CĐ Rút gọn (Ôn vào 10)

a/ Rút gọn biểu thức.. b/ Tìm giá trị của x để Q nhận giá trị dơng.. a/ Rút gọn biểu thức.. b/ Tìm giá trị lớn nhất của P.. b/ Rút gọn biểu thức... c/ Tìm giá trị lớn nhất của E.. b/ Tìm

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức (Dùng Cho dạy và học ôn thi vào THPT)

Các kiến thức cần nhớ

1) Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B ) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A – B ) 2 = A 2 - 2AB + B 2

A 2 – B 2 = (A – B ) ( A + B ) (A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A – B ) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

A 3 + B 3 = ( A + B )( A 2 – AB + B 2 )

A 3 – B 3 = ( A – B )( A 2 + AB + B 2 )

2) Các công thức biến đổi căn thức:

= 2

AB A B (Với A≥0; B≥0)

=

B B (Với A≥0; B>0)

= 2

A B A B (Với B≥0)

A B A B (Với A≥0; B≥0)

= - 2

A B A B (Với A<0; B≥0)

= 1

A

AB

B B (Với A.B≥0; B≠0)

=

B

B (Với B>0)

=

-±

m 2

A B

A B (Với A≥0; A2≠B)

=

-±

m

A B

A B (Với A≥0; B≥0 và A≠B)

Bài tập

Bài 1 Cho biểu thức: = +ổỗỗỗ + ửổữữữữỗỗỗ - - ửữữữữ

-ố1 1 ứố1 1 ứ

A

a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6

d) Tìm a để A 3 = A e) Với giá trị nào của a thì A =A

Bài 2: Cho biểu thức: = + +

1

x Q

x

a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa b/ Rút gọn Qc/ Tính giá trị của Q khi = 4

9

x

d/ Tìm x để = - 1

2

Q e/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên.

Bài 3 Cho biểu thức: = -

1

P

x x x a) Tìm điều kiện của x để P có

nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P =P e) Giải phơng trình P = - 2 x ` f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên

Bài 4 Cho biểu thức: ổỗ + + ửổữữỗ ửữ

=ỗ - + ữữỗỗ - ữữ

ỗ

a) Tìm điều kiện để A có nghĩaTính giá trị của A khi = + +

a

b) Tìm các giá trị của a để A >A c) Tìm a để A=4; A=-16 d) Giải phơng trình:

A=a 2 +3

Bài 5 Cho biểu thức: =ổỗỗỗ - ửổữữữữỗỗỗ - - + ửữữữữ

1

M

a a a với a>0; a≠1 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M=-4 c) Tính giá trị của M khi a= 6 2 5- + 6 2 5+ d) Chứng minh rằng M ≤ 0 với a >

0; a ≠ 1

Bài 6 Cho biểu thức: = -( ) ộờổỗỗ - + ửổữữỗỗ + - ửữữựỳ+

ờ ỗỗỗ ữữỗỗỗ ữữỳ

a a với a > 0; a≠1 a) Rút gọn K b) Tính giá trị của K khi a=9 c) Với giá trị nào của a thì K =K

d) Tìm a để K=1 e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên

Bài 7 Cho biểu thức: = + +

3 1

Q

x

x x với x≥0; x≠1

a/ Rút gọn Q b/ Chứng minh rằng Q<0 với ∀x≥0; x≠1

c/ Tính giá trị của Q khi = - + +

-20001 19999 20001 19999

20001 19999 20001 19999

x

Bài 8 Cho biểu thức: =ổỗỗỗ + + ử ổữữữữỗỗỗ + - ửữữữữ

9

T

x x x với x>0; x≠9

a/ Rút gọn T b/ Tinh giá trị của T khi = + +

x c/ Tìm x để T=2 d/ Với giá trị nào của x thì T<0 e/ Tìm x∈Z để T∈Z

Bài 9 Cho biểu thức: = - - - - +

L

x x x x với x≥0; x≠1

a) Rút gọn L b) Tính giá trị của L khi = + +

x

c) Tìm giá trị lớn nhất của L

Bài 10 Cho biểu thức: = + +

x A

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm x để A=1; A=-2 d) Tìm x để A =A e) Tìm x∈Z để T∈Z f) Tìm giá trị lớn

nhất của A

Bài 11: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

a) = + - ( - ) ổỗỗ + + ữửữ

ữ

ỗ

1

ab a b a b với a>0; b>0; a≠b

-2

B

xy x y với x>0; y>0; x≠y

c)

