Hớng dẫn học sinh các phơng phap giải bài toán cực trị A- Đặt vấn đề 1- Lí do chọn đề tài : Trong chơng trình toán phổ thông các bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một
Trang 1Hớng dẫn học sinh các phơng phap giải
bài toán cực trị A- Đặt vấn đề
1- Lí do chọn đề tài :
Trong chơng trình toán phổ thông các bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ; đợc gọi chung là dạng toán '' cực trị '' chiếm tỷ lệ
không nhỏ ; chủ yếu tập trung ở các chuyên đề nâng cao ở toán 8 - toán 9 Bài toán này có rất nhiều dạng phong phú với nhiều cách giải hay và đợc coi là khó
đối với học sinh , Dạng toán '' Cực trị '' này lại xuất hiện rất nhiều ở các đề thi
học sinh giỏi , đề tuyển sinh vào các trờng THPT , trờng chuyên của tỉnh - Chúng đòi hỏi học sinh phải có một kiến thức đầy đủ và chắc chắn về dạng toán này , Biết phân dạng và nắm chắc các phơng pháp giải Từ đó áp dụng linh hoạt vào giải bài toán của mình Thực tế học sinh thờng lúng túng và gặp khó khăn rất nhiều với bài toán cực trị này Vì thế với kinh nghiệm bản thân đã từng gặp phải vấn đề này trong quá trình giảng dạy của mình, bản thân tôi cố gắng tìm cách tháo gỡ điều này bằng cách tham khảo các tài liệu và rút ra kinh nghiệm hớng dẫn, cung cấp cho HS các phơng pháp giải thật đa dạng về bài toán cực trị , Phân tích ra các sai lầm mà các em có thể gặp phải trong quá trình tìm tòi và trình bày lời giải Nhằm để các em nắm thật chắc mỗi phơng pháp giải, chú ý tránh các sai lầm có thể xảy ra
Từ đó hớng dẫn các em biết nhận dạng và vận dụng thật linh hoạt các phơng pháp đã biết Tìm ra phơng pháp giải phù hợp cho mỗi bái toán về ''Cực trị'' của
mình -đáp ứng với sự mong mỏi đợc khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm phong phú hơn hành trang về kiến thức để các em mang theo khi học lên THPT
2
- Mục đích , nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm :
Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục theo hớng đổi mối phơng pháp giảng dạy của giáo viên và đổi mới cách học của HS theo hớng chủ động sáng tạo, phát huy đợc tính tích cực tối đa của học sinh Rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung
và giải các phơng trình vô tỉ nói riêng một cách chủ động, linh hoạt hơn Từ đó xây dựng đợc lòng say mê, hứng khởi với việc học toán của học sinh Qua đó góp phần vào việc giáo dục một thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, giàu kĩ năng trong công việc đáp ứng với công cuộc xây dựng và bảo vệ đất nớc theo yêu cầu mới của nớc nhà hiện nay
Nhiệm vụ của sáng kiến: - Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực
trị, chỉ ra đợc sai lầm thờng mắc phải
Trang 2- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải
- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị
Với những lí do nh vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “H ớng dẫn học sinh các phơng phap giải bài toán cực trị” Với mong muốn đợc trình bày một vài
kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự
đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy của mình tôi đã cho HS làm bài kiểm tra khảo sát với nội dung '' Cực trị '' có cả bài dể và bài khó đòi hỏi HS phải biết sử dụng linh hoạt các phơng pháp giải
Kết quả thu đợc thật đáng buồn: Với 30 bài kiểm tra (đã trừ những em quá yếu kém ) chỉ có 10 em tạm đạt yêu cầu, không có điểm cao, số còn lại không
đạt - Lí do cha biết trình bày lời giải, cũng có thể cha tìm ra cách giải, cũng có một số em đã tìm ra lời giải song lại mắc phải một số sai lầm đáng tiếc
3/ Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu :
- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh khá giải lớp 8, 9)
- Phơng pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh Tham khảo các tài liệu sách giáo khoa , sách nâng cao và chuyên đề 8-9
+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện
+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề
+ Trao đổi ý kiến , rút kinh nghiệm với đồng nghiệp hàng năm
Trang 3B- Giải quyết vấn đề
Với những lí do và ý tởng đã nêu tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “H ớng dẫn học sinh các phơng phap giải bài toán cực trị” Với mong muốn đợc trình
bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy của mình tôi đã cho HS làm bài kiểm tra khảo sát với nội dung '' Cực trị '' có cả bài dể và bài khó đòi hỏi HS phải biết sử dụng linh hoạt các phơng pháp giải Với nội dung nh sau :
Bài 1: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x2 + 10x + 9
b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -x2 + 2x -7
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1
1
2
2
+
−
+
=
x x
x y
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của A= x− 1 + y− 2 biết x+y = 4
Kết quả thu đợc thật đáng buồn: Với 20 bài kiểm tra ( chủ yếu là học sinh khá giỏi ) trong khối 9 chỉ có 10 em tạm đạt yêu cầu, không có điểm cao, số còn lại không đạt - Lí do cha biết trình bày lời giải, cũng có thể cha tìm ra cách giải, cũng có một số em đã tìm ra lời giải song lại mắc phải một số sai lầm đáng tiếc
Cụ thể :
Số HS cha biết giải Số HS mới biết giải các
bài đơn giản thờng gặp
đạt mức TB
Số HS nắm khá chắc các
pp giải và đạt kết quả khá
tốt
Nội dung sáng kiến :
Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất Những sai lầm thờng mắc phải khi giải toán cực trị.
Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị
1/ Phơng pháp tam thức bậc hai
2/ Phơng pháp miền giá trị
3/ Phơng pháp bất đẳng thức.
Chơng I:
Kiến thức cơ bản
Trang 4I - Định nghĩa :
1/ Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f ( y x, , ) xác định trên miền D, ta nói M là giá trị lớn nhất của f ( y x, , ) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với x , y thuộc D thì f(x,y, )≤M với M là hằng số
ii) Tồn tại x0,y0 thuộc D sao cho f(x,y, )=M
2/ Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f ( y x, , )xác định trên miền D, ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f ( y x, , ) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với mọix , y thuộc D thì f(x,y, )≥m với m là hằng số
ii) Tồn tại x0,y0 thuộc D sao cho f(x,y, )=m
Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần
nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ f(x,y, )≤M hoặc f(x,y, )≥m) với mọi x , y, thuộcD
+ Chỉ ra sự tồn tại x0,y0 thuộc D để f ( y x, , ) đạt cực trị
Chú y đến miền giá trị của biến
Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A
II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1/ Tính chất 1: Giả sử A⊂Bkhi đó ta có:
a/ Max x∈A f (x)≤ maxx∈B f (x)
b/ Min f(x) min f(x)
B x A
2/ Tính chất 2: Nếu f(x,y)≥0 với mọi xthuộc D, ta có:
a/ Max x∈D f(x)= maxx∈D f 2(x) Min x∈D f(x)= minx∈D f2(x)
3/ Tính chất 3:
Trang 5) ( )
( ))
( ) ( /
2 1
x f Max x
f Max x
g x f Max
a
D x D
x D
) ( )
( ))
( ) ( /
2 1
x f Min x
f Min x
g x f Min
b
D x D
x D
Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f (x)vàg (x) cùng đạt giá trị lớn nhất Tơng tự nếu tồn tại x0thuộc D mà tại đó f , gcùng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng
4/ Tính chất 4:
)) ( ( min )
(
1
x f x
f Max
D x D
∈
∈
5/ Tính chất 5:
Nếu đặt M =Max x∈D f (x), m min f(x)
D
x∈
= thì Max f x Max{M m}
D x D
∈
6/ Tính chất 6:
Giả sử D1 ={x∈D;f(x) ≤ 0} vàD2 ={x∈D;f(x) ≥ 0}thì
( ) { max ( ); min ( )}
2 1
x f x
f Min
x f Min
D x D
x D
Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh
đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ
cũng phải tìm TXĐ Cùng một hàm số f (x)nhng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tơng ứng khác nhau Để cho phù hợp với chơng trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó
III - Những sai lầm th ờng gặp khi giải toán cực trị :
1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
5 4 4
3
=
x x A
Trang 6Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
Ta có:
x x
x
x − 4 + 5 = ( 2 − 1 ) + 4 ≥ 4 , ∀
x x
+
−
4
3 5 4 4
3
2
2
1 4
3
=
⇔
=
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định “A có tử
số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà cha đa ra nhận xét tử mẫu là các số dơng
Ta đa ra một ví dụ:
Xét biểu thức B = x21−4
Với lập luận “phân thức Bcó tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng − 4khi x= 0, ta sẽ đi đến: maxB= −41 không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x= 3 thì 51 ≥−41
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x2 − 4x+ 5 = ( 2x− 1 ) 2 + 4 ≥ 4 nên tử
và mẫu của A là các số dơng Hoặc từ nhận xét trên suy ra A> 0, do đó A lớn nhất khi và chỉ khi A1 nhỏ nhất ⇔ 4x2 − 4x+ 5nhỏ nhất
