Chiểu đều của môđun

Luận văn của chúng tôi đề cập đến việc xét các tính chất về chiều đều môđun, luận văn cũng đề cập đến tổng trực tiếp của các môđun đều và CS - môđun.. Cụ thể trong phần này chúng tôi đa

2.1 Xây dựng chiều đều của môđun 142.2 Một số tính chất của chiều đều hữu hạn 19

Chương 3: CS - môđun và chiều đều hữu hạn 23

DANH MỤC CÁC Kí HIỆU

N⊆ M: N là mụđun con của mụđun M

N ⊂* M: N là mụđun con cốt yếu của mụđun M

N⊆ ⊕M: N là hạng tử trực tiếp của mụđun M

A ⊕ B: Tổng trực tiếp của mụđun A và mụđun B

⊕ : Tổng trực tiếp của các môđun Mi, 1 ≤ i ≤ n

dimM: Số chiều đều của môđun M

r(x): Linh hóa tử phải của x

Soc(M): Đế của môđun M

Z : Vành các số nguyên ( là Z -môđun )

Z(M): Là môđun con suy biến của M

HomR(A,B):Tập tất cả các đồng cấu từ môđun A đến môđun B : Kết thúc một chứng minh

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay đợc phát triển mạnh mẽ và

có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành Một trong các ớng để nghiên cứu vành là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào

h-đó các môđun trên chúng

Nghiên cứu lý thuyết môđun và vành, đó là nghiên cứu cấu trúc của môđun

và từ đó đa ra một số đặc trng của các lớp vành Luận văn của chúng tôi đề cập

đến việc xét các tính chất về chiều đều môđun, luận văn cũng đề cập đến tổng trực tiếp của các môđun đều và CS - môđun

Chiều đều của môđun là một hớng mở rộng chiều của không gian vectơ Những vấn đề cơ bản của chiều đều đã đợc trình bày trong cuốn sách “Extending modules” của N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith and R Wisbauer [5] Luận văn

chúng tôi trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số vấn đề về chiều đều của môđun

Luận văn được chia làm ba chương cựng với phần mở đầu, kết luận, danh mục cỏc ký hiệu và tài liệu tham khảo Cụ thể:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trỡnh b y à cỏc định nghĩa về Môđun, v nh Noether và Artin, à Mụđun con cốt yếu, mụđun con đều, Mụđun hữu hạn sinh, CS - môđun, v à cỏc tớnh chất cơ bản cú liờn quan đến luận văn

Chơng 2: Chiều đều của môđun Chơng này đợc chia làm hai phần :

Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm về chiều đều của môđun Cụ thể trong phần này chúng tôi đa ra điều kiện của một môđun chứa các môđun con đều và

điều kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun

Phần thứ hai : Một số tính chất của chiều đều hữu hạn Trong phần này chúng tôi nghiên cứu các tính chất về số chiều của môđun

Chơng 3: CS - Môđun và chiều đều hữu hạn.

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Ngụ Sỹ Tựng Nhân dịp này, tỏc giả xin được bày tỏ lũng biết ơn chõn thành sõu sắc đến thầy giỏo hướng dẫn, người đó trực tiếp động viờn, dỡu dắt tận tỡnh, chỉ bảo nghiờm tỳc trong suốt quỏ trỡnh học tập, nghiờn cứu và hoàn thành luận văn

Trong quỏ trỡnh học tập và viết luận văn, tỏc giả cũng nhận được sự giỳp

đỡ tận tỡnh của cỏc thầy giỏo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh

Cũng trong dịp này, tỏc giả xin được cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lờ Quốc Hỏn, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và cỏc thầy, cụ giỏo trong khoa Toỏn, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh và cỏc bạn lớp cao học khoỏ 16 chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Sở Giỏo dục và Đào tạo Thanh hoá, Ban giỏm hiệu, tổ toán và đồng nghiệp trường THPT Hàm Rồng, đó động viờn

và giỳp đỡ để luận văn được hoàn thành đỳng kế hoạch

Cuối cựng, do khả năng cũn nhiều hạn chế nờn khụng trỏnh khỏi những sai sút, tỏc giả rất mong nhận được những gúp ý của quý thầy giỏo, cụ giỏo cựng tất

cả cỏc bạn

Tỏc giả

Ch¬ng 1 KiÕn thøc c¬ së

1.1 M«®un, Vµnh Noether

1.1.1 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R có đơn vị là

1:

ii) Mọi tập khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ

bao hàm.

iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh.

iv) Đối với A là ideal của R thì A và R/A có tính chất i).

