Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại số

Luận án Về các radical của các PI-đại số trình bày về các nội dung: các kiến thức căn bản, ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal và modun, các đồng nhất thức (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc, một số định lý quan trọng như định lý về trù mật; xem xét các radical của các PI-đại số. Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

MÃ SỐ 1.01.03

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

PGS.PTS BÙI TƯỜNG TRÍ

THÁNG 02 NĂM 1998

Người ta thường xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó Các điều kiện này thường được thể hiện bởi các "hệ thức" và đòi hỏi chúng luôn luôn đúng Chẳng hạn:

Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A được gọi là đại số giao hoán

Đại số A thỏa mãn các hệ thức a2 = a ∀a∈ A được gọi là đại số Boolean

∈ A được gọi là đại số Lie…

Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trên

các đại số và xét đến các PI- đại số xem như các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào

Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hoán chẳng qua là Pl-đại số

với một đồng nhất thức cụ thể Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú và

dễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt được những kết quả cho một PI đại số

tổng quát là bắt đầu với đại số giao hoán để rồi từ đó tiến hành tổng quát hóa

tính chất của các đồng nhất thức Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PI đại số cho thấy rằng có thể tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đưa về việc xét các đồng nhất thức chuẩn tắc

Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên các

Pl-đại số cũng như việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể như : đại số các ma trận vuông

trêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán v.v đã dẫn đến các kết

quả trình bày trong bản luận án này

Luận án được chia thành hai phần:

Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản Ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal

và modun được dùng đến ưong phần II, chúng tôi còn trình bày về các đồng nhất thức (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc Một số định lý quan trọng như định lý về trù

mật được trình bày mà không chứng minh Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong

[1]

Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tôi trình

bày theo tuần tự như sau:

A Các radical của một đại số

B Các PI-dại số

C Các radical của đại số giao hoán Với khái niệm các PI-đại số thì đại số

giao hoán chỉ là một trường hợp riêng Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số được

bắt đầu với việc xét trường hợp riêng này Kết quả được chúng tối lưu tâm tới để tiến hành

tổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại số

giao hoán là trùng nhau

Amitsur-Levitzki sẽ cho phép "đa tuyến tính hóa " các đồng nhất thức của các PI đại số Đây

là một trong những phương pháp được chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kết

quá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ

E Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh Việc xét các radical

của các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh không chỉ là sự tổng quát hóa một

bước những kết quả đã đạt được về các radical của các đại số giao hoán mà còn là công cụ để

tiếp tục tổng quát hóa

F Các radical của các PI-đại số Dựa trên tất cả các kết quả có được trong các phần

trên, cuối cùng chúng ta chứng minh được rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nil

radical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau Tuy nhiên chúng không luôn

trùng với radical Jacobson Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên Bản luận văn còn cố

gắng trình bày một số trường hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng là

trùng nhau

Luận án được hoàn thành trước nhất là do sự hướng dần tận tình của PGS.PTS Bùi

Tường Trí Không có sự hướng dần tận tình ấy, chắc chắn không thể có bản luận án này Vì vậy, tôi xin gửi tới thầy lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy, cô trong Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh những người đã trang bị cho tôi rất nhiều kiến thức và phương pháp tư duy mà nhờ

vào đố tôi hoàn thành được bản luận án này

Tôi cũng xin gửi tới Phòng Nghiên Cứu Khoa Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa l Toán

Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh lời cám ơn chân thành nhất về tất cả những điều kiện thuận lợi mà Quí thày cô đã dành cho tôi

Cuối cùng, xin cho tôi được cám ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Kiên Trúc Tp

Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác và tất cả bạn bè gần xa đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều

ương suốt thời gian tôi làm bản luận án

Bản luận án này chắc chắn không tránh khỏi ứiiếu sót Kính mong mọi sự góp ý và

chỉ bảo của Quí thầy, cô và tất cả các bạn

INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA

ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY MASSACHUSETTS 1969

CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN 1

A Các đại số, Ideal và Môđun 1

B Các đồng nhất thức 6

CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ 8

A Các Radical của một đại số 8

B Các Pi – đại số 19

C Các radical trên đại số giao hoán 21

D Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI 23

E Các Pi – đại số thảo mãn đồng nhất thức chính qui mạnh 40

F Các Radical của các Pi – đại số 45

LỜI KẾT LUẬN 57

CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

Chương này sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản được sử dụng đến trong bản luận án này

Nếu không nói gì khác, ta xét phạm trù các đại số có đơn vị (không nhất thiết giao hoán) trên vành giao hoãn có đơn vị K Các modun được nói tới nếu không nói khác đi luôn được hiểu là các modun trái

A Các đại số, Ideal và Môđun

Giả sử A là một K-đại số

1 Modun bất khả qui: Một A-mođun M được gọi là bất khả qui (ireducible) nếu M

≠ 0 và M chỉ có hai modun con là M và 0

Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tương đương:

a) M là A-modun bất khả qui

b) M = Ax đối với x ∈M , x ≠ 0 nào đó

c) M A/I với I là ideal trái nào đó của A

2 Modun hoàn toàn khả qui: Một A-modun M được gọi là hoàn toàn khả qui

(completely reducible) nếu M= ∑ trong đó M là các A-modun bất khả qui

Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tương đương:

a) M là A-modun hoàn toàn khả qui

b) M là tổng trực tiếp các A-raodun bất khá qui

c) Đối với mọi modun con N của M đều tồn tại modun con N' của M sao cho

3 Modun trung thành: Một A modun M được gọi là trung thành (faithful) nếu a,b∈

A, a b x∈M sao cho ax bx

4 Đại số nguyên thủy: Một đại số A được gọi là đại số nguyên thủy (primitive) nếu

có A-modun M bất khả qui, trung thành

5 Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A được gọi là đại số nửa nguyên thủy (semi

piimitive) hay nửa đơn (semi simple) nếu có A-modun M hoàn toàn khả qui, trung thành

