SKKN một số phương pháp giải toán cực trị image marked

NộI DUNG Chương 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị Chương 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học C.. Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp

Mục lục

Trang

A phần Mở đầu 2

i Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm 3

III Nhiệm vụ nghiên cứu 3

IV Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

v Phương pháp nghiên cứu 4

B NộI DUNG Chương 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị

Chương 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học C KếT LUậN Và KHUYếN NGHị

D TàI LIệU THAM KHảO

A PHầN Mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán THPT cực trị là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả

những người học toán và làm toán Các bài toán này rất phong phú và đa dạng

Vì vậy, các bài toán cực trị của hàm số thường xuyên có mặt trong các kì thi tốt

nghiệp THPT cũng như trong các kì thi học chọn sinh giỏi quốc gia, quốc tế và

các đề thi vào các trường CĐ, ĐH

Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt và vận

dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bài toán cực

trị thì mỗi người đều có một hướng xuất phát riêng của mình Nói như vậy có

nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán cực

trị Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu của

bài toán Thật là khó nhưng cũng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để

giải quyết nó

Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, những

dạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng

là hình thành cách tư duy trong suy luận toán học của mỗi học sinh thông qua

các phương pháp giải toán, từ đó giúp các em có năng lực tư duy logic, độc lập

sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và phát triển nhân cách của

học sinh

Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, tôi xây dựng đề tài :

“Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số”

Từ đó giúp những người học toán và làm toán có thêm công cụ để giải

quyết các bài toán cực trị

II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm

-Giúp cho học sinh có cái nhìn khái quát về các phương pháp tìm cực trị

của hàm số, từ đó hình thành nên các phương pháp giải toán

-Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy

tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh Góp phần nâng cao chất lượng đội

ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trường THPT

-Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn Toán, từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh

- Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn

đồng nghiệp trong việc bồi dưỡng HSG, luyện thi ĐH, CĐ

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt tốt kết quả của đề tài, người nghiên cứu phải làm được những yêu cầu

sau:

- Phải nắm thật vững những vị trí, mục tiêu, đặc điểm và hệ thống chương

trình toán học ở bậc THPT

- Có cái nhìn khái quát về lý thuyết của bài toán cực trị của hàm nhiều biến

ở bậc đại học áp dụng vào toán học THPT dưới góc nhìn toán học sơ cấp

Từ đó góp phần giúp giáo viên THPT hiểu được bản chất của vấn đề, để

áp dụng vào từng đối tượng học sinh một cách có hiệu quả nhất

- Nâng cao dần trình độ học toán và làm toán của học sinh THPT đáp ứng

được nhu cầu của xã hội trong thời kỳ CNH, HĐH đất nước

IV Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng “Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số” ở

trường THPT

- Phạm vi nghiên cứu là học sinh khối lớp 10 trường THPT Yên Lãng

Sáng kiến kinh nghiệm gồm 2 chương

Chương 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị

Chương 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học

Trong các chương thì sau phần trình bày lý thuyết là một số bài tập đưa ra

nhằm minh họa cho lý thuyết đã đưa ra ở trên

V. Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học “Một số phương pháp

giải bài toán cực trị của hàm số” trong chương trình toán học THPT.

- Nghiên cứu những khó khăn của học sinh trong việc giải bài toán cực trị

của hàm số, từ đó tìm ra hướng giải quyết

Đề tài được tiến hành nghiên cứu, thực nghiệm ở các lớp 10 trường THPT

Yên Lãng Đặc biệt ở các lớp chọn, lớp chuyên đề Đề tài còn là một tài liệu rất

tốt cho các bạn học sinh khối 12 chuẩn bị thi vào ĐH, CĐ và luyện thi học sinh

giỏi

Tuỳ từng dạng bài của hệ    1.1 , 1.2 mà ta có điều kiện có nghiệm thích

hợp Trong nhiều trường hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn sẽ đưa về

Như vậy để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số nếu dùng phương pháp

này, ta quy về việc tìm điều kiện để một phương trình (thêm điều kiện phụ) có

nghiệm

1.2 Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp

Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài toán về giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:

Bài tập 1.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

(1.4)

