỏ qua phép chứng minh (do đặc điểm của chương 1) mà chỉ nêu ra để vận dụng, làm

cơ sở cho các phép chứng minh các kết quả ở chương 2 và chương 3

Nội dung luận văn được chia thành ba chương như sau:

CHƯƠNG 1: Một số khái niệm và định lý về vành không giao hoán

Trong phần này chủ yếu trình bày một số khái niệm, định lý, bổ đề cơ bản đã có sẵn về

vành không giao hoán, nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chương 2 và chương 3 như: cấu

trúc Radical Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy và

mối quan hệ giữa chúng Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn

CHƯƠNG 2: PI Đại số trên vành giao hoán có đơn vị

Hệ thống hóa các kiến thức chung nhất về PI.đại số trên một vành giao hoán Nội dung

cơ bản nhất trong chương này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng,

định hướng cho việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PI.đại số rộng hơn, đó là định lý

Kaplansky- Amitsur-Levitzky trên đại số nguyên thủy

CHƯƠNG 3; Một số kết quả nghiên cứu các PI đại số không có nil-ideal khác không

Đầu tiên trình bày một số kết quả nghiên cứu những đặc điểm đặc biệt về cấu trúc của lớp

vành không có nil-ideal khác (0), nhằm giúp chúng ta có một cách nhìn tổng quan về lớp vành khá đặc biệt này và tiếp theo là trình bày các kết quả nghiên cứu theo hướng mở dần định lý

Kaplansky - Amitsur - Levitzky trên lớp các PI đại số rộng hơn, đó là lớp Pl.đại số không có

nil-ideal khác (0) và trên lớp các Pl.đại số không có nil-ideal lũy linh khác (0)

Chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những sai sót Tác giả luận văn rất mong và sẽ

ghi nhận những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy, cô cùng tất cả bạn bè gần xa

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG

GIAO HOÁN

Trong phần này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản đã có sẵn về vành không giao hoán, nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chương 2 và chương 3 như: cấu trúc Radical Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy và mối quan hệ giữa chúng Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn đặt nền móng, định hướng và có nhiều ứng dụng cho việc nghiên cứu sau này

1.1 Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành:

Trong phần này ta kí hiệu R là vành không giao hoán, M là R-module

1.1.1 Định nghĩa: Ta gọi Radical Jacobson của vành R là tập hợp các phần tử của R linh hoa được tất cả các module bất khả quy trên R Kí hiệu J(R) hoặc Rad(R)

Nếu R không có module bất khả quy, ta quy ước J(R) = R Khi đó ta gọi R là vành Radical Như vậy theo định nghĩa ta có :

J(R) = {x ∈ R/ Mx{0} với mọi M là R- module bất khả quy}

Nhắc lai : M là R-module bất khả quy nếu MR ≠ {0} và M không có module con thực sự nào

Đặt A(M) = {a ∈ R/Ma ={0}, M là R- module bất khả quy} Từ đó ta có thể định nghĩa J(R) theo cách khác: Nhưng do A(M) là ideal hai phía của R Do vậy J(R) là ideal hai phía của vành R Mặt khác, vì M được hiểu là R-mdule phải nên J(R) còn được gọi là Radical phải, tuy nhiên 2 khái niệm Radical phải và Radical trái này trùng nhau nên ta không nhấn mạnh tính phải và trái của Radical

Sau đây ta đi mô tả cấu trúc Radical Jacobson của một vành không

giao hoán bằng các bổ đề và định lý

1.1.2 Bổ đề: M là R-module bất khả quy khi và chỉ khi M đẳng cấu với R/p ( vành thương) trong đó p là ideal phải, tối đại, chính quy

Nhắc lai: Ideal p phải là chính quy nếu ∃ a ∈ R: ∀x ∈ R thì x- ax∈ p

Chứng minh: * (⇒) Giả sử M là là R-module bất khả quy ⇒ MR ≠ (0)

Đặt S { u ∈ M /uR = (0)}, ta dễ dàng kiểm tra s là một module con của M Nếu S ≠ 0 suy

ra S= M (vì M là R-module bất khả quy), do đó MR = {0}.(!) mâu thuẩn Vậy S = {0} Do đó với ∀ u ∈ M, u ≠ 0 thì uR ≠ {0} Mà uR là mdule con của M và M bất khả quy cho nên uR = M Như vậy với u ∈ M cho trước và mỗi r ∈ R ta có duy nhất một phần tử ur ∈ M Điều này.cho phép ta thiết lập một ánh xạ φ : R → M, định bởi công thức φ(r) = ur

