Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học

Bài toán cực trị hình học Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đại lượng nào đó

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I.1 Bài toán cực trị hình học

Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học

có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đại lượng nào đó (độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thể tích, ) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của

nó thay đổi theo một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến

thiên của tập các biến số X trên tập xác định D

Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho

f đạt giá trị lớn nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

1 Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f  M (là

hằng số)

2 Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M

đạt giá trị nhỏ nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

1 Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f  m (là

- Biết cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường

thẳng, đến một mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng

- Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song

song, vuông góc, chéo nhau,

- Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau

- Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với

khoảng cách nào đó để tiện cho việc tính khoảng cách

- Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính

khoảng cách, tính độ dài của đoạn thẳng

- Kỹ năng vẽ hình không gian

- Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác(tam giác

vuông, cân, đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữ nhật

- Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình

chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập ương

ph Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán

- Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt

- Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ,

hình nón

- Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công

thức về tỉ số các thể tích của các khối chóp tam giác

- Kỹ năng dựng góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc

giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

- Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng

(góc, diện tích, thể tích ) với các đại lượng (biến số) hay hàm số của một hay nhiều biến số

- Biết vận dụng các phương pháp tìm cực trị, GTLN, GTNN

I.3 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học

Phương pháp 1: Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và

đư-ờng xiên

Phương pháp 2: Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp

khúc, các bất đẳng thức trong tam giác

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn

Phương pháp 4: Sử dụng một số phép dời hình

Phương pháp 5: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số

4

II RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

II.1 Kỹ năng

1 Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng

minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt,

so sánh,

2 Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số:

Kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số

3 Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình

học bằng phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm

II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học

Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán đã và có thể mắc những khó khăn và sai lầm sau:

1 Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp,

phương tiện hỗ trợ còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình không gian đơn giản song để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụ thể còn gặp khó khăn như xác định hình chiếu, đường vuông góc, thiết diện,… dẫn đến vẽ hình sai

2 Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác

định góc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách

3 Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường

hợp không tồn tại theo giả thiết

4 Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải

toán cực trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức,

sử dụng phương pháp hàm số

Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a

hình lăng trụ

2 sin 4 1

(?) Sai lầm chính của lời giải là việc xác định góc giữa BC’ với

mp(BAA’B’) Lẽ ra theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó lên mp



3

sin 4 3

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai điểm





Ta có: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0;

; 2

t

t ) nên AC  ( a;a; 0 )

)

; 0

; (

; 0

Do MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của AC

0 2 0

'

0

a

t a

at

B A MN

AC MN

hệ này vô nghiệm Vậy giá trị nhỏ nhất không tồn tại!

Lời giải sai lầm ở chỗ vì MN nhỏ nhất trong bài toán này có thể xảy

ra mà MN không là đoạn vuông góc chung

Lời giải đúng là:

=

2 2

I HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG

ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I.1 Mục tiêu

1 Giúp giáo viên có được hệ thống các bài toán ứng dụng của

đạo hàm để giải toán cực trị hình học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi

2 Giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản, và có kỹ

năng giải toán cực trị hình học dựa trên kiến thức và kỹ năng giải toán cực trị của hàm số

3 Phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

thông qua việc tự rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này

4 Rèn luyện kỹ năng ứng dụng tri thức Toán học vào nội bộ môn

Toán, tăng cường khả năng ứng dụng tri thức Toán học vào thực tế cho học sinh qua đó học sinh thấy được vai trò của công cụ Toán học

8

I.2 Hệ thống các bài toán điển hình

I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp Bài toán 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1

Điểm M chạy trên đoạn AA’, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN

= x (0 < x < 1) P là trung điểm của C’D’ Dựng thiết diện tạo bởi mp(MNP) của hình lập phương Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN

Bài giải

Gọi Q là trung điểm của AB,

Suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua Q

D C

0

2 1

1

Vậy chu vi của thiết diện đạt GTNN = 2p = 2f(

Bài toán 2 Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và SA = 2a, tam

BM SA

Mặt khác AM = x, (0  x  a 3)

4 3

2 2

4 3

2a x a x

2 4 3 2

4

a x a

x

x a

2

4 3

B

M A

H

C S

0 0

) ( ' : ) 4 3 2 (

8 3 2

2 2 2

2 2

a x

x x

f a x a x

x a x a

Bảng biến thiên:

Chú ý: Thấy được kết quả này đến đây ta có thể nghiên cứu lời giải

suy ra được SH lớn nhất khi H trùng với M và M trùng với C

Bài toán 3 Cho tứ diện đều cạnh bằng 1 Các điểm M, N di động lần

=y

a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy

b) Xác định vị trí của M và N để Thể tích của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN

c) Diện tích toàn phần của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN

Bài giải

a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy

Do (DMN)  (ABC)  M, H, N thẳng hàng Ta có

xy xy

S AMN

4

3 60

3 30 sin 2

1 30 sin 2

y x AOy

AH S

Bài toán quy về tìm t để pt (*) có hai nghiệm thuộc [ 0 ; 1]