ỗ

= ỗ ỗỗố + + - - ữỗ ữỗữứốỗ ữữữữứ

3

1

C

a

a a a với a>0; a≠1

D

x x x x x x với x≥0 e) =ổỗỗỗ + - ửữữữ( - )+

ữ

2 :

a b a b với a>0; b>0; a≠b

f) = - + + - ổỗỗỗ - ửữữữổỗỗỗ + + - ữửữữữ

ữ

a a a a a a a với a>0; a≠1

Bài 1: Thực hiện phép tính( rút gọn biểu thức).

a/ ( 27− 12 6 3+ ) − 48 b/ ( ) (2 )2

2 3 2

3 + + − c/ 75 − 48 + 300 d/ 11−4 7 − 7 +3 e/ 3 20 + 45 2 80− f/ 6 48 2 27 4 75− −

g/ 2 27− 48 5 12+ h/ 2 45+ 80 − 245 k/ 3 2 5 8 2 50+ −

m/ 3 12− 27+ 108 n/ 3 1 1

4 + 3 + 12 n /

3

1 1 5 11

33 75 2 48 2

1

+

−

−

o/ 3 8 18 5 1 50

2

− − + r/ (3 5 2 3− ) 5+ 60 p/ ( 28 2 3− + 7) 7+ 84 q/ ( )2

6+ 5 − 120 k/ ( )2

14 3 2− +6 28 l/ (15 50 5 200 3 450 : 10+ − )

s/ ( 8 3 2− + 10)( 2 3 0,4− ) i/(2 2− 5 3 2+ )( 18− 20 2 2+ ) t/ 1 1 3 1 4 4 : 8 1

2 2 2 3 5 5 15 8

+ + j/

− + j /

3 1− 3 1

− + đ /

w*/ 2 1 2 2 1

z/ ( )2

3/ ( ) (2 )2

7 2 − − 7 5 − 4/ 3 2 2 + + 6 4 2 − 5/ 4 2 3 + − 5 2 6 + + 2

12 / ( )2

3 − 10 + 3 13*/ C = 1+1 3+ 31+ 5+ + 471+ 49 14*/ 4 7 4 3+ − 2+ 3 15/ 12 6

30 15

−

− 16/

5 10

2 10

+

Bài 2:Rút gọn biểu thức sau:

a/ 2 3x −4 3x +27−3 3x với x ≥ 0 b/ 3 2x −5 8x +7 18x +28 với x ≥ 0

c/ + − + 5 với a >0

a

4 a 4

a 6 a

5 d/ 9(x −1)2 (x<1)

Bài 3 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau:

a/ A = 1 10a 25a− + 2 −4a với a = 2 b/ B 4x= − x2 +6x 1 với x = -3+

Bài 4: Cho biểu thức: A= − 6 2x− 9 6 − x x+ 2

a/ Rút gọn biểu thức b/ tính giái trị của A khi x = 5 c/ Tìm x để A = 0 Bài 5: Cho biểu thức: A x= − x2 − 4x+ 4

a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để A = -5.

Bài 6*: Cho biểu thức: 2 2

a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để B = -2

Bài 7*: Cho biểu thức: A= x+4 x− +4 x−4 x−4

a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất Bài 8*: Cho biểu thức: A= x2 + 10x+ 25 − x2 − 14x+ 49

a/ Rút gọn biểu thức b / Tính A khi 3; 815

Bài 9*: Cho biểu thức: 4 1 6 9 2

− +

−

x x

x

a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm x để B = 3

Bài 10*: Rg: 2 6 9

3

− +

=

−

A

a B= a2 − 6a+ 9

A 15a 8a 15 16 với a =

b/ Cho x = 3 2

+

− và

y =

− + Tính A = 5x

2 + 6xy + 5 y2

Bài 12: Cho biểu thức :









−

+

−

−

+







−

=

1 x

2 x 2 x

1 x x

1 1 x

1

a/ Rút gọn biểu thức Q với x > 0 ; x ≠ 4 và x ≠ 1

b/ Tìm giá trị của x để Q nhận giá trị dơng

Bài 13: Cho biểu thức:

3

3

2x +1 x 1+ x

x + x +1 1+ x

x -1

    Với x ≥ 0; x ≠1.

a/ Rút gọn B b/ Tìm x để B =3

Bài 14: Cho biểu thức: 1 2. ( 1)2 ( 1)2

P

với a > 0 và a ≠ 1 a/ Rút gọn biểu thức b/ Timg giá trị của a để P < 0

B i 15: à Rút gọn rồi so sánh giá trị của M , N với 1, biết:

1 1 a + 1

Bài 16: Cho biểu thức: ( )2

1

.

x

P

a/ Rút gọn biểu thức b/ Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 17: Cho biểu thức: ( )2

4

.