Ta dễ dàng kiểm là đồng cấu Mặt khác uR ⇒ M ⇒ φ là toàn cầu

Đặt ρ = ker φ thì ρ là ideal phải của R Ta chứng minh ρ là ideal phải tối đại của R Thật vậy, giả sử có ideal phải α của R chứa thực sự ρ Theo định lý Noether ta có: Im φ= M ≅ R/ ρ (

do φ toàn cấu) ⇒ α/ρ là module con của R/ρ khác (0) Do M bất khả quy nên R/ρ cũng bất khả quy ⇒ α/ρ = R/ρ ⇒ α = R(!) Vậy ρ là ideal phải tối đại

Từ đẳng thức uR = M ⇒ ∃a ∈ R :ua = u ⇒ ∀x∈ R, uax = ux ⇒ u(x-ax) =0 ⇒ x-ax ∈ ker φ

= ρ ⇒ ρ là ideal phải, tối đại, chính quy.( ⇐) Ngược lại nếu ρ là ideal phải, tối đại, chính quy của R.Khi đó ta có: (R/ρ)R ≠ (0) Thật vậy, giả sử (R/ρ)R =(0) ⇒ ∀x ∈ R, ∀y ∈ R ⇒ (y + ρ)x = 0⇒

yx ∈ ρ Vậy ρ ⊃ R ⇒ ρ = R(!) Mâu thuẫn Vậy (R/ ρ) R ≠ (0) Do ρ tối đại nên R/ ρ là R-module bất khả quy ⇒ đpcm

Nhân xét: Nếu vành R có đơn vị thì R không thể là vành Radical

1.1.3 Định lý: J(R) = ∩ (ρ : R)trong đó p chạy khắp mọi ideal tối đại, chính quy, (ρ: R)

là ideal 2 phía lớn nhất của R nằm trong ρ

Nhắc lai:Cho ρ là ideal phải của R Ta định nghĩa: (ρ: R) = {x ∈ R/Rx ⊂ ρ }

Chứng minh: * Dễ dàng ta kiểm được (ρ: R) là ideal hai phía của R

* Với ∀x∈ (ρ: R) ⇒ Rx ⊆ ρ ⇒ ax ∈ ρ , lại do p chính quy nên x-ax ∈ ρ

1.1.4 Định lý:J(R) = ∩ ρ , với ρ là ideal phải, tối đại, chính quy

Chứng minh: Theo định lý I.3 ta có

Ta chứng minh bao hàm ngược lại, đặt T = ∩ ρ Với mọi x ∈ T, xét tập S{xy +y /y ∈ R }

Dễ dàng kiểm tra được s là ideal phải, chính quy của R (tính chính quy suy ra bằng cách lấy a =

-x .) Do đó sẽ tồn tại một ideal phải, tối đại, chính quy ρ0 của R sao cho S ⊂ ρ0

Ta sẽ chứng minh s ≡ R bằng phương pháp phản chứng Thật vậy giả sử s ≠ R Với x ∈

T =

Suy ra mâu thuẫn với Po là ideal tối đại Vậy s ≡ R

mọi x ∈ T luôn tồn tại w ∈ R thỏa xw + w = -x hay x + w + xw = 0

Chú ý : Đây là một thuộc tính quan trọng của các phần tử thuộc T

Bây giờ ta chứng minh: ∩ ρ ⊂ J(R) bằng phương pháp phản chứng

Giả sử ngược lại T = ∩ ρ ⊄ J(R) suy ra tồn tại module bất khả quy R không bị T linh hóa, tức là MT ≠ {0} ⇒ ∃m ∈ M: mT ≠ (0) Ta dễ dàng thấy mT là module con của M, cho nên mT =

* Tương tự ta cũng định nghĩa phần tử tựa chính quy trái

Lưu ý: Nếu vành R có đơn vị 1, thì phần tử a ∈ R là tựa chính quy phải khi và chỉ khi 1 +

Tuy nhiên ta có kết quả mạnh sau đây:

1.1.6 Định lý: J(R) là ideal phải tựa chính quy phải của R và nó chứa

mọi ideal phải tựa chính quy phải của R, do đó J(R) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất của R

Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét: Các tựa nghịch đảo trái và tựa nghịch đảo phải (nếu có) của một phần tử thuộc R thì trùng nhau

Thật vậy, giả sử a e R có tựa nghịch đảo phải b và có tựa nghịch đảo trái c, tức là:

* Bây giờ ta chứng minh mọi ae J(R) thì a vừa tựa chính quy phải, vừa tựa chính quy trái Thật vậy, nếu ae J(R) ⇒ a là tựa chính quy phải ⇒ ∃a’ ∈ R: a + a’ + aa’ = 0 (1) ⇒ a’ = -a - aa’ ⇒ a’ ∈ J(R), do J(R) là ideal phải và a ∈ J(R) ⇒ a’ là tựa chính quy phải ⇒ ∃a’’∈ R sao cho a’ + a’’ + a’ a’’ = 0 Như vậy a’ có a là tựa nghịch đảo trái và a’’ là tựa nghịch đảo phải, do đó a = a’’ (theo kết quả trên) ⇒ a + a’ + a’ a = 0 (2) Từ (1)và (2) ⇒ a ∈ J(R) vừa tựa nghịch đảo phải vừa tựa nghịch đảo trái

* Để kết thúc việc chứng minh định lý, ta giả sử ρ là ideal phải, tựa chính quy phải bất kỳ của R thì ρ ⊆ J(R) và giả sử ngược lại ρ ⊄ J(R) ⇒ tồn tại module bất khả quy M sao cho Mρ ≠ 0

⇒ ∃m ∈ M : mρ ≠ 0 Vì mρ là module con của module bất khải quy M nên mρ = M ⇒ ∃t ∈ρ sao cho mt = -m và t là tựa chính quy phải ⇒ ∃t’ ∈ R : t + t’ +tt’ = 0 ⇒ m(t + t’ + tt’) = 0 ⇒ mt + mt’ + mtt’ = 0 Suy ra -m + mt’ - mt’ = 0 ⇒ m = 0 ⇒ mρ = 0 (!) mâu thuẩn với mρ ≠ 0 Vậy ρ ⊆ J(R)

1.1.7 Phần tử lũy linh, ideal lũy linh và nil-ideal

* Phần tử a ∈ R được gọi là phân tử lũy linh nếu ∃n ∈ N : an

= 0

* Ideal phải (trái, 2 phía) của R được gọi là lũy linh nếu ∃n ∈ N*

sao cho a1.a2 am = 0, với ai ∈ ρ,i = 1,2,3 m; tức là ∃n ∈ N*

: ρm = 0

* Ideal phải (trái, 2 phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái, hai phía) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh

Nhận xét: 1)Ideal lũy linh thì nil-ideal, nhưng ngược lại không đúng

2) Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy

Thật vậy, giả sử a ∈ R là phần tử lũy linh ⇒ ∃n ∈ N*

: am = 0

Đặt

3) J(R) chứa mọi nil-ideal một phía

1.1.8 Xây dựng Radical Jacobson của một đại số;

1.1.8.1 Khái niệm đại số trên một trường;

A được gọi là đại số trên trường F nếu thỏa mãn các tiến đề sau:

Từ đây một vấn đề được đặt ra là: Nếu A là đại số trên trường F.Hai khái niệm J vành (A)

và J đại số (A) chúng có quan hệ như thế nào với nhau ? Khi đi

vào giải quyết vấn đề này, một điều bất ngờ là đưa đến cho chúng ta kết quả thật đẹp, nhờ một nhận xét sau đây:

Nếu A là một đại số trên trường F thì mọi ideal tối đại, chính quy của vành A(xem A như

là một vành) cũng là không gian vectơ trên trường F Thật vậy, giả sử ρ là ideal tối đại chính quy của vành A và ρ không là không gian vectơ con trên trường F, suy ra Fρ ≠ ρ và Fρ là ideal phải của A ⇒ A =Fρ + ρ ( do ρ là tối đại) ⇒ A2 = (Fρ + ρ) A ⊆ (Fρ)A + ρA ⊆ ρ Lại do ρ chính quy ⇒ ∃a ∈ A; x - ax ∈ ρ với ∀x ∈ A

của ρ Tóm lại ρ là không gian vectơ con trên trường F Như vậy ta có Jvành(A) = Jđại số(A)

1.2 Một vành đặc biệt :

1.2.1 Vành nửa đơn:

1.2.1.1 Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nửa đơn (còn gọi là nửa nguyên thủy) nếu J(R)=0

1.2.1.2 Định lý: Giả sử R là một vành thì R/J(R) là vành nửa đơn

1.2.1.3 Định lý: Nếu A là ideal hai phía của vành R thì J(A) = J(R) ∩ A

Hệ quả: Nếu R là vành nửa đơn thì các ideal hai phía đều nửa đơn

Chú ý rằng: Hệ quả và định lý chỉ đúng cho các ideal hai phía,trong trường hợp ideal một phía thì hệ quả không còn đúng nữa

1.2.2 Vành Artin

1.2.2.1.Định nghĩa: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của nó đều có phần tử tối tiểu