6 Ideal nguyên thủy: Một ideal của đại số A được gọi là ideal nguyên thủy nếu A/

là đại số nguyên thủy

7 Ideal chính qui: Một ideal phải của đại số A (không nhất thiết có đơn vị) được gọi là ideal phải chính qui nếu a∈A để x-ax∈ ∀x∈A Tương tự đối với ideal trái chính qui

Rõ ràng khi A là đại số có đơn vị thì mọi ideal đều chính qui

8.Ideal tựa chính qui: Phần tử a∈A (A không nhất thiết có đơn vị) được gọi là tựa chính qui phải nếu a'∈A sao cho a+ a’ + aa’ = 0 Một ideal phải của đại số A được gọi là ideal phải tựa chính qui phải nếu ∀x∈p đều tựa chính qui phái

Tương tự đối với ideal trái tựa chính qui trái

Khi A là đại số có đơn vị, nếu a∈A là phần tử tựa chính qui phải thì từ đẳng thức a+ a + aa' = 0 1+ a+ a + aa' = 1 (1 + a)(l + a') = 1 1 + a khả nghịch phải

Tương tự khi a∈ A là phần tử tựa chính qui trái

9 Đại số lũy linh, lũy linh địa phương và nil đại số:

Xét đại số A (không nhất thiết có đơn vị)

A được gọi là lũy linh nếu 3m sao cho A =0

A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh

A được gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh

Một ideal của đại số A được gọi là lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số) Hiển nhiên là mọi ideal lũy linh đều lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal

Các bổ đề sau là dễ thấy:

Bổ đề I.1: Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh (lũy linh địa phương,

nil đại số ) là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil dại số )

Bổ đề I.2: Nếu là ideal của đai số A sao cho và A/ là ideal lũy linh (lũy linh địa phuong, nil ideal) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số )

Bổ đề I.3: Nếu 1, 2 là các ideal lũy linh( lũy linh địa phương, nil ideal ) thì 1, 2

cũng như vậy

Chứng minh: Đó là vì ta có đẳng cấu ( 1+ 2)/ 2 = 1/ 2 2

Bổ đề 1.4: Nếu { } là họ các nil ideal ( hoặc lũy linh địa phương) thì ∑ cũng như vậy

Từ bổ đề 1.4 ta suy ngay ra rằng đối vơi một đại số A bất kỳ tồn tại duy nhất một nil

ideal tối đại và nó chứa mọi nil ideal Cũng vậy tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa

phương tối đại và nó chứa mọi ideal lũy linh địa phương Đây là cơ sở để chúng ta định nghĩa upper nil radical và Levitzki nil radical ở chương sau

10.Đại số nguyên tố: Một đại số A được gọi là đại số nguyên tố (prime) nếu 0 là

ideal nguyên tố của A

Các điều kiện sau đây đối với đại số A là tương đương:

a) A là đại số nguyên tố

b) bAc = 0 b = 0 hoặc c = 0

c) Nếu là ideal trái của A, 0 thì { a∈A/ a =0}=0

d) Nếu p là ideal phải của A, 0 thì { a∈A/ a =0}=0

11 Đại số nửa nguyên tố: Một đại số A được gọi là đại số nửa nguyên tố (semi

priine) nếu A không có ideal lũy linh khác không

12 Ideal nửa nguyên tố: Một ideal của đại số A được gọi là ideal nửa nguyên tố nến A/ là đại số nửa nguyên tố

13 Đại số đơn: Một đại số A được gọi là đại số đơn nếu A 0, A không có ideal nào khác ngoài 0 và A

Nếu A là đại số đơn Gọi c={ c∈A/cx=xc ∀x∈A } là tâm của A thì C là trường và A

có thể xem là đại số trên C

Ta xét trường hợp đặc biệt khi K là một trường Nếu tâm C của A là C = K1 thì ta nói rằng A là đại số tâm đơn trên trường K

Giả sử E là đại số trên trường K chứa các đại số con A và B sao

cho ab =ba ∀a ∈A, b∈B; E sinh bởi A và B và nếu a1 a2…ar là K độc lập

thì từ ∑ = 0 đối với bi∈B suy ra mọi bi=0 Khi đó ánh xạ: a b ab là một đẳng cấu đại số Do vậy trong trường hợp này và khi A , B hữu hạn chiều thì [E:K]=[A:K][B:K]

14 Tích trực tiếp con: Giả sử { A } là một họ các đại số, xét ∏ là tích trực tiếp của họ các đại số trên Một đại số con A của ∏ được gọi là một tích trực liếp con của họ

{ A } nếu hạn chế trên A của mỗi phép chiếu là toàn cấu

Khi A là tích trực tiếp con của { A }, ta gọi B = Ker( |A) thì A/B A và

⋂ = 0 Ngược lại, giả sử A là một đại số bất kỳ và { B } là họ các iđeal trong A sao cho

⋂ = 0 Khi đó A sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ {A } trong đó A = A/B Liên quan giữa các đại nửa nguyên thủy và nguyên thủy ta có :

