Đề thi HSG 18 môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 6Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01ĐỀ BÀIBài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính a) A=1.2.3…9 1.2.3…8 1.2.3…8.8 b)B= c)C = 70.( + + )d)Thực hiện phép tính: B = Bài 2: (4.0 điểm) Tìm x biết :a) + = b) c) d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 Bài 3: (4.0 điểm) a). Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3. b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Tìm số dư trong phép chia a cho 36.Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A, C sao cho A B; C B. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tính số đo của . c. Từ B vẽ tia Bz sao cho = 900. Tính số đo .Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = + + + + + So sánh T với 3 Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ………………Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tínha) A = 1.2.3…9 1.2.3…8 1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9 1 8) = 0b) B = c) C = 70.( + + ) = 70.( + + ) = 70.13.( + + ) = 70.13.( ) = 39 d ) B = = = = 0,50,50,250,250,250,250,250,250,250,250,50,250,25Bài 2: (4.0 điểm)a) + = 4 = 4 = TH1: 2x = 2x = 2x = x = TH2: 2x = 2x = + 2x = x = Vậy x= ; x = b) Vậy x = 21 c) Vậy d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147 2014x + 2027091 = 2035147 2014x = 8056 x = 4 Vậy x = 4 0,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,25Bài 3: (4.0 điểm)a)Gọi số tự nhiên cần tìm là aVì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nên a 2 chia hết cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 do đó a 2 là BC(3, 4, 5, 6) + BCNN(3, 4, 5, 6) = 60 + Lập luận a 2 a Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất và chia cho 7 thì dư 3 nên a = 122b)x + y + xy = 40(y+1)x + y + 1= 41(x + 1)(y + 1) = 41 Mà x, y nguyên => x +1 và y + 1 là ước của 41 Tính được (x, y) c)Theo đề bài ta có: a = 4p+3 = 9q + 5 ( p, q nguyên)Suy ra a + 13 = 4p + 3 + 13 = 4(p + 4) (1) a + 13 = 9q + 5 + 13 = 9(q + 2) (2)Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nên a + 13 là bội của 4.9 = 36Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k 1) + 23Vậy a chia cho 36 dư 230,50,50,50,250,250,50,250,250,50,250,25Bài 4: (6.0 điểm) a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7(cm) Vậy AC = 7cmb) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức: = + => = = 550 – 300 = 250c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp) Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BD+ Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BDTính được = = Trường hợp 2: Tia Bz, và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD + Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BATính được = + = 0,750,50,50.251.00.50.50.50.50.50.5Bài 5: (2.0 điểm)T = + + + + + 2T = 2 + + + + + 2T –T= 2 + + +…….+ + T= 2+ + +………+ Đặt N = + +………+ Ta có 2N = 1+ + +………+ 2NN= 1 Vậy N < 1Nên T< 2+1 =3 Vậy T 2x = 6 => x=3Câu d: (1 điểm) x …… = x – 10( + + + + …….+ ) = x – 10 ( ) = x = x = 1Vậy x = 1: = 0,50,50,50,51,00,250,50,25Bài 3(4.0 điểm)Câu a: (2 điểm)Gọi số học sinh phải tìm là (x thuộc N) thì và Theo đề ta có V× vµ nªn Với ta có Vậy trường đó có tất cả 710 học sinhCâu b: (2 điểm) Ta có: Vì a,b là các số nguyên nên 2a + 1 là số nguyên lẻ. Suy ra 2a+1 là ước của 14. Ta xét các trường hợpTH1: Nếu 2a+1 = 1 thì b=14. => a=0; b = 14TH2: Nếu 2a+1 = 1 thì b=14. => a=1; b =14TH3: Nếu 2a+1 = 7 thì b=2. => a=3; b = 2TH4: Nếu 2a+1 = 7 thì b=2. => a= 4; b = 2 KL: a=0; b = 14a=1; b =14a=3; b = 2a= 4; b = 2 0,750,50,50,250,50,250,250,250,250,250,25Bài 4(6.0 điểm) Câu a: (2 điểm) Trên tia Ox có OA > OB nên B nằm giữa O và A.(1) Khi đó ta có: OB + BA = OA Suy ra: 4+ BA = 8 Nên BA = 4 (cm) . Mà OB = 4 cm nên OB = BA (2)Từ (1) và (2) ta có B là trung điểm của đoạn thẳng OA.Câu b: (4 điểm) Trường hợp 1: Hai tia Oy và Oz nằm trên cùng nửa mặt phằng bờ là đường thẳng chứa tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox có nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz. Do vậy ta có: Vậy: Trường hợp 2: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phằng đối nhau bờ là đường thẳng chứa tia Ox. Do Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox và nên tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz. Từ đó ta có: Vậy: 0.50.50,50.50.250,751,00,250.751,0Bài 5(2.0 điểm)Ta có: Vì là số tự nhiênnên Vậy A chia hết cho 20170,750,250,50,5Ghi chú: Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm.Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 6Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 03ĐỀ BÀICâu 1. (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (1).(1)2.(1)3.(1)4… (1)2010.(1)2011b) B = 70.( + + )c) C = + + + biết = = = .Câu 2. (4,0 điểm) Tìm x là các số tự nhiên, biết: a) = b) x : ( ) = Câu 3. (3,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36 .b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh Câu 4. (2,5 điểm)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là