Để ngắn gọn ta thường gọi vành Artin phải là vành Artin

Ta dễ dàng suy ra kết quả sau: * Vành A là vành Artin khi và chỉ khi

mọi dãy giảm các ideal phải của nó đều dừng sau hữu hạn bước

* Trường, thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin

* Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin

* Ảnh đồng cấu của một vành Artin là vành Artin

1.2.2.2 Định lý : Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh

Nhận xét: 1) Nếu R là vành Artin thì mọi nil-ideal ( một phía, hai phía) đều là lũy linh 2) Nếu vành R có ideal một phía lũy linh khác (0), thì sẽ có ideal hai phía lũy linh khác (0)

1.2.2.3 Lũy đẳng: Phần tử e ≠ 0 của vành R gọi là lũy đẳng nếu e 2

3) Cho R là vành bất kỳ, M là R-module bất khả quy thì:

* A(M) là ideal 2 phía của R, khi đó R/A(M) là vành nguyên thủy

* Với ρ là idealphải tối đại, chính quy của R và M = R/ρ ⇒ A(M) = (ρ : R) là ideal hai phía lớn nhất còn nằm trong ρ ⇒ R /( ρ: R) là vành nguyên

thủy.Do vậy (ρ: R) còn gọi được là ideal nguyên thủy

1.2.3.2 Định lý: R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại, chính quy

p của R sao cho (ρ : R) = (0) Nếu R là vành nguyên thủy, giao hoán thì R là một trường

1.2.4 Vành đơn: Vành R được gọi là vành đơn nếu R 2 ≠ (0) và R không có ideal thực sự nào Ví dụ : Một thể là vành đơn

1.2.5 Vành nguyên tố: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu mọi a, b ∈ R mà từ đẳng thức aRb = 0 kéo theo a = 0 hoặc b = 0

Ta có mệnh đề tương đương: Vành R được gọi là vành nguyên tố khi và chì khi ideal (0)

là ideal nguyên tố

1.3 Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn

(1) Nếu R là vành đơn có đơn vị 1 thì R là vành nửa đơn

Thật vậy, nếu R là vành đơn, khi đó hoặc J(R) = (0) hoặc J(R) = R

Như vậy: * Nếu xảy ra trường hợp J(R) = (0) thì R là nửa đơn

* Nếu xảy ra trường hợp J(R) =(R) ⇒ R là vành Radical, điều này không thể xảy ra vì R có đơn vị 1

(2) Nếu R là vành đơn và Artin thì R là vành nửa đơn

Thật vậy, vì R là vành đơn nên R2 ≠ (0) và R2 là ideal của R, do đó R2 = R Giả sử J(R) ≠ (0) ⇒ J(R) = R = R2

Tương tự ta có [J(R)]n = R2 ≠ (0) với ∀n ∈ N (1) Mặt khác vì R là vành Artin nên J(R) là lũy linh, tức là ∃n ∈ N: [J(R)]n

= (0) (2) So sánh (1) & (2) ta có điều mâu thuẩn Vậy J(R) = (0) ⇒ R là vành nửa đơn

(3) R là vành nguyên thủy thì R là vành nửa đơn Thật vậy, nếu R là vành nguyên thủy

⇒ tồn tại ideal phải tối đại, chính quy ρ sao cho (ρ : R) = 0, mà J(R) = ∩ (ρ : R) = (0) Vậy R là vành nửa đơn

(4) Nếu R vừa là vành đơn, vừa là vành nửa đơn thì R là vành nguyên thủy

Thật vậy, Vì R là vành đơn nên R2 ≠ (0) và không có ideal nào khác R và (0) Mà R là vành nửa đơn nên J(R) = (0) ⇒ (0) = ∩ (ρ : R) với ρ chạy khắp tập ideal phải tối đại, chính quy của R Ta có (ρ : R) là ideal của R ⇒ hoặc (ρ : R) = (0) hoặc (ρ : R) = R Nếu (ρ : R) = R thì ∩ (ρ : R) = R (!) vô lý ⇒ chỉ có (ρ : R) = (0) Vậy R là vành nguyên thủy

Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành nguyên tố, ngược lại không đúng Để kết thúc phần này ta phải kể đến một định lý khá mạnh được vận dụng nhiều sau này.Đó là định lý dày đặc

1.3.1 Định nghĩa tác động dày đặc: Vành R được gọi là tác động dày đặc trong module M nếu với mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính {v n } n ∈N ⊂ M trên thể ∆ và bất kỳ hệ n vectơ {w n } n ∈N ⊂ M thì tồn tại r ∈ R sao cho wi = v i r, i = 1,2,3, ,n