Bổ đề I.5: Một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của

các đại số nguyên thủy

15.Bổ đề Schur: Nếu M là A-modun bất khả qui thì A’ = End AM là một đại số chia

được

16.Định lý về trù mật: Giả sử V là không gian vector Một tập hợp các phép biến đổi

tuyến tính trên V được gọi là trù mật nếu với mọi hệ độc lập tuyến tính {x1, x2, …., xn} và mọi hệ {y1, y2, …,yn} V đều tồn tại phép biến đổi tuyến tính a của tập trên sao cho axi = yi ∀

i, 1

Định lý: Mọi đại số nguyên thủy đều đẳng cấu với một đại số trù mật của các phép

biến đổi tuyến tính của một không gian vector trên đại số chia đƣợc

Giả sử X và Y là các tập hợp Y X là tập các ánh xạ từ X vào Y

Với mỗi tập hữu hạn { xi } của X và với mỗi ánh xạ f: X Y ta xét tập {g ∈YX /gxi = fxi∀i } Trên YX xác định tôpô (gọi là tôpô hữu hạn) mà hệ cơ sở các tập mở bao gồm các tập hợp

đƣợc xác định nhƣ trên Đặc biệt X=Y=V với V là không gian vector trên đại số chia đƣợc

thì End V là không gian con đóng của V và một tập các phép biến đổi tuyến tính trên V

mà trù mật theo nghĩa trên thì cũng trù mật theo nghĩa tôpô Các phép toán của không gian

vector V là các ánh xạ liên tục

B Các đồng nhất thức

1) Đại số tự do với tệp đếm đƣợc các phần tử sinh:

Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm đƣợc các phần tử x1 , x2 Gọi

K[X] là đại số vị nhóm của X trên K Nó đƣợc gọi là đại số tự do với tập đếm đƣợc các phần

là một đại số bất kỳ và ánh xạ : X A luôn tồn tại duy nhất đồng cấu : K[X] A sao cho

i=

2 Đồng nhất thức:

Nếu f ∈ K[X] thì f∈K{x1 x2, ,xm } với K{x1,x2… xm }là đại số con sinh bởi tập hữu hạn { x1, x2, , xm} với m nào đó Do đó ta viết f = f(x1 x2, , xm)

Nếu f = f(x1, x2, , xm ) ∈ K[X] và A là một đại số thì ∀a1,a2….am ∈A, xét ánh xạ: X A mà xi ai sẽ tồn tại duy nhất đồng cấu : K[X] A Ta gọi ảnh của f qua đồng cấu này là f(a1, a2, , am )

Định nghĩa: Nếu f(a1, a2, ,am) = 0 ∀ a1, a2, , am ∈ A thì ta nói rằng f là một đồng nhất thức trên A trên tập các phép thế của n phần tử

3) Đa thức chuẩn tắc: Đa thức chuẩn tắc bậc n là đa thức:

Trên tập các phép thế của n phần tử

CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ

Trong chương này, chúng ta trình bày các kết quả về upper nil radical, lower nil

radical, Levitzki nil radical và radical Jacobson trên các PI-dạị số Khái niệm các PI-đại số được xem như một sự tổng quát hoá khái niệm các đại số giao hoán Ta sẽ chứng minh upper nil radical, lower nil radical và Levitzki nil radical của các đại số giao hoán là trùng nhau Kết

quả nói trên đối với các đại số giao hoán được tổng quát hoá đối vơi một PI-đạị số bất kỳ Chúng ta cũng đưa ra một số trường hợp trong đó các nil radical nói trên trùng với radical Jacobson Đồng thời cũng đưa ra một số trường hợp trong đó chúng không trùng với radical dacobson

A Các Radical của một đại số

Trước nhất, chúng ta đưa ra định nghĩa về các radical của một đại số A (không nhất thiết giao hoán, có đơn vị) trên vành K có đơn vị, giao hoán Các khái niệm về đại số nguyên

tố, nửa nguyên tố, nil đại số, đại số lũy linh và lũy linh địa phương không có gì thay đổi so vơi việc xét các đại số có đơn vị

Do bổ đề 1.4 ở chương trước , các định nghĩa về upper nil radical và Levitzki nil radical như sau đây là hợp lý Viêc định nghĩa lower nil radical khó khăn hơn vì tổng các ideal lũy linh không nhất thiết là lũy linh

Upper nil radical

Định nghĩa II.1: Nil ideal tối đại cứa một đại số A được gọi là upper nil radical của A

Levitzki nil radical

Định nghĩa II.2: Ideal lũy linh địa phương tối đại của một đại số A được gọi là Levitzki nil

radical của A

Lower nil radical

Tổng tắt cả các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh Gọi tổng

này là N(0) Ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal như sau:

N(0) đã được xác định như ở trên Nếu là tự số không là tự số giới hạn thì = + 1,

ta định nghĩa N( ) là ideal trong A sao cho N( )/N( ) là tổng tất cả các ideal lũy linh của A/N( ) Còn nếu là tự số giới hạn thì định nghĩa N( ) = ⋃

Rõ ràng N( )c N( ') nếu < ' cho nên tồn tại tự số đầu tiên sao cho N( ) = N( +

1) Do N(0) là nil ideal nên N( ) là nil ideal

Định nghĩa II.3: N( ) được gọi là lovver nil radical của A

Radical Jacobson

Định nghĩa 11.4: Giao tất cả các ideal phải tối đại, chính qui của đại số A được gọi là