2

0 2

Lớp 10A1 có 18/45 học sinh cho lời giải đúng, 15 học sinh có lời giải sai

và 12 học sinh không có lời giải

Lớp 10A2có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai

và 11 học sinh không có lời giải

Lớp 10A4 có 10/46 học sinh cho lời giải đúng, 26 học sinh có lời giải sai

và 10 học sinh không có lời giải

Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số ở mức

độ trung bình khá và chỉ một số học sinh có lời giải đúng Những học sinh có lời

giải sai là do tính nhầm và một số không định hướng đựơc cách giải

Để khắc phục những sai lầm trên ta làm như sau :

Bước 1: Nêu phương pháp chung để làm bài toán cực trị của hàm phân

thức

Bước 2: Cung cấp cho học sinh cách giải và biện luận phương trình bậc 2

Bước 3: Cung cấp cho học sinh cách giải bất phương trình bậc 2

Bước 4: Cung cấp cho học sinh cách giải bài toán so sánh nghiệm

Bước 5: Phân tích những sai lầm gặp phải khi gặp mỗi dạng toán

Sau khi đưa ra các nhận xét trên và cho học sinh làm bài tâp 1.2 ta thu

được kết quả ở các lớp như sau:

Bài tập 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

với

2 2

121





y x y

Kết quả thu được ở các lớp như sau:

Học sinh còn lúng túng khi coi y là hằng số x là biến số Thứ hai, khi nhân

2 vế đưa về phương trình bậc 2 Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình học

sinh ở lớp 10A2, 10A4 còn lúng túng

Tất cả các lời giải sai đều mắc phải một trong các nhận xét trên Ngoài ra

học sinh còn không chỉ ra max, min đặt tại đâu Các học sinh không có lời là do

không biết cách biện luận phương trình bậc 2

Lớp 10A1 có 35 học sinh cho lời giải đúng, 10 học sinh có lời giải sai

(77,8%-22,2%)

Lớp 10A2 có 28 học sinh có lời giải đúng( 62.2%); 12 lời giải sai (26,7%)

và 5 học sinh không có lời giải (11,1%)

Lớp 10A4 có 25 học sinh cho lời giải đúng(54,3%), 14 học sinh có lời giải

sai (30,4%) và 7 học sinh không có lời giải(15,3%)

Bài toán 2 là một bài toán tương tự bài toán 1, sau khi được hướng dẫn

phương pháp tìm cực trị đã có nhiều học sinh làm được, bên cạnh đó còn nhiều

học sinh làm sai và không biết làm

Nhận xét: Phương pháp miền giá trị có thể áp dụng để tìm Ymax, Ymin các

Từ những phân tích trên cho học sinh làm một số bài tập áp dụng như sau:

Bài tập 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

 

 

2 2

0 0

Kết hợp cả hai trường hợp, phương trình (1.8) có nghiệm 5 y0 3

điều kiện phải dương

Bài 1.4 ( ta mở rộng của bài 1.3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

có nghiệm trong đoạn [0,2] Bài toán quay trở về tìm tham số y0 để pt (1.11) có

nghiệm trong đoạn [0,2] Ta có các trường hợp sau:

TH2.2: 0 x 1x2  2

0 0

0

y 1 f(0) 0

y 1 f(2) 0s

0 0

Vậy miền giá trị của hàm số là 3 2 2 y  0 1

Ymax=1 đạt được khi x = 0 , Ymin = 3-2 2 đạt được khi x= 2

* Nếu y0 = 1 thì (1.13) có nghiệm khi p 0 hoặc p = 0 và q = 1

* Nếu y0 0 thì phương trình ( 1.13) có nghiệm khi   0

Gọi t1, t2 là nghiệm của phương trình (1.15) thì nghiệm của bất phương trình

(1.14) theo ẩn y0 là t1 y0 t2

Kết hợp cả hai trường hợp thì ta thấy phương trình (1.13) có nghiệm khi

trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phương trình (1.15)

t y t

Từ đó max f x t , minf x2  t1 Như vậy bài toán trở thành: Tìm p ,q để

phương trình (1.15) có hai nghiệm 9 và -1 Theo định lý Viet điều đó xảy ra khi

Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f (x,y) trên miền D Điều đó chứng tỏ

hệ phương trình sau đây (ẩn x,y ) có nghiệm

Với điều kiện (1.18 ) gọi x0 là nghiệm của (1.17) suy ra thay

nghiệm, nghĩa là (1.18) là điều kiện để hệ (1.16),(1.17) có nghiệm Như vậy

max f x,y  3 5 , minf x,y  3 5

Bài tập tương tự dành cho học sinh về tự làm ( có hướng dẫn)

