pp cm bất đẳng thức

Đồngthời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán đặc biệt là giải toán bất đẳng thức.. Một trong những th

A Mở đầu 1) Lý do chọn đề tài:

Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học, cơ bản cũng nh ứngdụng và tất cả những ngành công nghệ then chốt nh dầu khí, viễn thông, hàngkhông đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó mật thiết với toán học Sự

ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện ợng " Bùng nổ " các ứng dụng của toán học đa lại hiệu quả to lớn cho đời sốngxã hội

t-Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí t-Toánhọc không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học toán) những kỹ năng tính toáncần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơngpháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giảibài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúngphơng pháp dạy học Góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh Đồngthời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo

đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán đặc biệt là giải toán bất đẳng thức

Một trong những thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trờngTHCS đó là:

Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít khaithác, phân tich đề bài, mở rộng bài toán mới,không đa ra phơng pháp giải bàitoán Dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải đợc

Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không liềnmạch, phơng pháp giải hạn chế Vận dụng toán bất đẳng thức vào các loại toánkhó nh cực trị, giải phơng trình rất hạn chế

Vì vậy, phát triển năng lực, t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất

đẳng thức là cần thiết Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng trung học cơ

sở tôi đã tích luỹ đợc một số kiến thức về bất đẳng thức xin trình bầy ở đây mộtgóc độ nhỏ

2) Mục đích nghiện cứu:

2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung vàviệc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho họcsinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các emtiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và là công cụ giải quyết một số bài tậpliên quan đến bất đẳng thức

2.2 Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách thamkhảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập

2.3 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toánbất đẳng thức trong quá trình dạy học

2.4 Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản

và vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập

2.5 Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõmục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức Đồngthời góp phần nâng cao chất lợng giáo dục

3) Nhiệm vụ của đề tài

3.1 Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phùhợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS

3.2 Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức ápdụng để làm bài tập.

Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức

đối với học sinh lớp 8 và lớp 9

5) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành

Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tậpcuối kì, cuối năm, kì thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp III

Phơng pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đa ra phơng pháp giải,bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải (học sinh về nhà làm bài tập)

6) Dự kiến kết quả của đề tài

Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất đẳngthức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất

đẳng thức

Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất

đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức códạng tơng tự, hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức

B Nội dung Phần I: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở

a > b; c > d  a + c > b + dChú ý: Không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

2.5 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức mới cùngchiều với bất đẳng thức bị trừ

d b c a d

c b a

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng:

a > b; c > 0  a.c > b.cb) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm:

a > b; c < 0  a.c < b.c

2.7 Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm.

d b c a d

c b a

0

a > b > 0  an > bn

a > b  an > bn với n = 2k + 1 ( k  N )2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng

1 1



Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không

chặt (a  b, tức là a > b hoặc a = b.)

Trong những tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu " > " ( hoặc dấu " < ")

có thể thay bởi dấu "  " (hoặc dấu "  ")

3 Các hằng bất đẳng thức cần nhớ.

3.1 a2  0; - a2  0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0

3.2 a  0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0

3.3  a aa Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0

3.4 ab a  b Xảy ra dấu đẳng thức khi ab  0

3.5 a b a  b Xảy ra dấu đẳng thức khi a b 0; a  b

Các điều kiện này có thể diễn đạt là: 

0

b a

b a

Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng (coi nh bổ đề)

5 axby2 a2 b2x2 y2 ( Bất đẳng thức Bunhia Côpski )

II Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại

2 x3 + 4x + 1 > 3x2 với x  0

3 x4 - x >

2 1

4 Cho a + b = c + d Chứng minh rằng: c2 + d2 + cd  3ab

1 1

1

2 2

2 Phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức:

2.1 Cơ sở toán học

- Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vân dụng các tính chất của bất đẳngthức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

- Thờng là áp dụng những tính chất cơ bản cảu bất đẳng thức (đã nêu ở phần trên)

2.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Cho a + b > 1 Chứng minh rằng: a4 + b4 >

8 1

Giải:

Ta có: a + b > 1 > 0 (1) Bình phơng hai vế ta đợc:

(a + b)2 > 1  a2 + 2ab + b2 > 1 (2)Mặt khác: (a - b)2  0  a2 - 2ab + b2  0 (3)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a4 + b4) >

8 1

Ví dụ 2:

Cho a, b, c là dộ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng:

c b a b a c a c b c b a

1 1 1 1

1 1

b

a    

1 1

với x, y > 0 ta đợc:

b b a c b c b a

2 2

4 1

Tơng tự ta có:

c b a c a b c

2 1

2 1

1 1 1 1

1 1

4

1 3

1 2

1

3 3

Để chứng minh A < B ta làm trộn A thành C (A < C) rồi chứng minh rằng

C  B (C đóng vai trò trung gian)

Ta có với mọi k N*:

) 1 )(

1 (

1 )

1 (

1 1

1

2 3

3  k  k k k  k k k

k

) 1 ( 1

1

4 3 2

1 3 2 1

1 1

3 3

1 2 2

1

3 3

n A

Đặt

 1  1

1

4 3 2

1 3

Ta lại thấy:

2 1

1 1

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n n C

1 1 2

1 4

1 1

1 2

1 2

n

Vậy :

4

1 1

4

1 3

1 2

1

3 3

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

2.3 Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau:



(Nhân vế với vế hai bất dẳng thức mà cha biết hai vế có không âm hay không)

3 Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm:

a > b  a2 > b2

4 Khử mẫu mà cha biết dấu của chúng:

c b d a d

c b

a







5 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế cùng dấu:

b a b

1

3

1 2

1

2

1

15

1

2

1 7

1

2

1 3

1 2

1 1

ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng phân số lớn nhất trongnhóm ta đợc:

n 1

1 1 2 2

1

.8 2

1 4 2

1 2 2

1 1

1 n 3

4 b

1 a

1 1

4

1 3

1 2

1

2 2

2 2

Và cuối cùng đạt đợc bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C  D

Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A  B

- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:

Ta cã: x2 - x + 1 > 0

0 4

3 2 1

0 4

3 4

1 2

1 2

2 2

 x (®iÒu ph¶i chøng minh)

 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2  4a(b + c + d + e) (nh©n c¶ hai vÕ víi 4)

 (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2)  0

y

b x

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi ay - bx = 0 hay a x b y

Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng Vậy bất

 4(a3 + b3)  (a + b)3 (nhân hai vế với 8)

 4(a + b)(a2 - ab +b2)  (a + b)(a + b)2

 4a2 - 4ab + 4b2  a2 + 2ab + b2 (Chia cả hai vế cho a + b > 0)

- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ các biến đổi tơng

ơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì vậy cần lu ý các biến đổi tơng

Bài 1: So sánh hai số A 3 3  3 và B  2 2  1 (Không dùng máy tính)

Bài 2: Chứng minh rằng với hai số nguyên dơng x, y thoả mãn x.y  1 thì:

xy y

x   

2 1

1 1

1

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2  c2 d2  ab 2  cd 2

Bài 4: Chứng minh rằng: với x > 1 ta có 2

1 



x x

Bài 5: Với a > 0, b > 0 chứng minh bất đẳng thức:

a

b b a b

a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.

a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau

a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng

a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A B  B.

4.2 Ví dụ minh hoạ:

Mà: 2(a2 + b2)  4 (giả thiết) Do đó: a2 + b2 + 2ab  4 (2)

Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1) Vậy phải có a + b  2

Cho a, b, x, y liên hệ bởi: a + b = 2xy

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x2  a; y2 

abc

ca bc

ab

c b

a

Chứng minh rằng: Cả ba số đều dơng

Giải:

Vì abc > 0 nên trong ba số a, b, c có ít nhất một số dơng

Giả sử ngợc lại cả ba số đều âm  abc < 0 (Vô lý)

Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0

4.4 Bài tập tự giải.

1) Cho a > b > 0 và 1

b a

ab 1







Chứng minh rằng không thể có: a < 1; b < 1.2) Cho a, b, c thoả mãn: 0 < a, b, c < 1

Chứng minh rằng: có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

4

1 b 1

4

1 c 1

b  

4

1 a 1

c  

Hãy phát biểu tổng quát

5 Phơng pháp quy nạp toán học

5.1 Cơ sở toán học:

Nội dung của phơng pháp này là tiền đề quy nạp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n Nếu:

+ Bớc 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng (n)

5.2 Một số ví dụ minh hoạ:

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x)k  1 + kx

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 Tức là phải chứng minh:

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Ta sẽ phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp rồi làm trội ta có:

 1 1 1

2

2 2

n b a b a

+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có:

k k

k b a b a

1

2 2

b a

2

2

b a b a b

1

2 2

B1 Đặt biến mới dựa theo biến cũ

B2 Biến đổi bất đẳng th ức theo biến mới, chứng minh bất đẳng th ức theo biếnmới

B3 Kết luận và trả về biến cũ

6.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Chứng minh bất đẳng th ức sau: abc  (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) (1)

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Giải:

Đặt b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z thì x, y, z > 0

2

; 2

;

2

y x c z x b

2

[(y + z)(x + z)(x + y)]2  (8xyz)2

Vậy bất đẳng th ức (1) đ ợc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z  a = b = c

Ví dụ 2:

Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a 2 + b + c2 2 

3 1

Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0

Ta có: a2 + b2 + c 2 =

2 2 2

2 2

2

3

1 3

1 3

1 3

2 9

1 3

2 9

1

z z y

y x

2

x2 + y2 + z 2 =

3

1

+ x2 + y2 + z 2 

3 1

Xảy ra dấu đẳng thức  x = y = z  a = b = c =

3 1

6.3 Chú ý:

Khi dùng ph ơng pháp biến đổi để chứng minh bất đẳng th ức cần chú ý:

+ Đặt biến mới theo hệ đ i ều kiện của biến cũ, kèm theo đ i ếu kiện của biến mới.+ Nắm kỹ đ ợc các phép biến đổi, các bất đẳng th ức cơ bản, quen thuộc để ápdụng

b a

c b a

4 2 2

4 2 2

b a

c c a

b c b

Trong nhiều bài toán để việc chứng minh một bất đẳng thức đ ợc gọn, ta có th ể sửdụng các bất đẳng th ức đã đ ợc chứng minh, nhất là những bất đẳng thức "kinh

