bViết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm A0; –1.. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại A, đồ thị C và đường thẳng x =21.. 1 điểm Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là h
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo
TP Hồ Chí Minh ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT ( 2010-2011)
MÔN TOÁN LỚP 12
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số : 21 1
x
x
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0; –1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại A, đồ thị (C) và đường
thẳng x =21
c)Định m để đường thẳng (d): y mx m 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt
Câu 2 (1,5 điểm)
Tính các tích phân : a) I =
2
e
e
dx x
Lnx
4
0
) 2 sin 2
(cos
dx x x
Câu 3 (1 điểm)
Giải bất phương trình :
log2( 3 2x 1 ) 2x 1
Câu 4 (1 điểm)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng và cạnh bên
SA = 2a vuơng gĩc với mặt đáy Cạnh bên SC hợp với mặt đáy một gĩc 30o
a)Tính theo a thể tích hình chĩp S.ABCD
b)Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
Học sinh chỉ được làm một trong hai phần( phần I hoặc phần II)
I)Theo chương trình chuẩn.
1) Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
t 2 1
t 2 3
t 2 :
) d
z
3
2 1
1 2
1 :
)
d
( 2 x y z
a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) 2) Giải phương trình trong tập số phức: 4 9 2 18 0
z
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Giải bất phương trình:
x x
5 6 4 9 4
.
2)Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 3), B(3; 0 ; 1), C( 1; 2; 1), D(3; 1; 2)
a) Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng AB qua mặt phẳng (BCD)
HẾT
Trang 2Đáp án :
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số : 21 1
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Tập xác định : R \ { } 0,25 đ
Sự biến thiên
Chiều biến thiên : 0 , 1
) 1 (
1
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( ; 1 ), ( 1 ; )0,25 đ
Hàm số không có cực trị
1
1 2 Lim
x y
x x
xLim1 và
Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang
Đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng 0,25 đ
Bảng biến thiên
- Điểm không xác định
- Dấu của đạo hàm
- Chiều biến thiên -Các giá trị của giới hạn
0,25 đ
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; –1), cắt trục Ox tại điểm (–1
2; 0)
Vẽ đồ thị 0,5 đ
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0; –1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại A, đồ thị (C) và đường
thẳng x =21
Phương trình tiếp tuyến tại (xo;yo)có dạng:
) )(
(
y
Ta có xo 0 ; yo 1 ; y' (xo) 1 0,25 đ
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; –1):
1 )
0 ( 1
y 0,25
đ
Diện tích hình phẳng cần tính:
2 1 0
2 1
)] 1 (
1 1 2 [ )
1 (
1 1 2
dx x
x
x dx
x x
x
0,25 đ
0 2 1 2
0
2 1
) 1 2
( )
1 1
1 2
2 Ln 8
5
Trang 3c)Định m để đường thẳng (d): y mx m 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ
1
1 2
x x
x
(1) (ĐK: x 1)
Từ (1) ta có: m 2 2 m m 1 0
Với x 1thì (2): 1 0(vô lý) 0,25 đ
Vậy để (C) và (d) có hai giao điểm phân biệt thì m 0
0 ' 0 m
0,25 đ
Câu 2 (1,5 điểm)
Tính các tích phân : a) I =
2
e
e
dx x Lnx
Đặt u Lnx, ta có dx
x
Với x = e thì u = 1.
Với x = e2 thì u = 2. 0,25 đ
I =
3
2 2 4 3
2 8 3
2 3
2 3
1 3 2
1 2
3 2
1
0,25 đ
b) J =
4
0
) 2 sin 2
(cos
dx x x
x Đặt u x thì u' 1
Đặt v' cos 2x sin 2x, ta chọn (sin 2 cos 2 )
2
1
x x
đ
Ta có J =
4
0
4
0 (sin 2 cos 2 ) 2
1 )
2 cos 2
(sin 2 1
dx x x
x x
x
= 4 (cos 2 sin 2 ) 4
4
1 )
2 cos 2
(sin 2
x x
x x
0,25 đ
Câu 3 (1 điểm)
Giải bất phương trình :
log2( 3 2x 1 ) 2x 1
(1) (ĐK: )
3
1
2 x
(1) 2 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 1 0
0,25 đ
3
1 t ( 2
Bất phương trình trở thành: t 1
2
1 t 3
1 0 1 t 3 t
2 2
0,25 đ
Với t 2x, ta có: 2 1 log 3 1 0
2
1 2 3
1
0,25 đ
Nghiệm của bất phương trình là: log23 x 1 v x 0 0,25 đ
Trang 4Câu 4 (1 điểm)
a)Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
Cạnh bên SC có hình chiếu lên mặt đáy ABCD là AC nên góc của SC hợp với mặt đáy là góc SCA = 30o
Tam giác vuông SAC cho:
3
a 6 30 tan
SA AC
AC
SA 30
Ta có a 6
6
a 6 2
AC
Vậy diện tích hình vuông ABCD = (a 6 ) 2 6a 2
Thể tích hình chóp S.ABCD = 2 4a 3
3
.2a 6a A dt(ABCD).S 3
1
0,25 đ
b)Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
Trong tam giác vuông SAO vẽ đường cao AH
Ta có BD vuông góc với SA và AC nên BD vuông góc với mp(SAC) Suy ra BD vuông góc với AH
AH vuông góc với BD và SO nên AH vuông góc với (SBD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 0,25 đ
Tam giác vuông SAO có đường cao AH cho 2 2 2
AO
1 SA
1 AH
1
7
12a AH
a 12
7 3a
1 4a
1 AH
2 2
2 2
7
12 a
AH 0,25 đ B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn.
1)Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
t 2 1
t 2 3
t 2 :
)
d
z
y ;
3
2 1
1 2
1 : ) d ( 2 x y z
a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau.
S
B A
O
C D
Trang 5Đường thẳng (d1) đi qua A(2; 3; 1) và có VTCP là a1 ( 1 ; 2 ; 2 ) Đường thẳng (d2) đi qua B(–1; 1; –2) và có VTCP là 2 ( 2 ; 1 ; 3 )
a
0,25 đ
) 3
; 2
; 3 (
) 5
; 1
; 8 ( ] ,
[ 1 2
a
a 0,25 đ
Ta có [ 1, 2].AB70
a
a 0,25 đ
Vậy ba vectơ
AB , , 2
a không đồng phẳng Suy ra (d1) và (d2) chéo nhau 0,25 đ
b) Viết phương trình mp(P) chứa (d1) và song song với (d2)
Mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) nên mp(P) đi qua A(2; 3; 1) và có VT pháp tuyến là P [ 1, 2](8;1; 5)
a a
n 0,5 đ
0 8 5 8
0 ) 1 ( 5 ) 3 ( 1 ) 2 (
0,5 đ
2)Giải phương trình trong tập số phức: 4 9 2 18 0
z
Đặt t z2
Ta có phương trình t 2 9t 18 0 t 3 t 6
v 0,5
đ
Với t 3: z i 3 0,25 đ
Với t 6: z i 6 0,25 đ
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Giải bất phương trình:
x x
5 6 4 9 4
.
Chia hai vế cho 9 x, ta có:
0 4 ) 3
2 (
5 )
3
2 (
9 0 4 ) 9
6 (
5 )
9
4
.(
0,25 đ
Đặt ) , t 0
3
2 (
t x 0,25 đ
Ta có bất phương trình:
9
4 t 1 0
4 5t 9t 2 0,25
đ
Ta nhận
9
4 t
9
4 ) 3
2 ( x x x
Nghiệm của bất phương trình là: x < –2 0,25 đ 2)Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 3), B(3; 0 ; 1), C( 1; 2; 1), D(3; 1; 2)
a) Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau
Xét ba vectơ:
) 4
; 1
; 1 (
) 1
; 3
; 4 (
) 2
; 1
; 3 (
) 1
; 17
; 13 ( ]
CD
,
AB
0,25 đ
Ta có [ AB , CD ] AC 20 0
0,25 đ
Vậy ba vectơ
AC , CD ,
AB không đồng phẳng Suy ra AB và CD chéo nhau 0,25 đ
Trang 6b) Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng AB qua mặt phẳng (BCD)
Gọi E là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (BCD) thì BE là đường thẳng đối xứng với AB qua mặt phẳng (BCD) 0,25 đ
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(3; 0 ; 1) và có VT pháp tuyến là:
] BD , BC
n
Ta có BC ( 4 ; 2 ; 2 )
BD ( 0 ; 1 ; 3 )
nên [ BC , BD ] ( 8 ; 12 ; 4 )
n
Phương trình mp(BCD): 2x 3yz 5 0 0,25 đ
Đường thẳng AE qua A(2; 1; 3), vuông góc với mp(BCD) nên có VTCP
là ( 2 ; 3 ; 1 )
n Phương trình tham số của AE:
t z
t y
t x
1 3
3 1
2 2
0,25 đ
Gọi H là giao điểm của AE với mặt phẳng (BCD): )
14
37
; 14
1
; 14
18 (
Ta có H là trung điểm của AE nên )
7
16
; 7
8
; 7
4 (
Phương trình tham số của BE:
t z
t y
t x
7 23 1
7 7 17 3
0,25 đ
HẾT