1.1.2 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với R - môđun phải M:

i) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng.

ii) Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan

hệ bao hàm.

iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh.

iv) Đối với môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i).

1.1.3 Định nghĩa Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.1.1

được gọi là vành Noether phải.

1.1.4 Định nghĩa Mọi R- môđun phải M thỏa mãn một trong các điều kiện của

mệnh đề 1.1.2 được gọi là R- môđun noether phải.

1.1.5 Ví dụ.

i) Z- môđun Z là noether

ii) Không gian vectơ hữu hạn chiều là môđun noether, không gian vectơ

vô hạn chiều không là môđun noether

1.1.6 Hệ quả Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con noether thì

M là noether.

Chứng minh Giả sử M = Ai , ta biến thành quy nạp theo n

Với n =1 mệnh đề là hiển nhiên

Giả sử mệnh đề đúng với n - 1 Khi đó môđun con N = Ai là noether

1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con đều

1.2.1.Định nghĩa Cho M là một R- môđun và N là môđun con của M.

• Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và kí hiệu là N ⊂* M, nếu với mọi môđun K⊂ M, K ≠ 0 thì N∩ K ≠ 0.

• Nếu N ⊂* M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.

• Nếu 0 ⊂* M thì M = 0 ( quy ước ).

1.2.2 Định nghĩa Cho R là vành, một R-môđun U được gọi là đều ( hay

uniform) nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của

• Mọi môđun con khác không của môđun đều, là đều

1.2.4 Mệnh đề Cho M là R- môđun Khi đó ta có :

i) A ⊂* M khi vµ chỉ khi ∀ x∈ M, x ≠ 0, xR ∩ A ≠ 0.

ii) Cho A ⊂ B, B ⊂ M thì A ⊂* M khi vµ chỉ khi A ⊂*B vµ B ⊂* M.

iii) Nếu A i⊂* B i ( ∀ i 1,2,…,n), A i , B i ⊂ M thì A i ⊂* B i

Đặc biệt nếu A i ⊂*M thì A i ⊂* M.

iv) Cho A⊂ B, B⊂ M Nếu B/A ⊂* M/A thì B ⊂* M.

v) Nếu f: M→ N là đồng cấu môđun và A ⊂* N thì f -1 (A) ⊂* M.

ii) Giả sử A ⊂* M Lấy 0 ≠ X ⊂ B⇒ X ⊂ M ⇒ X ∩ A ≠ 0 (do A ⊂* M) suy ra A ⊂* B

Lấy 0 ≠ X ⊂ M ⇒ X ∩ A ≠ 0 ⇒ X ∩ B ≠ 0( vì A ⊂ B ) ⇒ B ⊂* M

Ngược lại, giả sử A ⊂* B v à B ⊂* M Lấy 0 ≠ X ⊂ M và B ⊂* M⇒X ∩ B≠ 0,

mà (X ∩ B) ⊂ B và A ⊂*B ⇒ (X ∩ B) ∩ A ≠ 0⇒ X ∩ A ≠ 0 ⇒ A ⊂* M iii) Lấy 0 ≠ X ⊂ Bi⇒ X ⊂ Bi mà Ai ⊂* Bi ⇒ X ∩ Ai ≠ 0

Do đó X ∩ Ai ≠ 0 Hay Ai ⊂* Bi 

iv) Lấy 0 ≠ X ⊂ M Giả sử X ∩ B = 0 suy ra tồn tại X ⊕ B

Ta có (X ⊕ A)/A ⊂ M/A Do B/A ⊂* M/A nên ( ( X ⊕ A)/A ) ∩ ( B/A) ≠ 0

Suy ra tồn tại x + a + A = b + A⇒x=b + a’ (a’∈ A ) Vô lý.

⇒ (A1⊕ M2 )∩(A2⊕ M1 ) ⊂ (M1∩ M2) ⇒ ( A1 ⊕ A2) ⊂* (M1 ⊕ M2) Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn.

Lấy x ∈ Mi ta có thể biểu diễn x = xi, với F hữu hạn thuộc I, theo trường

hợp trên thì tồn tại i

F

∈

⊕ v à sự biểu diễn đó là duy nhất

Tiếp theo lấy 0 ≠ X ⊂ i I M i

1.2.5 Định nghĩa Cho M là R - môđun

• Môđun A⊂ M được gọi là đóng trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, tức là nếu : A ⊂* B ⊂ M ⇒ A = B.

