DẠNG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ---I.. Các quy tắc thường dùng để biến đổi - Quy đồng mẫu các phân thức - Trục căn thức ở mẫu - Rút gọn phân thức - Hằng đẳng thức 2.. Các bài toán liên
Trang 1DẠNG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC
-I LÝ THUYẾT
1 Các quy tắc thường dùng để biến đổi
- Quy đồng mẫu các phân thức
- Trục căn thức ở mẫu
- Rút gọn phân thức
- Hằng đẳng thức
2 Các bài toán liên quan
Bài toán 1: Tìm x để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước
- Rút gọn
- Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình
Bài toán 2: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
- Rút gọn
- Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một biểu thức có tử là một số nguyên
- Cho mẫu là ước của tử suy ra x
Bài toán 3 Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước
- Rút gọn
- Rút gọn giá trị của biến nếu cần
- Thay vào biểu thức rút gọn
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
- Rút gọn
- Biến đổi biểu thức về dạng A2 + m hoặc – A2 + m
II BÀI TẬP
Bài 1 Cho các biểu thức: A =
2
2 3
2
x
x
2
2 2 3
x
x x x
a) Rút gọn A và B
b) Tìm giá trị của x để A = B
(Chu Văn An và Amsterdam 1995)
2
1 1
2 2
3 9 3
a a
a a
a
x a
a) Rút gọn P
b) Tìm a để |P| = 1
c) Tìm các giá trị của a N sao cho P N
(Chu Văn An và Amsterdam 1996)
Bài 3 Cho biểu thức:
1 x
2 x 2 x
3 x 2 x x
3 x x 3 P
Trang 2a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P 154
(Chu Văn An và Amsterdam 1997)
1 xy
1 x 1 xy
x xy 1 1 xy 1
x xy 1 xy
1 x P a) Rút gọn P
b) Cho 1 1 6
y
x Tìm giá trị lớn nhất của P
(Chu Văn An và Amsterdam 1998)
1 x
x 1 : 6 x 5 x
2 x x
3
2 x 2 x
3 x P a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P1 đạt giá trị nhỏ nhất
(Chu Văn An và Amsterdam 1999)
Bài 6 Cho biểu thức: P =
x x
x x x x
x x x
x
_ 1 2
2
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 5
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức P8 chỉ nhận đúng một giá trị nguyên
(Chu Văn An và Amsterdam 2000)
1 x
x 2 : 3 x
2 x x 2
3 x 6 x 5 x
2 x P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
2
5 1
P
(Chu Văn An và Amsterdam 2001)
Bài 8 Cho biểu thức: P =
1
1 1
2 1
1
x x
x x
x
x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x
P
Q 2
(Chu Văn An và Amsterdam 2002)
Bài 9 Cho biểu thức: P =
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Trang 3c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q2 nhận giá trị là số nguyên
(Chu Văn An và Amsterdam 2003)
Bài 10 Cho biểu thức:
2
2
x x 2
1 1 x
1 x 1 x
1 x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để 2
x P
(Chu Văn An và Amsterdam 2004)
Bài 11 Cho biểu thức: P =
x
x x x
x x x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 29
(Chu Văn An và Amsterdam 2005)
1 a 1 a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A với a = 9
c) Với giá trị nào của a thì | A | = A
a ab 2 ab a ab a ab
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B nếu a 6 2 5
c) So sánh B với -1
a a b a a b a b
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm b biết | A | = -A
c) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2
Bài 15 Cho biểu thức A a 1 a 1 4 a a 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A nếu a 6
2 6
Trang 4c) Tìm giá trị của a để A A.
Bài 16 Cho biểu thức A a 1 a a a a
2 2 a a 1 a 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A để A = - 4
Bài 17 Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0
2mn 2mn 1
1+n 1 n n
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
x 1
x 1 x x x x 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x sao cho P < 0
Bài 20 Xét biểu thức
2
x x 2x x
x x 1 x
a) Rút gọn y Tìm x để y = 2
b) Giả sử x > 1 Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
2 1
1 :
1
a a
a Rút gọn A
b Tính giá trị của A khi a = 3 2 2
c Tìm a để A < 0
Trang 5Bài 22 Cho P =
x x
x x
2
1 :
4
8 2
4
a Rút gọn P
b Tính giá trị của x để P = -1
x x
x x
x x
a Rút gọn P
b Tính giá trị của P tại x = 2 2 3
c Tìm x thỏa mãn P. x 6 x 3 x 4
1
1 1
1 2
1 2
2
x
x x
x x x
a Rút gọn B
b Tìm x để B = 2
c Tìm x để B > 0
Bài 25 Cho A = 1 1 :2( 2 1 1)
x
x x x
x
x x x x
x x
a Rút gọn A
b Tìm x Z để A Z
1
1 1 1
x x
x
x x
x x
a Rút gọn A
b Chứng minh rằng 0 < A < 2
Bài 27 Cho K = x x x x x x x .x 2009x
1
1 4 1
1 1
1
2
2
a Tìm x để K xác định
b Rút gọn K
c Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên
xy xy y x xy
y x xy
y x
1
2 1
: 1
1
a Rút gọn P
b Tính P tại x = 2 2 3
c Tìm giá trị lớn nhất của P
Trang 6Bài 29 Cho P =
x x
x x
x x x
1 2
1
1 2
:
1 1
1
a Rút gọn P
b Tính P tại x = 7 4 3
1
1 1
2
x
x x
x
x x
x x
a Rút gọn M
b Chứng minh rằng 1 > 3M
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a Rút gọn A
b Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
2 1
1 :
1
x x
a Rút gọn M
b Tìm x sao cho M > 0
x x x x
x x
4 1
1 1
1
a Rút gọn M
b Chứng minh rằng M > 0
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x
a Rút gọn P
b Tìm x để P = 3
1 1
2
x
x x
x
x x
x x x
x
x x x x
a Tìm x để M có nghĩa
b Rút gọn M
c Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên
d Chứng minh rằng M < 1 với mọi x
Bài 36 Cho P = b b a a a a a b b b b a a b ab
a Rút gọn P
Trang 7b Chứng minh rằng P 0
6
9 3
2 2
3 :
9
3 1
x x
x x
x x
x x
x x
a Rút gọn P
b Tìm x để P = 1
a
a a a
a
a a
a
a
1
1 :
1 1
1 2
a Rút gọn P
b Tìm a để P 1 a 0