b Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó.. Chứng minh OH⊥SB.. c Tính góc giữa SO và SBC.. Tính tỉ số SM SB... Kẻ AI qua A vuông góc với SC, cắt SC tại I.
Trang 1SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH
GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 75 phút
Câu 1 (3 điểm): Tìm các giới hạn sau:
a) 2
x 5
x 4 3 lim
→
+ −
3 x
2x x 1 lim
→−∞
+
2
xlim ( x 2x x)
Câu 2 (2 điểm): Cho hàm số y=
2
2
a) Với a=-3, hãy xét tính liên tục của hàm số tại xo=1
b) Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó
Câu 3 (4 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là
hình vuông tâm O cạnh a, SO a 6
2
a) Chứng minh SO⊥(ABCD)
b) Gọi H là trực tâm SBC∆ Chứng minh OH⊥SB
c) Tính góc giữa SO và SBC ( )
d) Gọi ( )α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, cắt SB tại M Tính tỉ số SM
SB .
Câu 4 (1 điểm) : Chứng minh rằng phương trình:
1
có ít nhất một nghiệm thuộc ;
2 2
−π π
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 – 2011
1 a
2
x 5
x 4 3
lim
→
+ −
x 5
lim
→
=
2
x 5
x 5
x 5 lim
1 lim
1
60
→
→
−
=
=
=
0,25 0.25 0.25
0.25
x
3
2 2 x lim
1 1
x 2
→−∞
=
+
=
+
=
0.25
0,5
0.25 1c
2
2
x
2
x
⇒ kết quả bằng +∞
0.25 0.25
0.25 0.25 2a * TXĐ D=R, xo∈ D
x 1 x 1
2
x 1 x 1
* lim f (x) lim x 2 3
* lim f (x) lim x x 3 1
⇒ hàm số không liên tục tại xo=1
0.25 0.25
0.25 0.25 2b * Khẳng định hàm số liên tục với mọi x 1≠
* Tại x=1
( )
x 1 x 1
2
x 1 x 1
lim f (x) lim x 2 3
= +
Hàm số liên tục tại x=1 khi và chỉ khi a=1
0.25 0.25
0.25
Trang 3* Kết luận a=1
⇒ các tam giác SAC, SBD cân
⇒ SO ⊥ AC và BD và 2 điều kiện
⇒ SO ⊥ (ABCD)
0.5 0.25 0.25 3b * AC ⊥ SO, BD ⇒ AC⊥ (SBD)
⇒ AC⊥ SB
Mà SB⊥CH
⇒ SB⊥(CHO)
⇒ SB⊥ OH
0.25 0.25
0.25 0.25 3c BC⊥ SH và SO ⇒ BC ⊥ (SOH)
⇒ BC ⊥ OH
Mà OH ⊥ SB ⇒ OH ⊥ (SBC)
⇒ hình chiếu của SO lên (SBC) là SH và góc giữa SO và (SBC) là góc
OSH =ϕ
Gọi K là trung điểm BC ⇒ OK = a/2 ⇒ tan ϕ= 1
6 ⇒ϕ = arctan 1
6 .
0.25 0.25
0.25 0.25 3d Kẻ AI qua A vuông góc với SC, cắt SC tại I
Trong (SBC) kẻ IM ⊥ SC cắt SB tại M
Chứng minh được tam giác SAC đều (Sử dụng Pitago, các cạnh đều =
a 2 ) , do đó SB=SC= a 2
⇒ AI là trung tuyến ⇒ I là trung điểm của SC ⇒ SI = a 2
2 Trong tam giác SBC có
cosS
SB = 3
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 4* f(x) liên tục trên 0;3
2
( )
( )
1
2
3
f 0 f( ) 0
2
−
= <
⇒ phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc 0;3
2
−π π
⇒ đpcm
0.25
0.25
0.25
S
A
D
B
C K
H I
O M
