Đường thẳng trong không gian tọa độ ba chiều

Ở các lớp đầu cấp 10, 11 các em được học về đường thẳng trong mặt phẳng, ở lớp 12 các em được tìm hiểu về một khía cạnh kiến thức mới về đường thẳng: Đường thẳng trong không gian.Với mon

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một bộ phận cấu thành nên Toán học Hình học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao Vì vậy hình học là một môn học tương đối khó với học sinh

Ngay từ khi các em đặt chân đến trường, từ các bậc học: Tiểu học, Trung học cơ sở các em đã được làm quen và nhận biết về đường thẳng, các khái niệm liên quan về đường thẳng … Đó là những kiến thức cơ bản giúp các em có thể học tiếp chương trình toán học nói chung và hình học nói riêng

ở các cấp học tiếp theo Và những kiến thức này có ứng dụng thiết thực trong thưc tế cuộc sống

Đến với cấp học Trung học phổ thông các em được tìm hiểu sâu hơn về đường thẳng Ở các lớp đầu cấp 10, 11 các em được học về đường thẳng trong mặt phẳng, ở lớp 12 các em được tìm hiểu về một khía cạnh kiến thức mới về đường thẳng: Đường thẳng trong không gian.Với mong muốn các em học sinh có được cách nhìn mới về hình học và vấn đề giải quyết các dạng bài tập liên quan đến đường thẳng trong không gian một cách thuận lợi nhất cùng với lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Bùi

Văn Bình em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Đường thẳng trong không gian tọa độ ba chiều” làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ minh họa và hệ thống các bài tập vận dụng sẽ giúp học sinh có được cách suy nghĩ mới mẻ về hình học và giúp cho các em giải quyết các bài tập liên quan đến kiến thức về đường thẳng trong không gian một cách dễ dàng và thuận lợi nhất

3 Đối tượng nghiên cứu

Là đường thẳng trong không gian tọa độ ba chiều Oxyz.Và việc vận dụng các kiến thức liên quan vào việc giải các bài tập hình học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu hệ thống những kiến thức về đường thẳng trong không gian: Phương trình đường thẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng… trong không gian và vận dụng kiến thức đường thẳng trong không gian để giải các bài tập hình học có liên quan

6 Cấu trúc khóa luận

Mở đầu

Nội dung

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản có liên quan

Chương 2: Một số bài tập cơ bản và nâng cao

Kết luận

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

1.1 CÁC KHÁI NIỆM

1.1.1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Định nghĩa: Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là

hệ trục tọa độ trong không gian

Kí hiệu: Oxyz hoặc ( O, i , j, k ) với i , j ,k là các vectơ đơn vị lần lượt nằm trên 3 trục đó

Điểm O được gọi là gốc tọa độ Trục x’Ox được gọi là trục hoành Trục y’Oy được gọi là trục tung Trục z’Oz được gọi là trục cao

Ta chú ý rằng:

i2

= j2 = k 2 =1 và i j = j k = k i = 0 1.1.2 Tọa độ của một vectơ đối với hệ tọa độ

Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz và một vectơ

tùy ý Vì bộ ba vectơ i , j,k không đồng phẳng, nên

có duy nhất bộ ba x, y, z sao cho:

v = x i + y j + z.k Bộ ba (x, y, z) được gọi

là tọa độ của vectơ v , kí hiệu là v (x, y, z) Số x

được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ, số z

được gọi là cao độ của vectơ v

xx

y z

1.1.3 Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ

Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz và một điểm M bất kì Tọa độ của vectơ OM cũng được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ đó Như vậy, nếu OM (x; y; z) nghĩa là:

OM = x i + y j + z k

Thì bộ ba (x, y, z) được gọi là tọa độ của

điểm M, kí hiệu là M(x; y; z)

Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là

tung độ, số z được gọi là cao độ của điểm M

Tính chất: Cho hệ tọa độ Oxyz, nếu có hai điểm

M1M2 =x2  x1; y2  y1;z2 z1

1.2 Phương trình đường thẳng trong không gian

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: vectơ a là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)

xx

1.2.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng  P1 và P2 nào đó nên phương trình tổng quát của (d) có dạng:

)1(02 2 2

2

1 1 1

1

D z C y B

x

A

D z C y B

x

A

, A1:B1:C1  A2:B2:C2

Trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của mặt phẳng  P1 và P2 Khi

đó, một vtcp a của đường thẳng đó được xác định bởi:

