skkn hang dang thuc

Đặc biệt là các em học thuộc lý thuyết nhng không biết vận dụng vào giải các bài tập.Với học sinh lớp 8, 9 trở lên khi nói đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì em nào cũng có thể nhớ và vi

I lý do chọn đề tài

1 Cơ sở lý luận:

Trong sự nghiệp chiến đấu bảo vệ tổ quốc, cũng nh trong sự nghiệp xây dựng đất nớc Việc tìm ra con đờng cách mạng cũng nh phơng pháp cách mạng

đúng đắn khoa học, là yếu tố quyết định sự thành công, nó có một ý nghĩa chiến lợc và là sự sống còn của cách mạng Cũng nh trong toán học việc tìm ra hớng

đi cũng nh phơng pháp để giải toán là rất quan trọng

Nh chúng ta đều biết, không có phơng pháp chung nào để giải mọi bài toán,

và việc giải một bài toán có thể có nhiều phơng pháp nhng việc lựa chọn phơng pháp tối u, để giải một bài toán là rất cần thiết Nó giúp ngời giải toán tiết kiệm

đợc thời gian và công sức, để đi đến kết quả nhanh nhất, đơn giản nhất

2.Cơ sở thực tiễn:

Hiện nay học sinh giải toán còn gặp nhiều khó khăn về phơng pháp, nhất

là trong trình bày lời giải, không ít em trình bày chỗ thừa, chỗ thiếu và không ít

em để lại những sai sót cơ bản Đặc biệt là các em học thuộc lý thuyết nhng không biết vận dụng vào giải các bài tập.Với học sinh lớp 8, 9 trở lên khi nói

đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì em nào cũng có thể nhớ và viết đợc công thức tổng quát Nhng khi áp dụng vào giải các bài tập thì rất lúng túng

Xuất phát từ những lý do đó bản thân tôi đề xuất đề tài ứng dụng hằng đẳng

“Bình phơng của một tổng” vào việc giải một số dạng toán nhằm góp phần khắc phục phần nào những tồn tại nêu trên

Vậy vận dụng hằng đẳng thức “Bình phơng của một tổng” vào giải bài toán nh thế nào Sau đây tôi xin trình bày một số dạng bài toán áp dụng bình phơng của một tổng trong quá trình giải

3 Mục đích của đề tài.

Giúp và định hớng cho các em biết vận dụng hằng đẳng thức “Bình phơng

của một tổng” vào việc giải các dạng bài tập rèn luyện cho học sinh t duy lô gích, t duy trừu tợng, t duy thuật toán, t duy sáng tạo…

4 Ph ơng pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu thực trạng của việc dạy học vấn đề này, từ đó đề xuất phơng

pháp giải các dạng toán

-Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc rèn luyện t duy, cho học sinh thông

qua dạy học toán

5 Giả thiết khoa học.

Nếu áp dụng một cách thích hợp hằng đẳng thức “Bình phơng của một tổng”

đồng thời đổi mới việc dạy học vấn đề này theo hớng t duy sáng tạo cho

học sinh thì sẽ nâng cao đợc chất lợng môn toán lớp 8, lớp 9 của bậc trung học cơ sở

II Nội dung

1 Cách xác định các thành phần của hằng đẳng thức

(A B ) A  2AB B (A, B là số hoặc biểu thức)

Ví dụ 1: Điền vào chỗ “?” để có dạng bình phơng của một tổng

( ? + ?)2 = x2 + ? + 4y2

Xét vế phải: x2 + ? + 4y2có dạng bình phơng của một tổng suy ra

x2 +? + 4y2 phải có dạng A2  2AB B 2 ta có A2 = x2 hay A = x; B2 = 4y2 hay B = 2y  hạng tử phải điền vào là 2A.B = 2x 2y = 4xy

vậy ta có (x+2y)2= x2+ 4xy + 4y4

Ví dụ 2: (?-?) = a2- 6ab + ?