Radiacal Jacobson của A

Ta ký hiệu: Upper nil radical của A là Un(A)

Levitzki nil radical của A là L(A)

Lower nil radical của A là ln(A)

Radical Jacobson của A là J(A)

Mục tiêu của chúng ta là khảo sát cấc radical nói trên đối với cấc PI-đại số Để có thể

thấy được các kết quả về các radical của các PI-đại số, chúng ta sẽ trước nhất xem xét các

tính chất về các radical nói trên

Mệnh đề II.1: A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác không ( Tức là A/ln(A) là đại số nửa

nguyên tố )

Chứng minh:

Theo định nghĩa ln(A) = N( ) = N( +1) Nhưng N( +1) là ideal trong A sao cho N(

+1)/N( ) là tổng các ideal lũy linh của A/N( ) Suy ra tổng các ideal lũy linh của A/N( )

bằng không Do đó A/N( ) không chứa ideal lũy linh khác không

Mệnh đề II.2: ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A

Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A và giả sử N là ideal lũy

linh của A Rõ ràng N = (N) là ideal lũy linh A Vì A là đại số nguyên tố nên N =

0 Điều này đúng với mọi a nên N = 0 Như vậy A không, chứa ideal lũy linh khác không Tức là A là đại số nửa nguyên tố

Ngược lại, giả sử A là đại số nửa nguyên tố và giả sử B 0 là ideal của A Chọn b1

∈B, b1 0 thì Ab1A là ideal 0 chứa trong B Do (Ab1A)2 = Ab1Ab1A 0 ( vì nếu không A

chứa ideal Ab1A lũy linh 0, trái với tính nửa nguyên tố của A ) Vì Ab1Ab1A 0 bịAb1

0 3 a1 ∈A

sao cho b2 = b1a1b1 0 và b2 ∈ B Cứ tiếp tục theo cách trên ta được một dãy các phần tử b1,

b2 = b1a1b1, b3 = b2a2b2, trong đó bi 0, bi ∈B Đối với dãy nói trên , rõ ràng ta có bk

=biaijbj nếu k > i, j trong đó aij ∈A Do ∀ i, bi 0 nên (0) { bi} = Xét họ các ideal Q sao cho Q { bi} = thì áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra tồn tại ideal P là phần tử tối đại của họ trên

Ta chứng minh P là ideal nguyên tố của A Thật vậy, giả sử C vàD là các ideal của A thỏa

mẫn C 0 (mod P), D 0 (mod P) Xét C1 = C + P thì C1 P, C1 p Do đó b i ∈ C1 (do tính tối đại của P) Tương tự bj ∈ D1 = D + p Nếu k > i, j thì bk = biaijbj ∈ C1D1 Do đó

C1D1 (bk ∈ C1D1, bk P) Vì C1D1 CD + P nên CD 0(mod P).Như vậy ta đã chứng minh được nếu C 0(mod P), D 0(mod P) thì CD 0(mod P) Có nghĩa là P là ideal nguyên tố Tóm lại ta đã chứng minh được : nếu B là ideal 0 của A thì tồn tại ideal nguyên

tố P mà B P

(do { bi } B mà { bi } P Xét ⋂ , nếu ⋂ 0 thì x 0,x ∈ Q đối với mọi ideal nguyên tố Q Khi đó xét B = AxA thì đó sẽ là ideal khác không của A mà B

Q đối với mọi ideal nguyên tố Q Trái với điều vừa thấy ở trên Vậy ⋂ = 0

A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

Bổ đề II.2.2: Nếu B là ideal của A và { | }, a∈A là một họ các ideal

của A chứa B thì ⋂ ∈ = ⋂ ∈

Chứng minh Bổ đề II.2.2: Hiển nhiên

Bổ đề II.2.3: Q là ideal nguyên tố của A/B khi và chỉ khi Q = P/B với p là

ideal nguyên tố của A chứa B

Chứng minh Bổ đề II.2.3:

Giả sử Q là ideal nguyên tố của A/B Thế thì Q = P/B, ta chứng minh P nguyên tố

Thật vậy, giả sử CD = 0 (mod P) cd∈ p ∀ c ∈ c, ∀ d∈ D cd+B∈Q (c+ B)(d + B)∈Q c∈P hoặc d∈P Tức là C≡ 0 (mod P) hoặc D≡O(mod P)

Ngƣợc lại, giả sử P là ideal nguyên tố của A chứa B và Q = P/B Ta chứng minh Q là ideal nguyên tố của A/B Thật vậy, nếu (c + B)(d + B)∈Q cd+B∈Q cd∈P c∈P hoặc d ∈P (vì P nguyên tố)

Dùng các bổ đề trên ta chứng minh Mệnh đề II.2 nhƣ sau:

Gọi N' =⋂ Theo Bổ đề II.2.2 ta có :

⋂ =(⋂ )/N’=0

Áp dụng Bổ đề II.2.1 ta suy ra A/N' nửa nguyên tố Do đó A/N' không chứa ideal lũy

linh khác không

Nếu N là ideal lũy linh của A thì do (N + N')/N' N / (N∩N") ta suy ra (N + N')/ N'

là ideal lũy linh của A/N' Nhƣng A/N' không chứa ideal lũy linh khác không cho nên (N + N')/ N' = 0 Vì vậy N N' Nhƣ vậy mọi ideal lũy linh của A đều N' Do đó N(0) N'