• Môđun con X của M được gọi là bao đóng của U trong M nếu U ⊂* X vµ X đóng trong M.

1.2.6 Mệnh đề Bao đóng của một môđun con trong môđun M luôn tồn tại.

1.3 Môđun hữu hạn sinh, CS-môđun

1.3.2 Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và A

không chứa trong một môđun con thực sự nào của M Tức là nếu : A ⊂ B ⊂ M

và A ≠ M thì B = M hoặc B = A.

1.3.3 Mệnh đề.

môđun con là hạng tử trực tiếp của môđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh.

hữu hạn sinh thì M cũng là môđun hữu hạn sinh.

Dễ dàng thấy rằng Z∞ với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn vị

ε=(1,1,…)

Tập Z∞là một Z∞ - môđun xiclic với phần tử sinh là ε = (1,1,…)

Vậy Z∞ là một môđun hữu hạn sinh

Xét tập B là con của Z∞xác định như sau :

B = { x = (x1, x2, …) ∈ Z∞ : chỉ có một số hữu hạn xi≠ 0}.

Dễ thấy B là một môđun con của Z∞ - môđun Z∞ Môđun B không phải Z∞- môđun hữu hạn sinh Thật vậy, nếu B có hệ sinh hữu hạn b1, b2, …bk Khi đó trong B sẽ có phần tử có thành phần n + 1 khác không, phần tử này không thể là

1.3.3 Mệnh đề Trong môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thực sự được chứa

trong một môđun con tối đại.

Chứng minh Giả sử S = {x1, x2, …, xn } là hệ sinh của M

Ta có M = < x1, x2, …, xn>, A là môđun con của M và A ≠ M

Gọi S = { B| A ⊂ B⊂ M , B≠ M }, ta có S ≠∅ do A ∈S, hơn nữa S sắp thứ

tự theo quan hệ bao hàm

Đặt C = ∪ B, B∈S, ta chứng minh C là cận trên.

Ta có A ⊂ C, giả sử C = M suy ra {x1, x2, …, xn } ⊆ C, do đó tồn tại môđun con

B ∈ S sao cho {x1, x2, …, xn } ⊆ B suy ra B = M Trái với giả thiết về S Vậy

C ≠ M suy ra C ∈ S Theo bổ đề Zorn, trong S tồn tại phần tử tối đại T Ta

chứng tỏ T là phần tử tối đại trong M Thật vậy nếu N là môđun con của M sao cho T ⊂ N ⊂ M, N ≠ M suy ra N ∈S, và do tính tối đại của T trong M ta có T=

1.3.4 Hệ quả Mỗi môđun hữu hạn sinh M khác không đều chứa môđun con tối

đại.

1.3.5 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS-môđun ( hay extending - môđun),

nếu mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Tức là với ∀A ⊂ M, ∃ X ⊂ M sao cho A ⊂* X, X ⊆ ⊕M.

Hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

1.3.6 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của CS- môđun là CS- môđun.

Chứng minh Giả sử M là CS- môđun và M = P ⊕ Q, ta sẽ chứng minh P là CS- môđun

Giả sử A ⊂ P, A đóng trong P, ta chứng minh A là hạng tử trực tiếp của P

Giả sử P không đóng trong M suy ra P ⊂* X ⊂ M m P à ≠ X, do đó tồn tại x∈X,

x ≠0, x ∉ P ⇒ x∈ Q ⇒ X ∩ Q ≠ 0

Như vậy X ∩ Q là môđun con khác không của X mà (X ∩ Q ) ∩ P = 0 Mâu thuẫn với giả thiết P cốt yếu trong X Vậy P đóng trong M Ta có A đóng trong

P, P đóng trong M suy ra A đóng trong M Do M là CS- môđun suy ra A là hạng

tử trực tiếp của M Do A ⊂ P suy ra A l hà ạng tử trực tiếp của P 

Chơng 2 Chiều đều của môĐun

2.1 Xây dựng chiều đều của môđun

2.1.1 Môdun đều Giả sử R là một vành, một R- môđun phải U đợc gọi là đều

nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U Hay nói

cách khác U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U.

2.1.2 Chiều đều.

2.1.2.1 Định nghĩa Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều hữu hạn nếu

không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong M, M

đợc gọi là có chiều đều vô hạn trong trờng hợp ngợc lại.

2.1.2.2 Mệnh đề Nếu M là một môđun con khỏc khụng, khụng chứa tổng trực

tiếp vụ hạn các môđun con khỏc khụng, thỡ M chứa môđun con đều.

Chứng minh -Nếu M là môđun đều: Chứng minh xong

- Nếu M khụng là môđun con đều Khi đú tồn tại 0≠U1, U ⊂ M mà U1 ∩ U=0 suy ra (U1⊕ U) ⊂ M

- Nếu U1 là môđun đều: Chứng minh xong

- Nếu U1 không là môđun đều, khi đó tồn tại V1, V2 ⊂ U1, V1, V2 ≠ 0 mà V1∩

V2 = 0 suy ra ( V1⊕ V2 ) ⊂ U1 suy ra tồn tại ( V1⊕ V 2 ⊕ U ) ⊂ M

Quỏ trỡnh này tiếp tục, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không, nên quá trình trên phải dừng lại sau hữu hạn bớc

2.1.2.3 Hệ quả Cho R- môđun M

i) NÕu M lµ m«®un noether khác không thì M chứa môđun con đều.

ii) Cho R là một vành trái noether thì bất kỳ R – môđun trái khác không đều chứa môđun con đều.

đó theo i) Rx chứa môđun con đều Vì vậy M chứa môđun con đều 

2.1.2.4 Mệnh đề Cho môđun M khác không có tính chất mọi môđun con là

chứa môđun đều Thế thì tồn tại môđun A là tổng trực tiếp các môđun đều và A là môđun con cốt yếu trong M.

Theo bổ đề Zorn, trong S tồn tại phần tử tối đại A=⊕I U i và ta có A ⊂* M bởi

vì nếu A không là môđun con cốt yếu trong M suy ra tồn tại B ⊂ M, B ≠ ∅ mà

A ∩ B = 0 Theo giả thiết A chưa môđun đều V, suy ra A ∩ V=0 suy ra tồn tại A’= A ⊕ V m A à ⊂ A’, A ≠ A’ Mâu thuẫn với tính tối đại của A.

Chứng minh Giả sử N ⊂* M suy ra N ∩ X ≠0 v i ớ mọi X ⊂ M, X ≠ 0

suy ra N ∩ Ui ≠0,∀i ∈ I

Ngược lại, giả sử N ⊂ M, N ∩ Ui ≠0,∀ i ∈ I Đặt Ni = N ∩ Ui, theo giả thiết

Ni ≠ 0,∀ i ∈ I Vì Ui là môđun đều suy ra Ni ⊂* Ui , ∀ i ∈ I Do có i

I

∈

⊕ , mà

Ni ⊂ Ui , ∀ i ∈ I nên tồn tại tổng trực tiếp i

∈

⊕ ( Theo mệnh đề 1.2.4)

Theo giả thiết i

Mặt khác Ni ⊂ N, ∀ i ∈ I, do đó Ni ⊂ N ⊂ M Vì vậy N ⊂* M ( bởi vì nếu N không là môđun con cốt yểu của M suy ra tồn tại K ≠0,K ⊂ M mà N ∩ K = 0

suy ra K ∩ i I N i

∈

⊕ = 0 Mâu thuẫn với (*)) 

2.1.2.7 Định lí Cho môđun M, nếu tồn tại các môđun U i đều, ∀ i = 1,2,3,…,n

i) Giả sử tồn tại A1⊕…⊕ An+1, trong M Ta sẽ chứng minh An+1 = 0

Do A1 ∩ (A2 ⊕…⊕ An+1) = 0 dẫn đến rằng A2⊕…⊕ An+1 không là môđun con cốt yếu trong M

Theo bổ đề 2.1.2.6 thì tồn tại Ui, 1 ≤ i ≤ n để Ui ∩ (A2⊕…⊕ An+1) = 0 Không mất tính tổng quát, giả sử i=1 ta có U1 ∩( A2⊕…⊕ An+1 ) = 0 suy ra tồn tại U1

⊕ A2 ⊕…⊕ An+1

Tiếp tục ta có ( U1 ⊕A3 ⊕…⊕ An+1 )∩ U2 = 0 suy ra (U1 ⊕A3 ⊕…⊕ An+1 không

là môđun con cốt yếu của M

Do đó tồn tại U2 để ( U1 ⊕ A2 ⊕…⊕ An+1 )∩ U2 = 0

Suy ra tồn tại U1 ⊕ U2 ⊕ A3 ⊕…⊕ An+1

Tiếp tục quá trình đó ta có : U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕…⊕ Un ⊕ An+1.