điển " nh bất đẳng thức: Cô si; Bunhia côp s ki ;

7.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng:

a

b b

a

  2 ; với ab > 0Giải:

a

hay

a

b b

m

qa m n m

Ví dụ: Cho a, b  0 Chứng minh rằng: 2 3 4 0 ( 1 )

2 2

a a

b b a

Có một học sinh đã giả i nh sau:

Ta có:

) 2 ( 0 1

2

0 4

1 2

3

0 4

1 4

9

3 2

2 2

2 2

a a

a a

Vậy (1) luôn đúng  a, b  0 ( suy ra đ i ều phả i chứng minh)

Bài toán đã sai ở chỗ áp dụng bất đẳng th ức   2

a

b b

a a

b b

a x a

a a

b b

x    

2 1

1 1

1

2 2

a với a, b, c > 0 và a + b + c = 15/ Cho a  1; b  1 Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab

+ NÕu  = 0 th× a.F(x) > 0 Víi x 

a

b



 F(x) cïng dÊu víi a+ NÕu  > 0   x1, x2 x : 2 > x1

- x n»m ngoµi kho¶ng 2 nghiÖm: x < x 1; x > x2  a.F(x) > 0

- x n»m trong kho¶ng 2 nghiÖm: x1 < x < x2  a.F(x) < 0

8.2 VÝ dô minh ho¹:

Bất đẳng thức  (y + ad)(y + bc) + m2  0

 y 2 + (ad + bc)y + abcd + m2  0

Đặt: F(y) = y + (ad + bc)y + abcd + m2 2

 y = (ad + bc)2 - 4abcd - 4m2 = (ad - bc) - 4m2

z   (c > 0)Thay vào (2) ta có:     cxy 0

c

by ax bx c

by ax ay

2 2 2

2

0 0

aby x c b a

y

abx

aby x c x b x a

y

abx

xy c bx ay by

(

0 )

0 ) (

y F

y F

Trong đó: F(x); F(y) là tam thức bậc 2 đối với biến x hoậ c biến y

8.4 Bài tập tự giải:

1/ Chứng minh rằng với mọi a  R ta đều có: 3

1

1 3

1 2

a a

2/ Cho a, b, c thoả mãn hệ th ức: a2 + b2 + c = 2 và ab + bc + ac = 1.2

Chứng minh rằng:

3

4 , , 3

4





 a b c 3/ Cho các số x1, x2, y1, y2, z1, z2 thoả mãn các điều kiện:

x m

1

trong đó mi (i = 1, , n) là các số hữu tỉ d ơng

x m

1

trong đó mi (i = 1, , n) là các số hữu tỉ d ơng cho tr ớc

3 Cho  R a 1 , a2 , , a n  R Ta có:

n

a a

1 1

a S F

y x

Giá trị lớn nhất của S = x + y + 1 là -1  







 0 1

y x

2 tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình, hệ ph ơng trình, tam th ức bậc 2 thoảmãn đ i ều kiện nào đó

Tìm giá trị của tham số a để ph ơng trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp sốnguyên

Ta có: a2 x2 2  a2x2 1  2a2 a2x2 2a2  1  a2x2  2a2 A

á

p dụng bất đẳng thức (1) ta đ ợc:

1 2 1

0 2

2 2 2

x a x

a  9 

2

1 3

c b

a F(- 1)

c b

a F(1 )



2

) 1 ( ) 1 (

F F

b

Thay vào F(x) ta đ ợc:

) 0 ( 2

) 1 ( ) 1 ( )

0 ( 2

) 1 ( )

) 1 ( )

0 ( 2

) ( 2

F x F x

F x

)

1

(

x F

x x

F x x

2

1 2

1

x x x

x x x

x         (*)+ Với -1  x 0 thì: 2 2 1 2 1 2

2

1 2

1

x x x

x x x

x         (**)

Từ (*) và (**) chứng tỏ với x  1ta có:

4

5 2

1 4

5 1

)

(

2 2

2 16 12

3 2 2

y y

x x

4 16 12

3

2

2

y y

x x

 





 2 2

y x

Vậy nghiệm của ph ơng trình là: x = 2; y = 2

Ví dụ 2: Giải hệ ph ơng trình sau:

) 1 ( 0 3 4 2

x

x

y y

Vậy hệ ph ơng trình có nghiệm duy nhất x = -1; y = 1

Phần II áp dụng giả i toán bất đẳng thức trong hình học

I Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học

1 Một số kí hiệu đ ợc dùng để chỉ các yếu tố của tam giác

1.1 a, b, c t ơng ứng là độ dài 3 cạnh BC, AC, AB của tam ∆ ABC

1.2  ,  ,  t ơng ứng là độ lớn các góc tại ba đỉnh A, B, C

1.3 ma, mb, mc t ơng ứng là độ dà i các đ ờng trung tuyến dựng từ các định A, B, C.