skkn vận dụng hằng đẳng thức vào giải phương trình vô tỉ

Khi làm việc với học sinh đặc biệt là các em lớp 10 bản thân tôi thấy kĩ năng biến đổi đặc biệt là sử dụng hằng đẳng thức trong việc giải phương trình vô tỉ các em gặp rất nhiều

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình Toán bậc THPT, chuyên đề về phương trình là một trong

những chuyên đề xuyên suốt 3 năm học của học sinh Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THPT phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo

Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua

Khi làm việc với học sinh đặc biệt là các em lớp 10 bản thân tôi thấy kĩ năng biến đổi đặc biệt là sử dụng hằng đẳng thức trong việc giải phương trình vô tỉ các

em gặp rất nhiều sự khó khăn Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy, kĩ năng biến đổi giải phương trình vô tỉ Tôi quyết định chọn đề

tài“ Vận dụng hằng đẳng thức vào việc giải phương trình vô tỉ ” trong khuôn khổ

chương trình bậc THPT

2 Tên sáng kiến:

“ Vận dụng hằng đẳng thức vào việc giải phương trình vô tỉ ”

3 Tác giả, đồng tác giả sáng kiến:

- Họ và tên:

- Địa chỉ tác giả sáng kiến:

- Số điện thoại:

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

- Nguyễn Quang Huy

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

- Ôn thi học sinh giỏi môn toán lớp 10, 11, 12

- Tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp và học sinh

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

Ngày 12/1/2016

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến:

Trong những năm học qua tôi nhận thấy khi học sinh bắt gặp bài toán giải phương trình vô tỷ thì thường tập trung vào phương pháp lũy thừa hai vế của phương trình để mất dấu căn tuy nhiên đối với phương trình phức tạp sẽ gặp rất nhiều khó khăn Kĩ năng biến đổi của học sinh đặc biệt là các em học sinh lớp 10 rất yếu

Tài liệu về các phương pháp giải phương trình vô tỉ thì rất nhiều tuy nhiên các chuyên đề về sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đặc biệt là hằng đẳng thức trong việc giải toán thì rất ít

7.2 Các ví dụ minh họa





 ; A3 B3  A B

Ví dụ 1 Giải phương trình sau:

Phân tích:

Số hạng 2 

2x x 2x gợi cho ta đến số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên

do đó để xuất hiện hằng đẳng thức ta phải làm xuất hiện a2 và b2

Lời giải:

Điều kiện xác định: x2 2x 0 x 0

x 2





 Phương trình (1) tương đương với:

x  2x 2x x  2x x  2x 2x x  1 0

 x2 2x x2 x 12

2

2 2

2

1 x 2

3x 2x 1 0

x 2x 1 0

 











 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 1  2

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:

2

Phân tích:

Số hạng 2 x 3 gợi cho ta đến số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên do

đó để xuất hiện hằng đẳng thức ta phải làm xuất hiện a2 và b2

Lời giải:

Điều kiện xác định : x 3

Phương trình (2) tương đương với:

2

x 3 2 x 3 1 9x    

2

2

x 3 1 (3x)

3x 1 0

x 1

x 3 3x 1

5 97

18

  









Vậy phương trình có nghiệm x 1;x 5 97

18

 

Ví dụ 3 Giải phương trình sau:

Phân tích:

Để xuất hiện số hạng 2ab trong hằng đẳng thức số hạng 2x 1 thiếu số 2 Vì vậy để có số hạng 2ab trong hằng đẳng thức ta nhân cả hai vế của phương trình với số 4

Lời giải:

Điều kiện xác định : x 1

2

 Phương trình (3) tương đương với:

2

4 2x 1 4x   12x 4

4 2x 1 4 2x 1 1 2x 1

2 2x 1 12 2x 12

2 2x 1 2x 2

 



Vậy phương trình có nghiệm : x 2  2

Ví dụ 4 Giải phương trình sau:

4x 1 x  2  1 2x2 2x 1 (4)

Phân tích:

Số hạng 4x 1 x  2 1 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên vì vậy để xuất hiện hằng đẳng thức ta phải thử nhân vào 2 vế của phương trình với 2, 4,8,

Lời giải:

Phương trình (4) tương đương với :

8 4x 1 x  1 16x 16x 8

     

2

2

2

x 3





Vậy phương trình có nghiệm: x 4

3



Ví dụ 5 Giải phương trình sau:

Phân tích:

Với điều kiện 0  x 3 hai vế của phương trình dương ta bình phương hai

vế phương trình (5)

Lời giải:

Với điều kiện 0  x 3phương trình tương đương với :

x3 3x2  x 3 0



vậy phương trình có nghiệm:

3





x

Ví dụ 6 Giải phương trình sau:

2 3 9 3 x x2 2 2x3 33 x x 22 (6)