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A=x2 +y2biết x+ y= 4
Lời giải sai:
Ta có: A= x2 + y2 ≥ 2xy
Do đó A nhỏ nhất ⇔ x2 +y2 = 2xy ⇔ x= y= 2 Khi đó MinA= 2 2 + 2 2 = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm Ta
mới chứng minh đợc f(x,y)≥ g(x,y), chứ cha chứng minh đợc f(x,y)≥m với m
là hằng số
Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng x2 ≥ 4x− 4
sẽ suy ra: x2 nhỏ nhất ⇔x2 = 4x− 4 ⇔ (x− 2 ) 2 = 0 ⇔x = 2
Dẫn đến: Minx2 = 4 ⇔ x= 2
Trang 7Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2 = 0 ⇔ x= 0
Cách giải đúng:
Ta có: (x+y) 2 = 4 2 ⇔x2 + 2xy+y2 = 16 ( 1 )
Ta lại có: (x−y) 2 ≥ 0 ⇒ x2 − 2xy+ y2 ≥ 0 ( 2 )
Từ (1), (2): 2 (x2 +y) 2 ≥ 16 ⇒x2 + y2 ≥ 8 Vậy MinA=8⇔ x= y=2
2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A=x+ x
Lời giải sai:
4
1 2
1 4
1 4
=
−
= +
A
Vậy MinA=−41
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh ,
4
1 ) (x ≥ −
f cha chỉ ra trờng hợp xẩy ra dấu đẳng thức .
4
1 ) (x ≥ −
f Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi ,
2
1
−
=
x
vô lý
Lời giải đúng:
Để tồn tại x phải có x≥ 0
Do đó A=x+ x ≥ 0 Min A= 0 ⇔ x= 0
VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
) )(
( (x y y x z x xyz
Với x,y,z≥0và x+ y+z=1
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab≤ (a+b)2
1 ) (
) (
4 x+y z≤ x+y+z 2 =
1 ) (
) (
4 x+z x≤ y+z+x 2 =
1 ) (
) (
4 x+x y≤ z+x+ y 2 = Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
1 ) ) )(
(
64xyz x+ y y+x z+x ≤
Trang 81
=
MaxA
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu
đẳng thức Điều kiện để A=641 là:
Cách giải đúng:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
3
3 ) ( ) ( ) (
2 = x+y + y+z + z+x ≥ x+y y+z z+x ( 2 )
Nhân từng vế (1) với (2)do 2 vế đều không âm)
3 3
9
2
9
≤
⇒
3
1 9
23 ⇔ = = =
MaxA
Chơng II:
một số phơng pháp tìm cực trị
I/ Ph ơng pháp tam thức bậc hai
I.1 - Nội dung:
Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do
I.2 - Các ví dụ:
Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai
≥
= + +
= +
= +
= +
0 , ,
1
z y x
z y x
y x z
x z y
z y x
≥
= + +
=
=
=
0 , ,
1 0
z y x
z y x
z y x
⇔
mâu thuẩn
Trang 91/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x2 − 8x+ 1 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B= 2x2 − 4x+ 1 3/ Tìm giá trị nếu có của C = − 3x2 − 4x+ 1 4/ Cho tam thức bậc hai P=ax2 +bx=c
Tìm giá trị nhỏ nhất của Pnếu a> 0 ;Tìm giá trị lớn nhất của Pnếu a< 0
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai
1/ A=x2 − 8x+ 1 = (x− 4 ) 2 − 15 ≥ − 15 ⇒ minA= − 15 ⇔ x= 4
2/ B= 2x2 − 4x+ 1 = 2 (x− 1 ) 2 − 1 ≥ − 1 ⇒ minB= − 1 ⇔x= 1
2
−
−
= +
−
−
a
c x a
b x a c bx ax P
4
4 2
2 2 2
−
=
= + +
=
a
ac b
P a
2 4
4 min
:
>
a
ac b
P a
2 4
4 max
:
<
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A= (x2 +x+ 1 )2
HD: MinA⇔Min(x2 +x+ 1 )
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: B =[f(x)]2k (k∈N)
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x(x−3)(x−4)(x−7) +12
HD: Dùng phơng pháp đổi biến Ta có C = (x2 -7x ) ( x2 -7x +12) +12
Đặt x2 -7x = y => C = y (y +12) +12 = y2 +12y +36 -24 = (y +6)2 -24≥ -24
Vậy min C = -24<=> y =-6 <=> x = 1 hoặc x= 6
Trang 10Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng
số, có mẫu là tam thức bậc hai.
