SKKN Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túngkhi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏamãn tính chất nào đó; việc vận dụn

-ĐẶT VẤN ĐỀ

Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Họctập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”; “ Hai không”; “ Mỗi thầy, côgiáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mớiquản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trườnghọc thân thiện, học sinh tích cực " Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổimới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụmột chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiêntiến, hiện đại vào quá trình dạy học " Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũcác thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn;đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ độngsáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiếnthức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túngkhi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏamãn tính chất nào đó; việc vận dụng các quan hệ vuông góc, song song của các emvào các bài toán còn nhiều hạn chế Hơn nữa, kể từ khi học sinh học sách giáo khoatheo chương trình phân ban mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong

không gian không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng" Tìm tọa độ các điểm Viết

phương trình các đường thẳng trong không gian" chủ yếu sử dụng phương trình tham

số của đường thẳng

Với suy nghĩ trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình vể việc

sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ

các điểm Viết phương trình các đường thẳng trong không gian" nhằm trao đổi với

các thầy, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập nâng cao chất lượnghọc tập

-CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong phần phương pháp tọa độ trong không gian khi phải “Tìm tọa độ một

điểm Viết phương trình một đường thẳng trong không gian ” Ngoài việc sử dụng

các kiến thức ở sách giáo khoa ta nên chú ý đến tính các quan hệ vuông góc, song song và tính đối xứng của: hai điểm, điểm và đường, đường và mặt rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường vào bài toán Khi đó

bài toán hình học sẽ đơn giản và được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn

và cách giải bài toán gọn gàng hơn

CƠ SỞ THỰC TIỄN

Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy học cho học sinh Tôi thấyhọc sinh rất hứng thú khi gặp những dạng toán này và đa số học sinh biết cách vậndụng để giải các bài toán đó, đồng thời qua cách giải đó các em còn có thể đưa racác bài toán tương tự, các bài toán mới Qua đó bồi dưỡng cho các em niềm say mêhọc tập; khả năng tự học; phát huy được tính tích cực học tập, khả năng sáng tạo củahọc sinh

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

0 thì bất kỳ điểm Md đều có tọa độ dạng M(x0 at;y0 bt;z0 ct)

Tuy nhiên, với mỗi bài toán cụ thể đòi hỏi học sinh cần phải có một lượng kiến thức nhất định rồi kết hợp để giải quyết bài toán.

A Các bài toán về hình chiếu vuông góc:

Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên

mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0

Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông

góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P)

Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương

t y

t x

2 5

1

2 6

Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đóhình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d

-Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u= (4; -2; 3)

mp(P) có VTPT n= (2; 1; -2)

u n = 0 và M(P) nên: d // (P)

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có

t y

t x

3 1

2 3

4 2

Hướng dẫn giải:

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)

Vì A (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

 t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; -1; -5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (bài toán 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1; -4; -1)

t y

t x

1

4 3

(P)

t x

1

2

2

3 2

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trênđường thẳng d khi và chỉ khi u MH

Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm

cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuônggóc giữa điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuônggóc của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìmhình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm và vị trítương đối của đường và mặt

Một số bài tập tham khảo:

Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

1

3 3

trên mỗi mặt phẳng tọa độ

Bài 2: Cho đường thẳng d :

t y

t x

2 3

4

8 và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

-d

H M

1 2

B Các bài toán về đối xứng:

Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) quamp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0

Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông

góc với mp(P), lấy M ' d (M 'M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉkhi d(M;(P))=d(M ';(P))

Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương

t y

t x

2 5

1

2 6

 t = - 4 t = 0 (loại)

Vậy M '(-2; -5; 3)

M'

M d

(P)

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3).( bài toán5)

Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình:

t y

t x

3 3

2 5

4 2

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)

d' (P)

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P)

suy ra: M '(-2;-5;3) ( bài toán5)

Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP AM' = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương

t y

t x

3

2 5

t y

t x

2 1

2 1

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đường thẳng

/ / /

A A A

z y

x

Vậy: A/ (-3 ; 2 ; 1)

Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm

cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng củađiểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối

d

H

A ' A

xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìmđược và vị trí tương đối của đường và mặt, đường và đường.

Một số bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng  :

t y

t x

2 1

a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1

b/Viết phương trình đường thẳng  qua A vuông góc với đường thẳng d1

và cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006)

Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng ( ) : x + 3y - z - 27 = 0 Tìm tọa

độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ( ).

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:

a/ Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2

b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2. -

C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:

Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:

a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P)

b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuônggóc với d

Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và có

t y

t x

4 3 2

2 1

Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

1

3 2

(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)

(P)

d

A d'

t y

t x

3

2 3 1

Id suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)

Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:

2 3

9 ) 3 ( 2 ) 2 3

4

t t

t x

4 1

t y

t x

1

2 2

3 2

) (t  R

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H  khi và chỉ khi u.IH

Đường thẳng qua I và có VTCP IH =(2; 2; -2) nên có phương trình :

t y

t x

4 2 1

Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng  qua A(2; 1; -3) cắt đường

t y

t x

4

2 1

3

) (t  R và vuông góc với đường thẳng d2:

t y

t x

5 3

4 1

) (t  R

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H khi và chỉ khi u.AH

t y

t x

2 3

2 1



3 1

2 1

t z

t y

t x

và song song với đường thẳng d:

1

4 2

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai

1 3 3 3

8 2 5 / /

t t

t t

1 /

t t

t y

t x

2 1

3 1

Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1:

1

2 1

2 1

z

t y

t x

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0

và cắt2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007)

Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy tương tự

bài toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy Ad1, Bd2 khi đó A, Bd khi -

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê

2 1 2

t z

t y

t x

Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ )

1 2

5

5 3

4 / /

t t

t t

2 /

t t

t y

t x

4 1

7 2

Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng

t y

t x

2

3 5

) (t  R và d/ :

4

3 7 2

t z

t y

t x

) (t / R

Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc

chung của d và d/ khi và chỉ khi . 0

) 9 3

( 3 ) 7 3 (

0 ) 4 (

) 9 3

( ) 7 3 ( 3

/ /

/

/ /

/

t t t

t t

t

t t t

t t

26 11 5 / /

t t

t t

1 /

t

t

suy ra: A(2; 1; -1); AB

=(-1; 1; 2) Đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB=(-1; 1; 2) nên có phương

t y

t x

2 1 1

2

) (t  R

Kết luận: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ " khó"

hơn Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc cácđiểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước),sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số Từ đó viết phươngtrình đường thẳng theo yêu cầu bài toán

Một số bài tập tham khảo:

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt

cả hai đường thẳng d 2 và d 3 , biết phương trình d 1, d 2 và d 3 là:

t y

x

1

4 2 1

2 4

2 1

' 5 4

t z

t y

t x

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường

t y

t x

4 1 1

2 3

, Viết phương trình đường thẳng



đi qua A, cắt và vuông gócvới đường thẳng d

(Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)

Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1:

t y

t x

8

2 5 8

1 2

1 7

Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: 3

6 2

1 1







y z x

t y

t x

3 2 1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'

b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d' Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng tọa độ

t y

t x

5 4 3

2 1

t z

t y

t x

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1 1

và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường

thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 

(Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)

D Các bài toán về cực trị tọa độ không gian:

Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho

điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d:

5 3 2 2

Vậy H(2; 1; -1)

Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5) Tìm điểm

I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất

Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt

phẳng Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặtphẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặtphẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó

Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:

-1 2 3

x y

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy)

H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và M N ' = (3; 2; 8)

Ta có IM + IN = IM' + IN  M'N  Min ( IM + IN) = M'N  I là giao điểm củaM'N và mp(Oxy)

M'N qua M ' có VTCP M N ' = (3; 2; 8) nên có phương trình:

, , ,

Tìm điểm I d sao cho: IM + IN nhỏ nhất

Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong

đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d

Hướng dẫn giải:

Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), vì MN u =0  MN dMặt phẳng( P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x - 2y +z - 2 = 0

M

N

M '

y O

Gọi H = d (P), H d  H(7 + t; 3 - 2t; 9 + t)

Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1),

B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0 Trong các đường thẳng qua A vàsong song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến

đường thẳng đó là nhỏ nhất (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2009)

Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song

song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d đi qua

H (H là hình chiếu của B trên (Q))

nên d(B;d) nhỏ nhất khi d đi qua H

Đường thẳng d ' qua B và vuông góc (Q)

I

B

A (Q)

(P)

 

nhỏ nhất

b/ Tìm tọa độ điểm Id sao cho diện tích AIB nhỏ nhất

c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đếnđường thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

t t

28/3 12

+ 

-  30/11 t

Kết luận: Đây là các bài toán khó, để giải nó cần phải vận dụng các dạng

toán Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứatham số) trên đường thẳng (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố hình chiếu vuônggóc hoặc đưa về các hàm số sau đó tìm tham số Từ đó tìm điểm hoặc viết phươngtrình đường thẳng theo yêu cầu bài toán

Một số bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) và đường thẳng d có pt: 1 2 2

x y z

Tìm điểm I  d sao cho IA + IB nhỏ nhất

Bài 2: Cho mp( ): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; 9 ) a/ Tìm điểm I  ( )  sao cho       IA IB                    

đạt GTNN b/ Tìm điểm M ( )  sao cho: MA MB đạt GTLN

Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) và B ( 3; -1; 4) và đ/t d: 1 1 2

x y z

  Tìm trên dđiểm I sao cho: IA + IB bé nhất

Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình:

x - y + z - 1 = 0 Tìm điểm I (P) sao cho IA + IB nhỏ nhất

Bài 5: Cho hai đường thẳng d1: 1 1 1

-KẾT QUẢ

Sau khi hình thành và đưa ra cách giải, tôi đã vận dụng phương pháp này ở 2 dạng A, B vào các bài dạy và kết quả bài kiểm tra 15' các lớp giảng dạy như sau:

Lớp sử dụng phương pháp khác(3 lớp với 144 em)

Lớp sử dụng phương pháp này(2 lớp với 92 em)

Từ 2 bảng kết quả trên ta thấy ở lớp sử dụng phương pháp này tỉ lệ điểmdưới 5 giảm gần một nữa, tỉ lệ điểm từ 5  < 8 tăng không nhiều nhưng tỉ lệ điểm từ

-PHẦN KẾT LUẬN

Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệvuông góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ của điểmtheo tham số ta giải nhiều dạng bài toán, hơn nữa chúng ta đã đơn giản được bàitoán, hạn chế việc " sợ " các bài toán hình học không gian ở học sinh, tạo được sựhứng thú cho các em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học vàphát huy được tính tích cực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạotrong quá trình giải một bài toán

Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảngdạy môn toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tài này tôi hyvọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách vận dụng các quan hệ vuông góc, songsong, các tính chất đối xứng vào giải toán và cải tiến phương pháp học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp đỡtôi hoàn thành đề tài này