Bài 1.7 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

2 2

Hướng dẫn : Ta cũng giả sử t0 là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) Điều đó có nghĩa

là hệ sau đây ( ẩn x, ẩn y) có nghiệm

Tõ ®©y ta t×m miÒn gi¸ trÞ t0 cña tõng hÖ nh­

trÞ lín nhÊt cña hµm sè

Chương 2 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp

hình học 2.1 Cơ sở lý thuyết

Bất đẳng thức tam giác

1.Với 3 điểm A, B , C bất kì ta luôn có :

+ AB BC AC 

( Dấu đẳng thức xảy ra  B nằm trong đoạn AC )

+ AB AC BC(Dấu đẳng thức xảy ra C nằm ngoài đoạn AB )

Cách áp dụng :

+ Đưa hàm số đã cho về dạng : f x,y  x2 a2  y2 b2

(a, b là các hăng số )+Sau đó định hệ trục toạ độ, chọn 3 điểm A , B , C có toạ độ xác

định và cuối cùng sử dụng hai bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của hàm số

2 ABC :AB BC AC AB BC   

2.2 Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp

Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài toán về cực trị

12



32

Lớp 10A1 có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 28 học sinh có lời giải sai

và 12 học sinh không có lời giải

Lớp 10A2 có 10/45 học sinh cho lời giải đúng, 25 học sinh có lời giải sai

và 15 học sinh không có lời giải

Lớp 10A4 có 2/46 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai và

20 học sinh không có lời giải

Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm căn thức mức độ khá và

đa số học sinh chưa có lời giải đúng Những học sinh có lời giải sai là do tính

nhầm hoặc chưa hình dung ra phương pháp giải

Để khắc phục những sai lầm trên ta làm như sau:

Bước 1: Cung cấp cho học sinh phương pháp tìm cực trị bằng phương pháp

hình học.( Như phần lý thuyết đã cung cấp).

Bước 2:Phân tích cho học sinh khi nào thì áp dụng phương pháp tìm cực trị

bằng hình học vào đại số( Khi biểu thức trong căn có dạng tổng bình phương).

Bước 3: áp dụng một số bất đẳng thức hình học

Bước 4: Học sinh phải nắm vững phần phương pháp toạ độ trong hình học

phẳng

Bước 5: Thông qua cách làm của học sinh phân tích một số sai lầm gặp

phải khi làm dạng toán này

Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm bài tập sau:

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 2

3 1 B( ; )

2  2 C(x;0)

1 2

3 2 x

O

1 2



3 2

x y

0

C

Khi đó ta có:

2 2

Sau khi hướng dẫn học sinh và cho làm bài tập 2 được kết quả như sau:

Lớp 10A1 có 40 học sinh cho lời giải đúng (88,9%),5 học sinh có lời giải

sai (11,2%)

Lớp 10A2 có 37 học sinh có lời giải đúng (82,2%); 8 lời giải sai (17,8%)

Lớp 10A4 có 30 học sinh cho lời giải đúng (65,2%), 11 học sinh có lời

giải sai (23,9%) và 5 học sinh không có lời giải (10,9%)

Như vậy sau khi hướng dẫn phương pháp tìm cực trị bằng phương pháp

hình học đa số học sinh đã biết vận dụng và làm được bài tập

Với phương pháp trên, sai lầm chủ yếu của học sinh mắc phải là không

biết dụng đưa bài toán đại số về bài toán hình học Một số học sinh còn lúng

túng khi đặt các toạ độ tương ứng để đưa về bài toán độ độ dài trong tam giác

Từ những phân tích trên ta cho học sinh áp dụng làm một số bài tập vận dụng

f 3  5 1.