1 3

2



z

z với z  [0 ; 1] f’(z) = 2 2

) 1 3 (

2 3





z

z z

= 0

3

2 ,

9 4

0

3

1

3

2

1

- 

Vậy MinV =

27

2 khi = y =

3

2, MaxV =

24

2 khi x = 1, y =

2

1 hoặc x =

xy y

6

6 4

3 60

sin 2

1 60

4

3 2

2

=f(t)

Ta có f’(t) =

t t

) 1 6 ( 2

2

1, y = 1

Bài toán 4.Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác

giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất

x

cos 3

2

; 0 ( 

Chú ý : Ta có thể đặt sinx = t, (0 < t < 1) xét hàm số f(t) = t(1-t 2

)

Bài toán 5 Cho tứ diện ABCD có một cạnh > 1, còn các cạnh khác

là các đường cao của các tam giác ACD, BCD

M là trung điểm của BC Đặt CD=x  (0; 1]

Theo hệ thức lượng trong tam giác BCD,

+CD2 = 2(BD2+BC2)

x

4 1

1

3

AH BF CD AH

4 1 ( 6

1

4

1 6

x AH

x x

4 1

1 x2

2

) 4 1 [(

1 1 ( 1 6

2

3 

Bài toán 6 Cho mặt cầu (S) bán kính R, tìm hình nón (N) ngoại tiếp

mặt cầu sao cho (N) có thể tích nhỏ nhất

SK = 2 2

R

x  Do SIK~SAO

2 2

) (

R x

x R R SK

IK SO AO AO

) ( 3

.

3

1

2 2

2 2

2

x R R x

x R R SO

x R R



2

) ( 3

x R x

R x x

f R

x

R Rx x

x

) (

3 2 )

(

2 2

Bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (R;   )

Hàm số f(x) đạt GTNN trên khoảng (R;   ) tại x = 3R,

3

x R x R SO

OA

với 0  xR Xét hàm số f(x) = (R2-x2)(R+x), x

R x

R x

x = R/3  [0; R] Ta có f(0) = R3 , f(R) = 0, f(R/3) = 8R2/9.4R/3

= 32R3/27

SO = 4R/3

Vậy hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước có thể tích

.

cos 2 cos ,

cos

R SA

AO

R SA

SO R

Suy ra Stp = AO2 + AO.SA = 4R2sin2.cos2 +

.2Rsin .cos .2Rcos

= 4R2(sin2+sin )cos2 = 4R2(sin2 +sin)(1-sin2 )

Stp lớn nhất  P = (sin2 +sin )(1-sin2 ) lớn nhất

3 2 2

) ( ' , 4

3 2

h x

18

Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất

khi chiều cao của nó bằng

3

2R

Khi đó, thể tích của hình trụ là

3 3

4 R3

I.2.2 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Bài toán 9 Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol

MN nhỏ nhất.Tìm khoảng cách giữa d và (E)

Bài giải

2

4 2

1 4

1  x  x

4 2

-2

5 4

2

1),

5

1 4

; 5

4

a

5 2

3

5 2

3

;

2-5 2

3)

Bài toán 11

Cho n điểm A1, A2, An và một điểm O cố định Gọi 1 là

1 là nhỏ nhất Gọi 2 là đường thẳng qua O sao cho tổng các bình

2

Bài giải

Xét hệ trục toạ độ Oxy Giả sử trong hệ trục toạ độ này các điểm

k

y kx

n

i

i i

1

) 2

(

k

y y kx x

k

n

i

i i i i

) 1

(

2 ) (

2

2

k

b c a

2bk2 - 2(a-c)k - 2b = 0 luôn có hai nghiệm k1, k2 và k1.k2 = -1

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên  Maxf(f) = f(k1) Minf(k) = f(k2) vì k1k2 = -1 nên 1  2

Bài toán 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường

t y x

) 3 ( 2 9

Dùng phương pháp hình học không gian tổng hợp:

B1: Tìm toạ độ hình chiếu A1 của A lên ; B1 lên 

B2: Tính độ dài AA1; BB1 từ đó suy ra điểm N chia A1B1 theo tỉ

Bài toán 13 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai

t - 

5

9

 +  f’(t)

f(t)

- 0 +

+  + 

43

t  a 2) Tìm GTNN của M khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B

Bài giải

Lập hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz

sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ ,

trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B (hình bên)

; 0

MN2 =

2 2

24

Bài toán 14 Cho đường  là giao hai mặt phẳng( ) :P x   y z 1 0;

thẳng đi qua B và cắt , viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất? Bé nhất?

Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua B và cắt Giả sư d cắt  tại

3

t -  -2 2 +

f’(t) + 0 - 0 +

Vậy khoảng cách từ A tới d lớn nhất bằng 11khi t = -2 ứng với

Do đó , d đi qua điểm I(-1; 0; 4) và có véctơ chỉ phương u d  (2;1; 3) 

Giả sử u d  ( ; ; )a b c là một véctơ chỉ phương của  cần tìm, (a2+b2+c2 >

0) Do // ( ) nên a+b-c = 0

phương trình:

1 1 2

a

x

Bài toán trở về việc tìm x )

2

; 0

28

Bài giải

a) Ta có thể tích của khối hộp là: ( )  2  500 ( 3)   5002 ,x 0

x h cm

h x x V

b) Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là

0 ,

2000 )

( 4

)

x x

x S hx x

) ( '

;

0

, ) 1000 (

2 2000 2

)

(

3 2

S x

x

x x

x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (H1.3), 0 < x < 2

x 0 10 + S’(x)

2  V’(x)

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài cung AB

2

4 2

R x R R r

2 2

2 3

4

) 3 8 (

x x

1 ) 10 (

) 10 ( 4

1

x x

x x

100

5 100

5

x

x x

Bài toán 21

Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình

hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng

32

Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì bể cần làm có kích thước là: đáy có

chiều rộng là 1, chiều dài là 2, chiều cao của khối hộp là 2/3



Độ lớn của vật liệu làm hộp là diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h bán kính đáy x, Stp = 2xh + 2x2 = 2x2 +

II KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS LỚP

12 THÔNG QUA DẠY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học có nhiều cơ hội phát triển tư duy sáng tạo cho HS vì thông qua đó HS được rèn luyện các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hoá, tương tự hoá, vv Vận dụng nhuần nhiễn các thao tác trí tuệ và phối hợp các hoạt động, nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt Chọn được nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện,.vv Thông qua hai ví dụ sau ta sẽ chứng

tỏ về khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai điểm

A’B

Có thể tìm lời giải bài toán theo các hướng sau:

1 Dự đoán đoạn MN có là đoạn vuông góc chung không? (So

sánh) Nếu HS chú ý đến điều kiện AM =A’N =t và trong kinh nghiệm giải toán đã gặp bài toán tìm đoạn vuông góc chung của AC,

34

A’C thì sẽ bác bỏ ngay dự đoán này thể hiện tính linh hoạt của tư duy

2 Có thể tính MN theo a và t rồi tìm x để MN đạt GTNN sau đó

dùng phương pháp đại số hay giải tích để tìm GTNN

HD: áp dụng định lý Cosin trong tam giác và hệ quả đối với các tam giác A’BM; BMN để tìm được MN theo a và t

3 Tiếp cận bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian

Chuyển bài toán hình học tổng hợp sang bài toán hình học giải tích: Lập hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz sao cho O trùng B’,trục

Ox chứa A’ , trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B Từ đó tìm được toạ độ điểm M, N theo a, t Dùng công thức tính khoảng cách để tính MN

4 Tiếp cận bài toán bằng phương pháp véctơ hãy biểu diễn

véctơ MN theo các véctơ nằm trên các cạnh hay các đường chéo của

N A AA

MA

véctơ này dễ dàng xác định được nên bằng cách khai triển bình

= t2- 2at+a2,

5 Xem xét lại bài toán cũ để tìm ra hướng giải mới hay hơn,

hiệu quả hơn cách giải quen thuộc: Qua các hướng tiếp cận của bài toán này ta có thể giải bài toán sau theo hướng mới:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và A’B ( có thể tiếp cận bằng phương pháp toạ độ) Qua những cách giải bài toán trên giúp HS có thể tìm tòi hướng giải bài toán dưới nhiều góc độ, cách

nhìn khác nhau, giúp cho việc rèn luyện tính linh hoạt của tư duy cho

HS

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng

 là giao hai mặt phẳng (P): x + y – 1 = 0, (Q): x   y z 3 0,và hai

nhỏ nhất

Tương tự như bài toán trên ta cũng nhìn nhận bài toán này theo các hướng sau:

1 Hãy đặc biệt hoá bài toán: Nếu AB và  đồng phẳng trở giải

bài toán quen thuộc trong mặt phẳng Tuy nhiên ở bài toán cụ thể này

2 Tiếp tục đi trường hợp đặc biệt trong không gian khi AB và 

dựa vào phân tích hình học ta có ngay cách giải là: Lập phương trình

3 Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát, nếu tiến hành

theo phương pháp hình học tổng hợp thì giải bài toán theo các bước sau:

B1: Tìm toạ độ hình chiếu A1 của A lên ; B1 lên 

là điểm thuộc mặt phẳng chứa (d, B) khác phía đối với (d) và thoả