Yêu cầu : HS nắm đợc cách viết PTĐT ở 3 dạng và giải các bài toán liên quan nh : góc , khoảng cách , đờng vuông góc chung ..... Tìm giao điểm P của nó với mp xOy.. Tìm điểm M trên đờng t
Trang 1Bài 9 : đờng thẳng trong không gian
A Yêu cầu :
HS nắm đợc cách viết PTĐT ở 3 dạng và giải các bài toán liên quan nh : góc , khoảng cách ,
đờng vuông góc chung
B Các ví dụ :
VD 1 : Viết PTCT của đờng thẳng (d) : x 2y 3z 4 0
3x 2y 5z 4 0
− + − =
+ − − =
VD 2 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với mp (P) : 2x – 3y + 5z – 4 = 0
VD 3 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với 2 đ-ờng thẳng : (d) x y 1 0
4y z 1 0
+ − =
+ + =
, (d’) :
3x y 4z 1 0 2x 3y z 7 0
− + + =
+ + + =
VD 4 : Lập PTCT của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đờng thẳng (d) :
3x y 2z 7 0
x 3y 2z 3 0
− + − =
+ − + =
VD 5 : Lập PTCT của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 1; -2) và song song với mp (P) và vuông góc với đờng thẳng (d) , biết :
(d) : x 1 y 1 z 2
+ = − = − , (P) : x – y – z – 1 = 0
VD 6 : Cho 2 điểm A(0; 0; -3) , B( 2; 0 ; -1) và mp (P) : 3x – 8y + 7z – 1 = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B với mp(P)
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều
VD 7 : Tìm tập hợp tất cả các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0) và C(2; -3; 2)
VD 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) đi qua 3 điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C( 1; 1; 3) Viết PTTS của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mp đó
VD 9 : Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mp(P) biết :
a) (d) : 2x 3y 6z 10 0
x y z 5 0
+ + − =
+ + + =
và (P) : y + 4z + 17 = 0
b) (d) :
x 12 4t
y 9 3t
z 1 t
= +
= +
= +
và (P) : y + 4z + 17 = 0
c) (d) : y 1 0
x y z 3 0
− =
+ + − =
và (P) : x + y – 2 = 0
VD 10 : Hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mp(P) biết :
(d) :
x 12 4t
y 9 3t
z 1 t
= +
= +
= +
và (P) : y + z - 5 = 0
VD 11 : Viết PT đờng thẳng qua A(1; 1; 1) và cắt cả 2 đờng thẳng (d) và (d’) có PT :
(d) : x y z 3 0
y z 1 0
+ + − =
+ − =
(d’) :
x 2y 2z 9 0
y z 1 0
− − + =
− + =
VD 12 : Viết PT đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (∆) và cắt cả 2 đờng thẳng (d1), (d2)
(∆) : x y 1 z 5
− , ( )1
d :
− = + = − , ( )2
x y 4z 3 0
d : 2x y z 1 0
− + − =
− − + =
VD 13 : Viết PT đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với 2 đờng thẳng (a) và (b):
(a) : x y z 3 0
y z 1 0
+ + − =
+ − =
x 2y 2z 9 0
y z 1 0
− − + =
− + =
HD : (d) có VTCP là tích có hớng của 2 VTCP của (a) và (b)
VD 14 : Viết PTCT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; -2) , song song với mp(P) và vuông góc với đờng thẳng (d’) biết :
Trang 2(d’) : x 1 y 1 z 2
+ = − = − và (P) : x – y – z – 1 = 0
VD 15 : Viết PT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 0), vuông góc với (d’) và cắt (d’’) , với :
(d’) : x 1 y 2 z
− = + =
và cắt (d’’) : x y z 2 0
x 1 0
+ − + =
+ =
VD 16: Viết PT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2; -3) vuông góc với vectơ ar=(6; 2; 3− − ) và cắt đờng thẳng (d) : x 1 y 1 z 3
− = + = −
−
VD 17 : Xác định vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng (d) và (d’) có PT :
a) (d) :
x 3 2t
y 2 3t
z 6 4t
= − +
= − +
= +
(d’) : 4x y 19 0
x z 15 0
+ − =
− + =
; d) (d) : x = -y+1 = z – 1 , (d’) : -x +1 = y-1 = z
b) (d) :
x 1 2t
y 2 t
z 3 3t
= +
= +
= − +
và (d’) :
x 2 u
z 1 3u
= +
= − +
= +
c) (d) : 2x y 1 0
x y z 1 0
+ + =
− + − =
3x y z 3 0 2x y 1 0
+ − + =
− + =
VD 18 : Cho 2 đờng thẳng song song (d) vầ (d’) có PT :
(d) : x 7 y 5 z 9
+ = − = −
− , (d’) :
− a) Viết PTmp chứa (d) và (d’)
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
VD 19 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d’) cắt nhau và có PT :
