Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.. Gọi M là giao điểm của DC và BE.. Tính số đo góc BMC.. Cho tam giác ABC.. M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn : Toán lớp 7 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3.0 điểm)
a Tính 19 9 310 109 4
12 2 6
9 4 15 27 2
+
+
=
P
b Biết 13 + 23 + 33 + 103 = 3025 Tính S = 23 + 43 + 63 + + 203
c Không dùng máy tính, hãy so sánh:
2006
2009 2009
2008 2008
2007 2007
=
Câu 2: (2.5 điểm)
a Cho
a
c c
b
b
a = = và a + b + c =2007 Tính a, b, c.
b Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức ≠1
−
+
=
−
+
d c
d c b a
b a
ta có tỷ lệ thức
d
c b
Bài 3: (2.5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi M là giao điểm của DC và BE
a Chứng minh ∆ ABE = ∆ ADC
b Tính số đo góc BMC
Bài 4:(2.0 điểm)
a Cho tam giác ABC M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác Chứng minh:
BC AC AB MC) MB
2(MA + + > + +
b.Cho tam giác ABC AN, BP, CQ là ba trung tuyến.Chứng minh:
(AN+BP+CQ)> AB+AC+BC
3
4
Trang 2Hướng dẫn chấm môn toán lớp 7
Câu 1: (3.0 điểm)
10 2 10
9
4 2 9 2 3
3
19
) 2 3 ( 2 )
3
2
(
) 3 (
) 2 (
5 3 )
3
.(
2
+
+
=
P
199 99 10 1018 208
2 3 2
3
2
3 2 5 3
3
2
+
+
=
) 2 3
1
(
2
3
) 5 2
(
3
2
19
9
9
18
+
+
=
2
1
7
2
7
1 =
=
- Có 23 = (2.1)3 = 23.13
43 = (2.2)3 = 23.23
63 = (2.3)3 = 23.33
203 = (2.10)3 = 23.103
=> S = 23(13 + 23 + +103) = 8.3025 =24200
0,25 0,25 0,25 0,25 0,50
0,50
2006
3 2006 2009
1 2009 2008
1 2008 2007
1
=
2006
3 1 2009
1 1 2008
1 1 2007
1
=
2009
1 2006
1 2008
1 2006
1 2007
1 2006
1
=
Do:
2007
1 2006
1 > ,
2008
1 2006
1 > ,
2009
1 2006
1 > nên A > 4
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2: (2.5 điểm)
1 2007
2007
=
= + +
+ +
=
=
=
c b a
c b a a
c c
b
b
a
b a b
a =1⇒ = Tương tự b = c
669 3
2007
=
=
=
=
⇒a b c
0
1⇒ ≠
≠
−
b
a
b
a
; ≠1⇒ ≠0
−
d c
d c
0,50 0,50 0,25 0,25
Trang 3) )(
( ) )(
(a b c d a b c d d
c
d c b
a
b
−
+
=
−
+
ad
bc 2
2 =
⇒
d
c b
a =
⇒ (Do b, d ≠ 0)
0,25 0,50 0,25
Câu 3: (2.5 điểm)
∆ ABE và ∆ ADC có:
- AD = AB (∆ ADB đều)
- AE = AC (∆ AEC đều)
- BAE = DAC ( =600 + BAC)
=> ∆ ABE và ∆ ADC
=> ACM = AEM
BMC = MCE + CEM
= MCA + ACE + CEM
= AEM + ACE + CEM
= AEC + ACE
= 600 + 600 = 1200
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 4: (2.0 điểm)
- Tam giác MBC có:
MB + MC > BC
- Tương tự :
MC + MA > AC
MA + MB > AB
=> 2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC
=> 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
- Gọi G là trọng tâm của tam giác Áp dụng câu
a ta có: 2(GA + GB + GC) > AB + AC + BC
- Có GA AN
3
2
3
2
= , GC CQ
3
2
=
- Thay vào trên được :
AN BP CQ> AB+AC+BC
3
2 3
2
3
2
2
- ⇒ (AN+BP+CQ)> AB+AC+BC
3
4
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
A D
M
E
A
M