Xét vế phải: a2- 6ab + ? = a2 – 2a.3b + ? ta dễ dàng xác định đợc A = a; B = 3b

 Hạng tử phải điền vào là B2 = (3b)2= 9b2

vậy ta có đẳng thức (a- 3b)2 = a2 - 6ab + 9b2

Hai ví dụ này đơn giản nhng sẽ giúp học sinh xác định đợc thành phần của hằng

đẳng thức trong các dạng toán khác nhau

2 Vận dụng cụ thể vào các dạng toán:

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức:

Ví dụ 1: Tính nhanh P = 572+ 114.43 + 432

ở đây ta thấy trong P có hạng tử 572 và 432 Ta xác định A = 57, B = 43 và nghĩ

đến việc tách 114.43 = 2A.B

Ta có 114.43 = 2 57 43 = 2.A.B

Nh vậy đa đợc P về dạng “ bình phơng của một tổng”, việc tính toán trở nên đơn giản hơn

P = 572+ 114.43 + 432 = 572+ 2.57.43 + 432 = (57 + 43)2 = 1002 = 10 000

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:

M = a3 + b3 – ab2- a2b với a = 5,75; b = 4,25

Ta thấy trong biểu thức M có chứa các hạng tử – ab2 ; a2b ta nghĩ ngay đến việc phân tích xem có thể tách, nhóm các hạng tử để xuất hiện dạng “bình phơng của một tổng” ta có

- ab2 = - 2ab2 + ab2 ; - a2b = - 2a2b + a2b

Khi đó ta nhóm các hạng tử M = (a3 – 2a2b + ab2) + (b3 - 2ab2 + a2b)

Đặt nhân tử chung ở mỗi nhóm đợc

M = a(a2 – 2ab + b2) + b(b2 – 2ab + a2)

Các biểu thức trong ngoặc là dạng “bình phơng của một tổng” ta chỉ việc thu gọn biểu thức rồi thay các giá trị của a, b vào biểu thức để tính

Giải: M = a3 + b3 – ab2- a2b

= a3 + b3 – 2ab2 + ab2 - 2a2b + a2b

= (a3 – 2a2b + ab2) + (b3 - 2ab2 + a2b)

= a(a2 – 2ab + b2) + b(b2 – 2ab + a2)

= a(a – b)2 + b(b- a)2 = (a – b)2(a + b)

Với a = 5,75; b = 4,15

 M = (5,75 – 4,25)2(5,75 + 4,25) = 1,52.10 = 22,5

Vậy M = 22,5

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

A = x 2x 1  x 2x 1

Xét biểu thức C = x + 2x 1 ta thấy hệ số của x của biểu thức dới căn là 2 vậy

ta dự đoán các thành phần của hằng đẳng thức có thể là:

A = 2x 1  A2  2x  1 B 1

Có nghĩa là: (A + B)2 = ( 2x 1 1)  2  ( 2x 1) 2  2 2x 1 1 

= 2x – 1 + 2 2x  1 1

= 2x + 2 2x 1= 2(x + 2x 1)

Tơng tự ( 2x 1 1)  2  ( 2x 1) 2  2 2x 1 1 2(   x 2x 1)

Muốn thu gọn A trớc hết ta tính A 2 khi đó các biểu thức dới dấu căn ở vế phải có dạng bình phơng của một tổng nh trên, từ đó ta khử các dấu căn để thu gọn biểu thức

Giải: Điều kiện 2 1 0

x

x x

 







1 2

x

A  x x  x x

= (2x  1 2 2x 1 1   2x  1 2 2x 1 1 

= ( 2x  1 1) 2 - ( 2x  1 1) 2

= 2x   1 1 │( 2x  1 1)│ Nếu x   1 A 2  2x 1 1 ( 2   x 1 1) 

2 2 2 2

A



Nếu 1

* Bài tập tơng tự: Rút gọn các biểu thức:



Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

P = 1 – 2a +2bc +a2 – b2 – c2

Ta dễ dàng nhóm các hạng tử với nhau (1 -2a + a2), -(b2 -2bc +c2)

Xuất hiện dạng bình phơng của một tổng, khi đó biểu thức P có dạng hiệu 2 bình phơng suy ra ta phân tích các nhân tử

