Phép đối xứng qua đường thẳng trong e2

3 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC .... 5 §1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****

DOÃN HOÀNG VIỆT

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****

DOÃN HOÀNG VIỆT

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong lớp Em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài

“Phép đối xứng qua đường thẳng trong E 2 ”

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ hình học đã tạo điều kiện cho em hoàn thiện khóa luận này Và đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này được hoàn thành là kết quả của quá trình tìm tòi, tích luỹ kiến thức của bản thân tôi dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, cùng với đó là quá trình học hỏi, nghiên cứu dưới sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường

Vì vậy, tôi cam đoan rằng luận văn này không trùng với bất kỳ luận văn nào trước đó

Người cam đoan

Doãn Hoàng Việt

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

PHẦN 2: NỘI DUNG 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1 Các khái niệm về phép biến hình 2

2 Các khái niệm và tính chất về phép biến hình đẳng cự 2

3 Định nghĩa và tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng 3

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 5

§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán chứng minh 5

§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán tính toán 14

§3: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc 19

giải các bài toán dựng hình 19

§4: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc 29

giải bài toán quỹ tích 29

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 34

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một trong những môn học khó và tương đối trừu tượng trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là về phép biến hình Vấn đề này, học sinh được tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng và bỡ ngỡ Nhưng phép biến hình là một công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu quả trong việc giải các bài toán hình học Tuy nhiên, việc giải các bài toán hình học bằng phương pháp biến hình không phải là dễ đối với cả học sinh và giáo viên

Về phép biến hình đẳng cự nói chung và phép đối xứng qua đường thẳng nói riêng trong hình học phẳng, học sinh chỉ được học về phép đối xứng qua đường thẳng một cách sơ lược và hệ thống bài tập còn rất sơ sài, chưa thể hiện được tính ưu việt của phép đối xứng qua đường thẳng trong giải toán hình học Nhưng trên thực tế, phép đối xứng qua đường thẳng có thể giúp chúng ta giải quyết được nhiều lớp các bài toán hình học Để thấy được tính

hiệu quả của nó, tôi đã chọn đề tài “Phép đối xứng qua đường thẳng

trong E 2 ”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến phép đối xứng qua đường thẳng

và xây dựng hệ thống các ví dụ, bài tập minh hoạ, cùng các lời đánh giá nhận xét sao cho hữu ích và có thể sử dụng được, thông qua các lớp bài toán: Bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích

3 Phương pháp và phạm vi nghiên cứu

Chứng minh bằng các ví dụ cụ thể dựa trên các tài liệu sẵn có

Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 (cơ bản và nâng cao), các bài giảng chuyên đề, sách tham khảo lớp 10 và lớp 11, các giáo trình hình học sơ cấp và

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Các khái niệm về phép biến hình

1.1 Định nghĩa 1

Mỗi song ánh f : En En được gọi là phép biến hình của không gian En

1.2 Định nghĩa 2

Cho phép biến hình f : En En ta có các khái niệm sau:

a Điểm M  En được gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu f(M) = M

b Hình H  En được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H

c Hình H  En được gọi là bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f

Phép biến hình f : En En được gọi là phép biến hình đẳng cự của En nếu

nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kỳ Tức là:

F là phép đẳng cự  d(M, N) = d(f(M), f(N)), M, N En ( d(M, N) là khoảng cách của 2 điểm M, N)

2.2 Tính chất

a Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa

A và C thành 3 điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'

b Phép biến hình đẳng cự biến:

- Đường thẳng thành đường thẳng

- Tia thành tia

- Đoạn thẳng thành đoạn thẳng

∆

M'

/ /

- Góc thành góc bằng nó

- Đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho

3 Định nghĩa và tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng

3.1 Định nghĩa

Cho một đường thẳng ∆ Phép biến hình biến mỗi điểm X ∆ thành điểm

X và biến điểm M ∆ thành điểm M' sao cho ∆ là trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng ∆ và được kí hiệu là Đ∆ Phép đối xứng qua đường thẳng còn được gọi đơn giản là phép đối xứng trục Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối xứng và là đường thẳng bất động của phép đối xứng trục Đ∆.

c) Mọi điểm thuộc trục đối xứng ∆ đều là điểm bất động

d) Mỗi đường thằng a vuông góc với trục đối xứng ∆ đều biến thành chính nó với chú ý rằng giao điểm a với ∆ các điểm khác của a đều không phải là điểm bất động

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải

các bài toán chứng minh 1.1 Khái niệm bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình học khác như: bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán tìm quỹ tích Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A  B với A là giả thiết, B là kết luận Ta

đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận hợp logic dựa trên cơ sở của các định nghĩa, định lý

1.2 Sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng trong bài toán chứng minh Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng trục thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng qua đường thẳng ta nhận được kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau,các tam giác, các đường tròn bằng nhau… Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng minh