A A

A C

C C

C B B

1.2.2 Phương trình tham số của đường thẳng

Định lí: Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) đi qua điểm

0 0 0 0

z y x M Qua

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

, tR

Trong phương trình (1) với điều kiện a12 a22 a32 > 0 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng

1.2.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho bởi (1) suy ra:

3 0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

0 0 0 0

z y x M Qua

(d):

3 0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

1.2.4.1 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Bài toán: Tìm một vtcp của đường thẳng (d) cho trước

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

0 1

0

a

z z a

y y a

)1(02 2 2

2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

1

,,

B

B A

A A

A C

C C

C B B

Ngoài ra nếu biết tọa độ hai điểm khác nhau A,B  (d) thì một vtcp của

(d) là AB

1.2.4.2 Chuyển dạng phương trình đường thẳng

- Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng tham số, chính tắc

)1(02 2 2

2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

, A1:B1:C1  A2:B2:C2

Để chuyển (d) về dạng tham số, chính tắc ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định vtcp của đường thẳng (d)

Gọi a là vtcp của đường thẳng (d), a được xác định như sau:

A A

A C

C C

C B B

0 0 0 0

z y x M Qua

Từ đó ta viết được:

 Phương trình tham số của (d)

 Phương trình chính tắc của (d)

Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hai điểm A,B  (d)

Bước 2: Vậy, ta được: (d):







AB Vtcp

A Qua

Từ đó ta có được:

 Phương trình tham số của (d)

 Phương trình chính tắc của (d)

* Chú ý: với yêu cầu xác định phương trình tham số của đường thẳng

(d) chúng ta có thể thực hiện đơn giản hơn bằng cách đặt x = t (hoặc y = t hoặc z = t) từ đó suy ra y và z theo t

- Chuyển phương trình tham số của đường thẳng sang dạng tổng quát, chính tắc

)2(

)1(

3 0

2 0

1 0

t a z z

t a y y

t a x x

, tR

Để chuyển phương trình của đường thẳng (d) từ dạng tham số sang dạng tổng quát ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Rút t từ phương trình (1)

Bước 2: Thay giá trị của t vào (2) ta được (4)

Bước 3: Thay giá trị của t vào (3) ta được (5)

Bước 4: Hệ tạo bởi (4), (5) là phương trình tổng quát của đường thẳng

)4(0 2 2 0 3 3

0 1 1 0 2 2

z a z a y a y a

y a y a x a x a

Để chuyển phương trình đường thẳng (d) từ dạng tham số sang dạng chính tắc bằng cách: Rút t từ hệ, ta sẽ nhận được phương trình chính tắc của đường thẳng (d) cụ thể :

z z

t a

y y

t a

x x

3 0 2 0 1 0

 (d):

3 0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

- Chuyển phương trình chính tắc của đường thẳng sang dạng tổng quát, tham số

Phương pháp chung:

Với (d) cho dưới dạng chính tắc:

(d):

3 0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

0 1 1 0 2 2

z a z a y a y a

y a y a x a x a

Đó chính là phương trình tổng quát của đường thẳng (d)

* Bằng việc sử dụng tham số trung gian t ta nhận được phương trình tham số của đường thẳng (d), cụ thể:

(d):

3 0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

z z

t a

y y

t a

x x

3 0 2 0 1 0

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

, tR

+ Phương trình chính tắc của (d) có dạng:

(d):

3 0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng (d)

* Để xác định phương trình tổng quát của đường thẳng (d) ta có thể lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1:

Coi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Ta đi xác định phương trình tổng quát của (P) và (Q)

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định phương trình tham số của (d)

Bước 2: Khử t giữa x, y, z của phương trình tham số suy ra phương

trình tổng quát

Cách 3: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định phương thình chính tắc của (d)

Bước 2: Từ phương trình chính tắc suy ra phương trình tổng quát

* Chú ý: Một đường thẳng có vô số phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương trình tổng quát

* Một số dạng bài toán thường gặp về lập phương trình đường thẳng:

1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và có vtcp a

2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng  d1 và d2

3: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ()

4: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)

5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng  d1 và d2 cho trước

6: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A, B

7: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng

 d1 và d2 chéo nhau cho trước

8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng  d và cắt đường thẳng 1  d cho trước 2

9: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng  d và cắt đường thẳng 1  d cho trước 2

Và một số dạng bài toán khác

1.3.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

1.3.1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đến đây cho phép dùng kí hiệu: vtpt (vectơ pháp tuyến)

Cho đường thẳng (d) có một vtcp a và mặt phẳng (P) có một vtpt n

và cặp vtcp a1, a2

Căn cứ vào số điểm chung của (d) và (P) ta có ba trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Đường thẳng (d) và (P) không có điểm chung, ta nói:

(d) // (P) Vậy (d) // (P) khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

i, Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng vô nghiệm

(P) khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

i, Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng vô số nghiệm

ii, (P) đi qua hai điểm phân biệt A, B  (d)

iii, (P) đi qua điểm A  (d) và nhận a làm một vtcp

Trường hợp 3: Đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có một điểm chung, ta nói:

1.3.2.1 Xét vị trí tương đối của dường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) xét vị trí tương đối của chúng

Phương pháp chung: dựa vào điều kiện của các trường hợp đã xét trên

1.3.2.2 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Phương pháp chung: chúng ta lựa chọn phương pháp thực hiện tùy thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (P), cụ thể:

2 Nêú (d) vuông góc với (P) thì hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P)

3 Nếu (d) // (P) thì ta sẽ thực hiện theo cách giải sau:

Cách 1: Các bước thực hiện:

Bước 1: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P)

Bước 2: Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là

)( '

d d

H Qua

Cách 2: Các bước thực hiện:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P) Bước 2: Khi đó hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao

tuyến của hai mặt phẳng(Q) và (P)

4 Nếu (d) cắt (P) thì có cách giải như sau:

Cách 1: Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định tọa độ điểm I của (d) và (P)

Bước 2: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P)

Bước 3: Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là

A Qua

Cách 2: Thực hiện như ở cách 2 ý 3

*Trong cả hai trường hợp 3, 4 ta thường lựa chọn cách 2 để giải

1.4 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1.4.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

d :

a ( a1;a2;a3) + Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’( x0'; y0';z0') và có vtcp

a,( a1';a2';a3') Hai đường thẳng trong không gian có các trường hợp như sau:

1 Hai đường thẳng song song

2 Hai đường thẳng cắt nhau

3 Hai đường thẳng trùng nhau

4 Hai đường thẳng chéo nhau

'

d M

a k a

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

t a y t a y

t a x t a x

' 3 ' 0 3

0

' 2 ' 0 2

0

' 1 ' 0 1

d

Điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau

   '

d và

'

d M

a k a

Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Ta biết hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau, do vậy:

t a y t a y

t a x t a x

' 3 ' 0 3

0

' 2 ' 0 2

0

' 1 ' 0 1

0

vô nghiệm

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

a

a = 0

1.4.2.Các dạng bài tập thường gặp

1.4.2.1 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

làm ba trường hợp:

Trường hợp 1: Cả hai phương trình đều có dạng tham số

Bước 1: Viết lại phương trình của ( d1) theo ( x1; y1;z1) và tham số t1 và phương trình của (d2) theo ( x2; y2; z2) và tham số t2

Bước 2: Tìm t1, t2bằng cách lập hệ hai phương trình (d1) và (d2) theo hai ẩn t1,t2

Bước 3: Thay t1,t2 vào phương trình của (d1) và (d2) tương ứng Nếu

2

1 2 1

2

1 x ;y y ;z z

Trường hợp 2: Một phương trình có dạng tham số, phương trình còn lại có dạng tổng quát

Bước 1: Thay ( x; y; z) ở dạng tham số của một đường thẳng vào

phương trình tổng quát của đường thẳng còn lại, ta được một hệ hai phương trình theo t

Bước 2: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng đó cắt nhau Bước 3: Thay t vào phương trình tham số của đường thẳng ta được toạ

độ giao điểm

Trường hợp 3: Cả hai phương trình đều có dạng tổng quát

Bước 1: Lập hệ 3 phương trình với 3 ẩn x, y, z từ 4 phương trình của

hai đường thẳng

Bước 2: Nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x, y, z) thì thay chúng vào

phương trình còn lại, nếu ( x, y, z) nghiệm đúng phương trình này thì ( x, y, z)

là tọa độ giao điểm

1.4.2.2 Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng

)()(

//

2 1

2 1

trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn hai điểm A, B theo thứ tự thuộc ( d1), (d2)

Bước 2: Tìm một vtcp a1 của (d1), khi đó: (P) :







AB và a vtcp Hai

A Qua

1

Từ đó ta có được phương trình tham số của mặt phẳng (P)

A qua

1

Từ đó ta có được phương trình tham số của mặt phẳng (P)

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn điểm A(d1) và (d2)