VD: Tìm giá trị lớn nhất của M = 4x2 −34x+5
HD: Vì tử và mẩu thức đều dơng , mà tử không đổi nên M lớn nhất khi mẩu bé nhất 4x2 - 4x + 5 = ( 2x -1)2 +4 ≥ 4 <=> x =21
Vậy M lớn nhất = 43 <=> x =21
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phơng nhị thức:
VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
2
) 1 (
1
+
+ +
=
x
x x P
HD: ( 1 ) 2
1 1
1 1
+
+ +
−
=
x x
P
1
1
+
=
x
2
−
= +
−
P
1 2
1 4
3
=
⇔
=
⇔
MinP
Cách 2: Viết N dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
4
3 1 ( 2
1 4
3 )
1 ( 4
4 4
2
2
≥
+
− +
= +
+
−
=
x
x x
x x P
1 4
3
=
⇔
MinP
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến:
VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
3xy x y
A= − − Biết x, y là nghiệm của phơng trình: 5x+2y=10
Giải: Ta có: 5x+2y=10⇔ y=10−25x
( 59 160 100 )
4
− +
−
=
25 59
160 4
59 2 −
− +
25 3481
6400 59
80 4
+
−
−
Trang 1125 59
1600 59
80 4
59 2 + −
−
−
59
125 59
80 4
59 59
−
−
=
Vậy
=
=
⇔
=
59 95 59 80 59
125 max
y
x A
I.3 - Một số bài tập tự giải:
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a/ A= 4x2 − 20x+ 35 b/ B= − 2x2 + 3x+ 1
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/ A=(x−1)(x−2(x−3)(x−5) b/ B=x2 − 2x+y2 + 4y+ 5
2
2x y
P= + với ã − 3y= 7
ab b a
Q= 3 + 3 +
với a+b= 1
IV: L u ý :Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai
II/ Ph ơng pháp miền giá trị của hàm số :
II.1 - Nội dung phơng pháp:
Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x)với
.
D
x∈ Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ
ph-ơng trình (ẩn x) sau có nghiệm:
0
) (x y
f = ( 1 )
D
Trang 12Tuỳ dạng của hệ (1), (2)mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng a≤ y0 ≤b (3)
Vì y0là một giá trị bất kỳ của f (x)nền từ (3)ta thu đợc: Min f(x)=a và
b
x
f
Max ( ) = trong đó x∈D.
Nh vậy thực chât của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử dụng điều kiện ∆ ≥ 0
II.2 - Các ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
1
1
2
2
+ +
+
−
=
x x
x x A
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị akhi và chỉ khi phơng trình ẩn x ãsau đây có nghiệm:
1
1
2
2
+ +
+
−
=
x x
x x
a (1)
Do x2 +x+ 1 ≠ 0 nên (1) ⇔ax2 +ax+a= x2 −x+ 1
⇔ )(a− 1 )x2 + (a+ 1 )x+ (a− 1 ) = 0 ( 2 )
+ TH1: Nếu a= 1thì (2)có nghiệm x= 0
+ TH2: Nếu a≠ 0thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là ∆ ≥ 0, tức là:
0 ) 1 ( 4 ) 1 (a+ 2 − a− 2 ≥
0 ) 2 2 1 4 )(
2 2 1 ( + + − + − + ≥
0 ) 3 )(
1 3 ( − − ≤
) 1 ( 3 3
1 ≤ ≤ ≠
Với a =31 hoặc a= 3 thì nghiệm của (2) là:
) 1 ( 2
) 1 ( ) 1 ( 2
) 1 (
a
a a
a x
−
+
=
−
+
−
= Với a =31 thì x=1, với a= 3 thì x= − 1
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:
1 3
1 ⇔ =
MinA