Giả thiết N( β) N' thì khi đó với mọi ideal N N(p) sao cho N/N(P) lũy linh, ta có (N + N')/N' = N /(N∩N') Mà N∩N' N(β) nên N/ (N∩N') lũy linh (N + N')/N' lũy linh

nghĩa là nếu N' N(β) thì N' chứa mọi ideal N sao cho N/N(P) lũy linh Suy ra N' N (β+1) Phép qui nạp siêu hạn cho ta N' N(τ) = ln(A)

Ngƣợc lại, do A/ N(τ) = A/ LN(A) không chứa ideal lũy linh khác không (Mệnh đề II.1 ) nên A/N(τ) nửa nguyên tố ⋂ = 0 (theo P/N(t) nguyên tố bổ đề II.2.1) Áp dụng bổ đề II.2.2 ta suy ra ⋂ = N(

Nhưng

Do vậy :

Mệnh đề II.2 được chứng minh xong

Nhận xét :Từ Mệnh đề trên thấy ngay rằng đại số A là nửa nguyên tố khỉ và chỉ khi ln(A) =

0

Mênh đề II.3: A/ Un(A) không chứa nil ideal khác không ( Và vì vậy Un(A/

Un(A)) = 0 )

Chứng minh:

Giả sử Q = P/Un(A) là nil ideal của A/Un(A) Khi đó ∀ ∈ Q, vì Q là nil ideal nên k

sao cho xk∈ Un(A) Vì Un(A) là nil ideal nên m để cho (xk

Giả sử p/L(A) là ideal lũy linh địa phương của A/L(A) Vì L(A) và p/L(A) lũy linh địa

phương nên P lũy linh địa phương Do tính tối đại của L(A) ta có L(A) /L(A) = 0

Như vậy A/L(A) chỉ có 0 là ideal lũy linh địa phương duy nhất Vậy L(A/L(A)) = 0

Mệnh đề II.5 J(A) là ideal hai phía của A, tựa chính qui hai phía,chứa mọi ideal phải tựa

chính qui phải và chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh một số bổ đề:

Bổ đề II.5.1: Nếu là ideal phải chính qui của A, thì 0 là ideal

phải tối đại , chính qui của A sao cho 0

Chứng minh Bổ đề II.5.1:

Thật vậy, giả sử là ideal phải chính qui của A, A Vì chính qui nên a ∈A để x- ax ∈ ∀ x ∈ A Thế thì a (vì nếu không ∀ x ∈ A do x-ax ∈ , ax ∈ nên x ∈ A

= ) a∈ A Xét họ tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa thì rõ ràng ∀ 1∈ 1 là B

Bổ đề II.5.1: Nếu là ideal phải chính quy của A , thì là ideal phải tối đại, chính của A sao cho

Chứng minh Bổ đề II.5.1:

Thật vậy, giả sử là ideal phải chình qui của A, p A Vì chính quy nên a ∈ A để x – ax

∈ ∀ x ∈ A Thế thì a ( vì nếu không ∀ x ∈ A do x – ax ∈ , ax ∈ nên x ∈ A= ) Xét họ tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa thi rõ ràng ∀ 1 ∈ 1 là ideal phải chính quy của A và a 1. Áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra có phần tử tối đại 0 Ta chứng minh 0 là ideal tối đại của A Thật vậy giả sử là ideal phải của A sao cho , Thế thì a ∈ Nhƣ vậy là ideal phải tối đại, chính qui của A,

Bổ đề II.5.2: J(A) là ideal phải.tựa chính qui phải của A

Chứng minh Bổ đề II.5.2:

∀x ∈ J(A), ta xét I = { xy + y / y∈ A} Vì (xy + y)z = xyz + yz = = xy' + y’ với y’ =

yz ∈ A nên I là ideal phải của A Mặt khác, nếu ta gọi a = - x thì ∀ y∈ A ta có y - ay = xy + y

∈ I cho nếu I là ideal phải chính qui của A Ta chứng minh I = A

Giả sử ngƣợc lại I A, I A Vì I là ideal phải chính qui nên theo bổ đề II.5.1 thì I

0 trong đó 0 là ideal phải tối đại chính qui Do x∈J(A) x∈ 0 Khi đó ∀ y∈A, do x∈

0 xy ∈ 0 và vì xy + y ∈ I 0 nên y ∈ 0 0 = A vô lý Mâu thuẫn này chứng tỏ I = A

đều w∈ A sao cho x+w+xw = 0 Cho nên J(A) tựa chính qui phải

Bổ đề II.5.2 đƣợc chứng minh xong

Bổ đề II.5.3: Gọi

( Ở đây Ann(M) = { a ∈ A/ Ma={0})

Khi đó đối với mọi là ideal phải, tựa chính qui

phải bất kỳ của A

Chứng minh Bổ đề II.5.3:

Thật vậy giả sử ngƣợc lại M là A modun bất khả qui sao cho M {0}

m∈M, m 0 sao cho m {0} Khi đó vì m là modun con của M, M bất khả qui nên m

= M Do đó t ∈ sao cho mt =-m Những t ∈ , mà tựa chính qui phải nên s∈ A sao cho t + s + ts = 0 Suy ra 0 = m(t + s + ts) = mt + ms + m(ts) = - m + ms + (-m)s = -m m = 0 Mâu thuẫn

Bổ đề II.5.4: Giả sử là ideal phải chính qui của A

Gọi ( : A) ={ x∈A / Ax } thì : a) ( : A)=Ann(M) với M=A/ và là ideal hai phía của A b) ( : A) là ideal hai phía lớn nhất chứa trong

