Jacobson radical của các pi đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị

LÊ LAN HƯƠNG JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG TRÊN MỘT VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Chuyên ngành : Đại số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Tp.HC

LÊ LAN HƯƠNG

JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG

TRÊN MỘT VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

Chuyên ngành : Đại số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Tp.HCM, 2005

Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Huyên, PGS_TS Bùi Xuân Hải,

TS Nguyễn Viết Đông, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, Quí thầy cô trong khoa Toán và phòng Khoa Học Công Nghệ _ Sau Đại Học đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, đã trực tiếp truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh , 2005 Học viên cao học khoá 13

HỆ THỐNG KÝ HIỆU

CHƯƠNGI : CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN

I.1 : Tóm tắt những kiến thức cơ sở Trang 1 I.2 : Các radical của một đại số Trang 6 I.3 : Ideal nguyên tố và ideal nửa nguyên tố Trang 12 CHƯƠNG II :CÁC PI-ĐẠI SỐ

II.1 : Các định nghĩa và một số kết quả hình thức

Định lí Kaplansky-Amitsur-Levitzki Trang 17 II.2 : Các PI-đại số thoả mãn đồng nhất thức chính qui mạnh Trang 38 II.3 : Địa phương hóa giao hoán Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thật sự Trang 43 II.4 : Các định nghĩa tương đương của PI-đại số Trang 53 II.5 : Các đồng nhất thức của một đại số Các PI-đại số phổ dụng Trang 57 CHƯƠNG III:

JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG Trang 60 KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[3] M.F.ATIYAH, I.G MACDONALD

INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA

ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY MASSACHUSETTS 1969

™ TIẾNG VIỆT :

[1] MỴ VINH QUANG

ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG, BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998

[2]NGUYỄN CANG – NGUYỄN ĐĂNG PHẤT

GIỚI THIỆU TÓM TẮT CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CÁC NHÀ TOÁN HỌC (TẬP II) NHÀ XUẤT BẢN TRẺ

[3] NINH QUANG THĂNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC :

VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ-1998

[4] NGUYỄN THỊ HỒNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC :

ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TRÊN CÁC ĐẠI SỐ KHÁC-2004

lĩnh vực Lý thuyết các Vành và Module Năm 1943, ông đưa ra khái niệm radical của một vành, được giới toán học cho là thỏa đáng hơn khái niệm cùng loại mà Gottfied Kother thuộc trường phái Emmy Nother đã đưa ra Người ta gọi Jacobson radical của một vành giao hoán A là giao của các ideal tối đại của A, ký hiệu là : radA Jacobson chứng minh rằng radA là tập các phần tử a của A sao cho 1 - ax, với x∈A, là khả nghịch trong vành A Tổng quát hơn, nếu A là đại số không giao hoán thì Jacobson radical của A được định nghĩa là tập hợp tất cả các phần tử của A linh hóa được tất cả các mođun bất khả quy trên A

Trong luận văn này, dựa trên cơ sở lý thuyết của đại số không giao hoán và các PI-đại số, chúng tôi tìm hiểu về tính chất của Jacobson radical của các PI-đại số và hơn nữa là xem xét Jacobson radical của các PI-đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị

Luận văn gồm 3 chương:

Chương I: Chúng tôi trình bày các vấn đề cơ bản của đại số không giao

hoán, các khái niệm radical của một đại số, các định nghĩa và tính chất của ideal nguyên tố, ideal nửa nguyên tố

Chương II: Chúng tôi trình bày một số định nghĩa và tính chất của các

PI-đại số, trong đó có trình bày một định lí cơ bản về đồng nhất thức đa thức, đó là định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki Đồng thời, chúng tôi cũng xem xét các PI-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh và địa phương hóa giao hoán Từ đó, chúng tôi trình bày các định nghĩa tương đương của PI-đại số, đưa ra khái niệm và một số tính chất của các PI-đại số phổ dụng

Chương III: Chúng tôi trình bày tính chất của Jacobson Radical của các

PI-đại số phổ dụng

ln(A) : lower nil radical của A

L(A) : levitzki nil radical của A

Un(A) : Upper nil radical của A

I A Δ : I là ideal hai phía của A

I A Δl : I là ideal trái của A

IΔl A : I là ideal trái tối đại của A

max

[x,y]=xy-yx : Giao hoán tử của x và y

Tr(a) : vết của ma trận a

Sgn( π ) : dấu của phép thế π

[M :F] : số chiều của M trên F

B A ⊂ : B chứa trong A

Mn(K) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K

A[x] : Vành các đa thức của ẩn x trên A

A[x ,x , ,x1 2 n] : Vành các đa thức của n ẩn x ,x , ,x1 2 n trên A

V

F

End : Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính của V trên F

PI-đại số như sau:

™ Định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki:

Giả sử A là đại số nguyên thủy Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thật sự của A thì d = 2n là số chẵn và [A:C] = n2 , đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sd

™ Nếu A là đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh bậc d thì ln(A) = L(A) = Un(A)

™ Bất kỳ đồng nhất thức f(x1,…,xm) của A đều là đồng nhất thức của As(với As xem như là đại số trên K) Chiều ngược lại vẫn đúng nếu mỗi phần tử của S là chính quy đối với A

™ Nếu A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn các đồng nhất thức thật sự có bậc bị chặn thì bất kỳ ideal I (O) của A có giao khác không với tâm C của A