R-1.3.2 Định lý dày đặc: Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-module bất khả quy và trung thành, nếu ∆ = C(M) thì R là vành dày đặc các ghép biến đổi tuyến tính trong M trên ∆

1.3.3 Định lý: Giả sử R là vành nguyên thủy Khi đó với thể ∆ nào đó thì hoặc R ≅ ∆n

(vành ma trận cấp n x n trên ∆) hoặc với ∀m ∈ N*

tồn tại vành con Sm của R sao cho ∆m là ảnh đồng cấu của Sm

1.4 Tổng trực tiếp con :

1.4.1 Các định nghĩa:

Ta gọi tích trực tiếp (hay tổng trực tiếp toàn phần) họ các vành {R λ } λ ∈ I là tập hợp :

Trên ta định nghĩa các phép toán:

Phép cộng: (f +g)( λ) = f(λ) +g(λ) Phép nhân : (f g)( λ) = f(λ) g(λ)

Lúc đó cùng 2 phép toán lập thành một vành

Kí hiệu πλ là phép chiếu vành lên Rλ

*Vành R đƣợc gọi là tổng trực tiếp con của họ các vành {R λ }λ ∈ I nếu tồn tại đơn cấu ψ :

R → sao cho Rψπλ = Rλ , ∀λ ∈ I

Theo tài liệu Noncommutative của I.N.Herstein, bản dịch tiếng Nga NXB Mockba năm

1972 trang 54; ta có các kết quả sau:

1.4.2 Một số tính chất:

1.4.2.1 Mệnh đề: Giả sử R là vành, và họ các vành {R λ }λ ∈ I , φλ : R → Rλ là đồng cấu vành và φ : là đồng cấu vành đƣợc thiết lập từ các đồng cấu vành φλ Đặt Uλ = Ker

φλ Khi đó φ là một cấu vành khi và chỉ khi

1.4.2.2 Định nghĩa: Vành R gọi là không phân tích trực tiếp con được nếu giao của tất

cả các ideal khác (0) của R là một ideal khác (0)

1.4.2.3 Mệnh đề: Mỗi vành đều có thể biểu diễn tổng trực tiếp con các vành không phân tích trực tiếp con được

1.4.2.4 Mệnh đề: Giả sử R là vành không có nil-ideal khác (0) thì R là tổng trực tiếp con các vành nguyên tố

1.4.2.5 Mệnh đề: Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp con các vành nguyên thủy

Như chúng ta đã biết về lý thuyết cấu trúc tổng quát được đề cập rõ nét trong việc nghiên cứu những vành mà được giới hạn bởi một loại điều kiện đa thức nào đó Một ví dụ cụ thể của nội dung trên được thể hiện trong việc nghiên cứu tính giao hoán của lớp vành này

Bây giờ chúng ta đề cập đến lớp vành - mà theo một nghĩa nào đó các vành này thỏa mãn một điều kiện giao hoán cao hơn Chủ đề cho sự hiện diện của một mối quan hệ đó trong việc nghiên cứu các PI đại số Hướng nghiên cứu nội dung này chúng ta dựa vào kết quả của định lý của Kaplansky

Lĩnh vực này đã và đang được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau Ví dụ như Amitsur, Levitzki đã bỏ ra nhiều công sức và đã đạt được nhiều kết quả nổi tiếng khi nghiên cứu bản chất của các đồng nhất thức trên lớp vành này

Để dần dần làm rõ các ý tưởng trên đây, trong chương 2 sau đây, sẽ hệ thống hóa các kiến thức chung nhất vế PI.đại số trên một vành giao hoán có đơn vị Nội dung cơ bản trọng tâm chương này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng, định hướng cho việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PI.đại số rộng hơn, đó là định lý Kaplansky-Amitsur- Levitzky trên đại số nguyên thủy

CHƯƠNG 2: CÁC PI ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

2.1 PI đại số trên vành giao hoán có đơn vị :

Trong chương này ta kí hiệu K là vành giao hoán có đơn vị 1, A là đại số trên K và trong mục 2.1 này chủ yếu liệt kê các khái niệm như: đại số trên vành giao hoán có đơn vị, đa thức, đồng nhất thức của một đại số và một số tính chất về đa thức

Định nghĩa: A được gọi là đại số trên K nếu thoa mãn các tiên đề sau:

Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi đếm được các phần tử x1 , x2, , Khi đó X là tập tất

cả các phần tử có dạng: 1, xi1 xi2 xir , Các phần tử của vị nhóm X được gọi là các đơn thức

