Gọi M là trung điểm của cạnh CC1.. Chứng minh MB ⊥ MA1và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng A1BM.. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0;1 tạo với d1,d2 một tam giác cân tạ
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi toán, khối D (lần 1)
Thời gian làm bài 180 phút( không kể thời gian phát đề)
A PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (7điểm):
Câu I: Cho hàm số y x= 3−3mx2− +3x 3m+2 (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
3
b) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x x x1, ,2 3 thỏa mãn 2 2 2
x +x +x ≥
Câu II: a) Giải bất phương trình: log (log (2x 4 x−4)) 1≤
b) Giải phương trình: cos 2x+cosx(2 tan2x− =1) 2
Câu III: Tính tích phân : 2 2
0
I cos xcos 2xdx
π
= ∫
Câu IV: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 =2a 5 và
o
120
BAC∧ = Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
Câu V: Tìm m để phương trình sau có một nghiệm thực:
2x2−2(m+4)x+5m+10− + =x 3 0
B PHẦN RIÊNG (3điểm): Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần
Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a:
1)Trong mp toạ độ (Oxy) cho 2 đường thẳng: (d1):x−7y+17 0= , (d2):
5 0
x y+ − = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1),(d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1),(d2)
2) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A≡O,
B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’ Câu VII.a: Một kệ sách có 15 quyển sách (4 quyển toán khác nhau, 5 quyển lý khác nhau, 6 quyển văn khác nhau) Người ta lấy ngẫu nhiên 4 quyển sách từ kệ Tính xác suất để số sách lấy ra không đủ 3 môn
Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng: (d1): 1 2
x− = y+ = z
; (d2) là giao tuyến của 2 mp có PT: x+ =1 0 và
2 0
x y z+ − + =
1) Chứng tỏ 2 đường thẳng d1, d2 chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng 2) Viết PT đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2)
Trang 2Câu VII.b: Tìm hệ số của x8 khai triển Newtơn của biểu thức ( 2 3)8
1
P= +x −x
Ia)
1điểm
y x= − mx − +x m+ (Cm) khi m=1/ 30⇒ = − − +y x3 x2 3x 3
3
y = x − x− y = ⇔ =x ±
HS đồng biến trên ;1 10
3
−∞
; 3
+∞
; nghịch biến /
(x x1; 2)
0.25
HS đạt cực đại tại x x y= 1; CD=, đạt cực tiểu tại x x y= 2; CD =
Giới hạn: limx→+∞= +∞, limx→−∞= −∞
Đồ thị:(C)∩Ox tại A(1;0) và B(x3;0), D(x4;0), :(C)∩Oy tại E(0;3) 0.25
f(t)
-∞
CD
y
CT
y
+∞
Ib)
1điể
m
Phương trình hoành độ giao điểm: x3−3mx2− +3x 3m+ =2 0
(x 1)[x (3m 1)x 3m 2]=0 x 1 x (3m 1)x 3m 2 0 (2)
(Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x x x với 1, ,2 3 x3 =1
0.5
Trang 3thì x x là nghiệm khác 1 của PT (2) Theo đlý viet ta có:1, 2 1 2
1 2
Để thoả mãn đk thì:
2 2
2
∆ >
( ; 1] [1; )
m
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
0.5
IIa)
1điể
x x
x
x
< ≠
− > ⇔ >
− >
0.2 5
Do x> ⇒1 PT⇔log (24 x− ≤ ⇔4) x 2x− ≤4 4x ⇔4x−2x+ ≥4 0 đúng
với mọi x Do vậy BPT có nghiệm: x>log 52 0.5
IIa)
1điể
m
cos 2x+cosx 2 tan x− =1 2, Đk: cosx≠ ⇔ ≠0 x π / 2+kπ
PT (2cos2 1) cos [2( 12 1) 1] 2
cos
x
2cos x 3cos x 3cosx 2 0
0.5
2
(cosx 1)(2cos x 5cosx 2) 0
cos 1/ 2
2
x
x VN
=
= ± +
0.5
III
1điể
m
2
/2 0
( sin 2 sin 4 ) |
IV
1điể
m
Theo đlý cosin ta có: BC = a 7
Theo Pitago ta được: MB = 2 3a ; MA1=3a
Vậy MB2+MA12 =BA12 =21a2
1
0.5
A1
M
C1
B1
B
A
C
Trang 4Ta lại có:
d M ABA =d C ABA =a
1
2 1
1
2
ABA
S = AB AA =a
1
2 1
1
2
MBA
3
a d
⇒ =
0.5
V
1điể
m
2
2x −2(m+4)x+5m+10− + =x 3 0
2
2x 2(m 4)x 5m 10 x 3
3 0
x
− ≥
3
x
m
x
≥
=
0.2 5
Xét hàm số, lập BBT với ( ) 2 2 1
f x
x
=
−
2 2
'( ) (2 5)
f x
x
−
− Khi đó ta có:
0.5
Bảng biến thiên:
y
8
24/5
+∞
Phương trình có 1 nghiệm 24 (8; )
5
m∈ ∪ +∞
Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn
VIa.1
1điểm Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:1
3 13 0 ( )
3 4 0 ( )
x y
x y
0.5
PT đường cần tìm đi qua M(0;1) và song song với ∆ ∆1, 2
VIa.2
1điểm Kẻ CH⊥AB’, CK⊥DC’ Ta chứng
minh được CK ⊥ (ADC’B’) nên tam
giác CKH vuông tại K
10
0.5
Vậy PT mặt cầu là:
10
C
C’
D’
D A
B’
B
A’
Trang 51điểm Số phần tử của không gian mẫu là:
4
15 1365
C
Gọi A là biến cố lấy ra 4 quyển sách đủ cả 3 môn ( có các trường hợp: (2
toán, 1 lý, 1 văn); (1 toán, 2 lý, 1 văn);(1 toán, 1lý, 2 văn)) có số phần tử
là:
2 1 1 1 2 1 1 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5 6 720
A =C C C +C C C +C C C =
Xác suất để xảy ra A là: ( ) 720 48 0.527
1365 91
Vậy xác suất cần tìm là: P 1 P A( ) 43
91
2 Theo chương trình nâng cao:
VIb.1
1điểm Ta có: ∆1 đi qua M1 = (1;-2;0), có vectơ chỉ phương uuur1=(3; 2;1)
Ta tìm được ∆2 đi qua M2 = (-1;-1;0), có vectơ chỉ phương uuur2 =(0;1;1)
1, 2 (1; 3;3); 1, 2 1 2 1 0
⇒uur uur= − uur uur uuuuuur = ≠ ⇒ ∆1,∆2 chéo nhau
0.5
1 2
19 ,
u u M M
u u
uur uur uuuuuur uur uur
VIb.2
1điểm Mp(P) đi qua M(0;1;1) vuông góc với d1 có PT: 3
Giao điểm A của d2 và (P) là nghiệm của hệ
0.25
ĐT cần tìm là AM có PT: 1 1
x = y− = z−
0.5 VII
8 0
k
=
0
(1 )k k k i( 1)i i
i
=
Để ứng với x ta có: 28 k i+ =8;0≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤i k 8 0 k 4
0.5
Ta có:
Do vậy hệ số của x là: 8 a C C= 8 33 2( 1)− 2+C C8 44 0( 1)− 0 =238 0.5