1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng qua đường thẳng Nếu mệnh đề A  B đã được khẳng định nhờ phép đối xứng qua đường thẳng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng xét mệnh đề đảo

B  A, xét các trường hợp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới

1.4 Một số ví dụ cụ thể

Ví dụ 1.1:

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn (S) đi qua 3

Gọi J là tâm đường tròn

bàng tiếp thuộc ABC của tam giác

ABC Ta sẽ tìm một phép đối

xứng qua đường thẳng IJ biến

dây cung này thành dây cung kia

Ta có: I là tâm đường tròn

ngoại tiếp ∆ABC

 IB là phân giác của góc ABC

 IBA = IBC (1)

Tương tự, IC là phân giác ACB

 ACI = ICB (2)

Gọi đường kéo dài của 2 tia AB và AC là Ax và Ay

J là tâm đường tròn bàng tiếp BAC của ∆ABC

 IB là phân giác của CBx Do đó JBx = JBC (3)

Tương tự ta cũng có: JCB = JCy (4)

Từ (1),(2),(3) và (4)  IBC+JBC = ICB+JCB = 180

2



Hay IBJ = ICJ= 90°

 Tứ giác IBJC là tứ giác nội tiếp

Kết hợp với IBJ = ICJ= 90°

 IBJC nội tiếp đường tròn đường kính IJ

Ta có: IJ là trục đối xứng của hai đường thẳng AB, AC và đường tròn (S)

Do đó các giao điểm của (S) và AB sẽ đối xứng với các giao điểm của (S)

với AC thông qua trục IJ

Hay 2 dây cung đó sẽ đối xứng nhau qua IJ

 Theo tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng, hai dây cung đó có độ dài bằng nhau

Ta có điều phải chứng minh

* Khai thác sâu bài toán

Gọi At là tia phân giác của xAy Khi đó, mọi đường tròn có tâm nằm trên Tia At đều cắt Ax, Ay thành 2 cung bằng nhau Vậy ta có bài toán mới sau: Bài toán: Cho góc xAy cố định Đường tròn tâm I nằm trên phân giác của

xAy, cắt Ax, Ay tương ứng thành 2 dây cung Chứng minh hai dây cung đó bằng nhau

Khi đó suy ra 2 dây cung tương ứng qua phép đối xứng trục At sẽ bằng nhau

do tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng

 Điều phải chứng minh

Vậy 2 dây cung đó sẽ bằng nhau

Ví dụ 1.2:

Cho ∆ABC với trực tâm H Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, các đường tròn ngoại tiếp ∆BCH, ∆CAH, ∆ABH, ∆ABC đều bằng nhau

O A

B

C H3

H1

H2

H P

đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Trước hết ta sẽ chứng minh H1  (O)

Gọi M = AH  BC, N = BH  AC, P = CH  AB

Tứ giác APHN có: APH = ANH = 90°

 APHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

 Tứ giác ABH1C nội tiếp

Mà A,B,C  (O) nên H1  (O)

Chứng minh tương tự ta cũng có H2, H3  (O)

b, Ta có: ĐBC : H H1

ĐBC : ∆BHC  ∆BH1C

 Đường tròn ngoại tiếp ∆BHC bằng đường tròn ngoại tiếp ∆BH1C

Mà đường tròn ngoại tiếp ∆BH1C chính là (O)

Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆BHC bằng đường tròn (O)

Tương tự ta có : ĐAC : ∆AHC  ∆AH2C

ĐAB : ∆AHB  ∆AH3B

Do đó ta có đường tròn ngoại tiếp ∆AHC, ∆AHB bằng đường tròn ngoại tiếp

của ∆ABC ( chính là (O) )

Ta có điều phải chứng minh

* Khai thác sâu bài toán

- Ở phần b của bài toán ta nhận xét thấy:

Để chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC và các tam giác còn lại bằng nhau một cách trực tiếp thì ta phải đi chứng minh bán kính của chúng bằng nhau Việc này rất khó thực hiện Nhưng nếu sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn Qua đó thấy được ưu điểm của phép đối xứng qua đường thẳng trong bài toán chứng minh

- Từ bài toán trên ta có kết quả sau :

Nếu gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BHC,

∆AHC, ∆AHB thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3 Từ đó ta có đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3 bằng đường tròn (O) Do đó ta có thể mở rộng bài toán trên thành bài toán sau :

Bài toán: Cho H là trực tâm của ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi O1, O2,

O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BHC, ∆AHC, ∆AHB Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3 bằng đường tròn (O)

Hướng dẫn giải:

+ Ta cần chứng minh: ĐBC(O) = O1, ĐAC(O) = O2, ĐAB(O) = O3

Mà H  (O1), H  (O2), H  (O3)

Bán kính của (O1), (O2), (O3) đều bằng bán kính của (O)

 H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.3:

Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BC tại A', CA tại B' và AB tại C' Gọi I là điểm đối xứng với A' qua AO Chứng minh rằng: IB' = A'C'