≠

™ Các định nghĩa tương đương của PI-đại số:

A là PI-đại số ⇔ ∃ f là đồng nhất thức của A: SfA = A

A là PI-đại số⇔ ∃ n, m : A thỏa mãn đồng nhất thức m

2n

SSau đó, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của các PI-đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị K :

¾ Cho A là một PI-đại số trên vành giao hoán K và I = I(A) là tập tất cả các đồng nhất thức của A Khi đó I là một T-ideal của K{X}

¾ Nếu U = K{X}/I là PI-đại số phổ dụng thì U là PI-đại số và I là ideal chứa tất cả các đồng nhất thức của U

Chúng tôi cũng chứng minh được một số tính chất của Jacobson radical, Upper nil radical, Lower nil radical của một đại số A như sau :

œ Nếu A là PI – đại số thì : ln(A) = L(A) = Un(A) ⊂ radA

œ Nếu A là PI – đại số nửa nguyên tố thì : ln(A) = L(A) = Un(A) = 0

œ Nếu A là PI – đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa

thì A[λ ] là PI – đại số nửa nguyên thủy Khi đó, ta có :

A

ann radC 0=

ln(A[ ]) = L(A[ ]) = Un(A[ ]) = rad(A[ ]) = 0λ λ λ λ

œ Đặc biệt : Nếu A là PI – đại số phổ dụng thì radA là một nil ideal Khi đó : ln(A) = L(A) = Un(A) = radA

œ Hơn thế nữa, nếu U = K{X}/I là PI-đại số phổ dụng, I=<[x1,x2]> thì

U là PI-đại số phổ dụng giao hoán Mà PI-đại số phổ dụng giao hoán là đại số đa thức với các biến đếm được và các biến giao hoán được với nhau Do đó, áp dụng kết quả radU là một Nil ideal đối với vành các đa thức n ẩn trên một vành giao hoán có đơn vị K, chúng ta có một con đường khác ngoài cách chứng minh trực tiếp để

đi đến kết quả sau đây : Rad(K[x ,x , ,x ]1 2 n ) = Nil(K[x ,x , ,x ]1 2 n )

Tuy nhiên, ngoài việc tìm hiểu tính chất của Jacobson Radical của các đại số, PI-đại số phổ dụng, còn rất nhiều khía cạnh khác của PI-đại số cần được tiếp tục nghiên cứu và giải quyết Đó chẳng hạn là : xem xét ideal In

PI-gồm các đồng nhất thức của Mn(K); những ứng dụng của PI-đại số đối với các đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên một trường, …vv, …

Thành phố Hồ Chí Minh, 2005

Người thực hiện Lê Lan Hương

CHƯƠNG I:

CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản được sử dụng đến trong luận văn này Trong đó, chúng tôi chủ yếu xét phạm trù các đại số có đơn vị (không nhất thiết giao hoán) trên một vành giao hoán có đơn vị

K Trừ khi được chỉ ra rõ ràng, các mođun đều được hiểu là các mođun trái, ideal được hiểu là ideal hai phía

Định nghĩa I.1.1

A được gọi là đại số trên vành K nếu:

A là K_mođun, A là vành và ∀k∈K, ∀a,b∈A: k(ab) = (ka)b = a(kb)

Định nghĩa I.1.2

Cho A là một K_đại số Đại số đối của A, ký hiệu là Ao, là một đại số mà Ao = A như là K_mođun và tích a∗b được xác định bởi a∗b = b.a, với ∀a,b∈A

Định nghĩa I.1.3

Nếu A,B là các K_đại số, M là K_mođun thì một A_B_song mođun là một

A_mođun trái, B_mođun phải và có tính chất kết hợp sau đây:

(ax)b = a(xb), a∀ ∈A, b∈B, x∈M

Lưu ý:

• Tích tenxơ của các mođun và đại số, trừ trường hợp đặc biệt, được hiểu là

tích tenxơ trên K Ta viết M⊗N thay vì M⊗KN

• Nếu A, B là các K_ đại số thì A⊗B là một K_ đại số

• Một A_B_ song mođun có thể đồng nhất với A⊗B _ mođun nếu

(a⊗b)x = axb (*) Ngược lại, một A B⊗ o_ mođun có thể xem như là một A_B_ song mođun nếu

ax = (a⊗1)x ; xb =(1⊗b)x

• Ta viết Ae = A⊗Ao thì :A là một Ae _mođun được xác định bởi (*).Và

mođun con của A (với A xem là Ae _mođun) là ideal của A

Định nghĩa I.1.4

Cho M là một A_ mođun, ký hiệu EndAM (hay End M) là tập hợp các tự đồng

cấu trên M Khi đó:

• η∈ EndA M , x∈M thì xη là kết quả tác động của η đối x

• Với , η ξ∈ EndA M thì η ξ được định nghĩa bởi x(η ξ ) = (x )η ξ, x∀ ∈M

• Vành giao hoán tử của A trên M, ký hiệu là C(M), định bởi

C(M) = {η End∈ A M / η.Ta = Ta.η, ∀a∈A}

trong đó, Ta : M M, m ma →

Định nghĩa I.1.5

Cho M làmột A_mođun.Khi đó, tập hợp các phần tử của A mà linh hóa toàn bộ

M, ký hiệu là : annA M, được xác định bởi : annA M = { a∈ A / aM = 0 }

Định nghĩa I.1.6

Cho M là một A_mođun, M được gọi là A_mođun bất khả quy nếu M 0 và M

không có mođun con nào khác ngoài 0 và M

≠

Mệnh đề I.1.1

Các khẳng định sau đây là tương đương:

i> M là A_mođun bất khả quy

ii> M = Ax, với 0 ≠x∈M

iii> M A/I, với I ≅ Δmaxl A

Bổ Đề Schur:

