skkn phương pháp giải toán cực tri trong toán THCS

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH HẢI DƯƠNGSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TOÁN THCS BỘ MÔN: TOÁN Năm học 2014 - 2015... Từ những nghiên cứu thực tế tôi

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TOÁN THCS

BỘ MÔN: TOÁN

Năm học 2014 - 2015

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Phương pháp giải toán cực tri trong toán THCS

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn

3 Tác giả:

Họ và tên: Nguyễn Chí Thanh Nam

Ngày tháng/năm sinh: 02/9/1976.

Trình độ chuyên môn: Sư phạm Toán.

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên

Điện thoại: 0946559388

4.Chủ đầu tư sáng kiến:

Trường THCS Thành Nhân - Ninh Giang - Hải Dương

Địa chỉ : Thị trấn Ninh Giang - Ninh Giang - Hải Dương

Số đt: 03203.766419

5 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Lớp thực nghiệm

- Cần có phương tiện hỗ trợ giảng dạy như máy tính, máy chiếu

6 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu từ: Năm học 2010-2011

ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Nguyễn Chí Thanh

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

Xuất phát từ yêu cầu chung của ngành giáo dục là giáo dục, đào tạocông dân thành những người lao động hoà nhập được với cuộc sống nói chungvới các hoạt động lao động sáng tạo nói riêng của đất nước Vì vậy trong quátrình giáo dục nói chung và dạy – học nói riêng môn Toán đóng vai trò trọngtâm Xác định được tính cấp thiết của vấn đề tôi đã không ngừng nghiên cứunhằm đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán Từ những nghiên cứu thực tế

tôi đã viết và áp dụng sáng kiến: Phương pháp giải toán cực trị trong toán THCS.

Sáng kiến này được tôi viết và áp dụng trong điều kiện ngành giáo dụcđang có nhiều đổi mới Thay thế cho việc nặng nề về lí thuyết, hàn lâm, giáodục đã phát triển theo hướng gắn với thực tiễn, lấy người học làm trung tâm.Đây là điều kiện hết sức thuận lợi để tôi thực hiện sáng kiến Sáng kiến đã được

áp dụng từ năm học 2010-2011 với đối tượng là học sinh các khối lớp 6, 7, 8, 9

Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến này chính là sự đổi mới toàn diện,triệt để trong phương pháp nghiên cứu và áp dụng thực tế Đưa ra các giảipháp, biện pháp để thực hiện sáng kiến một cách hiệu quả nhất với cả ngườidạy và người học

Sáng kiến đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng dạy môn Toántại trường áp dụng trong năm năm học Mức độ áp dụng sáng kiến được nângcao dần sau mỗi năm học Dần dần đạt đến sự hoàn chỉnh nhất trong từng bàidạy trực tiếp hoặc có thể liên hệ đến toán cực trị Tính khả thi của sáng kiến làrất cao do việc khai thác thông tin, tài liệu, sách tham khảo tương đối thuận lợi(đặc biệt với sự hỗ trợ của mạng Google) Trong những năm học tiếp theo sángkiến này còn có thể áp dụng một cách rộng rãi và hiệu quả hơn nữa

Khi đưa sáng kiến vào áp dụng tôi nhận thấy hiệu quả giảng dạy nâng lên

rõ rệt Tình trạng học sinh không nắm được bài không còn tồn tại Học sinhhứng thú tích cực học tập, giờ học trở lên sôi nổi, hiệu quả Từ việc hiểu dẫnđến những thay đổi hẳn trong hành vi ứng xử của các em Ý thức của học sinh

và khả năng thích ứng với cuộc sống, kĩ năng ứng biến của các em tốt hơn lênrất nhiều.

Kết quả của việc áp dụng sáng kiến còn được minh chứng rõ nét hơn ởkết quả khảo sát học sinh qua mỗi năm học Tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng lên.Kết quả này là sự khích lệ rất lớn với cả giáo viên và học sinh nhất là trongcông tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Để mở rộng việc áp dụng sáng kiến và cũng là nâng cao hiệu quả giảngdạy môn Toán, tôi đã đưa ra một số đề xuất, kiến nghị với các cấp lãnh đạocũng như bản thân các đồng chí là giáo viên trực tiếp giảng dạy như:

- Tuyên truyền làm thay đổi nhận thức của những nhà giáo dục, giáo viên,phụ huynh học sinh và học sinh về vai trò và tầm quan trọng của việc tự học tựnghiên cứu ở môn Toán

- Tổ chức các đợt hội thảo trao đổi kinh nghiệm, bồi dưỡng thường xuyên

về phương pháp dạy – học bộ môn ở cấp huyện, cấp tỉnh

- Tăng cường tài liệu tham khảo môn toán cho thư viện, các trang thiết bịdạy - học

