Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt các tia Ox,Oy tại A và B sao cho OA+3OB nhỏ nhất... Học sinh chỉ được làm 1 phần riêng, nếu làm cả 2 phần không chấm phần riêng.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi toán, khối A (lần 1)
Thời gian làm bài 180 phút( không kể thời gian phát đề)
A PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (7điểm):
Câu I: Cho hàm số y x= 3−3m x2 +2m (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt.
Câu II: a) Giải phương trình: (sin 2 sin 4) cos 2 0
2sin 3
x
+ b) Giải phương trình: 8x + =1 2 23 x+1−1
Câu III: Tính tích phân sau: 2
3 0
sin I
(sin cos )
xdx
π
=
+
∫ Câu IV: Khối chóp SABC có SA⊥(ABC), ∆ABC vuông cân đỉnh C và SC = a
.Tính gócϕ giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Câu V: Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
2− −x 2+ −x (2−x)(2+x) =m
B PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần
Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a:
1) Trong mp(Oxy) cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt các tia Ox,Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z− + − =1 0 để ∆MAB là tam
giác đều biết A(1;2;3) và B(3;4;1)
Câu VII.a: Tìm hệ số của x20 trong khai triển Newton của biểu thức ( 23 x5)n
x + biết rằng: 0 1 1 1 2 ( 1) 1 1
n
+
Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b:
1) Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng ( ) : 3∆ x y− − =5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện
tích bằng nhau
2) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ( )∆1 có PT {x=2 ;t y t z= ; =4} ;
2
(∆ ) là giao tuyến của 2mp( ) :α x y+ − =3 0 và( ) : 4β x+4y+ − =3z 12 0 Chứng tỏ
1, 2
∆ ∆ chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của
1, 2
∆ ∆ làm đường kính.
Trang 2Câu VII.b: Cho hàm số 2 (2 1) 2 4
y
x m
=
hàm số có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là 1 hằng số không phụ
thuộc m.
============Hết============
Họ và tên thí sinh:
………
Số báo danh:
………
Ia)
1điểm
3 3 2 2
y x= − m x+ m (Cm) khi m= ⇒ = − +1 y x3 3x 2 (C) 0.25 TXĐ: D=R, y' 3= x2−3, ' 0y = ⇔ = ±x 1
HS đồng biến trên (−∞ −; 1) và (1;+∞); nghịch biến trên (−1;1) 0.25
HS đạt cực đại tại x= −1;y CD =4, đạt cực tiểu tại x=1;y CD =0
Giới hạn: limx→+∞= +∞, limx→−∞= −∞
Đồ thị:(C)∩Ox tại A(1;0) và B(-2;0), :(C)∩Oy tại C(0;2) 0.25
f(t)
-∞
4
0
+∞
Ib)
1điểm (Cm) có hệ số
3
x là 1, nếu không có cực trị sẽ luôn đồng biến, vậy để cắt
trục hoành tại 2 điểm thì (Cm) phải có 2 cực trị 0.5 ' 0
y
⇔ = có 2 nghiệm phân biệt ⇔3x2−3m2 =0có 2ng pb
Khi m≠0thì ' 0y = ⇔ = ±x m
(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt ⇔yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 0.5
3
y m− = ⇔ m + m= ⇔ =m (loại)
3
y m = ⇔ − m + m= ⇔ = ∨ = ±m m ⇒KL: m= ±1
Trang 3IIa)
1điểm (sin 2 sin 4) cos 2 0
2sin 3
x
+
(sin 2 sin 4) cos 2 0
x
(2cos 1)(sin cos 2) 0
x
2cos 1
2 3
x
x
=
≠ −
IIa)
1điểm
8x + =1 2 2x+ −1 Đặt 2x = >u 0; 23 x+1− =1 v
3
0
u v
u u
v u u v u uv v
= >
0.5
2
0; log
2
III
1điểm Đặt x= − ⇒π2 t dx= −dt
x= ⇒ =t π x= ⇒ =π t
2
3 0
sin I
(sin cos )
xdx
π
=
+
I (sin cos ) (sin cos )
0.5
0
4
x
π π
2
IV
1điểm AC⊥BC⇒ SC⊥BC (đlý 3 đg vuông góc) ⇒ · (0; )
2
SCA π
SA a ϕ AC BC a ϕ
6
SABC
a
Xét hàm số y=sinx−sin3x trên khoảng (0; )
2
π
3
ϕ = , (0; )
2
π
V
1điểm Đk: − ≤ ≤2 x 2, đặt t = 2− −x 2+x ' 1 1 0
t
−
( )
t t x
⇒ = nghịch biến trên [-2;2]⇒ ∈t [-2;2]
0.25
2
t
t = − −x ⇒ −x = −
2− −x 2+ −x (2−x)(2+x)=m⇒2m t= + − =2 2t 4 f t( )
0.25
Bảng biến thiên:
f(t)
-4
4
Trang 4-5 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 5 2 4 5 2
2
⇔ − < ≤ − ⇔ − < ≤ − 0.5
Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn
VIa.1
1điểm Phương trình đường thẳng đi qua M(3;1) cắt tia Ox tại A(a;0),cắt tia Oy
tại B(0;b), a,b>0 là: 3 1 1
a b
⇒ + =
0.5 Theo bất đẳng thức Cauchy 1 3 1 2 3 1 ab 12
a b a b
Mà OA+3OB a= +3b≥2 3ab =12
min
3
6
2 2
a b
a
OA OB
b
a b
=
6 2
x y
x y
VIa.2
1điểm MA=MB⇒ M thuộc mp trung trực của đoạn AB có PT: x y z+ − − =3 0
M thuộc giao tuyến của (P) và (Q) có dạng tham số: x=2;y t= +1;z t=
: (2; 1; )
t M t t
Vì AB = 12 nên ∆MAB đều khi MA=MB=AB
2
VII
1điểm Theo Newton thì:
(1−x)n =C n −C x C x n + n − + − ( 1)n C x n n n =B
Vì
1
0
1 (1 )
1
n
x dx
n
+
1
0
( 1)
n
+
∫
⇒ + = ⇒ =
0.5
0
n k
k
−
=
1 12k 2 k k
k
T + =C − x − 0.25
Số hạng ứng với thoả mãn: 8k−36 20= ⇔ =k 7
⇒ Hệ số của x là: 20 C127.25=25344 0.25
2 Theo chương trình nâng cao:
VIb.1
1điểm Viết phương trình đường AB: 4
x+ y− = và AB=5 Viết phương trình đường CD: x−4y+17 0= và CD= 17 0.25 Điểm M thuộc∆ có toạ độ dạng: M =( ;3t t−5) Ta tính được:
d M AB − d M CD −
Từ đó: S MAB=S MCD ⇔d M AB AB d M CD CD( , ) = ( , ) 0.5
Trang 57 9
3
⇔ = − ∨ = ⇒ Có 2 điểm cần tìm là: ( 9; 32), ( ; 2)7
3
M − − M
VIb.2
1điểm Ta có: ∆1 đi qua M1 = (0;0;4), có vectơ chỉ phương uuur1=(2;1;0)
Ta tìm được ∆2 đi qua M2 = (3;0;0), có vectơ chỉ phương uuur2= −(1; 1;0)
1, 2 1 2 12 0
u u M M
⇒uur uur uuuuuur = ≠ ⇒ ∆1,∆2 chéo nhau
0.25
Gọi chân đg vuông góc chung của ∆1,∆2 là: A t t(2 ; ; 4)∈∆1,
(2 ; ; 4) 1
A t t ∈∆
AB s t s t
⇒uuur= − + − − − Do uuur uurAB u 1=0,uuur uurAB u 2 =0⇒ =t 1,s= −1
(2;1; 4), (2;1;0)
0.5
Mặt cầu cần tìm là mặt cầu đường kính AB có tâm I(2;1;2), bán kính
1
2 2
R= AB= có phương trình là: (x−2)2+ −(y 1)2+ −(z 2)2 =4 0.25 VII
1điểm ĐK: x≠ −m, ta có: 12 12 12 2 ' 1 2 2
y = ⇔ = − − ∨ = − +x m x m Ta có bảng biến thiên:
0.5
y
KL: Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m.
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2 2 1
2
x m
y= + +
0.5
CD CT CD CT
4 2
AB
⇒ = không đổi ⇒ ĐPCM
Chú ý: - Hướng dẫn chỉ trình bầy 1 cách giải, cách giải khác đúng cho điểm không vượt quá số điểm từng câu hỏi Học sinh chỉ được làm 1 phần riêng, nếu làm cả 2 phần không chấm phần riêng.