Hai đơn thức xi1 xi2 xir = xj1 xj2 xjs nếu và chỉ nếu i1 = j1 , i2 = j2 ,

Phép nhân: 1 ( xi1 xi2 xir ) = (xi1 xi2 xir )1 = xi1 xi2 .xir còn phép nhân hai đơn thức được định nghĩa ( xi1 xi2 xir ) (xj1 xj2 xjs) = xi1 xi2 xir xj1 xj2 xjs

Kí hiệu K{X} là đại số của vị nhóm X trên vành giao hoán có đơn vị K Ta gọi K{X} là đại số tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử xi Tập đếm được các phần tử xi này gọi là cơ sở của K{X} Với A là một đại số bất kỳ và ánh xạ σ : X → A thì luôn tồn tại đồng cấu η : K{X}→

A sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Ta kí hiệu K{x1, , xm} là đại số con của K{X} sinh bởi tập hữu hạn {x1, ., xm} và nếu

f ∈ K{X}, f ∈ K{x1 , , xm} ta viết f = f(x1, xm) Ảnh của f qua đồng cấu η tương ứng xi →

3) Bậc theo Xi của đa thức f(x 1 , x 2 , , x n ) là bậc của Xi khi xem f là đa thức theo biến

Xi, kí hiệu deg xi f

4) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là thuần nhất theo Xi nêu tất cả các đơn thức của f đều có cùng một bậc theo x i

5) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là hoàn toàn thuần nhất nếu f thuần nhất theo mọi xi 6) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là trộn đều theo xi nếu x i có mặt trong mọi đơn thức của của f

7) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là trộn đều nếu nó trộn đều theo mọi xi

8) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là tuyến tính theo xi nếu bậc của x 1 trong mỗi đơn có mặt trong f đều bằng 1

9) Chiều cao của một đơn thức là bậc của nó trừ đi số các biến có mặt trong đơn thức ấy 10) Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức trong f, được ký hiệu ht(f)

11) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là đa thuyến tính nếu nó tuyến tính theo mỗi biến xi

(3) Nếu f tuyến tính theo x i thì f j cũng tuyến tính theo x i

(4) Với mọi đại số A và nhóm con của nhóm cộng A, nếu f là G-giá trị thì các f j cũng giá trị

G-Chứng minh: Gọi tf là số xi có mặt trong f nhưng không có mặt trong một đơn thức nào

đó của f Ta chứng minh bổ đề bằng phương pháp quy nạp theo tf

Nếu tf = 0 thì f là đa thức được trộn đều và hiển nhiên bổ đều đúng

Nếu tf > 0, không mất tính tổng quát ta có quyền chọn x1 không có mặt trong một đơn thức nào đó của f Đặt f1 = f(0, x2 , , xm) và f2 = f - f1 Hiển nhiên ta có tf1 < tf , tf2 < tf Theo giả thiết quy nạp thì bổ đề đúng cho f1 và f2, suy ra bổ đề đúng cho f

2.1.4.2 Bổ đề: Nếu g là đem thức sao cho: deg xi g > 1 và x j không có mặt trong g, thì g

là tổng của các đơn thức gK trong đó x i , x j có mặt trong g K và khi thay x j bởi x i thì g K trở thành

g

Chứng mình: Viết g dưới dạng g(x1, x2, , xm) = t xi h (1) trong đó t, h là các đơn thức sao cho degxi t =0, degxih > 0 Khi đó ta có :

Hai hạng tử đầu của biểu thức (2) có mặt cả xj và xi , hơn nữa nếu thay xj bởi xi thì trở thành g Bây giờ ta xét 2 hạng tử còn lại của biểu thức đó Nếu degxih = 1 lúc này h tuyến tính theo xi nên h = 0 Như vậy 2 hạng tử đang xét bằng 0 Do đó g là tổng của 2 đơn thức thỏa mãn bổ đề Nếu degxig = 2 thì degxih = 1, theo kết quả trên thì bổ đề đúng với g Giả sử bổ đề đúng cho mọi đơn thức có bậc theo Xi nhỏ hơn n và g là đơn thức có degxig = n Từ (1) ⇒ degxih

< n, theo giả thiết quy nạp ⇒bổ đề đúng cho h Từ (2) ⇒ bổ đề đúng cho g

Nhờ kết quả bổ đề trên ta dễ dàng suy ra kết quả dưới đây:

2.1.4.3 Bổ đề: Nếu f được trộn đều, deg xi f >1 , deg xi f = 0 Thì :

Những kết quả trên đây cho ta biết được những tính chất đặc trưng của một đa thức nhiều biến, dùng để làm cơ sở cho các vận dụng sau này Sau đây xin trình bày nội dung cụ thể

các định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky

2.1.5 Định nghĩa: * Một đa thức f (x1 , x 2 , , x d ) được gọi là một đồng nhất thức thực sự của đại số A nếu tồn tại hệ số nào đó của f không linh hóa A và f (a 1 , a 2 , , a d ) = 0 đối với ∀ai∈