đời sống xã hội , trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản , dạy họcsinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơngpháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động , độclập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng , kỹ sảo – hoàn thiện nhân cách

Trong Toán học , cực trị là một khái niệm rất hẹp nhng kiến thức liênquan đến nó thì vô cùng rộng rãi Trong chơng trình Toán THCS những bàitoán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học , Đại số và Hìnhhọc Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với nhữngyêu cầu nh : tìm số x lớn nhất sao cho , tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) củabiểu thức , xác định vị trí của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ) củahình H nào đó đạt giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) Nhng khi giải có thể giáo viênkhông dạy phơng pháp tổng quát hoặc có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thutheo hệ thống dạng toán

Nói chung khi gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại và lúng túng trongcách giải

1.2 Hoàn cảnh chủ quan

Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 , dạy họcsinh ôn tập,ôn thi HSG và ôn thi THPT tôi nhận thấy sự cần thiết phải hìnhthành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị và phơng pháp giải để dạyhọc sinh Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu , học hỏi đồngnghiệp , tìm tòi thử nghiệm với các đối tợng học sinh đại trà và ôn thi Đợc sựkhuyến khích , giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trờng và ở cáctrờng bạn, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài :

“ Phơng pháp giải toán cực trị trong toán THCS ”

2 Cơ sở lớ luận của vấn đề.

Trong Toán học , cực trị là một khái niệm rất hẹp nhng kiến thức liênquan đến nó thì vô cùng rộng rãi Trong chơng trình Toán THCS những bàitoán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học , Đại số và Hìnhhọc Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với nhữngyêu cầu nh : tìm số x lớn nhất sao cho , tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) củabiểu thức , xác định vị trí của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ) củahình H nào đó đạt giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất )

2.1 Sự phõn bố kiến thức cực trị trong toỏn THCS.

Trong số học ta cú: Bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất,……

Trong đại số ta cú: Tớnh chất lũy thừa bậc chẵn, giỏ trị tuyệt đối, điềukiện cú nghiệm của phương trỡnh bậc hai, một số bất đẳng thức cơ bản,……

Trong hỡnh hoc ta cú: Đường xiờn đường vuụng gúc, đường gấp khỳc vàđường thẳng, đường kớnh và dõy,………

2.2 Một số yờu cầu cần cú trong giải toỏn cực trị.

- Khi giải toỏn cực trị nhất thiết phải chỉ đủ hai bước:

đối với phân môn Đại số và Hình học còn đối với phân môn Số học thì chỉ xéttrên vành số nguyên Z

3 Thực trạng của vấn đề nghiờn cứu

Trờn thực tế, trước khi bắt tay vào nghiờn cứu viết sỏng kiến này tụinhận thấy việc dạy và học mụn Toỏn đa số cũn thụ động Giỏo viờn giảng dạyhầu hết chỉ căn cứ vào cỏc thụng tin đó cú trong sỏch giỏo khoa Trong khi đúkiến thức cực trị được đề cập rải rác và hầu khắp các phân môn Số học , Đại số

và Hình học , việc khai thỏc đũi hỏi phải cú hệ thống Phương phỏp giảng dạychủ yếu là gặp bài nào giải quyết bài đú Phương phỏp và hoạt động dạy họccũn hết sức đơn điệu chưa đưa được yờu cầu đổi mới giảng dạy

Nội dung kiến thức cực trị là một trong những nội dung cú phần mangtớnh trừu tượng và đũi hỏi tư duy logic cao Do vậy người dạy và người họcphải cú khối kiến thức cơ bản chắc chắn Xong một vấn đề là cả người dạy vàngười học chưa tớch cực tỡm hiểu nội dung kiến thức này

Về phớa học sinh tớnh tự học chưa cú mấy, dẫn đến cỏc em hết sức thụđộng trong giờ học, khả năng phõn tớch, tư duy và liờn kết cũn hạn chế.Theo một số khảo sỏt nhanh tại trường về một số mặt

- Cú khoảng 70% học sinh rất ngại khi học phần cực trị, khụng muốn núi

là sợ

- 80% cỏc em chưa biết cỏch lập luận và lập luận thiếu chặt chẽ

- Khảo sỏt 100 học sinh (cho làm một đề kiểm tra theo hướng đổi mới):chỉ cú 5% học sinh đạt điểm 8 trở lờn

Trước thực trạng dạy và học kiến thức cực trị như đó nờu trờn tụi

đó cố gắng nghiờn cứu nhằm đưa ra giải phỏp khắc phục Đú chớnh là việc

nghiờn cứu và đưa vào ỏp dụng sỏng kiến " Phương phỏp giảỉ toỏn cực trị trong toỏn THCS ".

