bài toán dirichlet ngoài trong không gian

Lời cảm ơn Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận “Bài toán Dirichlet ngoài trong không gian” em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo cô giáo trong

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận “Bài toán Dirichlet ngoài trong không gian” em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo cô giáo trong tổ giải tích nói riêng và khoa Toán Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng với sự hỗ trợ giúp đỡ của các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo, TS Bùi Kiên Cường người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề

mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Chu thị thủy

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS bùi Kiên Cường cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình thực hiện em có tham khảo một số tài liệu (như đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những nội dung trình bày trong khóa luận là kết quả của quá trình tìm hiểu, tham khảo và học tập của bản thân, không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Chu thị thủy

Mục lục

Trang

Mở đầu 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Cấu trúc của đề tài 3

Nội dung chính 4

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng 4

1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 5

1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp 2 6

1.4 Bài toán Cauchy 7

1.5 Bài toán biên 8

1.6 Bài toán hỗn hợp 9

1.7 Định nghĩa phương trình Laplace 10

1.8 Bài toán Dirichlet trong 10

Chương 2: Bài toán Dirichlet ngoài 11

2.1 Biến đổi nghịch đảo các bán kính vectơ 11

2.2 Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm đối với dữ kiện biên 15

2.3 Công thức Poisson đối với miền ngoài của hình cầu 17

2.4 Dáng điệu của đạo hàm hàm điều hòa tại vô tận 19

Chương 3: Bài tập 22

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán học ở đại học chúng ta chỉ tìm hiểu về bài toán Dirichlet trong mà không tìm hiểu về bài toán Dirichlet ngoài trong không gian

tuy nhiên trong quá trình tìm hiểu em thấy để giải được bài toán ngoài hình cầu trong 3 ta sử dụng phép biến đổi Kenvil để đưa về bài toán trong hình cầu mà ta đã biết cách giải

do em thấy phép biến đổi Kenvil rất là thú vị cùng với đó là sự hướng dẫn của thầy giáo, TS Bùi kiên Cường nên em đã quyết định chọn đề tài: “Bài toán Dirichlet ngoài trong không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng linh hoạt trong việc tìm hiểu các môn khoa học khác cho bản thân

Tìm hiểu bài toán Dirichlet trong hình cầu và bài toán Dirichlet ngoài hình cầu trong không gian 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán Dirichlet ngoài trong không gian và tìm nghiệm của bài toán trên

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Bài toán Dirichlet ngoài trong không gian

Chương 3: Bài tập

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong hệ thức (1.1.1) gọi là cấp của toán tử A

Định nghĩa 1.1: Phương trình (1.1.1) với toán tử A cấp m và các

hàm ,u f thoả mãn những điều kiện nêu trên được gọi là 1 phương trình

đạo hàm riêng tuyến tính cấp m

Định nghĩa tổng quát 1.2: Phương trình liên hệ các hàm ẩn

1, 2, , n

u u u các biến và các đạo hàm riêng của chúng được gọi là phương

trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng chứa ít nhất 1 đạo hàm cấp m và không chứa đạo hàm cấp cao hơn m được gọi là phương trình cấp m

VD: 1 Phương trình Laplace:   u 0

2 Phương trình truyền sóng:

2 2

u u t

2 2 1

n

i i

u u

1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai

Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai là phương trình có dạng:

là phương trình đạo hàm riêng cấp hai với hai biến độc lập

Xét phương trình tuyến tính cấp 2 với các hệ số thực:

+ Eliptic tại điểm x y0; 0 nếu tại đó ta có   0

+ Parabolic tại điểm x y0; 0nếu tại đó ta có   0

+ hypebolic tại điểm x y0; 0 nếu tại đó ta có   0

Nếu phương trình (1.3.2) tại mọi điểm trong một miền G đều

cùng thuộc một loại thì phương trình thuộc loại đó trong miền G

Do đó:

Nếu y  thì 0  0  phương trình thuộc loại Elip

Nếu y  thì 0  0  phương trình thuộc loại Parabol

Nếu y  thì 0  0  phương trình thuộc loại Hypebol

1.4 Bài toán Cauchy

Giả sử  là một miền nào đó trong không gian n (có thể trùng với n)

Xét trong  phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai:

Trong trường hợp tổng quát: Giả sử trong miền  cho một mặt

n 1 chiều đủ trơn S và tại mỗi điểm của mặt cho một đường cong l

nào đó không tiếp xúc với mặt S biến thiên đủ trơn trên mặt S

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4.1) trong một lân cận nào đó của mặt S sao cho:

 0

|S

 1

|S

u

u x l

Định lý 1.1: Giả sử b b ij; in;b b h là các hàm giải tích trong một i; ;

lân cận của điểm x , còn 0 u j; j 0,1 là các hàm giải tích trong một lân cận của điểm x khi đó bài toán Cauchy (1.4.5) (1.4.2) có nghiệm giải 0'

tích trong một lân cận nào đó của điểm x và là nghiệm duy nhất trong 0các hàm giải tích

1.5 Bài toán biên

Giả sử  là một miền bị chặn nào đó trong n Trong  xét phương trình (1.4.1) khi đó bài toán tìm nghiệm của phương trình(1.4.1) thoả mãn điều kiện:

|

ở đây  là hàm đã cho trên  được gọi là bài toán biên thứ nhất Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4.1) thoả mãn điều kiện biên:

ở đây  là hàm đã cho liên tục trên , 



u

v là đạo hàm theo

hướng pháp véctơ ngoài tới  được gọi là bài toán biên thứ hai

Bài toán biên thứ 3 là bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4.1) thoả mãn điều kiện biên dạng:

|

u au

tìm nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện ban đầu

định nghĩa là u x y z t không còn phụ thuộc vào thời gian ta có:  , , , 

0

u t

1.8 Bài toán Dirichlet trong

Bài toán Dirichlet trong của phương trình Laplace được đặt ra như sau:

Giả sử  là một miền giới nội với biên S trơn từng mảnh và

 

f P là một hàm liên tục cho trước trên S

Tìm hàm u P điều hoà trong  , liên tục trong miền đóng     S

sao cho tại biên S giá trị của hàm trùng với hàm f P nói trên, tức là:  

CHƯƠNG 2

Bài toán dirichlet ngoài

2.1 Biến đổi nghịch đảo các bán kính véctơ

Định nghĩa 2.1: Cho mặt cầu S tâm R O , bán kính R Gọi P là

một điểm bất kỳ trong không gian, P được gọi là điểm nghịch đảo của

P đối với mặt cầu S nếu  R P nằm trên tia OP và

cũng sẽ thoả mãn phương trình Laplace trong 

Để chứng minh điều nói trên, trong (2.1.1) bằng cách thay đổi đơn

vị chiều dài, ta có thể giả thiết R  , khiến cho 1

Trong không gian n chiều ( n  ) nếu ta gọi 3 r;, với

= 1, 2, ,n1 là toạ độ cực của một điểm thì toạ độ cực của điểm

nghịch đảo đối với mặt cầu đơn vị là  , 1,

Mặt biên S được giả thiết là mặt kín hữu hạn Như vậy khi

Ta thực hiện phép biến đổi Kelvin (2.1.1), (2.1.3) biến miền vô hạn

 thành miền giới nội  và khi đó điểm r   chuyển thành điểm gốc

để cho v r , ,  là hàm điều hoà trong toàn miền  , kể cả tại r 0

Bằng cách bổ sung ấy, nếu u r , ,  điều hoà trong miền vô hạn

 , thì v r , ,  điều hoà trong miền giới nội 

Trong trường hợp n  dùng phép biến đổi (2.1.6) ta cũng khẳng 2

định được rằng nếu u r , điều hoà trong miền vô hạn  (u r , M khi r   ) thì đối với

nếu u r , điều hoà trong miền vô hạn  (u r ,  M n 2

r  u r  có thể bổ sung giá trị tại r 0 để trở thành

điều hoà trong toàn 

2.2 Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm đối với dữ kiện biên

Bài toán Dirichlet ngoài đối với phương trình Laplace được phát biểu như sau:

Giả sử  là một miền vô hạn với biên S kín, giới nội trong từng

mảnh và f P là một hàm giới nội cho trước, liên tục trên   S

Tìm hàm u P , điều hoà trong  , liên tục trong miền đóng  

Cũng vẫn như trước sau đây ta sẽ lý luận với trường hợp n  3

Định lý 2.2.1 Bài toán Dirichlet ngoài (2.2.1), (2.2.2) có nghiệm

duy nhất

Thật vậy, giả sử bài toán có 2 nghiệm u P và 1  u2 P ta đều có

các đẳng thức (2.2.1), (2.2.2) và bất đẳng thức (2.2.5) Như vậy xét hiệu

  1  2 

v P u P u P thì đối với v P ta có:  

Trong đó   là số tuỳ ý cho trước Ta hãy xét một mặt cầu 0 S R

tâm O bán kính R khá lớn sao cho mặt cầu nói trên chứa điểm Q ở

   nên từ nguyên lý cực đại, ta suy ra bất đẳng thức (2.2.11)

đúng trong toàn  , đặc biệt tại điểm Q ta có (2.2.9) R

Từ cách chứng minh định lý duy nhất dễ dàng suy ra kết quả sau

đây:

Hệ quả 2.2.2: Nghiệm của bài toán Dirichlet ngoài phụ thuộc vào

điều kiện liên tục của dữ kiện biên

2.3 Công thức Poisson đối với miền ngoài của hình cầu

Giả sử đối với miền ngoài  của hình cầu ta xét bài toán



  x2  y2 z2 (2.3.3)

Đặt: OQ;OQ;PQr PQ; r ở đó Q là một điểm trong hình cầu, Q là điểm nghịch đảo của Q đối với hình cầu

Dùng phép biến đổi Kelvin:

3

1, ,

đây là công thức Poisson cho miền ngoài của hình cầu

Trong trường hợp tổng quát đối với không gian n chiều ta có

2.4 Dáng điệu của đạo hàm điều hoà tại vô tận

Định lý sau cho ta dáng điệu của các đạo hàm của hàm điều hoà tại vô tận

Định lý 2.4.1: Giả sử u P là hàm điều hoà trong miền vô hạn  

 với biên S giới nội và D u là bất kỳ một đạo hàm cấp k nào của u k Khi đó với P   ta có đánh giá:

Trong đó C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào k k

Ta chứng minh cho trường hợp k  1

Trường k  chứng minh tương tự 1

Vì biên S giới nội nên ta có thể dựng một mặt cầu S tâm R O

bán kính R đủ lớn sao cho S chứa R S ở trong nó Đối với hàm u P ở  ngoài mặt cầu S ta có công thức Poisson: R

rR 

Nh­ vËy chó ý x

r vµ

x r

Trong trường hợp tổng quát n 3, dáng điệu đạo hàm của hàm điều

hoà vô tận trong không gian n chiều được đánh giá bởi bất đẳng thức

Phương pháp tách biến nhằm xây dựng nghiệm u của bài toán

Dirichlet cho trước thông qua các hàm chỉ chứa một biến độc lập, nghĩa

là u có thể viết được dưới dạng tích hoặc tổng của các hàm chỉ phụ thuộc

vào một biến và “tách nhau” Kết quả của phương pháp này là có thể viết phương trình ở 2 vế mà mỗi vế chỉ phụ thuộc vào một biến, vì vậy mỗi vế phải bằng hằng số Ta lần lượt giải cho từng hàm chưa xác định Hợp các nghiệm này cho ta nghiệm cần tìm

3.1.2 Cơ sở của phương pháp

Định lý 1: (nguyên lý cộng nghiệm)

Nếu u u1; 2; u là các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng n tuyến tính thuần nhất thì c u1 1c u2 2 c u n n cũng là nghiệm của phương trình với c c1; ; ;2 c là những hằng số n

Định lý 2: Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính không thuần nhất nhận được bằng cách cộng nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất và các nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

- Giải (4) với điều kiện (3’)

+ Nếu  thì từ điều kiện (3’) chỉ có 0 X  là nghiệm (loại) 0+ Nếu   thì (4) có nghiệm tổng quát là: 0

13

5 8cos 8cos2 8cos3

1 f

R

 



 là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 Điều này không thể xảy ra vì

đây là hàm mũ Nó chỉ xảy ra khi   (loại) 0

TH2:   0

Khi đó nghiệm tổng quát của (5) là:

Vậy hàm u kr;r ka kcoskb ksink ;k * thỏa mãn (1) và (2)

Tìm a a b k 0; k; ;k * để (6) là nghiệm của bài toán (Ⅰ)

Ta thấy để (6) là nghiệm của bài toán (Ⅰ) ta đi tìm

Khi đó nghiệm của bài toán có dạng:

0

k k

a a a



R   R Khi đó: u  ; ; v  ; ;  (*)

Ta chuyển bài toán ban đầu thành bài toán đối với miền trong  của hình cầu

Một số ví dụ khác

Bài 1: Giải bài toán Dirichlet sau:

0 0

Với  là biên của hình tròn

Bài 3: Tìm nghiệm của bài toán đối với phương trình Poisson

Kết luận

Qua một thời gian nghiên cứu, tìm hiểu đề tài với sự nỗ lực học tập của bản thân cùng sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán nói chung

và đặc biệt là sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo, ts Bùi Kiên Cường,

đến nay em đã hoàn thành khóa luận và nội dung chính của khóa luận là:

1 Tìm hiểu về phương trình đạo hàm riêng cấp 1

2 Tìm hiểu về bài toán Dirichlet trong

3 Nghiên cứu về bài toán Dirichlet ngoài

Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và đặc biệt là thầy giáo, ts Bùi Kiên Cường

đã giúp đỡ em hoànthành tốt khóa luận này

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế và lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi thiếu sót, em kính mong nhận được sự chỉ bảo tận tình và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Toán

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Chu thị thủy

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng

NXB Đại Học sư phạm, Hà Nội

2 Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm

riêng NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội

3 Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý NXB Giáo Dục