Giải

Phân tích:

Hai số hạng 3 93 x x2 2 và 3 33 x x 22 gợi cho ta số hạng 3a b2 và

2

3ab vì vậy để có hằng đẳng thức ta cần xuất hiện a3 và b3

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3

Vậy phương trình có nghiệm: x 1

A A A  A  0 A A A   A 0

Ví dụ 7 Giải phương trình sau:

2

Phân tích:

Số hạng 4 x 1 gợi cho ta đến số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên Thử  hai trường hợp:

Lời giải:

Điều kiện xác định : x ≥ -1

Phương trình tương đương với:



2

2

2

2

x 5x 14 4 x 1 0

(x 3) ( x 1 2) 0

x 3 0 (x 3) 0

x 3

x 1 2 0 ( x 1 2) 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3

Ví dụ 8 Giải phương trình sau:

2

Phân tích :

Số hạng 2 3x 10 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên Ta phải làm xuất hiện a2 và b2 để xuất hiện hằng đẳng thức

Lời giải :

Điều kiện xác định : x 10

3



2

(3x 10 2 3x 10 1) x     6x 9 0 

 3x 10 12 x 32 0

3x 10 1 0

x 3 0



 



Vậy phương trình có nghiệm x 3

Ví dụ 9 Giải phương trình sau:

x x  x 1 2 3x 1 x    x 3 (9)

Phân tích :

Số hạng x x2  x 1 và 2 3x 1 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên Muốn xuất hiện hằng đẳng thức ta cần thử nhân cả hai vế của phườn trình với 2,4,6…

Nhẩm thấy phương trình có nghiệm x=1

Lời giải :

Điều kiện xác định: x 1

3



Phương trình tương đương với

2

2

x 1 3x 1 2 0





Vậy phương trình có nghiệm : x 1

Ví dụ 10 Giải phương trình sau:

2

4x 3x 3 4x x 3 2 2x 1     (10)

Phân tích :

Số hạng 4x x 3 và 4x x 3 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên

Phương trình có một nghiệm x=1

Lời giải :

Điều kiện xác định : x 1

2

 Phương trình (8) tương đương với:

x 1





Vậy phương trình có nghiệm: x 1

Ví dụ 11 Giải phương trình sau:

x  2 x 1 3x 1 2 2x   5x 2 8x 5   (11)

Lời giải :

Phương trình tương đương với

x 1





Vậy phương trình có nghiệm : x 1

Ví dụ 12 Giải phương trình sau:

x4  x2 3x 5 2 x2 0 (12)

Phân tích:

Số hạng 2 x2 0 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức

Phương trình tương đương với

2

2

2

1 0

2 1 0







x

x

Vậy phương trình có nghiệm: x 1

Ví dụ 13 Giải phương trình sau:

2 x 1 6 9 x2 6 (x1)(9 x2)  x3 2x2 10x38 (13)

Lời giải:

Điều kiện xác định   1 x 3

Phương trình tương đương với

2

2











Vậy phương trình có nghiệm x=0

Ví dụ 14 Giải phương trình sau:

x2  x 9 x 2 x2  8 x 2 x2  8 (14)

Lời giải:

Điều kiện xác định: x 2

Đặt u x2  8; v x 2

Phương trình trở thành

     

u 1

v 1







 Với u 1

v 1









 ta có:

2

x 3

x 2 1





 Vậy phương trình có nghiệm x=3

BÀI TẬP Giải các phương trình sau :

3

x

x



7x 7x

28



5 3x 2 4x2 21x 22 6 1 x 2x  2  4x2  1 2x 1

7 x 3  4 x 12 x     28 x 8 x2 3x 1 x 3  x21

9 2 1 x   x2  2x 2 x  2 1 10 x 4 x 3 2 3 2x 11    

7.3 Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

- Ôn luyện học sinh giỏi THPT

- Tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp và học sinh

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Giáo viên THPT giảng day môn toán

- Học sinh khá giỏi môn toán lớp 10, 11, 12

- Học sinh có khả năng biến đổi hằng đẳng thức, có sự đam mê giải toán

10 Đánh giá kết quả đạt được.

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng

- Giúp học sinh tăng kĩ năng biến đổi vận dụng các hằng đẳng thức trong việc giải phương trình, đặc biệt là kĩ năng “ tách, ghép, thêm, bớt ”

- Học sinh yêu thích giải toán hơn đặc biệt là giải phương trình vô tỉ

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

- Học sinh tự tin hơn trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh

- Học sinh đam me giải toán đặc biệt là giải phương trình vô tỉ

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Số

TT

Tên tổ chức/cá

nhân

áp dụng sáng kiến

1

2

, ngày tháng năm

Thủ trưởng đơn vị

, ngày tháng năm

Tác giả sáng kiến

Nguyễn Quang Huy