Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm B0;1 và có hệ số góc k.. Chứng minh rằng đờng thẳng dluôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt G và H với mọi k.. Trên tia đối của tia BA lấy đi
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Thanh hóa năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 30/6/2009
Thời gian làm bài: 120 Phút
Bài 1 (1,5đ):
Cho phơng trình: x2 – 4x + q (1) với n là tham số
1 Giải phơng trình (1) khi q = 3
2 Tím n để phơng trình (1) có nghiệm
Bài 2 (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau: 2 5
x y
Bài 3 (2,5đ):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 vào diểm B(0;1)
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc k
2 Chứng minh rằng đờng thẳng (d)luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
G và H với mọi k
3 Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lợt là x1 và x2 Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông
Bài 4 (3,5đ):
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Trên tia đối của tia BA lấy
điểm K (Khác với điểm B) Từ các điểm K, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đ-ờng tròn (O).Tiếp tuyến kẻ từ K cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lợt tại C
và D
1 Gọi Q là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đờng tròn (O) Chứng minh tứ giác BDQO nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2 Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ đó suy ra:
3 ĐặtBOD Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc và R, không phụ thuộc và
Bài 5 (1đ):
Cho các số thực t, u, v thỏa mãn: u2 + uv + v2 = 1 -32
2
t .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v
-Hết -Đáp án
Bài 1 (1,5đ):
Cho phơng trình: x2 – 4x + q (1) với n là tham số
1 Giải phơng trình (1) khi q = 3
Khi q=3 Pt thành: x2 – 4x + 3 = 0
Pt có a+b+c = 1 – 4 + 3 = 0 Vậy Pt có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3
2 Tìm q để phơng trình (1) có nghiệm
Pt có nghiệm khi / 22 q.1 4 q 0 q 4
Bài 2 (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:
Vậy hệ Pt ó nghiệm (x;y)=(3;1)
Bài 3 (2,5đ):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1)
Đề chính thức D
Trang 21 Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc k.
Gọi Pt (d) đờng thẳng cần tìm có dạng y = kx+b Vì (d) đi qua B(0;1)nên
ta có: 1=b Vậy Pt đờng thẳng (d) là y= kx + 1
2 Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G
và H với mọi k
Pt cho hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
kx + 1 = x2 x2 – kx – 1 = 0.(1)
Pt (1) có k2 4.1 1 k2 4> 0 với mọi k
Vậy Pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k nên đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và H
3 Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lợt là x1 và x2 Chứng minh rằng:
x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông
Theo Vi et ta có: x1.x2 = 1
1 1
c a
x1 =1 2 4
2
k
; y1 =
2 2
2
k
x2 = 1 2 4
2
k
; y2 =
2 2
2
k
Vậy: G(x1; y1) ; H(x2 ; y2)
Gọi Pt đờng thẳng OG có dạng y = ax + b Vì đi qua điểm O(0;0) và điểm
G(x1;y1) nên b = 0; a = 1
1
y
2 2
2
k
:1 2 4 2
k
2
k
Nên Pt đờng thẳng OG là: y = 1 2 4
2
k
x
Tơng tự ta có Pt đờng thẳng OH là: y = 1 2 4
2
k
Ta có a.a/ = 1 2 4
2
k
2
k
= -1 nên OG vuông góc với OH Vậy tam giác OGH vuông tại O
Bài 4(3,5đ) Chứng minh:
1 Tứ giác BDQO có:
90 0
DBO ;DQO 90 0
(Tiếp tuyến vuông góc với bán kính)
Suy ra: DBO DQO 180 0
Vậy Tứ giác BDQO nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2 Xét 2 tam giác BDK và ACK có:
R D
C Q
Trang 3K Chung
Vậy tâm giác BKD đồng dạng với tam giác AKC (gg)
Suy ra BD AC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ta có CQ = CA và DQ = DB
Vậy CQ DQ
CK DK (đpcm)
3 Xét tam giác BDO vuông tại D , có BO = R; BDO ; suy ra BD = R.tg
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ta có:
Suy ra AC =
tg
R
Bài 5 (1đ):
Cho các số thực t, u, v thỏa mãn: u2 + uv + v2 = 1 -32
2
t .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v
Theo bài ra ta có: u2 + uv + v2 = 1 -3 2
2
t .
u2 + v2 + t2 + 2uv + 2ut + 2vt = 2 – t2 + 2ut – u2 – t2 + 2vt – v2
(u+v+t)2 = 2- (t - u)2 – (t-v)2
2 Vì (t-v)2
0; (t - u)2
0
Nên (u+v+t)2 2 u v t 2 2 u v t 2
Vậy DMin = - 2 đạt đợc khi u = v = t = - 2
3
DMax = 2 đạt đợc khi u=v= t = 2
3 .
BOD DOQ DOC COA OCA