2, còn chia cho 7 thì dư 3

b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40

c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư

là 5 Tìm số dư trong phép chia a cho 36

Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc = 550 Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A, C sao cho

A B; C B Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho = 300

a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm

b Tính số đo của

c Từ B vẽ tia Bz sao cho = 900 Tính số đo

Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = + + + + +

So sánh T với 3

Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh ………

Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm

= =

0,5 0,5

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,5 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25

Vậy x = 21 c)

Bài 3:

(4.0

điểm)

a) Gọi số tự nhiên cần tìm là a

Vì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nên a - 2 chia hết cho 3,

cho 4, cho 5, cho 6 do đó a - 2 là BC(3, 4, 5, 6)

Mà x, y nguyên => x +1 và y + 1 là ước của 41

0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nên a + 13

là bội của 4.9 = 36

Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23

Vậy a chia cho 36 dư 23

0,5 0,25 0,25

c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp)

- Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BD + Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD

1.0 0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

Ghi chú:

- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm

- Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 02

Bài 3: (4.0 điểm)

a) Số học sinh của một trường khi xếp hàng 10 thì vừa đủ, khi xếp hàng 12 thì thừa 2

học sinh, khi xếp hàng 15 thì thừa 5 học sinh và khi xếp hàng 18 thì thừa 8 học sinh Biết rằng

số học sinh của trường đó trong khoảng từ 657 đến 800 Tính số học sinh của trường đó?

Bài 4: (6.0 điểm) Cho ·xOy =600

Trên tia Ox lấy hai điểm A,B sao cho

OA=8 cm; OB = 4cm

a) Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OA;

b) Vẽ tia Oz sao cho ·xOz=900 Tính góc yOz

Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng số tự nhiên A chia hết cho 2017

- Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh ………

Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm

15 13

20

17 15

20

19 17

20

 ……

-55 53

20

11 3

2

15 13

2

17 15

2

19 17

2

55 53

2

11 3

0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Từ (1) và (2) ta có B là trung điểm của đoạn thẳng OA

Câu b: (4 điểm) Trường hợp 1: Hai tia Oy và Oz nằm trên cùng nửa mặt

phằng bờ là đường thẳng chứa tia Ox

y z

* Trường hợp 2: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phằng đối nhau bờ

là đường thẳng chứa tia Ox

x y

0,5 0.5 0.25

0,75

1,0 0,25

0.75

0,5

Ghi chú:

- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 03

8 6 , 1

11

2 9

2 4 , 0

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5ychia hết cho 36

b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh

2010 2011

2011 2010

10

1910

9

;10

1910

b) Tính số đo của DBC, biết ABD = 300

c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900 Tính số đo ABx

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B) Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng

BD và CE cắt nhau

+

9 8

1

+

10 9

+) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại)

Vậy x = 3

0,75 0,5 0,5 0,25

8 6 , 1

11

2 9

2 4 , 0

2 4 , 0 4

11

2 9

2 4 , 0

a) (1,5 đ)

Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1

Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9

34x5y chia hết cho 9 khi (3 + 4 + x + 5 + y) 9 => (12 + x + y)  9 (1)

34x5y chia hết cho 4 khi 5y  4 => y = 2 hoặc y = 6

Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x9 => x = 4

Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x9 => x = 0 hoặc x = 9

Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)

0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 3

(3,0 đ)

b) (1,5 đ)

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

5 4

c) (1,5 đ)

Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm ở hai phía nửa mặt phẳng đối nhau có bờ

là AB

Tính được ABx = 900 – ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên 00 <ABD<550

=> 900- 550 < ABx < 900 – 00  350 < ABx < 900 (1)

- Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm ở cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được ABx = 900 + ABD

Lập luận tương trường hợp 1 chỉ ra được 900 < ABx < 1450 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 350 < ABx < 1450, ABx 900

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

phẳng có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A => tia

BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

=> E và C ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD

=> đường thẳng BD cắt đoạn EC

- Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD

Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau

0,75

0,5 0,25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 04

ĐỀ BÀI Bài 1 ( 4,0 điểm):

7 số sách ở ngăn B Tìm số sách ở mỗi ngăn

c) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1

2016

- Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:

Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 04

I Một số chú ý

1 Tổng số điểm của câu (bài) trong đề thi là 20 điểm

2 Không được làm tròn điểm của từng câu (bài) và tổng điểm đạt được của thí sinh

3 Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu

II Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm

1,5 1,5 1,0

4

x = 7

8b) 3 x 1 1

6

điểm

Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b

Do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ;

- Vì số sách ngăn A ban đầu hơn số sách ở ngăn B sau khi chuyển là 3

quyển nên ta có phân số chỉ số 3 quyển sách là 2/5-3/10=1/10

số sách cả hai ngăn là 3:1/10= 30 quyển

0,5 0,5

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

A nằm giữa D và B

 BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm) KL:…

b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

- Suy ra: AK + KB = AB

 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

- Suy ra: KB = KA + AB

 KB = 6 + 2 = 8 (cm)

2016

Ta có:

2016 2014

2

8 6

2 6 4

2 4 2

2 2015

2

7

2 5

2 3

2

2 2

2



0,5

0,5

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 05

a/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4; 6; 7 đều dư 3

b/ Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p 14 đều là số nguyên tố

c/ Tìm các số nguyên x, y thoả mãn điều kiện x y   2   y  3

Bài 4 (5điểm): Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB=5cm Trên tia đối của tia Ax

lấy điểm D sao cho AD = 3cm, C là một điểm trên tia Ay

a/ Tính độ dài đoạn thẳng BD

BCD85 , BCA50 Tính số đo góc ACD

c/ K là điểm trên đoạn thẳng BD sao cho AK = 1cm Tính BK

Bài 5 (2 điểm) Cho các số a ,a , ,a1 2 7 là các số nguyên và b , b , , b1 2 7 cũng là các số nguyên

đó nhưng lấy theo thứ tự khác Chứng minh rằng a1b1a2b2 a3b a3  7b7 là số chẵn

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm



0.5

0,75 0,5 0,25

0,75

0,5 0,5 0,25

1 72x

Gọi số cần tìm là a Điều kiện aN,a100

Vì a chia cho 4, 6, 7 đều dư 3   Ma 3 4,6,7

Vì x, y là các số nguyên nên x-1, y+2 cũng là các số nguyên

Từ (1) suy ra x-1 và y+2 là ước của 1

Với x-1=1 và y+2=1 Suy ra x=2 và y=-1 Với x-1=-1 và y+2=-1.suy ra x=0 và y=-3 Vậy (x,y)=(2,-1); (0,-3)

Vì x, y nguyên nên y + 2  Ư  1 =  1  y = – 1 ; – 3 Vậy (x, y) =  2; 1 ; 0; 3      

Vì Điểm K thuộc đoạn thẳng BD và AK = 1cm nên ta xét 2 trường hợp

TH1: Điểm K thuộc đoạn thẳng AB

Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa

 a1b1a2b2 a3b a3  7b7 là số chẵn

Ta có hiệu a ib i khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ

Không mất tính tổng quát nếu ta giả sử a1 b1a2 b2a3 b3  a6 b6 là các hiệu khác tính chẵn lẻ, nên tích trên là số lẻ  a7 và b7 sẽ cùng tính chẵn lẻ, hay a7 b7 là số chẵn

Vậy a1b1a2b2 a3b a3  7b7 là số chẵn

0,75

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 06

Câu 4: (5 điểm) Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc không đổi và số giờ chạy là một số tự

nhiên Giờ đầu xe chạy được 12 km và quãng đường còn lại Giờ thứ hai xe chạy được 18 km

và quãng đường còn lại Giờ thứ ba xe chạy được 24km và quãng đường còn lại Xe cứ chạy như vậy đến B Tính quãng đường AB và thời gian xe chạy từ A đến B?

Câu 5: (3điểm) Chứng tỏ rằng số 111 11222 222 (tạo thành từ 100 chữ số 1 và 100 chữ số 2)

là tích của hai số nguyên liên tiếp

-Hết -

Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao

Xét hai giờ cuối cùng thứ n-1 và thứ n

Người thứ n-1 đi được x km + quãng đường còn lại hay : x + y

Giờ thứ n là giờ cuối cùng đi nốt phần còn lại là y hay theo quy luật bài

toán đi được x+6 km(không còn số còn lại)