Nếu M là A_mođun bất khả quy thì C(M) là một thể

Định nghĩa I.1.9

Cho A là đại số nguyên thủy, M là A_mođun bất khả quy trung thành Nếu

=C(M) thì theo bổ đề Schur,

Δ Δ là một thể Ta có thể xem M như là một không gian vectơ trên Khi đó: Δ

A được gọi là tác động dày đặc trên M (hoặc dày đặc trên M) nếu :

Với mỗi n : ϑ ϑ1, 2, ,ϑn∈M độc lập tuyến tính trên Δ và bất kỳ n phần tử

1, 2, , n

ω ω ω ∈ M, r∈ A sao cho ∃ ωi = ϑi.r, với i = 1,2,…n

Mệnh đề I.1.2 (định lý dày đặc)

Cho A là đại số nguyên thủy, M là A_mođun bất khả quy trung thành Nếu

=C(M) thì A là một vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên

Cho A là đại số đơn

Gọi C ={c ∈A / cx = xc, x∀ ∈A} là tâm của A

Khi đó C là trường và A có thể xem là đại số trên C

Mệnh đề I.1.3

Cho D là một thể có tâm là C, F là trường con tối đại của D Khi đó : D⊗CF là vành dày đặc các phép biến đổi các tuyến tính của D, nếu xem D như là không gian vectơ trên trường F

Định nghĩa I.1.13

Đại số A được gọi Artin (trái) nếu bất kỳ tập khác rỗng các ideal trái của nó đều có phần tử tối tiểu

Mệnh đề I.1.4 (Định lý Wedderburn_ Artin)

Cho A là một vành Artin đơn Khi đó A≅ Dnvới là vành các ma trận vuông cấp

n trên thể D Hơn nữa, n là duy nhất và D sai khác một đẳng cấu Ngược lại, với bất kỳ thể D, là một vành Artin đơn

I.2 CÁC RADICAL CỦA MỘT ĐẠI SỐ

Trong phần này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số kết quả về các

radical của một đại số A : Jacobson radical, upper nil radical, lower nil radical và Levitzki nil radical

• a là tựa chính quy ⇔1-a khả nghịch

• rad A là ideal tựa chính quy chứa mọi ideal phải tựa chính quy và ideal

trái tựa chính quy

• Rad A = {z / az là tựa chính quy,với ∀a∈ A }

= {z / za là tựa chính quy,với ∀a∈ A }

Định nghĩa I.2.4

Một ideal một phía (hoặc 2 phía ) được gọi là nil ideal nếu mọi phần tử của nó là lũy linh

Mệnh đề I.2.1

rad A chứa tất cả các nil ideal một phía

Chứng minh Nếu z là lũy linh ⇒ ∃n : zn = 0

⇒z là tựa chính quy, với tựa nghịch đảo là ω = - (z+z2+…+zn-1 ) ■

Bây giờ, gọi A[λ] là đại số đa thức theo biến λ với hệ số thuộc A Ta có kết quả sau đây của Amitsur:

Mệnh đề I.2.2

Nếu A không có nil ideal khác 0 thì A[λ] là nửa nguyên thủy

Tiếp theo đây, chúng tôi trình bày các định nghĩa và bổ đề về đại số luỹ linh, lũy linh địa phương, và nil đại số Từ đó chúng ta có cơ sở để tiếp cận với các khái niệm upper nil radical, lower nil radical, và Levitzki nil radical

Định nghĩa I.2.5

Cho đại số A Khi đó:

• A được gọi là lũy linh nếu ∃m : Am = 0

• A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh

• A được gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh

• Một ideal của A được gọi là lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số )

Nhận xét: Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal

Hơn nữa, các bổ đề sau là dễ thấy:

Bổ đề I.2.1

• Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh ( lũy linh địa phương, nil đại số) là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số)

• Nếu B là ideal của A sao cho B và A/B là các ideal lũy linh (lũy linh địa

phương, nil ideal ) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số)

Bổ đề I.2.2

Nếu N1, N2 là các ideal lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal) của A thì N1 + N2

cũng vậy

Chứng minh

Do đẳng cấu (N1 + N2)/N2≅ N1/(N1 ∩ N2) và kết hợp với bổ đề I.2.1 ta có điều phải chứng minh ■

Bổ đề I.2.3

Nếu {Ni }là họ các nil ideal (ideal lũy linh địa phương) thì là nil ideal(ideal lũ

i

N

∑

y linh địa phương)

Mệnh đề I.2.3

1 Tồn tại duy nhất một nil ideal (ideal lũy linh địa phương) tối đại của đại số

A chứa mọi nil ideal (ideal lũy linh địa phương) của A

2 Tồn tại ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal một phía lũy linh địa phương

Chứng minh Từ bổ đề I.2.3, ta suy ra ngay phần thứ nhất của mệnh đề

Ta chứng minh (2) như sau :