Giải: P = 1 – 2a +2bc +a2 – b2 – c2

= (1 – 2a + a2) – (b2 – 2b.c + c2)

= (1 – a)2 – (b – c)2

= (1 – a + b – c)(1 – a – b + c)

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử

Q(x,y) = 9x6 + 24x3y2 + 16y4

Ta dễ thấy 9x6 = (3x3)2; 16y4 = (4y2)2 suy ra A = 3x3 , B = 4y2

Ta tách 24x3y2 = 2(3x3)(4y2) = 2A.B

Q(x,y) = (3x3)2 + 2.(3x3)(4y2) + (4y2)2 = (3x3 + 4y2)2

Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử:

M = - 16a4b6 – 24a5b5 - 9a6b4

Nhìn vào biểu thức M ta cha thấy ngay dạng “Bình phơng của một tổng”, mà thấy các hạng tử có các hệ số của hạng tử là 16 = 42; 9 = 32

24 =2.3.4 Ta nghĩ đến có thể đa về dạng “Bình phơng của một tổng”

Các hạng tử trong đa thức có thừa số chung là a b4 4ta đặt a b4 4ra ngoài khi đó biểu thức trong ngoặc có dạng “Bình phơng của một tổng” trong đó A = 4b

B = 3a; 2AB = 2.4b.3a = 24ab

M

       

4 4

2

4 4

a b b ab a

a b b a

Đối với dạng : Phân tích đa thức thành nhân tử việc phân tích bài toán, để đa biểu thức về dạng bình phơng của một tổng, hoặc chứa bình phơng của một tổng giúp chúng ta đa về dạng tích một cách nhẹ nhàng hơn Đặc biệt là đối với những biểu thức có chứa các hạng tử có dạng bình phơng hay lũy thừa bậc chẵn của một số và tích của các số đó.Tuy nhiên trong quá trình phân tích cần phải sử dụng thêm một số hằng đẳng thức khác

Bài tập t ơng tự :

Phân tích đa thức thành nhân tử

1)25x4 -10x2y + y2

2)( a2+b2-5)2- 4( ab+2)2

3)2a b2 2  2b c2 2  2a c2 2  a4  b4  c4

4) 4x2 - 81

Dạng 3: Giải ph ơng trình

Ví dụ 1: Giải phơng trình 2x - x2 + 3 = 0 (1)   x2  2x 3= 0

Ta thấy vế trái của phơng trình không có dạng bình phơng của một tổng nhng có chứa các hạng tử x2 - 2x Ta có A = x; ta có các thành phần của Bình phơng của một tổng Muốn vậy ta tách -3 = 1- 4

x2- 2x-3 =(x2- 2x+1)-4= (x-1)2- 4

2x - x2 + 3 = 0 (1)   x2  2x 3= 0

 

   

 

2

2

3

3 0

x

x x

       

          





Ví dụ 2: Giải phơng trình

 

(Đ/K: x 4 ;y x 4y2)

để giải phơng trình (I) ta chuyển vế một căn thức để hai vế của phơng trình không âm, sau khi bình phơng hai vế, chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái của

phơng trình ta có :

2

2

    

Ta dễ dàng nhìn thấy các hạng tử nhóm với nhau để có dạng “Bình phơng của một tổng”

Do  2  2  2   2 

2y 1  0; x 1  0; 4y x x  2  0

Lúc này vế trái của phơng trình là tổng các hạng tử không âm nên vế trái bằng không  các hạng tử đó bằng không

2y 1) 2  0 ; 4y2 x x  2  2  0,(x 1) 2  0

Nên 2y 12x 12 2 4 y2  2 x2  2  0

2

2

x

y

y x



 



(thoả mãn điều kiện )

Vậy phơng trình có nghiệm : x=-1, y=1/2

Ví dụ 3: Giải phơng trình

 

2

2

2

4

12 2

x

x

x

 (II) (Đ/K: x 2)

Vế trái của phơng trình (II) có chứa các hạng tử

2 2

2

4

; 2

x x

x 

để các hạng tử đó là thành phần của “Bình phơng một tổng”

Với A = x;

2

2

Ta thêm vào hai vế của phơng trình (II)với 4 2

2

x x





Từ (II) suy ra  

2 2

2

2

12

x

x



2

12 0

4

12 0

x

Đặt y=

2

2

x

x  Ta đợc phơng trình y

2+ 4y -12=0 (*) Giải phơng trình (* ) ta đợc y1=2, y2=- 6

Với y1= 2  x2  2x  4 x2  2x 4 0   x  1 5 (thỏa mãn pt (II) và Đ/K) Với

y2 = - 6  x2  6x 12  x2  6x 12 0  phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình (II) có nghiệm là x = 1  5

Ví dụ 4: Giải phơng trình:

2 2

Giải: Vế trái 3 ( 1 ) 2 4 5 ( 1 ) 2 9 4 9 5















x

Vế phải 4 2 2 5 ( 1 ) 2 5











Vậy 2 vế của phơng trình đều bằng 5, khi đó x = - 1

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

x y 2 x 1 y 1 (III)

Hai vế của phơng trình (II) đều có dạng tích, ta khai triển chuyển các hạng tử

sang vế trái

1 0

x xy y xy x y

x xy y xy x y

x y xy x y

ở vế trái có chứa các hạng tử x2 ; xy; y2 ; x ; y ;1

Để có thể tạo ra đợc các thành phần của hằng đẳng thức, ta nhân cả hai vế với 2

Lúc này vế trái có các hạng tử 2xy; -2x; 2y Ta nghĩ đến tách

2x2 = x2+x2;2y2 = y2+y2; 2 =1+1 Sau đó chọn các hạng tử nhóm với nhau để các nhóm có dạng “Bình phơng của một tổng”

Ta có

1 0

1

1 0

1 0

x

x y

y

x y













  



Vậy phơng trình có nghiệm là x =1 và y = -1

Khi giải PT việc áp dụng Bình ph“ ơng của một tổng mục đích đ” a phơng trình về dạng tích về hoặc dạng

A 2 (x,y) + B 2 (x,y) + C 2 (x,y) + = 0 

( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0

A x y

B x y

C x y



















Hoặc dạng phơng trình bậc hai một ẩn đơn giản hơn

Các bài tập tơng tự :

Giải phơng trình :

1, x2  5x 2 3x 12 0 

2, x 2x 1  x 2x 1  2

Dạng 4: Giải bài toán cực trị

Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức A ta cần chứng minh A

K

 ( hoặc AK ) với K là hằng số, với mọi giá trị thích hợp của biến Khi

đó GTNN ( GTLN) của A bằng K

Với tính chất ( A+B) 2  0 ta có thể áp dụng “Bình phơng của một tổng” vào giải các bài toán cực trị

1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc 2:

Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c

Biến đổi P = a

4

b ac b x



Nếu a > 0: P có giá trị nhỏ nhất là K = 4 2

4

ac b a

 khi x =

2

b a



Nếu a < 0: P có giá trị lớn nhất là K = 4 2

4

ac b a



khi x =

2

b a



Vậy tam thức bậc 2 luôn có cực trị, kỹ năng cần rèn luyện ở đây là phải biết đa hạng tử ax2 và bx vào trong một bình phơng

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 -2x +5

Ta thấy các hạng tử của M có chứa các hạng tử x2,-2x

A x AB x B

      ta tách 5 = 4+1 ta sẽ có các hạng tử là các thành phần của “Bình phơng của một tổng”

Ta có M = x2 -2x +5 = x2 2x 1  4 x 12 4

vì x 12   0 x 12  4 4 Vậy Mmin = 4 tại x= 1

2 Đa thức một biến bậc 2n (nguyên d ơng )

Các đa thức bậc chẵn luôn có giá trị lớn nhất hoặc giá trị bé nhất Còn các

đa thức bậc lẻ chỉ có cực trị địa phơng ( nếu có )

Ph

ơng pháp : Đa về tổng các bình phơng của các biểu thức cộng với 1

hằng số

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a, A = x4 - 4x3+5x2 - 4x +4

Với đa thức này ta cần chú ý: Nếu đa hạng tử cao nhất vào trong bình

ph-ơng thì hạng tử bậc tiếp theo cũng phải đa vào trong bình phph-ơng đó

Giải : A = x4 - 4x3+5x2 - 4x + 4 ta đa x4 và 4x3 vào trong bình phơng dạng a b 2

 

2

2

a A x x x x x x

A x x x

Vậy Amin = 0 tại x=2

Nh vậy nếu x4 là hạng tử a2 thì 4x3

chính là 2ab

Khi đã đa đợc các hạng tử bậc cao thì các những hạng tử còn lại, có thể

đa vào bình phơng khác nhng phải thỏa mãn các bình phơng đó có giá trị của biến để chúng đồng thời bằng không hoặc có thể đa tiếp vào bình

ph-ơng với các hạng tử bậc cao đó

Ta xét ví dụ:

b) B = x4 - 2x3+ 3x2 – 2 x+ 1

2 2

1

x x

Vì x2  x  1 2  0với x nên ta tiếp tục biến đổi

2

2

Vậy Bmin = 9

16 tại x =

1 2

Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao ta cần chú ý đến

điều kiện tồn tại của nó (có những em khi giải đến B   x2  x  1 2thì kết luận ngay là B  0 nên suy ra B min = 0 mà không để ý rằng B thực sự lớn hơn không) đặc biệt là các bình phơng của một tam thức bậc hai

b) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức

C = 4x4+ 20x3+13x2- 30x - 7

Ta đa 4x2 vào trong bình phơng thì hạng tử 20x3cũng đợc đa vào trong bình phơng đó Tức là 4x2 đóng vai trò là a2 thì 20x3 chính là 2ab trong bình phơng

Ta có : C = 2x22 2.2 5x2 x5x2 12x2  30x 7

2

2 2

Vậy : F min = -16 tại

 

2 2

1

2

3

x x

x x

x

x













Bài tập t ơng tự :

Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A= 2x2- 8x + 1

b) B = x4- 6x3 + 10x2- 6x+9

c, D = x6 - 2x3+ x2 - 2x + 2

Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

e) -x4+16x2+12x-93

f) -x4 + 2x3 - 6x2+ 10x - 8

g) -x4 + 4x3 - 7x2+ 12x +18

3.Tìm Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bậc cao nhiều hơn hai biến

Ph

ơng pháp : Đa về tổng các bình phơng của các biểu thức cộng với 1

hằng số Để làm đợc điều đó ta chọn một biến làm biến chính và vận dụng hằng đẳng thức a b 2 a2  2ab b 2, chú ý thêm bớt các hạng tử, tùy từng bài toán cụ thể mà ta chọn biến x hay y … làm biến chính để việc biến

đổi đợc đơn giản và ngắn gọn nhất

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x2 –xy + y2 - 2x - 2y

Cách 1: nhân 2 vế với 2 rồi tìm cách tách và thêm bớt ở vế phải để xuất hiện

tổng các bình phơng

2E = 2 x2 – 2 xy + 2y2 - 4x - 4y

= x2 - 4x + 4 + y2- 2xy + x2+ y2 - 4y + 4 - 8

= (x -2)2+ (y-x)2 +(y -2)2 -8 -8

 E  4

Vậy Emin = - 4 tại x = y = 2

Cách 2:

Chọn biến x làm biến chính và biến đổi E nh sau :

E = x2 - (y +2)x + y2 - 2y

= x2 -2x 2

2

y 

+

2 2 2

y 

-

2 2 2

y 

+ y2 - 2y

=

2 2 2

y

x 



+3 2 12 4

4

y  y

=

2 2 2

y

x 



+

3 4

y y

=

2 2 2

y

x 



+

 2 16

3 4

y

2 2 2

y

x 



+3 22 4 4

Vậy: Emin = - 4 tại x = y = 2

Ta cũng có thể chọn biến y làm biến chính và biến đổi tơng tự

ví dụ 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = 2x2 + 9y2 - 6xy - 6x - 12y + 2002

Ta thấy hệ số của y2 là một số chính phơng nên ta chọn biến y làm biến chính và biến đổi nh sau :

A = 9y2 - 6(x+2)y + 2x2 - 6x + 2002

A = (3y)2- 2.3y (x+2) + (x+2)2 - (x+2)2 + 2x2 - 6x + 2002

A = (3y)2- 2.3y (x+2) + (x+2)2 + x2 -10x +1998

A = (3y – x -2 )2 + (x-5)2+1973 1973

Vậy Amin = 1973 tại x = 5 , y = 7

3

ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

B = x2+2y2 +3z2 - 2xy +2xz - 2x - 2y - 8z + 2002

Ta thấy hệ số của x2 là số chính phơng nên ta chọn biến x làm biến chính

và biến đổi nh sau :

B = x2 - 2x(y – z +1) + (y-z +1)2 + y2 +2z2 - 4y + 2yz - 6z + 2001

B = (x- y + x -1)2 + y2 +2z2 - 4y +2yz - 6z +2001 ta lại chọn biến y làm biến chính và biến đổi tiếp

B = (x- y + x -1)2 +y2 - 2y(2-z) + (2 –z )2 – (2-z)2 + 2z2- 6z +2001

B = (x- y + x -1)2 + (y-2+z)2 + z2-2z +1997

B = (x- y +x -1)2 + (y-2+z)2+ (z-1)2 +1996 1996

Vậy Bmin = 1996 tại x = y = x =1

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

C = -5x2 - 2xy - 2y2 + 14x +10y -1

Trong ví dụ 6 hệ số của x2 và y2 không phải là số chính phơng ta cũng có thể chọn một trong hai biến làm biến chính

Chọn biến chính là y và biến đổi nh sau:

C =-2y2 -2(x-5)y -5x2+14x -1

x

==-2

2 5 2

x

y 



+

2 2 5

2

x

x x



=-2

2 5 2

x

y 



+ 9 2 18 23

2

x x

=-2

2 5 2

x

y 



-3 32

16 2

x 

Vậy MaxC = 16  3x 3 0  và y+ 5

0 2

x 



1

2

x y





 





Nh vậy : Với cách giải này mọi bài to án về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng ax2 +by2 +cxy +dx +ye + f đều thực hiện đợc nhanh chóng

Bài tập t ơng tự :

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a, A = 5x2+ 8xy + 5y2+ 2x + 2y

b, B = 2x2 + 4y2- 4xy + 4x - 4y + 2009

2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a, C= -5x2-2xy -2y2 +14x +10y -10

b, D = -8x2- y2+ 4xy+10x +6y +25

4 Phân thức có dạng .2

.

a x b y

c x d







Phơng pháp: Đa y về dạng  2 2  2

A x c x d A x y

c x d c x d

/

2

.

A x c x d y

c x d



Để biến đổi đợc các biểu thức về dạng trên, ta phải thêm bớt ở tử nhằm làm xuất hiện bình phơng của một biêủ thức

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 42 3

1

x x





Hạng tử 4x phải đa vào trong bình phơng và nó đóng vai trò là 2ab của bình phơng Vì vậy ta tách 4x = 2.x.2 = 2.2x.1

Ta cho các em thử chọn để có cặp số thích hợp cho Min hoặc Max tìm Min ta chọn cặp a = x; b = 2

Ta có :

Vậy A min = -1 tại x = -2

Bây giờ để tìm giá trị lớn nhất ta chọn cặp a = 2x ; b = 1 ta có

 2  2   2

4 4

A

Vậy A măx = 4 tại x=1

2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau :

2

27 12

9

x B

x







Ta có : 12x = 2.6.1x = 2.2x.3 = 2.3x.2 = 2.x.6

Thử với các cặp đã phân tích để chọn cặp thích hợp

Ta có

2 2 2

9 6

9

B

x x

x









Vậy B min =-1 tại x= 6

4 4

B

Vậy B max = 4 tại x = 3

2

Với các phân thức dạng này ta có thể rèn luyện khả năng t duy của các em bằng những bài toán khó hơn :

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức :

22 1

2

x P x







Ta tách hạng tử 2x = 2.x.1 và để tìm giá trị lớn nhất ta biến đổi nh sau :