Chứng minh Bổ đề II.5.4:

a) Dễ dàng kiểm tra đƣợc rằng ( : A) là ideal hai phía của A ∀a∈Ann(M) (A/ )a

= Ma =0 Aa a∈ ( : A) Vậy Ann(M) ( : A) Ngƣợc lại ∀a∈ ( : A) Aa c Aa/ = 0 (A/ )a = 0 Ma = 0 a∈Ann(M) Vậy ( : A) Ann(M) Suy ra ( : A) = Ann(M)

b) ∀x∈ ( : A), do chính qui nên a ∈ A sao cho x - ax∈ Nhƣng vì Ax nên ax ∈

x∈ Vây ( : A) Giả sử rằng 1 là ideal hai phía của A, 1 Khi đó ∀b∈ 1 xb

Bổ đề II.5.5:

( là ideal nói đến trong bổ đề II.5.3)

Chứng minh Bổ đề II.5.5: Vì theo bổ đề II.5.2 J(A) là ideal tựa chính qui phải của A nên

theo bổ đề II.5.3 J(A) c X

Ngược lại, ta biết rằng A modun phải M là bất khả qui M -A/ với là ideal phải tối đại, chính qui của A Áp dụng bổ đề II.5.4 ta có = ⋂ Nhưng vì ( : A) liên suy ra ⋂

Bổ đề II.5.5 được chứng minh xong

Ta áp dụng các bổ đề nêu trên để chứng minh mệnh đề II.5:

Ta thấy rằng J(A) là ideal hai phía vì là giao của các ideal hai phía ( : A) Đồng thời J(A) là ideal tựa chính qui phải và vì J(A) = nên theo bổ đề II.5.3 J(A) chứa mọi ideal phải tựa chính qui phải Mặt khác ta thấy: ∀a∈ J(A), vì J(A) tựa chính qui phải nên a'∈ A sao cho:

a+a'+aa'=0 (*)

Nhưng a, aa' ∈J(A) nên a' ∈J(A) Lại do a'∈ J(A) nên a'∈A sao cho :

a'+a"+a'a" =0 (**)

Từ (*)và (**) aa" + a'a" +aa'a" = 0 và aa' + aa" + aa'a" = 0 a'a" = aa' Thay vào (* )

và (** ) ta được a + a' - a' + a" a = a" Thay vào (** ) ta được a + a' + a'a = 0 a tựa chính qui trái Như vậy đã chứng minh được J(A) tựa chính qui trái

Nếu gọi Jt(A) là giao các ideal trái tối đại chính qui của A thì tương tự như các bổ đề

trên ta sẽ chứng minh được Jt(A) là ideal hai phía, tựa chính qui trái và phải, chứa mọi ideal

trái, tựa chính qui ưái của A

Vì J(A) tựa chính qui trái nên J(A) Jt(A) Vì Jt(A) tựa chính qui phải nên Jt(A)

J(A) Vậy J(A) = -Jt(A) Do đó J(A) là ideal hai phía, tựa chính qui cả hai phía và chứa mọi

ideal trái, tựa chính qui trái cũng như mọi ideal phải, tựa chính qui phải

Mệnh đề II.6: J(A) chứa mọi nil ideal trái và phải của A

Chứng minh:

Giả sử là nil ideal của A Khi đó ∀ a ∈ n sao cho an = 0

Gọi b = -a + a2 - a3 +…+ (-1)n-1 an-1 Khi đó ta thấy ngay a + b + ab = 0 và a + b + ba = 0 Có nghĩa là a tựa chính qui cả trái lẫn phải Do đó a ∈ J(A) Cho nên J(A)

Mệnh đề II.7: J(A/J(A)) = 0

Chứng minh:

Gọi = A/J(A) Theo định nghĩa của J(A) ta thấy ∀ là ideal phải tối đại, chính qui của A thì J(A) Gọi = / J(A) = {x + J(A) / x ∈ } thì rõ ràng là ideal phải của A Giả sử là ideal phải của , , thì là ideal phải của A, , = A (

vì là ideal tối đại của A ) = Điều đó chứng tỏ rằng là ideal tối đại của A Do là ideal phải, chính qui phải của A nên a∈ A sao cho y - ay ∈ ∀y∈ A - ∈ Điều đó chứng tỏ rằng là ideal chính qui phải của Nhƣ vậy với mọi ideal phải, tối đại, chính qui phải của A thì là ideal phải, tối đại, chính qui phải của ̅ Nhƣng do J(A) =

⋃ nên suy ra

Mệnh đề II.7 đƣợc chứng minh xong

Mệnh đề II.8: ln(A) L(A) Un(A) J(A)

Chứng minh:

Vì mọi ideal lũy linh đều lũy linh địa phương Suy ra N(0) lũy linh địa phương Theo

cách xây dựng ln(A) suy ra N( ) = ln(A) cũng lũy linh địa phương Theo tính tối đại của L(A), suy ra lu(A) L(A)

Vì L(A) lũy linh địa phương nên L(A) là nil idea Theo tính tối đại của Un(A) suy ra L(A) Un(A)

Vì Un(A) là nil ideal suy ra Un(A) J(A)

Do vậy ln(A) L(A) Un(A) J(A)

Mệnh đề II.8 được chứng minh xong

Trong luận án này ta xét các đại số có đơn vị (không nhất thiết giao hoán) trên vành

giao hoán có đơn vị Trong trường hợp này vì mọi ideal đều chính qui cho nên :