Giả sử L là ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A và I là ideal trái lũy

linh địa phương của A Khi đó I + IA là ideal lũy linh địa phương của A

Thật vậy, lấy {bi} là một tập hữu hạn các phần tử bất kỳ của I + IA và ta viết:

Do đó S là tập con của I ⇒ tồn tại số tự nhiên m sao cho tích của m phần tử bất

kỳ của S bằng 0

Mà tích của r phần tử của tập {bi} là tổng của các số hạng, mà mỗi số hạng là

tích của r phần tử thuộc S hoặc là tích của r phần tử của S nhân về bên phải các

Ideal lũy linh địa phương tối đại của một đại số A được gọi là Levitzki nil radical

của A, ký hiệu là L(A)

Định nghĩa I.2.8

Tổng các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh Gọi tổng này là N(0), ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal như sau:

Với N(0) đã được xác định như ở trên

Nếu là một số thứ tự không giới hạn và α α= β + 1, ta định nghĩa : N(α) là ideal trong A sao cho N( )/N( ) là tổng tất cả các ideal lũy linh của A/N(α β β)

Nếu α là một số thứ tự giới hạn, ta định nghĩa: N(α) = N( )

gọi là lower nil radical của A, ký hiệu là ln(A)

Sau đây chúng ta xem xét một số tính chất về các radical nói trên :

Mệnh đề I.2.4

A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0 Suy ra: Un (A/Un(A)) = 0

Chứng minh Giả sử B = C/Un(A) là nil ideal của A/Un(A) Ta cần chứng minh B = 0

Vì vậy, A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0 Do đó, Un (A/Un(A)) = 0 ■

Mệnh đề I.2.5

A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác 0

Chứng minh

Theo định nghĩa I.2.8 : ln(A) = N(τ ) = N(τ + 1) mà N(τ + 1) là ideal trong A sao cho N(τ + 1)/N(τ ) là tổng các ideal lũy linh của A/N(τ ) Suy ra: tổng các ideal lũy linh của A/N(τ ) bằng không

Do đó A/N(τ ) không chứa ideal lũy linh khác 0 ⇒ A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác 0 ■

Mệnh đề I.2.6

L(A/L(A)) = 0

Chứng minh Giả sử B/L(A) là ideal lũy linh địa phương của A/L(A) Do L(A) và B/L(A) lũy linh địa phương nên B lũy linh địa phương (do bổ đề I.2.1)

⇒ B L(A), do định nghĩa I.2.7 ⊂

⇒ B/L(A) = 0 ⇒A/L(A) chỉ có 0 là ideal lũy linh địa phương duy nhất

⇒ L(A/L(A)) = 0 ■

Mệnh đề I.2.7

ln(A) L(A) Un(A)⊂ ⊂ ⊂ radA

Vì Un(A) là nil ideal ⇒ Un(A)⊂ radA (3)

Từ (1),(2),(3) ta có : ln(A) L(A) Un(A)⊂ ⊂ ⊂ radA ■

I.3 IDEAL NGUYÊN TỐ VÀ IDEAL NỬA NGUYÊN TỐ

Định nghĩa I.3.1

Một ideal P của một đại số A được gọi là nguyên tố nếu :

BC ⊂ P B ⇒ ⊂ P hoặc C ⊂ P, với B, C là các ideal của A

Định nghĩa I.3.2

A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A, tức là :

BC = 0 B = 0 hoặc C = 0, với B, C là các ideal của A ⇒

Mệnh đề I.3.1

Nếu A là đại số nguyên thủy thì A nguyên tố

Chứng minh

Do A là đại số nguyên thủy ⇒ ∃M là mođun bất khả trung thành của A

Gọi B,C là các ideal khác 0 của A khi đó : (BC) M = B(CM) = BM = M

Do đó : BC 0.■ ≠

Mệnh đề I.3.2

Các khẳng định sau đây là tương đương :

i>A là đại số nguyên tố

ii>bAc = 0 b = 0 hoặc c = 0 ⇒

iii>linh hóa tử bên trái của ideal trái khác 0 bất kỳ của A là 0

iv>linh hóa tử bên phải của ideal phải khác 0 bất kỳ của A là 0

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử bAc = 0 A.bAc.A = (AbA) (AcA) = 0 ⇒

AbA = 0 hoặc AcA = 0⇒ b = 0 hoặc c = 0

⇒

(ii) (iii): Gọi 0 I ⇒ ≠ Δl A giả sử bI = 0 :

Lấy c ∈ I, c ≠ 0 ⇒Ac I ⊂ ⇒ bAc = 0 b = 0 , do (ii) ⇒

(iii) ⇒ (i): Giả sử B,C A : BC = 0, giả sử C Δ ≠ 0

B = 0 , do (iii) Vậy A nguyên tố

⇒

Bằng cách tương tự ta cũng có ngay : (iii) (iv) (i) ■ ⇒ ⇒

Định nghĩa I.3.3

Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu A không có ideal lũy linh khác 0

Nhận xét : Nếu A là đại số nguyên tố thì A nửa nguyên tố

Định nghĩa I.3.4

Một ideal B của A được gọi là nửa nguyên tố nếu đại số thương A/B là nửa nguyên tố

Mệnh đề I.3.3

Đại số A là nửa nguyên tố ⇔A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

Chứng minh Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A Gọi N là ideal lũy linh của A Theo định nghĩa I.2.5,