Với x 3 , dựng ABC vuông tại A,AC 5,AB x 3   Trên cạnh AC, ta lấy

điểm sao cho D AD 1 Theo đính lý Pitago, ta có:

Suy ra: 6 f x;y  36

VËy: M x;y Dmax f x;y    36; min f x;yM x;y D    6

O 1

M(x;y)

0

M 1 3

Do MNP nội tiếp đường tròn  0; 5

Mặt khác, một tam giác nội tiếp đường tròn nếu tam giác đó là tam giác đều thì

tam giác đó có chu vi lớn nhất

đều nội tiếp đường tròn có bán kính thì cạnh có độ dài:

MNP

a  3 5 15Vậy: f x,y,z,t  1 3 5 3 30

22



y

Bµi 2.7 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè:

f(x,y,z) = x (1 – y) +y(1 – z) + z( 1- x)XÐt trªn miÒn D(x,y,z) ; 0 x 1 ; 0 y 1 ; 0 z 1      

Bài tập tương tự cho học sinh về nhà làm: ( có hướng dẫn)

Bài 2.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f(x;y) x 2 y2

Xét trên miền : D(x;y) : x 2y 8 0;x y 2 0;2x y 4 0         

(x;y) D (x;y) D

16max f(x;y) 20; min f(x;y)

5

Bài 2.9 Cho hàm số f y( )= y2- + +4y 8 y2- +6y 10 y" ẻ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm f y( )

Hướng dẫn Hàm số f y( ) được viết lại dưới dạng

f y = y 2- + +2 y 3- +1Sau đó trong hệ trục toạ độ ta chọn các điểm A 1;2 ;B 2;3 ;M 1;y     , áp dụng

bất đẳng thức trong tam giác AM BM AB  Suy ra giá trị nhỏ nhất của f y( )

( Đs min f y( )= 10 )



Bài 2.10 Cho hàm số f x( )= x2+ +9 x2 +16 x" ẻ  Tìm giá trị nhỏ nhất

của hàm số f x( )

Hướng dẫn : Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm A 0;3 ;B 0;4 ;M x;0     

áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB  Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất

áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB 

Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm A 0;5 ;B 2 6;0 ;M x;x     

áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB  suy ra giá trị nhỏ nhất

áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB  suy ra giá trị nhỏ nhất

-áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB  suy ra giá trị nhỏ nhất

C Phần kết luận và khuyến nghị

1 Kết luận và đánh giá cơ bản.

Sau khi tổ chức dạy học theo phương phỏp đề xuất trên ở các lớp 10A1

n=45 học sinh, lớp 10A2 n=45 học sinh, lớp 10A4 n=46 học sinh (HS)

Qua các số liệu trên ta thấy khi dạy học sinh có cái nhìn khái quát hoá

dạng toán cực trị học sinh hiểu bài và vận dụng làm bài tập tốt hơn, điển hình là

đầu điểm cao cũng nhiều hơn

Nội dung của SKKN này được tác giả vùi công nghiên cứu trao đổi thông

qua quá trình học cao học, giảng dạy tại trường THPT Yên Lãng và sự trao đổi

giúp đỡ của đồng nghiệp ban bè, sử dụng một số kiến thức toán học cao cấp như

giải tích lồi, các phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến được ứng dụng vào

giải toán THPT và kiến thức toán học sơ cấp Và đã mang lại một số kết quả tích

cực đáng khích lệ

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách có hệ thống

kiến thức cụ thể chi tiết những dạng toán cơ bản về các phương pháp tìm cực trị

ở chương trình toán THPT

Thông qua SKKN này học sinh đã tự tin hơn rất nhiều khi học toán từ đó

tạo tính ham học, sáng tạo trong quá trình học và tư duy toán

giác, tích cực, chủ động học tập của học sinh

Cần xây dựng hệ thống các phương pháp giải, các dạng bài tập tương ứng

Kiến thức trên chỉ được áp dụng cho học sinh khá giỏi Giảng dạy ở các

lớp mũi nhọn của trường

SKKN này có thể được áp dụng rộng rãi để bồi dưỡng học sinh giỏi toán,

luyện thi ĐH, CĐ

Chúng ta đã biết các bài toán tìm cực trị là các bài toán rất phong phú và

đa dạng Đòi hỏi vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vì vậy đây là nội dung

rất đáng lo ngại của người học toán và làm toán.Trong SKKN này tôi đã đưa ra

một số công cụ để giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số Mặc dù bài toán

cực trị có rất nhiều phương pháp giải nhưng do khuôn khổ của SKKN và do năng

lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên SKKN của tôi vẫn chưa nêu hết được đầy