4 Cỏc giải phỏp, biện phỏp thực hiện.

Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn và trong khi giải quyết những bàitoán lớn Cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) Trong lí thuyết Toán học hiện đại thì cácphân môn Số học , Đại số , Hình học đều có thể đợc định nghĩa qua tập hợp

Theo lí thuyết Giải tích cổ điển , xét tập hợp số thực xE R , khi đónếu E không rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE )hoặc cận dới đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai Tuy nhiên có thể cả M và

m đều không thuộc E Khi ME ( hoặc mE) ta viết M = maxE ( hoặc m =minE ) đây là cách viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum, min = minimum )

mà trong trờng phổ thông ta thờng gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏnhất ( GTNN )

Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm

đồng thời cả hai điều kiện :

* Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất .

Cho hai số nguyên dơng a , b

ớc chung lớn nhất của a và b đợc kí hiệu là ƯCLN ( a,b) hay ( a , b ) Số d gọi

là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a ,b) :

d | a và d | b  d | (a,b)

Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc kí hiệu là BCNN(a,b) hay [a,b] Số m

là BCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) :

m  a và m  b  m  [a,b]

Hai số đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1

Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta còn

có thể sử dụng thuật toán Euclide nh sau :

Với mọi cặp số tự nhiên a,b ( b 0) bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q ,

r sao cho : a = bq + r ( với 0 r  b )

* Định lí

Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3 n)

k a a

i

i

p

n p

n p

n

a (  x là kí hiệu phần nguyên của số x , đó là

số nguyên lớn nhất không vợt quá x )

4.1.1.2 Một số ph ơng pháp th ờng dùng trong giải bài toán chia hết

* Để chứng minh A(n) ( n  Z ) chia hết cho một số nguyên tố p , ta có thểxét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p

* Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m ta thờng phân tích m ra thừa sốnguyên tố Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n)  p và A(n)  q suy

Nếu số d khi chia a cho b>0 là r ( 0< r <b) thì số d khi chia an ( n>1) cho b là

số d khi chia rn cho b ( số d này bằng rn nếu rn < b )

4.1.1.3 Bài tập áp dụng

* Qui ớc :

Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b Bài số 1 :

Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao cho 2n – 1  7

Giải :

Xét phép chia số nguyên n cho 3 thì n chỉ có một trong ba dạng : n = 3k ; n =3k+1 ; n = 3k+3 ( k Z)

Với n = 3k ta có : 2n – 1 = 8k – 1  7

Với n = 3k+1 ta có : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 không chia hết cho 7

Với n = 3k+2 ta có : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 không chia hết cho 7

Vậy với n  3 thì 2n – 1  7 mà n là số nguyên dơng nhỏ nhất nên n = 3 Bài số 2 :

Tìm số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn : ( 1994!)1995  1995k

221 664 3

1994

Số mũ của 7 trong 1994! là : 329

Số mũ của 19 trong 1994! là : 109

Vậy trong 1994! có các thừa số : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109

Suy ra : (1994!)1995 = (3992 5495 7329 19109 M )1995 Với M là tích các thừa sốkhông chứa các thừa số nguyên tố 3 ; 5 ; 7 ; 19

Với k = 109.1995 thì ( 1994!)1995  1995k

Với k = 109.1995 + 1 thì ( 1994!)1995 không chia hết cho 1995k

Vậy k = 109.1995 là số tự nhiên lớn nhất cần tìm

Vậy P  6n thì n là ớc của 30 và là bội của 3 hoặc bội của 3 cộng thêm 1  n

= {1;2;3;6;10;15;30} Thay các giá trị trên vào P = ( n+5)(n+6) và 6n thì ta có

n = {1;3;10;30} (*) thoả mãn điều kiện bài toán

* Với n< 0 :

Đặt m = - n Ta tìm m sao cho : P = ( -m+5)(-m+6)  -6m Giải nh trên ta tìm

đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mãn điều kiện bài toán

Kết hợp (*) và (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15}

Vậy max n = max (1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = 30

min n = min(1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = -15

Bài số 4

Cho A = m+n và B = m2 + n2 trong đó m,n là những số tự nhiên nguyên tốcùng nhau Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) của A và B

Nói riêng , a  0 ( mod m ) nghĩa là a chia hết cho m

Trong trờng hợp b  m thì a  b ( mod m ) có nghĩa là chia a cho m có d là b

* Các tính chất của đồng d thức

Ta có : a a với a

a  b ( mod m)  b  a ( mod m)

a  b ( mod m) và b  c ( mod m)  a  c ( mod m)