α

∃n : Nn = 0

Khi đó : Nα= ∏α(N) là ideal lũy linh của Aα, ∀α

Mà Aαlà đại số nguyên tố ⇒ Nα = 0, ∀α ⇒ N = 0 A không có ideal lũy linh khác 0 ⇒ A là đại số nửa nguyên tố

⇒

Ngược lại, giả sử A là đại số nửa nguyên tố

Lấy B ≠ 0 là ideal của A Chọn 0≠ b1∈ B Khi đó : Ab A1 ⊂ B, Ab A1 ≠ 0

⇒ 2= 0 (do A là nửa nguyên tố) ⇒ b1Ab1 0

1

⇒ a∃ 1∈ A : b2= b a b1 1 1≠ 0, b2∈ B

Tiếp tục lập luận tương tự , chúng ta được một dãy các phần tử khác 0 chứa trong

Ta chứng minh P là ideal nguyên tố của A

Thật vậy, giả sử C, D A thỏa C Δ ⊄ P, D ⊄ P Khi đó với = C + P C1

⇒ C1 ∉ (do P tối đại trong ∑ ∑) ⇒ C1 ∩ {bi}≠ φ⇒ ∃bi ∈ C1

Tương tự ∃bj ∈ , với = D + P Do đó, với k > I, j thì : D1 D1 bk= b a bi ij j∈ C1D1

⇒ C1D1⊄ P CD ⊄ P (do ⇒ C1D1⊂ CD + P) P là ideal nguyên tố của A ⇒

Do đó, A là tích trực tiếp của các đại số nguyên tố A/P ■

Mệnh đề I.3.4

ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A

Để chứng minh mệnh đề này, trước hết ta xét hai bổ đề sau:

Bổ đề I.3.1

Nếu B A và Δ {Iα α∈} A là một họ các ideal của A chứa B thì = ( Iα) / B

A B

/

(Iα )α∈∩

A α∈∩

Chứng minh : hiển nhiên ■

Bổ đề I.3.2

C/B là ideal nguyên tố của A/B khi và chỉ khi C là ideal nguyên tố của A chứa B

Chứng minh Cho C/B là ideal nguyên tố của A/B Ta chứng minh C nguyên tố

Thật vậy, giả sử mn ∈ C Khi đó mn + B ∈ C/B ⇒ (m+B)(n+B) ∈ C/B

⇒ m+B ∈ C/B hoặc n+B ∈ C/B (do C/B nguyên tố)

⇒ m ∈ C hoặc n ∈ C Vậy C nguyên tố

Ngược lại, giả sử C là ideal nguyên tố của A chứa B Ta chứng minh C/B nguyên

tố

Thật vậy, nếu (m + B)(n + B) ∈ C/B, ∀m, n ∈ C ⇒ mn + B ∈ C/B ⇒ mn ∈ C

m ∈ C hoặc n ∈ C (do C nguyên tố)

⇒

⇒ m+B ∈ C/B hoặc n+B ∈ C/B Vậy C/B nguyên tố ■

Chứng minh mệnh đề I.3.4 :

Đặt N’ = ∩

P nguyên tố

P

Theo bổ đề I.3.1 và bổ đề I.3.2 ta có :

P/N' nguyên tố P nguyên tố

P N'

(P / N') = ( P)/N' = 0

⊃

⇒A/N’ là nửa nguyên tố (do mệnh đề I.3.3)

⇒A/N’ không chứa ideal lũy linh khác 0

Nếu N là ideal lũy linh của A thì (N + N’)/N’ ≅ N/(N ∩ N’)

⇒ (N + N’)/N’ là ideal lũy linh của A/N’ (N + N’)/N’ = 0 N N’ ⇒ ⇒ ⊂

⇒ N(0) N’, với N(0) là tổng của tất cả các ideal lũy linh của A ⊂

Giả sử N(β) N’ thì : bằng cách chứng minh tương tự ta có N’ chứa mọi ideal

N N(β) sao cho N/N(β) là lũy linh Suy ra N’

⊂

⊃ ⊃ N(β + 1) Phép quy nạp siêu hạn cho ta N’ ⊃ N(τ ) = ln(A)

I.2.5) nên A/N(τ ) nửa nguyên tố

⇒ ∩

P/N( ) nguyên tố

P/N( ) τ

τ = 0 (do mệnh đề I.3.3) ⇒ = N(

CHƯƠNG II:

CÁC PI-ĐẠI SỐ

II.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH THỨC ĐỊNH LÍ KAPLANSKY_AMITSUR_LEVITZKI

Định nghĩa II.1.1

Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm được các phần tử x1, x2, …

Gọi K{X} là đại số vị nhóm của X trên K Khi đó K{X} được gọi là đại số tự do với tập đếm được các phần tử sinh xi

X được nhúng vào K{X} và phép nhúng i: X K{X} có tính chất phổ dụng: →

Với A là một đại số bất kỳ và ánh xạ δ: X A luôn tồn tại duy nhất đồng cấu : K{X} A sao cho : ηi =

→

Định nghĩa II.1.2

Cho f = f(x1, x2, …, xm) ∈ K{X} Khi đó:

¾ Một đơn thức được gọi là có mặt trong f nếu nó có hệ số khác 0

trong biểu diễn của f dưới dạng tổng các đơn thức

¾ f được gọi là đa tuyến tính nếu f tuyến tính theo mọi xi có mặt trong nó

• f là đa tuyến tính thì f có dạng : π π π π π

π

α

∑ 1 , , m 1 2 m

f = x x x

với απ1, ,πm ∈ K và chạy khắp tất cả các hoán vị của 1, 2, , m.π

• f là đa tuyến tính thì:

f(x , , x , x− + x +, x , , x+ ) = f(x , , x , , x ) + f(x , , x , x− +, x , , x+ )

Vì vậy, nếu A là mođun hữu hạn sinh { } thì bất kỳ đa thức đa tuyến tính và thay phiên có bậc m>n đều là đồng nhất thức của A

1 nếu là phép thế lẻ

• Bậc của đơn thức a n 1 (a

¾ f được gọi là thuần nhất theo x i nếu tất cả các đơn thức của f đều có cùng

một bậc theo xi

f được gọi là hoàn toàn thuần nhất nếu f thuần nhất theo mọi xi

¾ f được gọi là trộn đều theo x i nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của f

f được gọi là trộn đều nếu f được trộn đều theo mọi xi có mặt trong f

¾ Chiều cao của một đơn thức được tính bằng bậc của đơn thức đó trừ đi số

các biến xi có mặt trong đơn thức

• Chiều cao của một đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f, ký hiệu là ht(f)

• f đa tuyến tính ⇔ f trộn đều và ht(f) = 0

Chú ý rằng, nếu a = p q , tức là tra = 0

x , , x m 1+ ] là đồng nhất thức của A

Ví dụ : Từ ví dụ 2 – Định nghĩa II.1.5 ta có đa thức tâm của M2(K) là : f(x , x1 2)=(x x1 2-x x2 1)2

Định nghĩa II.1.7

Định nghĩa II.1.8

Một đại số A trên vành giao hoán K được gọi là PI-đại số hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại đa thức f ∈ K{X} là đồng nhất thức thật sự của A

Ví dụ: Mọi đại số giao hoán đều là PI-đại số

Sau đây, chúng ta sẽ xem xét một định lý cơ bản về đồng nhất thức đa thức:

ĐỊNH LÝ KAPLANSKY_ AMITSUR

f ∈ K{X} được gọi là đồng nhất thức thật sự của A nếu f là đồng nhất thức của A và tồn tại hệ số của f không linh hóa A

Nếu A là một đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thật sự bậc d thì tâm C của A là một trường, A đơn và [A:C] ≤

2

d2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

Chứng minh Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ Đề II.1.1

Mọi đa thức f ∈ K{X} là tổng của các đa thức được trộn đều fj sao cho:

1) degfj ≤ deg f

2) ht (fj) ht(f) ≤

3) Nếu f tuyến tính theo xi thì fj cũng tuyến tính theo xi

4) Với mọi đại số A và nhóm con G của nhóm cộng A, nếu f là G_giá trị thì các fj cũng là G_giá trị

Chứng minh Gọi là số các xtf i có mặt trong f nhưng không có mặt trong một đơn thức nào đó của f Ta chứng minh quy nạp theo tf

• Nếu = 0 thì f là đa thức được trộn đều và kết quả hiển nhiên là đúng tf

• Giả sử > 0, không mất tính tổng quát, giả sử xtf 1 không có mặt trong một đơn thức nào đó của f

Đặt f’ = f(0, x , , x2 m) thì f’ là tổng của các số hạng của f mà x1 không có mặt

Đặt f” = f – f’ Khi đó : < , < tf ' tf tf " tf

Theo giả thiết quy nạp, các kết luận của bổ đề đúng với f’ và f” Do đó đúng với f.■

Bổ Đề II.1.2

Nếu g là một đơn thức sao cho: deg > 1 và x

i

x g jkhông có mặt trong g thì i

j

Δ g là tổng của các đơn thức gk phân biệt, trong đó xi , xj có mặt trong gk và khi thay xj

bởi xi thì gk trở thành g

Chứng minh

Ta viết g dưới dạng: g(x , , x , , x1 i m) = a.x

Ta chứng minh bằng quy nạp theo bậc của đơn thức g theo xi :

• Nếu = 2 = 1 bổ đề đúng với g

• Giả sử kết luận của bổ đề đúng với mọi đơn thức có bậc theo xi nhỏ hơn n và

g là đơn thức có = n Khi đó : do (1) ⇒ < n Theo giả thiết quy nạp, bổ đề đúng với h Và theo (2) thì bổ đề đúng với g ■

Từ bổ đề II.1.2, ta có thể suy ra bổ đề II.1.3 sau đây:

Bổ Đề II.1.3

Giả sử f được trộn đều, > 1, = 0 Khi đó:

Bổ Đề II.1.4

g f4) ht( i

j

Δ f) < ht(f) 5) Tập hợp các hệ số của i

j

Δ f là tập con của tập các hệ số của f

Nếu A thoả mãn một đồng nhất thức thật sự f thì A thoả mãn một đồng nhất thức

đa tuyến tính thật sự g có deg g ≤ deg f

Chứng minh Áp dụng bổ để II.1.1 với G = {0} ta có thể giả thiết f được trộn đều

• Nếu ht(f) = 0 thì f là đa tuyến tính Khi đó chọn g = f thì ta có điều phải chứng minh