(d’) : 2x y 1 0
x y z 1 0
+ + =
− + − =
3x y z 3 0 2x y 1 0
+ − + =
− − =
a) Viết PTmp chứa (d) và (d’)
b) Viết PT đờng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)
VD 20 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d’) có PT :
(d’) : x 8z 23 0
y 4z 10 0
+ + =
− + =
, (d’) :
x 2z 3 0
y 2z 2 0
− − =
+ + =
a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
c) Viết PTmp (P) chứa (d) , mp(Q) chứa (d’) sao cho (P) // (Q)
d) Viết PT đờng thẳng song song với Oz và cắt cả 2 đờng (d) và (d’)
VD 21 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d’) có PT :
(d’) :
x 1 2t
y 2 t
z 3 3t
= +
= +
= − +
, (d’) :
x 2 u
z 1 3u
= +
= − +
= +
a) CMR 2 đờng thẳng (d) và (d’) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
c) Viết PT đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng (d) và (d’)
VD 22 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d’) có PT :
(d’) :
x 2 t
y 1 t
z 2t
= +
= −
=
, (d’) : x 2z 2 0
y 3 0
+ − =
− =
a) CMR 2 đờng thẳng (d) và (d’) chéo nhau Viết PT đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng (d) và (d’)
b) Viết PT mp cách đều (d) và (d’)
VD 23 : Xác định hình chiếu ( )∆ của đờng thẳng (d) : x y z 5 0
2x 3y z 4 0
− + − =
+ + − =
3x – 2y – z + 15 = 0 ( Mp chứa (d) và vuông góc với (P) : 9x + 11y + 5z – 21 = 0 )
Trang 3VD 24 : Cho đờng thẳng (d) : x my z m 0
mx y mz 1 0
− + − =
+ − − =
a) Viết PT hình chiếu (d’) của (d) lên mp Oxy
b) CMR , khi m thay đổi , (d’) luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định trong mp Oxy
HD : a) P1 : Sử dụng PP chùm
PP 2 : Khử z từ PTTQ của (d) ta đợc : 2mx – ( m2 – 1)y – m2 – 1 = 0 (*)
c) PP1 : Gọi M(x ; y) là tập hợp các điểm trong mp(xOy) mà (d’) không đi qua với mọi m
⇔(*) vô nghiệm hay ( y + 1)m2 – 2xm – y + 1 = 0 vô nghiệm với mọi m hay x2 + y2 < 1
Ta đi chứng minh (d’) luôn tiếp xúc với đờng tròn (C) : x2 + y2 = 1
PP2 : (*)⇔ 2m2 x 1 m22 y 1 x.cos ysin 1
−
VD 25 : Viết PT hình chiếu ( )∆ của ( )∆1 : x 7 y 3 z 9
− = − = −
− theo phơng ( )∆2 :
− = − = −
− lên mp : x + y + z + 3 = 0
HD : Đờng thẳng chứa ( )∆1 và song song với ( )∆2 có PT : 2x + y + 4z – 53 =0
VD 26 : Cho đờng thẳng (d) và mp (P) có PT :
(d) :
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +
= −
=
, (P) : 2x – y – 2z + 1 = 0
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho k/c từ mỗi điểm đó đến mp (P) bằng 1
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I ( 2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) Xác định tọa độ K
HD : a) A( 1 + 2t ; 2 – t) ∈( )d , ta có d( A/(P)) = 1 , suy ra t = -2 hoặc t = 4
b) H∈( )d ⇒IHuur⊥uuurd
VD 27 : Cho 2 điểm A( 1; 2; 3) và B( 4; 4; 5)
a) Viết PT đờng thẳng AB Tìm giao điểm P của nó với mp xOy CMR với mọi điểm Q trên
mp xOy , biểu thức | QA – QB | có giá trị lớn nhất khi Q trùng với P
b) Tìm điểm M trên mp xOy sao cho tổng các đọ dài MA + MB nhỏ nhất
HD : a) Vì A, B cùng phía đối với mp xOy nên trong tam giác ABQ có | QA – QB | ≤AB Dấu
“=” xảy ra khi Q trùng P
b) M ( 17/8; 22/8; 0)
VD 28 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A( 1; 1; 0) và B( 3; -1; 4) và đ ờng thẳng (d) có PT : x 1 y 1 z 2
+ = − = +
− Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tổng các độ dài MA + MB nhỏ nhất
HD : Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B trên (d) , ta có : AA'.uuuuur r = 0 ⇒A’(0;0; 0) , B’(2; -2;4)
Điểm N chia A’B ‘ theo tỉ số –AA’/BB’ = -1⇒NA 'uuuur= −NB 'uuuur hay N(1; -1; 2)
Ta chứng minh M trùng N Gọi A’’ là điểm nằm trên mp xác định bởi B, (d) và A’’ với B khác phía
đối với (d) và thoả mãn : AA’ = A’A’’ và A’A’’ vuông góc với (d) :
AA ' A ' A '' A ' A ''
BB ' = BB ' ⇒uuuur= − BB ' uuur⇒ thẳng hàng
Vậy : MA + MB = MA’’ + MB ≥A’’B = NA + NB Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng N