1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Trong trường THCS bộ môn toán là một trong những bộ môn được coi trọng, và nó là bản lề cho học sinh học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Để thực hiện mục đích giảng dạy hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học với hướng đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Do đó việc giảng dạy toán ở trường THCS là vấn đề hết sức nặng nề. Để học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề về toán, đòi hỏi người giáo viên giảng dạy bộ môn phải hết sức nhạy bén với sự thay đổi của dạng toán từ đó có phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh của mình. Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng “ bảy hằng dẳng thức đáng nhớ” là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số. Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8 bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng đường học tập của các em. Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác. Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý. Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức. Quá trình giảng dạy môn toán 8 nhất là bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng “ bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” còn yếu, chưa linh hoạt, dẫn đến vận dụng kỹ năng này trong phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức còn chưa thành thạo hoặc sai sót. Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng làm bài. Ngoài ra việc áp dụng vào làm bài tập rất khó bởi vì các em mới tiếp xúc với bảy hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc vân dụng vào làm các dạng bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh .Thông qua quá trình giảng dạy và sự hiểu biết của tôi, để giúp học sinh có cách nhìn nhận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập, tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm : “Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8 ở trường THCS Nga An”.
Trang 1MỤC LỤC
1.1 Lí do chọn đề tài 2
1.2 Mục đích nghiên cứu 3
1.4 Phương pháp nghiên cứu 3
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 5
2.1.1 Đối với giáo viên 5
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 6
Lớp 6
Sĩ số 6
Giỏi 6
Khá 6
Trung bình 6
Yếu 6
Kém 6
SL 6
% 6
SL 6
% 6
SL 6
% 6
SL 6
% 6
SL 6
8A 6
39 6
7 6
18 6
13 6
33,3 6
15 6
38,5 6
4 6
10,2 6
0 6
8B 6
40 6
2 6
5 6
5 6
12.5 6
19 6
47,5 6
9 6
22,5 6
5 6
Tổng 6
Trang 222,8 6
34 6
43 6
13 6
16,5 6
5 6
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6
2.3.1 Cơ sở lý thuyết 6
2.3.2.Một số dạng toán vận dụng 7
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18
3.1 Kết luận 18
3.2 Kiến nghị đề xuất 18
1 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong trường THCS bộ môn toán là một trong những bộ môn được coi trọng, và nó là bản lề cho học sinh học tốt các môn khoa học tự nhiên khác Để thực hiện mục đích giảng dạy hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học với hướng đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Do đó việc giảng dạy toán ở trường THCS là vấn đề hết sức nặng nề Để học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề về toán, đòi hỏi người giáo viên giảng dạy bộ môn phải hết sức nhạy bén với sự thay đổi của dạng toán từ đó có phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh của mình
Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng “ bảy hằng dẳng thức đáng nhớ” là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8 bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8 Nó theo suốt quãng đường học tập của các em Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý
Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc
từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức
Quá trình giảng dạy môn toán 8 nhất là bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng “ bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” còn yếu, chưa linh hoạt, dẫn đến vận dụng kỹ năng này trong phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức còn chưa thành thạo hoặc sai sót Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng làm bài Ngoài ra việc áp dụng vào làm bài tập rất khó bởi vì các em mới tiếp xúc với bảy hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc vân dụng vào làm các dạng
2
Trang 3bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh Thông qua quá trình giảng dạy và sự hiểu biết của tôi, để giúp học sinh có cách nhìn nhận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập, tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm :
“Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8 ở trường THCS Nga An”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng tư duy trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học, giúp học sinh hứng thú trong học tập phát huy cao
độ tính tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, năng lực hoạt động và tự học của học sinh
Học sinh nhìn nhận ra hằng đẳng thức trong phép toán hay biểu thức một cách rõ ràng, chính xác Nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học và trình độ phát triển của học sinh, tạo niềm tin cho học sinh trong việc học môn toán
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 8A và 8B trường THCS Nga An
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp đọc sách và tài liệu
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề
Trang 52 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia các đa thức” trong đó có các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” Với tất cả
3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm rõ những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các dạng toán như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … cũng được vận dụng những hằng đẳng thức rất nhiều Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nói là thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học toán
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy
để giúp học sinh học tốt được chương trình đại số 8 và 9 Hệ thống các bài tập
đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hình thức, từ đó đòi hỏi học sinh phải có phương pháp hợp lí để tìm được lời giải cho bài toán Vì vậy việc hướng dẫn học sinh tìm được phương pháp giải bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn
2.1.1 Đối với giáo viên
Cơ bản là có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trình độ chuyên môn nghệp vụ Có trách nhiệm đối với học sinh, đối với trường lớp
Phương pháp giảng dạy có sự đổi mới hơn theo hướng tích cực hóa hoạt động của người học, từng bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Trong quá trình giảng dạy giáo viên chú trọng đến việc khai thác bằng nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lô gích khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện giải quyết ván đề, rèn luyện kỹ năng vào vận dụng thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh
Tuy nhiên trong tiết dạy giáo viên còn dạy nhanh, dàn trải chưa làm nổi bật trọng tâm của bài học, chưa gây được hứng thú học tập của học sinh Giáo viên chưa chỉ ra những tình huống mà các em dễ nhầm lẫn qua đó góp phần củng cố kỹ năng cho học sinh
2.1.2 Đối với học sinh
Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tích cực học tập, rèn luyện, có động cơ học tập đúng đắn nên có kết quả học tập tốt
Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 45% có kết quả học tập trung bình, trong số này có khoảng 25% nếu có phương pháp học phù hợp thì sẽ đạt mức khá
Số còn lại 35% học yếu, trên lớp hầu như không tiếp thu được bài học, trong đó phần lớn là do các em không có phương pháp học toán phù hợp, không
có kĩ năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán
Trang 6Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức các hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích được học sinh hứng thú học tập
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Hiện nay trong trường THCS, việc dạy - học nói chung đã có những chuyển biến theo hướng tích cực, học sinh chủ động trong hoạt động học tập của mình
Tuy nhiên, qua các tiết luyện tập cũng như trong quá trình học và làm bài của các em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của các em còn
mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia
Trong quá trình làm bài tập học sinh chưa biết dự đoán, nhận dạng mà chủ yếu là giáo viên phải hướng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở dẫn dắt gần như làm sẵn
Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán còn chậm, chưa linh hoạt hoặc có sử dụng thì còn nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau
Thực tế như trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết quả bài làm chưa cao
Trước thực trạng trên tôi luôn trăn trở và tìm cách khắc phục nhằm nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn
Kết quả của thực trạng:
Năm học 2016-2017 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8 lớp 8A và 8B ngay từ đầu năm học Sau khi học xong nội dung bài “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” tôi đã cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài
45 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng những hằng đẳng thức vào làm bài tập Kết quả thu được như sau:
Kết quả khảo sát trên cho thấy, tỉ lệ học sinh yếu - kém còn cao Từ thực trạng trên để chất lượng môn toán đạt hiệu quả tốt hơn, tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp đi sâu vào việc phát huy tính tích cực của học sinh thông
qua đề tài này
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
* Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
1 (A+B)2 = A2 + 2AB + B2
2 (A– B)2 = A2 – 2AB + B2
6
Trang 73 A2 – B2 = (A– B) (A+B)
4 (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5 (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6 A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 )
7 A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 )
* Một số hằng đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi)
1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)
2 an + bn = (a+ b)(an-1 - an-2b+ … - abn-2 + bn-1) với n lẻ
2.3.2.Một số dạng toán vận dụng
Dạng 1: Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức: từ tổng thành tích, từ tích thành tổng.
Phương pháp:
Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện hằng đẳng thức
Bài tập:
Bài 1: Tính
a) (2 + xy)2 b) (5 – 3x)2 c) (5 – x2)(5 + x2) d) (5x – 1)3 e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) f) (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Bài giải:
a) (2 + xy)2 = 22 + 2 2 xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2
b) (5 – 3x)2= 52 – 2 5 3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x2
c) (5 – x2)(5 + x2) = 52 – (x2)2 = 25 – x4
d) (5x – 1)3 = (5x)3 – 3 (5x)2 1 + 3 5x 12 – 13 = 125x3 – 75x2 + 15x – 1
e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y)[(2x)2 + 2x y + y2] = (2x)3 – y3 = 8x3 – y3
f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27
Bài 2 : Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu.
a) 9x2 - 6x + 1; b) x2+ 2x + 1
c) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) +1 d) 9x2 + y2 + 6xy
Bài giải:
a) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2 3x 1 + 12 = (3x – 1)2
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) +1= (2x + 3y)2 + 2 (2x + 3y) 1 + 12
= (2x + 3y + 1)2
c) x2 + 2x + 1 = x2 + 2 x 1 + 12 = (x + 1)2
d) 9x2 + y2+ 6xy = (3x)2 + 2 3 x y + y2 = (3x + y)2
Bài 3: Tính
a) (a + b + c)2 b) (a + b – c)2 c) (a – b – c)2
Bài giải:
a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2+ 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
b) (a + b – c)2 = [(a + b) – c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 - 2ac - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac
c) (a – b –c)2 = [(a – b) – c]2 = (a – b)2 – 2(a – b)c + c2
Trang 8= a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2
Dạng 2: Tính nhanh.
Phương pháp:
- Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện hằng đẳng thức
- Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả
Bài tập:
Bài 1: Tính nhanh:
a) 1012; b) 1992; c) 47.53
Bài giải:
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 100 + 1 = 10201
b) 1992= (200 – 1)2 = 2002 – 2 200 + 1 = 39601
c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491
Bài 2: Tính nhanh:
a) 342 + 662 + 68 66; b) 742 + 242 – 48 74
Bài giải:
a) 342 + 662 + 68 66 = 342 + 2 34 66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000 b) 742 + 242 – 48 74 = 742 - 2 74 24 + 242 = (74 - 24)2 = 502 = 2500
Bài 3: Tính nhanh:
a) 732 – 272; b) 372 - 132 c) 20022 – 22
Bài giải:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100 46 = 4600
b) 372 - 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50 25 = 100 12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 2000 = 400800
Dạng 3 : Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp:
- Dựa vào các hằng đẳng thức thu gọn biểu thức
- Thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn
- Thực hiện phép tính các số ta có kết quả
Bài tập:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức 49x2 – 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau: a) x = 5; b) 1
7
x =
Bài giải:
49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2 7x 5 + 52 = (7x – 5)2
a) Với x = 5 thay vào biểu thức ta được (7 5 – 5)2 = (35 – 5)2 = 302 = 900 b) Với 1
7
x = thay vào biểu thức ta được
(7 1
7 – 5)2 = (1 – 5)2 = (-4)2 = 16
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 tại x = 6;
b) x3 – 6x2 + 12x- 8 tại x = 22
8
Trang 9Bài giải:
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3 x2 4 + 3 x 42 + 43
= (x + 4)3
Với x = 6 thay vào biểu thức ta được (6 + 4)3 = 103 = 1000
b) x3 – 6x2 + 12x- 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 - 8
= (x – 2)3
Với x = 22 thay vào biểu thức ta được (22 – 2)3 = 203 = 8000
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a) x2 + 4x + 4 tại x = 98; b) x3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 99
Bài giải:
a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2 x 2 + 22 = (x+ 2)2
Với x = 98 thay vào biểu thức ta được (98+ 2)2 =1002 = 10000
b) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 1 x2 + 3 x 12+ 13 = (x + 1)3
Với x = 99 thay vào biểu thức ta được (99+ 1)3 = 1003 = 1000000
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
a) x2 - y2 tại x = 87 và y = 13 b) x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101
Dạng 4: Rút gọn biểu thức.
Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta được kết quả.
Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thực sau:
a) (a + b)2 – (a – b)2; b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3
c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
Bài giải:
a) (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a - b)( a + b – a + b)
= 2a.2b = 4ab b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) –2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 – 2b3
= 6a2b
c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = ( ) ( ) 2
x y z x y
= z2
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a (x+y)2 + (x−y)2
b 2(x−y)(x+y) + (x+y)2 + (x−y)2
c (x−y+z)2+(z−y)2+2(x−y+z)(y−z)
Giải:
a (x+y)2+(x−y)2 = x2+2xy+y2+x2−2xy+y2 = 2x2+2y2
b 2(x−y)(x+y) + (x+y)2 + (x−y)2 = [(x+y) + (x−y)]2 = (2x)2 = 4x2
c (x−y+z)2 + (z−y)2 + 2(x−y+z)(y−z)
= (x−y+z)2 + 2(x−y+z)(y−z) + (y−z)2 = [(x−y+x) + (y−z)]2
= x2
Trang 10Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp :
Dựa vào các hằng đẳng thức và biến đổi để được một biểu thức cần chứng minh
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng:
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab; (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng:
a) Tính (a – b)2 , biết a + b = 7 và a b = 12
b) Tính (a + b)2 , biết a - b = 20 và a b = 3
Bài giải:
a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
- Biến đổi vế trái:
(a + b)2 = a2 +2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab = (a – b)2 + 4ab
Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
b) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Biến đổi vế phải:
(a + b)2 – 4ab = a2 +2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Vậy (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng: Tính:
a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4 12 = 49 – 48 = 1
b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4 3 = 400 + 12 = 412
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Áp dụng: Tính a3 + b3 , biết a b = 6 và a + b = -5
Bài giải:
a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Thực hiện vế phải:
(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2
= a3 + b3
Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Thực hiện vế phải:
(a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 - 3a2b+ 3ab2 - b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3
Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Áp dụng:
Với ab = 6, a + b = -5, ta được:
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (-5)3 - 3 6 (-5)
= -53 + 3 6 5 = -125 + 90 = -35
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Phương pháp:
Dựa vào các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài tập:
10