• Nếu ht(f) > 0 thì x∃ i : > 1

i

x

deg fNếu cần, loại bỏ đi những đơn thức trong f mà có hệ số linh hóa A Ta có thể giả sử không có hệ số nào của f linh hóa A

Áp dụng bổ đề II.1.3, f là đồng nhất thực thực sự của A Ta có : i

j

Δht( f ) < ht(f) i

Phép quy nạp theo chiều cao của đồng nhất thức cho ta điều phải chứng minh.■

Bổ Đề II.1.5

Chứng minhMn(K) không thoả mãn đồng nhất thức thật sự nào có bậc nhỏ hơn 2n

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử A = Mn(K) thoả mãn một đồng nhất thức thật sự có bậc < 2n

Khi đó, theo bổ đề II.1.4, A thoả mãn đồng nhất thức thật sự đa tuyến tính f mà deg f < 2n Vì f là đa tuyến tính nên f có dạng :

Xét một dãy gồm d ma trận vuông cấp n trên K : e11, e12, e22, e23, e33, e34, …

với eij ∈ A là ma trận mà phần tử hàng i cột j là 1, còn các phần tử khác là 0 Khi đó ta có : tích các ma trận trên theo đúng thứ tự đó là e1k, với k nào đó Còn tích các ma trận trên theo thứ tự khác là ma trận 0 Bởi vì:

⇒α1.2 d e1k = 0 ⇒α1.2 d eij = 0, ∀i, j

⇒α1.2 dA = 0 Mâu thuẫn với giả thiết ■

Bổ Đề II.1.6

Giả sử F là một trường trên K và V là không gian vectơ vô hạn chiều trên F Khi đó, đại số các phép biến đổi tuyến tính En V không thỏa mãn bất kỳ đồng nhất thức tha

F

d

ät sự nào

Chứng minh Giả sử f là một đồng nhất thức của A = EndFV và deg f = d

Lấy x∈V, gọi M là không gian con hữu hạn chiều của V sao cho x∈M, [M:F] = n, d < 2n Gọi B là đại số con (không có đơn vị) của A sao cho B bất biến đối với M và biến phần bù cố định M’ của M trong V thành 0, tức là :

B = End V / (m) M, m M; (m')ϕ ∈ ϕ ∈ ∀ ∈ ϕ = ∀ ∈, m' M' V \ M=

Khi đó : B≅ Mn(F),với n=[M:F], do M hữu hạn chiều

Mặt khác, do f là đồng nhất thức của A, deg f = d f là đồng nhất thức của B (do B ⊂A), deg f = d với d < 2n

⇒ Nếu α là một hệ số của f thì α B =0 (⇒ α.1)x = 0 ⇒ α A = 0

⇒ f không là đồng nhất thức thật sự của A ■

Bổ Đề II.1.7

Cho là một thể Khi đó Δ Δ chứa trường con tối đại F(trên K) và với bất kỳ trường con F như vậy thì tâm tập CΔ(F) ={c∈Δ/cf =fc, f ∈F} =F

Hiển nhiên F ⊂ (F) : vì F là trường nên các phần tử của F giao hoán với nhau

Bổ Đề II.1.8

Cho A là đại số con đơn của đại số E, B là tâm tập hoá của A trong E, C = B∩A là tâm của A Nếu a1,a , ,a2 r ∈A là độc lập tuyến tính trên C thì độc lập tuyến tính trên B, tức là:

b a

=

∑ =0, ∀ bi∈B ⇒bi=0, ∀i = i, r

Chứng minh

Ta có: B = CE(A) = {x ∈E / xa =ax, ∀a∈A }

C = B∩A là tâm của A

C là trường (do A đơn) và A có cấu trúc đại số trên trường C

Xét Ae =A⊗A0 với phép nhân ngoài (a⊗b)x = axb thì A là một _mođun, và

do A đơn nên A là một _mođun bất khả quy và trung thành

e

A

e

ATheo định lý dày đặc, ta có dày đặc trên A Hơn nữa, sự tác động của lên A có thể mở rộng đến sự tác động của lên E :

m a b

≠

∑ bi∈B )⇒ = 0 b1Tương tự ta cũng có = 0, , =0 b2 br

Do đó a ,a , ,a1 2 r độc lập tuyến tính trên B ■

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để chứng minh định lý KAPLANSKY_AMITSUR:

™ Thật vậy, A là đại số nguyên thủy ⇒ ∃V là A_mođun bất khả quy trung thành Theo định lý dày đặc thì A dày đặc trên EndΔV, với Δ là tập hợp tất cả các tự đồng cấu trong V của V mà giao hoán được với mọi phần tử của A Do đó , với là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của V được xác định bởi:

K

End

Mặt khác, nếu xem V là không gian vectơ trên F thì mỗi phần tử của A’ có thể xem là phép biến đổi tuyến tính của V trên F

™ Tiếp sau đây ta sẽ chứng minh rằng A’ dày đặc trên EndFV

Thật vậy, vì V là A_ mođun bất khả quy trung thành nên V= Ax, với 0 x ≠ ∈V

⇒ V=A’x, do A’ A, A’= FA ⊃

⇒V là A’_mođun bất khả quy

Giả sử c ∈EndKV mà c giao hoán được với mọi phần tử của A’

⇒ c giao hoán được với mọi phần tử của A (do A⊂A’) c⇒ ∈ Δ

Hơn nữa, do c giao hoán được với mọi phần tử của A’ nên c giao hoán được với mọi phần tử của F (do F⊂A’).Do đó, c∈CΔ(F) Mà CΔ(F) = F (do F là trường con tối đại của Δ, bổ đề II.1.7) c⇒ ∈F

Ngược lại, lấy c∈F thì : do mọi phần tử của F giao hoán được với mọi phần tử của A’ (vì F chứa trong tâm của A’) c⇒ ∈EndA'V, với V là tập hợp mọi phần tử của V mà giao hoán được với mọi phần tử của A’

A'

End

K

End

Vì vậy: EndA'V = F.Theo định lý dày đặc ta có: A’ dày đặc trên EndFV

™ Giả sử A thỏa mãn đồng nhất thức thật sự f có bậc d Theo bổ đề II.1.4 ta có thể giả sử f là đa tuyến tính

Vì A’ = FA, f là đồng nhất thức của A, do tính dày đặc của A’ trong V⇒ f cũng là đồng nhất thức của V, deg f = d⇒[V:F] là hữu hạn

F

End

F

EndGiả sử [V:F] = n ∈ Ζ

Theo bổ đề II.1.5 và II.1.6, ta có : d 2n ≥ ⇒

n ⎡ ⎤≤ ⎢ ⎥⎣ ⎦, vì n là số nguyên

Do [V:F] = [V:Δ][ :F], mà [V:F] là hữu hạn Δ ⇒V hữu hạn chiều trên Δ

Vì vậy, A dày đặc trên EndΔV A ⇒ ≡ EndΔV ≅ Δm mà đơn (do định lý Wedderburn-Artin) A đơn⇒ nếu C là tâm của A thì C là trường

m

Δ

⇒

Giả sử ∈A độc lập tuyến tính trên tâm C của A Theo bổ đề II.1.8 thì

độc lập tuyến tính trên F trong A’ = FA

n

M

n

M

x + S (x , ,x )k 1 kTừ (1) ⇒ một đại số A nhận Sk làm đồng nhất thức thì A nhận Sk+1 làm đồng nhất thức

(2) : S (x , ,x )k ∏1 ∏k = sgn(∏).S (x , ,x )k 1 k

(3) : Nếu i ,i , ,i1 2 r là r biến đôi một khác nhau, 1≤ ≤ij k và 0 < r < k Gọi S’ là tổng các số hạng của mà gom về phía bên trái thì ta có: S’ =

1 k

Bổ Đề II.1.9

Cho r là lẻ, 0 < r < k và S’ là tổng tất cả các số hạng trong có dạng ayb Trong đó y =

1 k

Dấu của đơn thức ayb đó trong Sk r− +1(x , ,x ,y,x1 i i r+ +1, ,x )k là :

sgn(ayb) = sgn(∏) , với s là số các vị trí từ vị trí của y trong (ayb) tới vị trí thứ (i+1)

1s( )−

Thay y bởi x xi+1 i r+ thì dấu của ayb = trong S’ là: sgn( )

Chứng minh định lý AMITSUR-LEVITZKI

™ Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n

• n = 1: M (K)n = K, S (2 x ,x1 ) = [x ,x1 2] = x x1 2−x x2 1

Khi đó là đồng nhất thức của K (vì K là vành giao hoán, có đơn vị) S2

• Giả sử định lý đúng đến n-1 Cần chứng minh định lý đúng đến n

Do là đa tuyến tính và thay phiên nên để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh rằng: Lấy một tập hợp gồm 2n ma trận đơn vị đôi một không trùng nhau

ra (5) đúng

∃

1 n

Bổ Đề II.1.10

Nếu euu có mặt trong (4) và f(u)≤ 4 thì (5) đúng

Chứng minh

Khi đóeuu có mặt đúng 1 lần mọi đơn thức trong⇒ S e ,e , ,e2 n( i j 1 1 i j 2 2 i j 2n n2 ) bằng 0

⇒ S e ,e , ,e2 n( i j 1 1 i j 2 2 i j 2n n2 )=0⇒(5) đúng

• Khả năng 1: u có mặt trong các phần tử euu và euv (u v) ≠

các đơn thức khác 0 trong

⇒ S e ,e , ,e2 n( i j 1 1 i j 2 2 i j 2n n2 )là bắt đầu với euu.euv

Tổng các số hạng trong S e ,e , ,e2 n( i j 1 1 i j 2 2 i j 2n n2 ) bắt đầu với e uu euv là :

Do u không có mặt trong S2n−2 nên theo giả thiết quy nạp ta có:

  = 0⇒ (5) đúng

1 1

2n 2 i j uu uv

S − (e , ,e , ,e , )

• Khả năng 2: u có mặt trong các phần tử euuvà evu (u v) ≠

các đơn thức khác 0 trong

⇒ S e ,e , ,e2 n( i j 1 1 i j 2 2 i j 2n n2 ) là kết thúc với evue uu

Lập luận tương tự như trên ta có (5) đúng

• Khả năng 1: u có mặt trong các phần tử euu,euvvà euw (với v≠u, w≠u)

tất cả các đơn thức trong

⇒ S e ,e , ,e2 n( i j 1 1 i j 2 2 i j 2n n2 )đều bằng 0⇒ (5) đúng

• Khả năng 2: u có mặt trong các phần tử euu,evuvà ewu (với v≠u, w≠u)