Bước 2: Xác định mặt phẳng (P) thuộc chùm tạo bởi trục (d2) và đi qua điểm A

*Chú ý: Nếu ( d1) và (d2) đồng phẳng ( thuộc mặt phẳng (P)) thì

(Q) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

1.4.2.3.Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau

Vậy để chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng tích hỗn tạp

Cách 2: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Chứng minh hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng đó vô nghiệm

1.4.2.4.Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

vuông góc chung của hai đường thẳng đó

a a

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng  P1 chứa  d và d1

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng  P2 chứa  d và d2

*chú ý: Nếu ( d1) và (d2) đều cho dưới dạng tham số,ta nên lựa chọn phương pháp sau:

Bước 1: Gọi AB là đoạn vuông góc chung của ( d1 và d2

Bước 2: Từ điều kiện  

d AB

2

1

, ta xác định được tọa độ điểm A, B

Bước 3: Khi đó (AB) chính là phương trình đường vuông góc chung

của (d1) và (d2)

1.5 Góc giữa hai đường thẳng

b a

=

2 3 2 2 2 1 2

3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

a a a

b a b a b a

Phương pháp chung: Xác định góc giữa hai đường thẳng

Bước 1: Tìm vtcp a ( a1;a2;a3) và b ( b1;b2;b3) của đường thẳng (d1)

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng (d) và đường thẳng chứa vtpt

1.7.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1.7.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a ( a1;a2;a3)

+ Đường thẳng (d’) đi qua điểm  '

0 ' 0 ' 0 '

;

;y z x

Ta có (d) và (d’) chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa (d) và (d’) được

1.7.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

D Cz By

2 2 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

032

z y

x

z y

x

Hãy viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng đó

Giải Cách 1:

2; 3;1

11

12

;11

21

;11

11

t y

t x

322

Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

(d):

1

13

22

Khi đó vectơ ABchính là vtcp của đường thẳng (d), ta có:AB(2;3;1)

;3

;2(

)1

;2

;0(

AB Vtcp

A Qua

nên

t z

t y

t x

32

22

;1

1

;1

;10

t y

t x

21

11

;2

3

;0

;2:

n Vtcp

A Qua

d

+ Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:

t z

t y

t x

3

22

:

5

33

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là:

5

062

Trong không gian Oxyz lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của

032

:

z y

x

z y x

Giải

2; 3;1

11

12

;11

21

Vậy đường thẳng (d) thỏa mãn: (d):  

;3

;2

3

;0

;2

a Vtcp

A Qua

+ Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:

t z

t y

t x

22:

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

 

1

33

0623

:

z y

y x

2

0143

:0

14

01

1

z y x

z y x d

 13;5;11

32

13

;21

34

;1

;140

11

;01

10

1

a a

a a nên d

d

d d

Suy ra:

 31; 63; 8

513

11

;1311

14

;11

;31

3

;0

;2

a Vtcp

A Qua

+ Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:

t z

t y

t x

312:

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

 

8

363

8

012631

63

:

z y

y x d

Ví dụ 6:

Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát các giao tuyến của mặt phẳng (P): 5x - 7y + 2z - 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ

Giải Các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) lần lượt có phương trình là:

0327

5

z

y x z

z y

0327

5

y

z x y

z y

x

+ Giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Oyz) có phương trình:

5

x

z y x

z y

x

2.1.2.Bài tập đề nghị

Bài tập 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:

t y

t x

4

33

21:

d, (d) đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4)

t z

t y

t x

34

25

t z

t y

t x

1

2:

t z

t y

t x

d d R t t z

t y

t x

22

41:,,

433

22:

,

Bài tập 2: Cho điểm A(1; 0; 4) và mặt phẳng (P) có phương trình:

(P): x + y + z – 8 = 0

a, Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mp (P)

b, Tìm hình chiếu H của A lên (P)

c, Tìm hình chiếu K của B(2; 4; 5) lên (d)

t z

t y

t x

2

;3

5

c, K3;2;6

Bài tập 3: Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng:

2

0104:

;02

022

1

z y x

z y x d z

t y

t x

322

221:

43

332

222

43

0762232:

z y

y x d

Bài tập 4: Trong không gian Oxyz lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(3; 2; 1), song song với mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 và vuông góc với đường thẳng:

01:

0213

23

3:,

;,21

52

33

:

,

z y

y x

d

c

z y

x d b R t t z

t y

t x

d

a

M(2; 3; -5) và song song với đường thẳng (d) có phương trình:

0723

:

z y x

z y x d

ĐÁP ÁN:  

5

54

32

2

0143

y

x

z y

x

d

;1

1

;1

;1:

a

A Qua

3

14

11

1:

t y

t x

27

32