=

+

P

a/ Tìmm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức

Bài 18: Cho biểu thức: 2 1 : 1

2

P

a/ Rút gọn biểu thức b/ Chứng minh P > 0 mọi x ≠ 1

Bài 19: Cho biểu thức: 1 3 2

C

a/ Rút gọn biểu thức b/ Chứng minh C > -1

Bài 20: Cho biểu thức: 1 1

1

−

x C

x

a/ Rút gọn biểu thức b/ Tính giá trị của C khi 4

9

=

x c/ Tìm giá trị của x để 1

3

=

Bài 21: Cho biểu thức:

2

=

x A

a/ Tìmm điều kiện để A có nghĩa b / Rút gọn biểu thức A

Bài 22: Cho biểu thức: 26 19 2 3

P

a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tính giá trị của P khi x= −7 4 3 Bài 23: Cho biểu thức: 2 1 : 1

1

+

A

x

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị của x để A> 0

Bài 24: Cho biểu thức: 1

A

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị của x để A> − 6

Bài 25: Cho biểu thức: 2 1 2

1

E

a/ Rút gọn biểu thức E b/ Chứng minh rằng E - E =0 với x > 1.

c/ Tìm giá trị lớn nhất của E

Bài 26-1: Cho biểu thức: ( )2 1 1

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của A với a = 9

c/ Với giá trị nào của a thì A =A

Bài 26-2: Cho biểu thức: 1 1 4 1

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của A với a 6

=

c/ Tìm giá trị của a để A A>

Bài 27: Cho biểu thức:P x y x y : 1 x y 2xy

1 xy

a/ Rút gọn biểu thức P c/ Tìm GTLN của P

b/ Tính giá trị của A khi x 2

= +

Bài 28: Cho biểu thức:A 1 1 x 1 2 (x 0;x 1)

−

a/ Rút gọn biểu thức A

b/ Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

a/ Rút gọn biểu thức A

b/ Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 2 2= −

Bài 30: Cho biểu thức:

a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm a để 1 a 1 1

+

Bài 31: Rút gọn biểu thức:P x 1 x 1 2 (x 0;x 1)

Bài 32: Cho biểu thức:A x x (x 0;y 0;x y)

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của A khi

x= 7 4 3;y+ = 7 4 3−

Bài 33: Cho biểu thức:A 1 1 : 4 x2

x

−

a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị của x để A = -2

Bài 34: Cho biểu thức: 2 1 : 2 1 ( 0; 1)

1

+

x

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của biểu thức A khi

x 3 2 2= −

Bài 35: Cho biểu thức: 1 1

1

−

a

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của biểu thức A khi

a 3 2 2= −

Bài 36: Cho biểu thức:A 2x 3 x 2 ; B x3 x 2x 2

a/ Rút gọn biểu thức A và B b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A = B

Bài 37: Cho biểu thức:A 1 1 x 1 1 x 1

a/ Rút gọn biểu thức A b/ So sánh A với 2

2 . Bài 38: Cho biểu thức:A x 2 x 1 : x 1

2

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Chứng minh 0 < A < 2 và A 2

3

≠

Bài 39: Cho biểu thức:A x 1 : x 1 1 x

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của A khi x 2

= +

c/ Tìm giá trị của x thoả mãn : A x =6 x − −3 x 4−

Bài 40: Cho biểu thức:P 4 x 8x : x 1 2

4 x

−

a/ Rút gọn biểu thức: P b/ Tính giá trị của x để P = -1

c/ Tìm m để với mọi x > 9 ta có: m( x − 3 P) > + x 1

Bài 41: Rút gọn:

a/ = −1− +1 ( >0; ≠1)

a a a a b*/

a a 1 a a 1 1

a a 1 a a 1 a 1

2 2

x x y y

P = x y với x 0; y 0;x y 0

x y

a a a a a a a f/ 2 2 1

1

x

a b

Bài 38: Chứng minh:

a/

2

1 a a 1 a

a 1 với a > 0 ; a 1

1 a

1 a

   b/ (1+ 2+ 3)(1+ 2− 3) 2 2=

c/ 14 7 15 5 : 1 2

  d/ a b a b 2 ab 0 (a,b 0;a b)

e/ 1 a a 1 a a 1 a; a 0;a 1( )

2

1 a

1 a

g/ B 1 1 : a 1 a 1 ; a > 0 ; a 1( )

a a a 1 a 2 a 1 a

Bài 42 : Rút gọn:

a/ + ớix≥0, y≥0 và x≠y

y x y

) (

3

2

−1 5 (1 4 4 ) 2

a a a

a

Bài 43 Chứng minh giái trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.