Ta cũng biết rằng A-modun M là bất khả qui khi và chi khi M=A/ với là ideal tối đại Từ đó thấy rằng nếu xét các đại số có đơn vị thì một đại số A là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi J(A) = 0

B Các Pi – đại số

Một đại số giao hoán chẳng qua là một đại số thỏa mãn đồng nhất thức [x1, x2] = x1x2-

x2x1 Từ nhận xét trên ta sẽ tổng quát hóa bằng cách xét đến các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào đó Khái niệm các PI-đạị số đƣợc đƣa ra sau đây là sự tổng quát hóa về đại số giao hoán Ta luôn xét K là vành giao hoán, có đơn vị Các đại số trên K luôn đƣợc hiểu là các đại

số có đơn vị, không nhất thiết giao hoán

Định nghĩa II.5: f ∈ K[X] đƣợc gọi là một đồng nhất thức hoàn toàn đối với đại số A nếu

SfA ≠ 0 Trong đó Sf là tập các hệ số của f

Mệnh đề II.9 : SfA là ideal của đại số A

Chứng minh: Hiển nhiên

Định nghĩa II 6: Một đại số A đƣợc gọi là PI- đại số nếu tồn tại

Sf(A/SfA) ≠0 nên f không phải đồng nhất thức hoàn toàn của A/SfA, vô lý Ngược lại giả sử

SfA = A Khi đó với mọi ảnh đồng cấu B của A la có SfB = B, cho nên nếu B ≠0 thì SfB ≠0 Tức là nếu B ≠ 0 thì f là đồng nhất thức hoàn toàn của B Suy ra A là một PI - đại số

Mệnh đề II.11: Đại số A là một PI-đại số khi và chỉ khi tổn tại đổng nhất thức f trên A sao

Sau này, trong hệ quả II 19.5 ta còn đạt được một điều kiện cẩn và đủ nữa để một đại

số là một PI-đại số Đồng thời từ đó sẽ suy ra rằng đại số con của một PI-đại số là một PI-đại

số Điều kiện cần và đủ đó đòi hỏi một số kết quả khác sẽ đạt được trong chương này Vì vậy

được trình bày muộn hơn Trong những gì đạt được tiếp sau đây, ta không sử dụng đến bổ đề này Rõ ràng ảnh đồng cấu của các đại số giao hoán đểu là các đại số giao hoán Do vậy các

đại số giao hoán chẳng qua là PI- đại số với đồng nhất thức hoàn toàn f(x1, x2)=[x1, x2]= x1x2

- x2x1.Khái niệm các PI-đại số được trình bày ở trên là sự tổng quát hoá của khái niệm các đại

số giao hoán

C Các radical trên đại số giao hoán

Mục tiêu chính của ta là xem xét các radical trên các PI-đại số Một đại số giao hoán như đã thấy chẳng qua là một PI-đại số với một đồng nhất thức đặc biệt Ta sẽ xét các tính chất cùa các radical trên các đại số giao hoán- Trên cơ sở phân tích các kết quả đó, ta sẽ đưa

ra các kết quả về các radical của PI-đại số bất kỳ

Trong đại số giao hoán người ta xét đến radical Jacobson ( như là giao của tất cả các ideal tối đại) và nil radical (như là giao các ideal nguyên tố), ở trên, ngoài radical Jacobson ta

đã đưa ra khái niệm về các radical khác Ta sẽ thấy rằng đối với đại số giao hoán thì lower nil radical, upper nil radical và Levitzki nil radical là trùng nhau và đó chính là nil radical

Mệnh đề II.13: Nếu A là đại số giao hoán thì ln(A) = L(A) = Un(A)

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ để II.13.1: Nếu A là đại số giao hoán thì Un(A) là tập tất cả các phần tử lũy linh của A Chứng minh Bổ đề II.13.1:

Gọi là tập các phần tử lũy linh của A Giả sử x,y∈P xm = 0, yn = 0 với m, n nào

đó Theo công thức nhị thức Nevvton ( hiển nhiên đúng với mọi đại số giao hoán ) thì (x + y)m + n -1 là tổng các tích xrys trong đó r + s = m + n - 1 Nhưng rõ ràng là không thể đồng thời

có r<m và s<n cho nên mỗi tích trong tổng trên đều bằng 0 Suy ra (x + y)m + n- 1 = 0 Tức là x

+ y ∈P

Mặt khác rõ ràng là nếu x∈P thì a ∈P đối với mọi a∈A Vậy P là một ideal của A, do

đó là nil ideal tối đại duy nhất của A Cho nên P = Un(A)

Bổ đề 11.1.3.2: Nếu A là đại số giao hoán thì Un(A) = ln(A)

Chứng minh Bổ đề II 13.2:

Giả sử X ∈Un(A), theo bổ đề II 13.1 nói trên thì x lũy linh Khi đó, với ideal nguyên

tố bất kỳ của A, vì x lũy linh nên với n nào đó ta có xn = 0 ∈ x∈ p (vì là ideal nguyên tố) Có nghĩa là x đối với mọi ideal nguyên tố của A Theo mệnh đề II.2, ta suy ra x ∈ln(A) Vậy Un(A) ln(A)