A , i = ̅̅̅̅̅

* Giả sử đại số A có đồng nhất thức thực sự, ta gọi A là PI.đại số

2.2 Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky :

Giả sử A là đại số nguyên thủy có một đồng nhất thức thực sự có bậc d, thì tâm C của A

là một trường, A là đơn và [A:C] ≤ [d/2] 2

Trước hết ta chứng minh một số bổ đề sau đây:

2.2.1 Bổ đề: Giả sử f là đồng nhất thức thực sự của A thì tồn tại một đồng nhất thức thực

sự đa tuyến tính g của A sao cho deg g ≤ deg f

Chứng mình: Áp dụng kết quả bổ đề 2.1.4.1 cho g = {0} và giả sử f là được trộn đều Nếu ht(f) = 0 ⇒ f đa tuyến tính, lúc này ta chọn g = f Bây giờ ta xét ht(f) > 0 ⇒ ∃xi :degxif > 1và ta

có thể giả sử rằng không có hệ số nào của f linh hóa A Áp dụng bổ đề II.4.3 ta có f là đồng nhất thức thực sự của A và ht ( f) < ht(f) Sử dụng phép chứng minh quy nạp theo chiều cao của đồng nhất thức ta có (đpcm)

2.2.2 Bổ đề : Mn (K) không có đồng nhất thức thực sự có bậc d < 2n

Chứng mình: Trước hết ta có nhận xét: vối 0 < n ∈ N, ta có dãy: e11 , e22 , , enm có n phần tử và dãy e12 , e23, , en-1n có n -1 phần tử Khi đó tập { e11, e12, e22, e23, e33, e34, , en - 1n,

enn} sẽ có 2n-l phần tử, trong đó eij là ma trận có phần tử ở hàng i cột j bằng 1 còn các phần tử

(ei1 e1k ekj) = ei1 (αe1k)ekj = 0 với ∀i , j nên αMn(K) = 0(!) mâu thuẩn với giả thiết Mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh

2.2.3.Bổ đề: Giả sử F là một trường trên Kvà V là không gian vectơ vô hạn chiều trên F thì đại số các phép biến đổi tuyến tính End F V không thỏa mãn đồng nhất thức thực sự

Chứng minh: Gọi f là đồng nhất thức trên EndFV có bậc là d Với bất kỳ phần tử x ∈ V, ta xét M là không gian con hữu hạn chiều của V chứa x sao cho 2[M:F] > d Đặt M' = V/ M và ta xác định đại số con B (không có đơn vị) của EndFV nhƣ sau:

Theo định lý Wedderburn ta có B ≅ Mn(F) trong đó n =[M:F] Mặt khác do f là đồng nhất thức trên EndFV có bậc là d, nên f là đồng nhất thức trên B có bậc là d ⇒ f là đồng nhất thức trên Mn(F) có bậc là d < 2n Từ

kết quả bổ đề 2.2.2 ⇒ nếu α là hệ số bất kỳ của f thì ta có αMn(F) = 0 ⇒αB= 0 ⇒ (αφ)(x) = 0 ⇒ φ(αx) = 0 ⇒(α1)x = 0, ∀x ∈ V Do đó α (EndFV) = 0 Vậy f không là đồng nhất thức thực sự của EndFV

2.2.4 Bổ đề: Nếu ∆ là đại số chia chứa trường con tối đại F (trong K) và đối với mọi trường con F như vậy ta có C ∆ (F) = F

Chứng minh: Áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra được sự tồn tại của trường con tối đại F Ta gọi F là trường con tối đại như vậy Khi đó với mọi s ∈ C∆ (F) ⇒ đại số con M của C∆ (F) sinh bởi F và s là một đại số giao hoán chứa F ⇒ M ⊆ F, vì F là tối đại ⇒ s ∈ F ⇒ C∆ (F) ⊆ F Mặt khác hiển nhiên ta có F ⊆ C∆ (F) Vậy C∆ (F) = F

2.2.5 Bổ đề : Giả sử A là đại số con đơn của đại số E và B = C E (A), thế thì C = B ∩ A là tâm của A Nếu như dãy a 1 , a 2 , a r ⊂ A là hệ C độc lập tuyến tính thì chứng cũng là hệ B - độc lập tuyến tính

