De thi thu va dap an chi tiet 10 chuyen09-10

Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F.. 1 Trong trờng hợp BAD là góc tù.

kì thi vao lớp 10chuyên năm học 2009 – 2010 Môn thi : toán

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu I: ( 2.5 điểm )

Cho phơng trình : x2 - 2x + 3 - m = 0 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để : 2x13 (m 1)x22 16

Câu II: (2.5 điểm )

1) Cho phân số : A =

5

n n



 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 1  n 2009

sao cho A là phân số cha tối giản

2) Cho a 2;b 3;c 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của :

P

   Câu III: (2.0 điểm)

Giải phơng trình :

3 3x2  x 2007  3 3x2  7x 2008  3 6x 2009  3 2008

Câu IV: ( 3 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt

BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F

1) Trong trờng hợp BAD là góc tù Chứng minh : EF đi qua O

2) Chứng minh : .







sở giáo dục và đào tạo

Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009

Môn thi : toán Hớng dẫn chấm H

ớng dẫn chấm:Đề số 2

2.5 điểm Điều kiện để phơng trình : x2 - 2x + 3 - m = 0 có nghiệm :

,

       

Theo hệ thức Viet : 1 2

1 2

2 3







Ta có :

2

2

Và x22  (x1x x2) 2 x x1 2 Sx2  P 2x2 (3  m)

2x  (m 1)x  16

2 1 m x 6 2m (m 1) 2x (3 m) 16

2

2

3( ) 9( )





  

 Vậy m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài

0.25

0.5 0.25

0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

CâuII

2.5 điểm 1) Gọi d là ớc chung lớn nhất của n2 + 4 và n+5

Vì A là phân số cha tối giản nên d > 1

Ta có (n + 5)2 - ( n2 + 4) chia hết cho d

Hay 10(n + 5) - 29 chia hết cho d mà có n + 5 chia hết cho d

Nên 29 chia hết cho d mà 29 là số nguyên tố và d > 1 d = 29

Tồn tại số m nguyên dơng sao cho : n + 5 = 29m Khi đó:

1  n 2009  29m 5 2009  và m nguyên dơng nên các giá trị của

m là 1;2;3 …6969

Vậy có tất cả 69 số tự nhiên n thỏa mãn

0.25 0.25 0.25 0.25

2)* Ta chứng minh BĐT sau : Với x , y là các số không âm ta có :

2

x y  xy ,(1)Đẳng thức xảy ra khi x = y

Thật vậy : (1)

       , (BĐT đúng )

Đẳng thức xảy ra khi x = y

Có P = 1 1 1

Ta có :

a

Hay : 1 3 5

1

a a

    ,(2) Đẳng thức xảy ra khi a = 2 Tơng tự : 1 8 1 1 8.3 2 8 10

b

         , ( 3) Đẳng thức xảy ra khi b = 3

Và 1 1 15 1 15.4 2 15 17

c

Đẳng thức xảy ra khi c = 4

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Do đó : P 5 10 17 30 40 51 121

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 121

12 khi

2 3 4

a b c











 



Câu III

2.0 điểm Đặt :

2 3 2 3 3

6 2009 2008

Thay vào phơng trình và lập phơng hai vế của phơng trình ta đợc :

(a b c  )  2008  2008

Nên phơng trình tơng đơng với :

a b b c c a

Xét 3 trờng hợp :

1)

0

1

6

2)

2

2

2

0

6

6

x

x











 3)

2

2 2

0

Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: 1 1 13 1 13

S    

0.25 0.25

0.25 0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

CâuIV

3 điểm 1)

Nối EF , gọi P là điểm đối xứng với A qua EF

Trờng hợp O nằm ngoài AEP,ta có : EAF EPF ,(1)

Gọi tia At là tia đối của tia AB , ta có EAF tAD (cùng phụ với

DAF )

Mà BCD tAD   ( Cùng bù với BAD do tứ giác ABCD nội tiếp )

BCD EAF

Từ (1) và (2) suy ra :EPF BCD ECF  

Nên tứ giác EPCF nội tiếp  DCP FEP    180 0

Mà có FEP FEA PAD    ( cùng phụ với EAP)

Nên DCP PAD    180 0  Tứ giác ADCP nội tiếp

Hay P thuộc đờng tròn tâm O Mà EF là trung trực của AP nên

EF phải qua tâm O của đờng tròn

Trờng hợp O nằm trong AEP chứng minh tơng tự

2)Trớc hết ta chứng minh Bài toán sau :

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng

tròn (O;R) với AB = c; AC = b ;BC = a

Chứng minh : Diện tích tam giác ABC đợc tính theo công thức

:

4

ABC

abc

S

R

Thật vậy : Kẻ đờng cao AH, đờng kính AD

Ta có :ABH  ADC g g(  )

S R

Hay

4

ABC

abc

S

R



Kẻ đờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD ta có





0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

0.25

0.5

0.5

0.25

Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD ,áp dụng công thức trên ta có :

AB AD BD CB CD BD

AB AD BD CB CD BD