2 + x x 2 x x x x 1

x -1

Bài 44*: Cho biểu thức: A x= 2 − 3x y+ 2y

a/ Phân tích A thành nhân tử b/ Tính giá trị của A khi 1 ; 1

Bài 45*: Loại bỏ căn thức và dấu GTTĐ: ( )2

3

−

− + −

−

a

a Bài 46*: Cho biểu thức: 1 2 2

2 1

=

− −

A

x

a/ Tìmm điều kiện để A có nghĩa b/ Tính A2

Bài 47* a/ Cho x 3 2 1 3 1

2 1

− chứng minh rằng x3 +3x 2 0+ =

b/ Chứng minh rằng x= 35− 17 + 35+ 17 là nghiệm của pt: x3 −6x 10 0− =

c/ Cho x 3 1 34 15

4 15

− Tính giá trị của biểu thức :

3

y x= −3x 1987+

Bài 48: Cho 1

3

+

=

−

x A

x Tìm x để A nhận giá trị nguyên

Bài 49: Cho 2

2

+

=

−

a A

a a/ Tìm các số nguyên a để A nhận giá trị nguyên

b/ Tìm các số hữu tỉ a để A nhận giá trị nguyên

Bài 50*: Tính giá trị của biểu thức A = 2x3 -4x2 +x +1 với 1 3

2

+

=

x

Bài 51*: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a/ A= 12 x x− , b/ 1

=

B

Bài 52*: Cho B 1 1 1 1

= + + + + chứng tỏ B > 8

Bài 53 : Chứng minh giá trị của biểu thức sau đây là số tự nhiên B 1 1

3 2 4 3 2 4

Bài 54*: Tìm cặp số nguyên (a,b)thoả mãn pt: 3 a 7 b+ = 3200

Bài 55*: Cho 5 < x ≤10 và x+ 10 x k− = Tính giá trị của biểu thức :

2

5 10x x

x 5

=

−

Bài 56*: a/ Tìm số nguyên m để m m 202+ + là số hữu tỉ.

b/ Tìm số nguyên m để m m 232+ + là số hữu tỉ.

Bài 57*: a/ Chứng minh (m 2 m 3 m 4 m 5+ ) ( + ) ( + ) ( + ) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m

b/ Chứng minh (m 1 m 2 m 3 m 4+ ) ( + ) ( + ) ( + ) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m

Bài 58*: Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá ( )7

7 4 3+ Bài 59*: Cho a 1; b 1; a b≤ ≤ + = 3 Tìm giá trị lớn nhất của 1 a− + −2 1 b2 .

Bài 60*: So sánh: 2005+ 2007 và 2 2006

Bài 61*: Chứng minh nếu ax by3= 3= cz3 và 1 1 1 1

x y z+ + = thì 3ax by cz2+ 2+ 2 = 3a+ 3b + 3c Bài 62*: Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz+ zx = 2006 tính tổng:

S = ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)

2006 y 2006 z 2006 z 2006 x 2006 x 2006 y

Bµi 63 *: Cho a , b,c, d vµ A,B ,C,D lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: a b c d

A B C D= = = Chøng minh: aA+ bB+ cC+ dD= (a b c d A B C D+ + + ) ( + + + )

Bµi 64*: Cho biÓu thøc:A 1 1 : 1 a b

a/ Rót gän biÓu thøc A b/ T×m b biÕt A = −A

c/ TÝnh gi¸ trÞ cña A khi a 5 4 2;b 2 6 2= + = +

Bµi 65*: BiÕt: ( x 2 + + 5 x)( y 2 + + 5 y) = 5 TÝnh x + y

Bµi 66*: TÝnh hîp lÝ:

a/ ( 10 + 2 6 2 5)( − ) 3 + 5 b/ 2 − 3 ×( 6 + 2)

c/ 8 2 2 2 3 2 2

− − d/ 5 − 3− 29 12 5−

e/ 4+ 8 2+ 2+ 2 2− 2+ 2 f/ 10 + 24 + 40 + 60

Bµi 67*: Chøng minh: 2002 2003 2003 2002

2003 + 2002 > +