Ta có điều phải chứng minh

* Khai thác sâu bài toán

Ta nhận thấy rằng : Nếu AC > AB thì ta có CC' > BB' Điều này có thể chứng minh được bằng phép đối xứng qua đường thẳng

Từ đó ta có bài toán mới sau :

Bài toán: Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với các cạnh

AB và AC tương ứng tại các điểm C' và B' Chứng minh rằng nếu AC > AB thì CC' > BB'

Hướng dẫn giải:

Gọi B'' là điểm đối xứng với B qua

phân giác góc A Khi đó B'' nằm trên

O A

B

C K

góc BB C'' nên C B C' '' là góc tù,

đối diện với góc đó là cạnh CC'

Vì vậy CC' > B''C' hay CC' > BB' Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Kí hiệu AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác của tam giác Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với AH qua AD đi qua tâm O của đường tròn

Lời giải:

Gọi Ak là đường thẳng đối xứng với AH qua AD ( K  (O) )

Vì AK đối xứng với AH qua AD  HAD = KAD (1)

Mà AD là phân giác BAC  BAD = CAD (2)

 AK là đường kính của đường tròn (O)

Ta có điều phải chứng minh

* Khai thác sâu bài toán

Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB và AC Khi đó HA là phân giác của góc tạo bởi giao điểm của PQ và AB, AC kẻ từ H

Ta có bài toán mới nhờ phép đối xứng qua đường thẳng :

Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn và H là chân đường cao kẻ từ A xuống

BC Gọi P,Q là các điểm đối xứng với H qua AB và AC Đường thẳng PQ cắt

AB và AC tại K và E Chứng minh rằng HA là đường phân giác của KHE

Trong ∆AD 'C có góc D ' tù, do đó cạnh AC lớn nhất, nghĩa là AC > AD '

Mà AD ' = BD  AC > BD Ta có điều phải chứng minh

* Khai thác sâu bài toán

Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng không chỉ giúp ta chứng minh trực tiếp một tính chất hình học mà còn gián tiếp giúp ta chứng minh bằng cách tạo ra các yếu tố bên ngoài, hình phụ… để chứng minh bài toán

Ngoài ra, nhiều bài toán chứng minh được tạo thành từ chính phép đối xứng trục đó Ta có bài toán sau :

Bài toán: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn Chứng minh rằng các điểm đối xứng với trực tâm tam giác qua mỗi cạnh của tam giác đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó Kết luận trên còn đúng không trong trường hợp

§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc

giải các bài toán tính toán 2.1 Khái niệm về bài toán tính toán

Trong hình học, ta thường gặp một số bài toán tính toán tiêu biểu như: tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo của góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu vi diện tích của các hình hình học Để giải bài toán tính toán, thông thường ta sử dụng các bước sau :

1 Xác định các yếu tố tính toán, các yếu tố đã biết

2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán

3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập

2.2 Giải bài toán tính toán nhờ sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng

Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau…

Từ đó dựa vào các yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả vừa tìm được nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng để tìm ra các đại lượng cần tính toán

2.3 Một số ví dụ cụ thể

Ví dụ 2.1: Cho ∆ABC cân tại A, BAC=80° Điểm O nằm trong tam giác sao cho OBC=10°, OCB=30° Tính góc AOB

Lời giải:

Kẻ đường cao AH Ta gọi I = AH  OC, K = AH  OC

Xét phép đối xứng qua đường thẳng AH:

ĐAH : B  C

 ĐAH : ∆IBH  ∆IHC

 ICH = IBH = OBC = 10°

 ICK = OCB - ICH = 30° - 10° = 20°

Mà ACB = 180 80

2

  

= 50°  ACK = 20°  ACK=ICK=20°

 CK là phân giác của góc ACI

Mà BOK = BAK = 40°  ĐBK : A  O  ∆OAB cân tại B

Do ABO = 40° nên AOB = 180 40

* Khai thác sâu bài toán

Bài toán trên thuộc loại tính toán các đại lượng hình học, cụ thể là tính độ lớn (số đo) của một góc giữa hai tia Bài toán này vì thế có nhiều cách giải khác nhau, đặc biệt là hướng tính toán dựa trên cách vận dụng định lý sin và côsin Tuy nhiên, đối với trường hợp bài toán này từ đặc điểm ∆ABC cân tại

A, chúng ta nghĩ đến phép đối xứng qua đường thẳng với trục đối xứng là

AH, trong đó AH là đường cao của ∆ABC

Xét trường hợp tương tự nếu ∆ABC cân tại B, ta sẽ có bài toán sau :

Bài toán: Giả sử P là điểm nằm trong ∆ABC sao cho PAC = 10°, PCA = 20°, PAB = 30°, ABC = 40° Hãy tính độ lớn BPC

Do ∆ABC cân tại B có B=30° nên BAC=BCA=180 30