Chứng minh: Đặt A0 = A Trên A0 ta xác định phép toán * như sau:

a*b = ba , ∀a,b ∈ A0

Đặt Ae = A A0 và với phép nhân ngoài (a b)x = axb thì A là một Ae

- module, hơn nữa A là một Ae - module bất khả quy và trung thành (do tính đơn của A) Sự tác động của Aelên A ta có thể mở rộng đến sự tác động của Ae lên E sao cho m(bx) = b(mx) với m ∈ Ae, b ∈ B,

x ∈ E Ở đây nếu thì Mặt khác do A là một Ae - module bất khả quy , trung thành và dãy a1 , a2 , , ar ⊂ A là hệ độc lập tuyến tính trên trường C (C là trường vì

do tính đơn của A)

Với bất kỳ j , 1 ≤ j ≤ r ta xét dãy r phần tử dạng : 0, , 1j, , 0 ∈ A, kí hiệu 1j để chỉ phần

tử đơn vị 1∈ A đứng ở vị trí thứ J trong dãy Khi

đó theo định lý dày đặc sẽ tồn tại mj ∈ Ae

sao cho mj aj = 1, mj ai = 0 nếu i ≠ j Xét đẳng thức

Bây giờ ta trở lại việc chứng minh định lý Kaplansky - Amitsur

Do A là đại số nguyên thủy nên tồn tại A - module V bất khả quy , trung thành và thể ∆ Khi đó A là đại số dày đặc trong End∆ V Tổng quát hơn tâm hóa của A trong EndKV là tập ∆L

gồm các tự đồng cấu: x ⟼ δx, δ ∈ ∆

Giả sử F trường con tối đại của ∆ và ta xét đại số con A’ của EndKV sinh bởi FL và A Do các phần tử của FL giao hoán được với các phần tử của A nên A’ = FLA = AFL và FL ⊂ tâm của A’ Do vậy A’ có thể xem là một đại số trên F (hoặc trên FL ) Nếu ta xem V như là một không gian vectơ trên F thì A’ là một đại số con của EndFV

Ta cần chứng minh A' dày đặc trong EndFV Thật vậy, do A là đại số nguyên thủy và V là A-môdun bất khả quy, nên V =Ax với ∀x ∈ V, x ≠ 0 ⇒ V = FLV = FLAx = A’x Do đó V là A’ - môđun bất khả quy Mặt lhacs giả sử c ∈ EndKV giao hoán với mọi phần tử của A’ Thế thì c giao hoán được với mọi a ∈ A, cho nên c ∈ ∆L Do F là trường con tối đại của A cho nên nó chứa trong FL Bởi vậy EndA'V = F và suy ra A’ dày đặc trong EndFV

Giả sử A có đồng nhất thức thực sự f bậc d Ta có thể xem f là đa tuyến tính Do A' =

FLA là đại số trên F nên f là đồng nhất thức trên A' Hiển nhiên ta có với mọi f ∈ K[X] thì ánh

xạ biến: (11;.;.; 1m) ⟼ (11;12; ;1m) ∈ L = EndfV là ánh xạ liên tục trên không gian Tôpô hữu hạn chiều Vì f là đồng nhất thức trên A’ , mà A’ dày đặc trong L cho nên f bằng 0 trên L hay f là đồng nhất thức trên L Áp dụng kết quả của các bổ đề 2.2.2 và 2.2.3 suy ra [V: F] ≤ [d/2] Lại do [ V:F] = [V: ∆] [∆:F] nên V là không gian hữu hạn chiều trên ∆ Vì A là đại số dày đặc trong End∆V, nên ta có A = End∆V là đại số đơn

Giả sử {a1; a2 ; ; ar} ⊂ A là hệ C - độc lập tuyến tính (C là tâm của A), t heo bổ đề 2.2.5 thì {a1; a2 ; ; ar} là hệ F-độc lập tuyến tỉnh trong A’ = FA Do đó r ≤ [d/2]2 Tức là [A:C] ≤ [d/2]2

2.2.6 Định lý (Amitsur-Levitzky):

Đa thức chuẩn tắc S 2n là một đồng nhất thức của M n (K)

Chứng minh: Trước hết ta có một vài nhận xét về đa thức chuẩn tắc Sk

3) Nếu i1 , i2, , ir là các số khác nhau và 1 ≤ j ≤ k, 0 < r < k Gọi S’ là tổng các từ của

Sk(x1, xk) có xi1 xi2 xir ở bên trái thì :

4) Giả sử r là số lẻ, 0 < r < k và gọi S là tổng các từ trong Sk (x1, , xk ) có dạng ± ayb với y = xi +1 xi +2 xi+r còn a và b la các đơn thức thì : S = Sk-r+1 ( x1,x2, , xi,y, xi+r+1, , xk)