Nếu a  b ( mod m) và c  d ( mod m) thì a  c  b  d ( mod m) ; ac 

bd ( mod m)

Suy ra :

i) a  b ( mod m)  a  c  b  c ( mod m)

ii) a+c  b (mod m )  a b-c ( mod m)

iii) a  b ( mod m)  na  nb ( mod m)

iv) a  b ( mod m)  an  bn ( mod m)

* a  b (mod m) 

d

b d

a

 (mod m) với d là ớc chung của a và b và (d,m) = 1

* Nếu a  b ( mod m) và c>0 thì ac  bc ( mod mc)

Nếu d là ớc chung dơng của a,b,m thì ax  b ( mod m) 

d

b d

ax  b ( mod m) với a không chia hết cho m

Trong đó a,b,m>0 là những số đã biết , x là ẩn

* Tính chất

- Phơng trình đồng d ax  b ( mod m) có nghiệm duy nhất nếu (a,m) = 1 ( ta hiểu phơng trình đồng d ax  b ( mod m) có nghiệm duy nhất nghĩa là tấtcả các nghiệm đều thuộc một lớp các số đồng d với b modun m )

- Bằng các phép biến đổi của dồng d thức bao giờ ta cũng đa phơng trình

đồng d bậc nhất về dạng ax  b ( mod m) với m>a>0 và m>b0

) ( m od

) ( mo d

2 2

2

1 1

1

n n

a

m b

x a

m b

x a

Bằng cách biến đổi tơng đơng các đồng d thức ta có thể qui hệ phơng trình

đồng d bậc nhất một ẩn về phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn

4.1.2.2 Ph ơng pháp giải bài toán cực trị đối với ph ơng trình đồng d

Từ lí thuyết ở trên , ta biết rằng luôn đa đợc phơng trình ( hệ phơngtrình ) đồng d về dạng ax  b ( mod m) Do đó vấn đề ở đây là từ điều kiện đềbài ta chuyển về phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d một ẩn , biến đổi tơng đ-

ơng về phơng trình dạng ax  b ( mod m) rồi theo điều kiện bài toán ta suy raGTLN ( GTNN) của ẩn cần tìm

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 , chỉ có hai ớc là 1 và chính nó

Các số còn lạ gọi là hợp số Từ đó suy ra , số 0 và số 1 không phải là số nguyên

tố , số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất

4.1.3.1.2 Các tính chất

- Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là số không vợt quá N

Từ đó suy ra : nếu số N > 1 không có một ớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì

N là một số nguyên tố

- Có vô số số nguyên tố dạng ax + b với (a,b) = 1

- Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n  1 , mọi số nguyên tố lớnhơn 3 đều có dạng 6n  1 ( n > 0 )

4.1.3.2 Ph ơng pháp tìm cực trị với số nguyên tố

Không có phơng pháp chung để giải các dạng bài tập về số nguyên tố , ta ờng phân tích thành dạng tích từ dữ kiện đề bài rồi sử dụng tính chất chia hết đểlọc hoặc có thể quét các trờng hợp nếu số lần quét có thể kiểm soát đợc

th-4.1.3.3 Bài tập áp dụng

Bài số 1

Tìm số lớn nhất , nhỏ nhất có hai chữ số ab sao cho a ab b là số nguyên tố Giải :

Vì a,b có vai trò nh nhau nên ta giả sử a>b Gọi p =

b a

b

p

p p

p b

p p

Vậy max p = 211, min p = 2

Bài số 3

Tìm k để dãy : k +1,k+2, , k+9,k+10 có nhiều số nguyên tố nhất

Giải :

Trong 10 số liên tiếp luôn có 5 số chẵn ( trong đó có nhiều nhất một số nguyên

tố là 2) Vậy có không quá 6 số nguyên tố

Với k=0 thì từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố ( 2,3,5,7)

Với k=1 thì từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố ( 2,3,5,7,11)

Với k>1 thì từ 3 trở đi không có số chẵn nào nguyên tố , trong 5 số lẻ liên tiếp

có một số là bội của 3 do đó trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố

Vậy với k=1 thì dãy có nhiều số nguyên tố nhất

Một phơng trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là những số nguyên

và ta phải tìm nghiệm nguyên của nó đợc gọi là phơng trình DIOPHANTE Nói chung phơng trình DIOPHANTE có nhiều nghiệm nguyên nên ta còn gọi làphơng trình vô định

- Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (a,b)=1

- Nếu phơng trình ax + by = c có một nghiệm nguyên (x0,y0) thì nó có vô sốnghiệm nguyên dạng :

  

at y

* Ph ơng trình bậc nhất n ẩn (n>2).

Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) là phơng trình có dạng :

a0+ a1x1+a2x2+ +anxn =0 trong đó ai  Z ( i = 0,1, ,n)

Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi các hệ số ai

đôi một nguyên tố cùng nhau

2

) (

2 2

2 2

q p

là từ dữ kiện đề bài ta thiết lập phơng trình rồi sử dụng tính chất chia hết hoặc

đồng d thức hoặc kiến thức liên phân số để tìm nghiệm riêng hoặc nghiệm tổngquát Trên khoảng nguyên xác định ta tìm đợc max , min thoả đề bài

4.1.4.3 Bài tập áp dụng

Bài số 1

Có ba ngời đi câu cá Trời đã tối nên họ bỏ cá trên bờ sông rồi mỗi ngời tìmmột nơi để ngủ Ngời thứ nhất thức dậy đếm số cá thấy chia 3 thì thừa 1 nênném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Ngời thứ 2 thức dậy tởng hai bạncòn ngủ , đếm số cá chia 3 thấy thừa 1 con nên ném 1 con xuống sông rồi xách1/3 về nhà Ngời thứ 3 thức dậy tởng mình dậy sớm nhất đếm số cá chia 3 thấythừa 1 con nên ném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Hỏi họ câu đ ợcnhiều nhất bao nhiêu con cá biết số cá không vợt quá 170 con

Giải :

Gọi số cá câu đợc của ba ngời là x và y là số cá còn lại khi cả ba đã lấy điphần của mình thì ta có phơng trình :

38 27 8 1

1 )

t x

8 144

27 380

1991 3 1991

3 1991

1 1 1 1 1 1

1

1

x z

y x x x

y

hạn giá trị không nhiều hơn 2.1991 Với mỗi giá trị của x ta có :

1991 2 1991

1991 2 2

1 1

y z y

Với x,y đã biết thì có nhiều nhất là một giá trị tơng ứng của z

Vậy có nhiều nhất là 23.1991 nghiệm

Ta có 4xy = (x+y)2 – (x-y)2 = 20052 – (x-y)2

Giả sử x>y ( không thể có x = y) Ta có : xy lớn nhất  x-y nhỏ nhất ; xy nhỏnhất  x-y lớn nhất

Do 1 yx 2004 nên 1 x y 2003 Ta có min(x-y) = 1  x = 1003 ;y=1002

max (x-y) = 2003  x = 2004; y=1

Ta có : 49 số số hạng đầu của dãy (1) có dạng : 20+n2 ( n=1,2, ,49) Gọi d là

số bất kì của dãy (2) , d =ƯCLN(20+n2, 20+(n+1)2)

Ta có : (20 +n2 +2n +1)-(20+n2)  d  2n+1d  2(20+n2)-n(2n+1) d 40-nd

 2(40-n)+(2n+1) d  81d

Do đó d  81 Với d = 81 ta có 40-n81 Do n  {1,2,3, ,49} nên n =40 Vậy số lớn nhất trong dãy (2) là 81 , đó là ƯCLN(20+402,20+412)

Bài số 4

Tìm số chính phơng lớn nhất biết rằng nếu xoá hai chữ số tận cùng của nó ( haichữ số này không cùng bằng 0 ) , thì ta đợc một số chính phơng

b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 =

5

9 5

9 ) 5

2 ( 5 5

9 ) 25

4 5

4 (

8023 )

2

1 2006

Dấu = xảy ra khi : ( x2 + 5x + 5)2 = 0  ( x2 + 5x + 5) = 0 

2 0 2 0

Vậy minE = 1 khi x=y=2

1

0 2

0 1

z y z

z x

z y x

Vậy min F = 2006  x=y=z=1

Bài số 6

Tìm min của G = 2

9 5 6

2

x

x  Giải :

Ta có : G =

4 ) 1 3 (

2 5

6 9

2 9

5 6

2

2 2

2 4 ) 1 3 (

2 4

1 4 ) 1 3 (

1

2 2

Tìm min của H =

1 2

6 8 3

2 2

x x

Giải :

Tập xác định của H là IR\ {1}

) 1 (

) 2 ( 2 1

2

) 4 4 ( ) 2 4 2 (

2

2 2

2 2

x

x x x

x

 min H = 2  x= 2 Bài số 8

Tìm max , min của I =

1

4 3

* Tìm min I

1

) 2 ( 1

1 4

4

2

2 2

2 2

x x

1 4 4 4 4

2

2 2

2 2

x x

Tìm min của K = x3 + y3 + xy biết rằng x+y=1