Vì vận tốc là không đổi nên ta có

x+ y=x+6 => y=48

Vậy giờ cuối cùng đi được 48=42km cũng là vận tốc của xe

5

quãng đường còn lại sau khi đi giờ thứ nhất là: 42-12=30 km

Vậy quãng đường AB là: 12+30.8=252km

Thời gian xe chạy từ A đến B là: 252:42= 6 giờ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 07

b/ Tìm n để A là phân số tối giản

Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab ba là số chính phương

Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB

a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OC một góc bằng (a + 10)o

và với tia OB một góc bằng (a + 20)o

Tính ao

b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

Bài 6 (3.0 điểm) : Cho A 10 2012  10 2011  10 2010  10 2009  8

a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24

b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương

- Hết -

3 (Loại) +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =1

3 (Loại) +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5



 (Theo câu a) Xét n = 0 ta có phân số A = 1

=> (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4

=> d lớn nhất bằng 4 => A không phải là phân số tối giản

Kết luận : Với n = 0 thì A là phân số tối giản

Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn

Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73

3.0

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB

a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC

một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao

Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và

CODCOA a a Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD

=> ·AOCCOD· DOB· ·AOB

=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o

=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o

2.0

b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB

Ta có : ·AOy 180o·BOy 180o 48o  132o  ·AOx 22o

Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

=> ·AOx·xOy ·AOy 22o·xOy 132o xOy·  132o 22o 110o

V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên

·AOCCOD·  ·AOD ·AODa oa 10o 2a o 10o  2.50o 10o  110o

Vì AOx· ·AOD(22o 110 )o nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD

=> AOx· xOD·  ·AOD 22oxOD·  110o xOD·  110o 22o  88o

Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o

Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho

3

Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)

Vậy A chia hết cho 3

Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24

b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 08

ĐỀ BÀI Bài 1( 2 điểm) : Tính một cách hợp lý :

1 2 2 3

2 3

a a A

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 08

điểm Câu 1

0,5điểm

0,5 điểm

1 2 2 3

2 3

a a

1

1 )

1 )(

1 (

) 1 )(

1 (

2 2 2

a a a

a a

a a a

Vậy biểu thức A là phân số tối giản

1,0điểm

0,75 đ 0,25đ

1,0 điểm

(0,25đ) (0,5đ)

(0,5đ) (0,5đ)

1,0 điểm

0,5 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ

Vì tích n(n+1) chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1 chia hết cho

 ( loại)

+) Với n+1 = 37 thì 666

2

37 36

 ( thoả mãn) Vậy n =36 và a = 6 Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666

1,0 điểm

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Câu 6

(2điểm)

a.Xét hai trường hợp :

*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA

Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau  B nằm giữa A và C

- Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 = 10100 giao điểm

-Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là :

10100 : 2 = 5050 giao điểm

Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình

không vẽ hình không chấm điểm

2,0điểm 1,0đ

0,5đ

0,5đ

1,0đ

0,25đ 0,25đ

0,5đ -Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 09

1 154

1 88

1 40

1 10

7 5







b a

b a

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 09 Bài 1:6 điểm

a/ 59 : 57 – 70 : 14 – 21 = 5 2 – 5 – 3.7 = 21 – 21 = – 21 ( 2 điểm)

b/ 32 5 + 23 10 – 81 : 3 = 3 2 .2 + 23 .5 = 2 (3 2 + 22 .5) = 58 (2 điểm)

c/ 3A=

20 17

3 17 14

3 14 11

3 11 8

3 8 5

3 5 2

1 17

1 14

1 14

1 11

1 11

1 8

1 8

1 5

1 5

1 2

1

20 9

Vì 4(x-2) chia hết cho x – 2 nên để 4(x - 2) + 5 chia hết cho x-2

thì 5 phải chia hết cho x - 2

Hay x - 2  Ư(5) = Ư(5)= 1  ; 1 ; 5 ; 5 và x nguyên 0,5điểm Lập bảng ta có:

0,5

b) (1đ) 140a + 196b = 174a + 145b

Vì (a;b)=1 và (2;3)=1 nên (*) xảy ra khi a chia hết cho 3

và b chia hết cho 2 , suy ra a = 3p; b =2q (p;q là số tự nhiên) 0,5 Thay vào (*) : 6p = 6q , suy ra p = q 0,5

Vì (a;b)=1 nên (3p;2q) = 1 và p = q , suy ra p = q = 1

Câu 3 : (4 điểm)

x:20 dư 15 , suy ra x-15 chia hết cho 20 0.5

x:25 dư 15 , suy ra x-15 chia hết cho 25 0,5

x 1 3 -3 7

- Nếu hai tia Oy , Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox thì :

góc yOz bằng 1000-600=400 , từ đó suy ra góc zOm bằng 200 và góc xOm bằng 800

(1đ)

- Nếu hai tia Oy , Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì :

góc yOz=1000 +600=1600,từ đó suy ra góc zOm=800 và góc xOm=200 (1đ)

99 -9n+27n = 9(

n

1

11 - n)+27n 1 đ

Vì n là tổng các chữ số của 

n

1

11 nên (

n

1

11 -n) chia hết cho 3 0,5 đ Vậy A chia hết cho 27 0,5 đ