Do U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕…⊕ Un là cốt yếu trong M suy ra An+1 = 0

ii) Theo i) ta có k ≤ n và n ≤ k suy ra n = k ( do vai trò của hai tổng trực tiếp

2.1.2.8 §Þnh nghÜa Ta gọi dim M = n nếu tồn tại tổng trực tếp hữu hạn U 1 ⊕

U 2 ⊕ U 3 ⊕… ⊕ U n ⊂* M, với các môđun U i đều, ∀i = 1,2,3,…,n, và n được gọi là chiều đều của môđun M

Khi M = 0 ta quy ước dim M = 0.

2.2 Một số tính chất của chiều đều hữu hạn

2.2.1 Mệnh đề

i) Nếu dim M < ∞ thì dim A < ∞ với mọi A là môđun con của M.

ii) Nếu A, B là các môđun con của M và tồn tại A⊕ B với dim ( A⊕ B) < ∞ thì dim ( A⊕ B) = dim A + dim B.

Chứng minh

i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

Do A ⊂ M nên suy ra M cha tổng trực tiếp cô hạn các môđun con khác không Vậy M có chiều đều vô hạn Mâu thuẫn với giả thiết dim M < ∞

Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không hay dimA<∞, với mọi A là môđun con của M

ii) Do A, B ⊂ (A ⊕ B), theo giả thiết dim (A ⊕ B) < ∞ nên theo i) dim A < ∞,dimB < ∞

Đặt dim A = n, dim B = m Do vậy trong A tồn tại n U i A

Vậy dim ( A ⊕ B ) = n + m = dim A + dim B 

2.2.2 Bổ đề Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì dim A = dim M.

Chứng minh Giả sử dim M = n ⇒ n U i M

2.2.3 Bổ đề Nếu môđun M/A có chiều đều hữu hạn, A có chiều đều hữu hạn

thì M có chiều đều hữu hạn và dim M ≤ dim A + dim M/A.

Chứng minh Gọi S = { X ⊂ M| X∩ A= 0} với quan hệ thứ tự bao h m.à

Ta có 0∈ S ⇒S ≠ ∅

Theo Zorn tồn tại phần tử tối đại L sao cho L ∩ A = 0 ⇒ ( L ⊕ A) ⊂* M ( vì nếu L

⊕ A không là môđun con cốt yếu của M thì tồn tại B ⊂ M, B ≠ 0,mà ( L ⊕

A) ∩ B = 0 ⇒ ( L ⊕ B) ∩ A = 0 Mâu thuẫn với tính tối đại của L)

Ta có L ≅ (( L ⊕ A) /A) ⊂ M/A, do M/A có chiều đều hữu hạn nên ( L ⊕ A) /A

có chiều đều hữu hạn ⇒ L có chiều đều hữu hạn

Giả sử dim M/A = n, dim A = m, dim L = l ( l ≤ n) Theo bổ đề 3.4 ta có dim M = dim ( L ⊕ A) = dim L + dim A = l + m ≤ n + m = dim M/A + dim A

2.2.4 Chú ý Nếu M có chiều đều hữu hạn, A có chiều đều hữu hạn thì cha hẳn

M/A có chiều đều hữu hạn, chẳng hạn: dim Q Z = 1, dim Z Z = 1 nhng dimQ/Z

Mâu thuẫn với giả thiết.

Theo mệnh đề 2.2.1 và kết hợp với (*) suy ra B/A có chiều đều hữu hạn 

2.2.7 Mệnh đề Cho M là môđun sao cho với mọi K ⊂* M thì M/K có chiều đều hữu hạn Khi đó M/Soc(M) có chiều đều hữu hạn.

Chứng minh Bởi bổ đề Zorn tồn tại H tối đại trong M mà H∩ Soc(M) = 0, suy

ra ( H ⊕ Soc(M)) ⊂* M Vì vậy theo giả thiết M/ ( H ⊕ Soc(M)) có chiều đều hữu hạn

Bởi vì (M/Soc (M))/ ( H ⊕ Soc(M))/Soc (M) có chiều đều hữu hạn

Do đó để chứng minh M/Soc (M)có chiều đều hữu hạn, theo bổ đề 2.2.3 ta chỉ cần chứng minh ( H ⊕ Soc(M))/Soc (M) có chiều đều hữu hạn

Nhng ( H ⊕ Soc(M))/Soc (M) ≅ H Vì vậy ta chỉ phải chứng minh H có chiều đều

hữu hạn Giả sử ngợc lại, khi đó tồn tại X = i

M mà K ∩ Xi ≠ Xi Đặt Yi = K ∩ Xi ta có Xi ≠ Yi, ∀i ∈ I