Ngược lại, giả sử x Un(A) X không lũy linh Ta gọi là họ tất cả các ideal của

A có tính chất ∀ n>0 n Rõ ràng là một họ không rỗng vì ideal tầm thường 0∈

Áp dụng bổ đề Zorn, ta suy ra E có phần tử tối đại Gọi phần tử tối đại đó là Ta chứng

minh rằng là ideal nguyên tố

Thật vậy, giả sử y, z Khi đó + (y), +(z) là các ideal chứa một cách thực sự

Do đó, các ideal này không thuộc họ Vì vậy m, n > 0 sao cho xm ∈ + (y) và xn ∈ + (yz) Suy ra xm + n ∈ + (yz) Do vậy ideal + (yz) không thuộc Cho nên yz g Như vậy,

ta tìm được ideal nguyên tố mà x Cho nên x không thể thuộc vào giao tất cả các ideal nguyên lố Áp đụng mệnh đề II.2 ta suy ra x ln(A) Tóm lại đà chứng minh được nếu

x Un(A) thì x ln(A) Có nghĩa là ln(A) Un(A)

Bổ đề II.13.2 được chứng minh xong

Ta tiếp tục chứng minh mệnh đề II.13

Theo mệnh đề II.8 thì ln(A) L(A) Un(A)

Theo bổ đề II 13.2 thì ln(A) = Un(A)

Suy ra ln(A) = L(A) = Un(A)

Mệnh đề II.13 được chứng minh xong

D Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI

Đối với đại số giao hoán ta đã thấy ln(A) = L(A) = Un(A) Ta muốn xét xem điều đó

có còn đúng hay không đối vơi một PI-đạị số bất kỳ Phương hướng của chúng ta là dựa trên việc A/ln(A) là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố cho nên sẽ xem xét các đại số nguyên

tố Bằng cách nhúng các đại số nguyên tố vào đại số các đa thức một biến A/ln[A] trên vành

A0 nào đó sẽ dẫn chúng ta đến việc tìm hiểu đại số A0[A] cụ thể này Do phép nhúng nói trẽn,

ta sẽ xét được đổng nhất thức trên các đại số nguyên tố Trong việc chứng minh một

PI-đại số nguyên tố sẽ thỏa mãn một đồng nhất thức chuẩn tắc, ta sử dụng định lý Amisur-Levitzki được để cập sau đây Trên thực tế, việc sử dụng định lý này sẽ cho ta khả

Kaplansky-năng "đa tuyến tính hóa" các đồng nhất thức của các PI-đại số

Định nghĩa II.7

1) Bậc của đơn thức a … (a 0) được định nghĩa là v1 + v2 + +Vn

Bậc của f ∈ K[X] được định nghía là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f Bậc của f được ký hiệu là degf

2) Bậc theo X của đa thức f(x1 ,x2, xn) được định nghĩa là bậc của nó khi xem như

một đa thức theo xi Bậc theo xi của đa thức f(x1 ,x2, xn) được ký hiệu

là deg x f

3) f ∈ K[X] đƣợc gọi là thuần nhất theo x i nếu tất cả các đơn thức của f đều có cùng một bậc theo xi

4) f ∈ K[X] đƣợc gọi là hoàn toàn thuần nhất nếu f thuần nhất theo mọi xi

5) f ∈ K[X] đƣợc gọi là đƣợc trộn đều theo xi nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của f 6) f ∈ K[X] đƣợc gọi là đƣợc trộn đều theo xi nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của

7) f ∈ K[X] đƣợc gọi là tuyến tính theo xi nếu bậc theo xi của mỗi đơn thức trong f đều bằng 1

8) Chiều cao của một đơn thức là bậc của nó trừ đi số các biến xi có mặt trong đơn thức ấy

9) Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức trong f Chiều cao của f ký hiệu là ht(f)

10) f∈ K[X] đƣợc gọi là đa tuyến tính nếu nó tuyến tính theo mỗi biến xi

Định nghĩa II.8: Giả sử A là một đại số, G là nhóm con của nhóm cộng A Một đa thức f ∈ K[X] ược gọi là G giá trị nếu ∀a i∈A thì f(a1,a2 … m) ∈ G

Đinh nghĩa II.9 Giả f(x1,x2,…xm) ∈ K[X] và 1 i m Gọi :

Mệnh đề II.14: ( Định lý Kaplansky- Amitsur)

Nếu A là một đại số nguyên thủy (primitive) có đổng nhất thức hoàn toàn bác d thì tâm C của

A là mót trường,

A là đại số đơn và [A : C] [ ]2

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh một số bổ đề sau:

Bổ đề II.14.1: Mọi đa thức f ∈K[X] là tổng các đa thức được trộn đều fj sao cho:

1)degfj < degf

2)ht(fj) < ht(f)

3)Nếu f tuyến tính theo xi thì fj cũng tuyến tính theo xj

4)Với mọi đại số A và nhóm con 6 của nhóm công

A, nếu f là G-giá trị thì các fj cũng là G-giá trị

Chứng minh Bổ đề II 14.1:

Gọi tf là số các xi có mặt trong f nhưng không có mặt trong một đơn thức nào đó của

f Ta chứng minh qui nạp theo tf:

Nếu tf = 0 thì f là đa thức được trộn đều và kết quả đúng hiển nhiên

Giả sử tf >0, không mất tổng quát giả sử xi không có mặt trong một đơn thức nào đó

của f Đặt f =f(0,x2 … xm) và f’’ = f – f’ Rõ ràng tf, tf’ < tf Theo giả tliiết qui nạp các kết luận của bổ đề đúng với f’ và f’’ do đó đúng với f