1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại M.. 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC v
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC : 2010-2011
MÔN : TOÁN – LỚP 12
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH : ( 7.0 điểm)
Câu 1: (3,0 điểm)
Cho hàm số : y= − +x4 2x2+5
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Đường thẳng (d): y = 5 cắt đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ dương Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M
Câu 2 : (3,0 điểm)
1) Giải phương trình : log x log23 + 27x6− =3 0
2) Tính tích phân sau : 2( )2
2 0
π
3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x) x e = − x + 2 trên đoạn [−1;ln 4 ]
Câu 3 : ( 1,0 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABC có đường cao SO của hình chóp tạo với mặt bên một góc 300, khoảng cách từ O đến mặt bên là a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
II PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN : ( 3.0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn :
Câu 4a : (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;2;3) , B(-3;0;1) , C(1;1;2) và mặt phẳng (P) :
2x +3y – 6z – 1 = 0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P)
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).Tìm tọa độ tiếp điểm
Câu 5a : (1,0 điểm) Giải phương trình : z2 +4z+20 0= trên tập số phức
2 Theo chương trình Nâng cao :
Câu 4b : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) :1 1 2 1
x− y+ z−
( ) :
x+ y− z−
− và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x -2y + 6z + 5 = 0
1) Gọi I là tâm của mặt cầu (S) Tìm điểm I’ đối xứng với điểm I qua ( )∆1
2) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời song song với ( )∆1 và (∆2).
Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức ( )2011
1 i−
………Hết ……….
Học sinh không dùng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh : ……… ……số báo danh : ………
Trang 2HƯỜNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM 2011
MÔN : TOÁN – LỚP 12
m Câu 1.(3,0đ) 1) (2,0đ) • Txđ : D = R
• y’ = - 4x3 + 4x , cho y’ = 0 x x=0 ( 1 (y y=5)6)
⇔ = ± =
→−∞ = −∞ →+∞ = −∞
BBT :
o HS đồng biến trên khoảng (−∞,-1) và ( )0,1
o HS nghịch biến trên khoảng (-1,0) và (1;+∞)
o HS đạt cực đại tại x = ±1,yCĐ = 6
o HS đạt cực tiểu tại x = 0,yCT = 5
Nhận xét: Đồ thị nhận truc tung làm truc đối xứng
0,25 0,25 0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
2)(1,0 đ) • Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
0 2
x x
=
⇔ = ±
• Vì x > 0 nên : x= 2⇒ y'( )2 = −4 2 Pttt là : y= −4 2x+13
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu 2.(3,0đ) 1) (1,0 đ)
• Điều kiện: x > 0
• Pt ⇔log32x+2log3x− =3 0
• Đặt t=log3x
0,25 0,25 0,25
0
5
+
1
y y' x
Trang 3Ta có phương trình :
3
x 3 log x 1
t 1
log x 3
27
=
= −
So với điều kiện,ta được nghiệm phương trình là:
3 1 27
x x
=
=
0,25
2) (1,0 đ) • Đặt u= cosx⇒du= − sinxdx
Đ/C:
0 2
= ⇒ =
= ⇒ =
• 1( 2)2 1( 2 4)
I =∫ +u du=∫ + u +u du
1 5 3
0
5 56
5
u
= + + ÷÷
=
0,25
0,25
0,25
0,25 3) (1,0
đ) • Xét hàm số f x( )= − +x e x 2 trên đoạn [−1;ln 4 ]
• f x'( ) = −1 e x,
• f x'( ) = ⇔ = ∈ −0 x 0 [ 1;ln 4]
• f ( )1 1 1;f ( )0 1; f ( )ln 4 ln 4 2
e
Vậy : [ ] ( )
min f x f(ln 4) ln 4 2 ; max f x f(0) 1
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 3.(1,0đ)
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu4a.(2,0đ) 1) (0,5đ)
• Trọng tâm 1;1; 2
3
G−
• Đt ∆ có ptts là:
1 2 3
1 3
2 6
= − +
= −
0,25
0,25
Gọi I là trung điểm cạnh BC, H là hình chiếu vuông góc của O lên SI
+ Ta có OH = a , · 0
OSH 30=
+ Tính được :
o SO 2= a
o OI a ;AI 2a 3 ;BC 4a
3
3
=
+ Thể tích khối chóp: 8a3 3
3
V =
Trang 4(x 1− ) (2+ −y 2) (2+ −z 3)2=R2
• Mc (S) tiếp xúc với (P) nên : BK m/c ( ;( )) 11
7
R d A P= =
Do đó: m/c (S) là : ( ) (2 ) (2 )2 121
49
x− + −y + −z =
Tìm tọa độ tiếp điểm:
• Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P):
1 2 '
2 3 '
3 6 '
= +
= +
= −
• Gọi H là tọa độ tiếp điểm.Do đó: Tọa độ H là giao điểm của đường thẳng d và mp (P).Ta có hệ phương trình:
1 2 '
2 3 '
3 6 ' 2x 3y – 6z – 1 0
= +
…………=> t’ = 11
49
…………=> 71 131 81; ;
49 49 49
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
Câu5a.(1,0đ) • Tính được ∆ = − =' 16 16i2
Phương trình có hai nghiệm : z1 = − −2 4 ;i z2 = − +2 4i
0,5 0,5
Câu 4b(2.0đ) a) Goi (P) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với ∆1: (P): 2x – y + z + 8 = 0
Gọi H là giao điểm của (P) và ∆1 H( 10 1, , 7
Suy ra I'( 14, 2 2,
b) Vectơ chỉ phương của 1
:
x− y+ z−
:
x+ y− z−
l lượt là ur=(2; 1;1),− vr= −( 2;1; 2) Mặt phẳng (P) song song với ∆1 và ∆2 nhận
cặp vectơ ur=(2; 1;1),− vr= −( 2;1; 2) làm cặp vectơ chỉ phương
Ta có 1 1 1; 2 ; 2 1 ( 3; 6;0) 3(1; 2;0)
− −
r
Mặt phẳng (P) có dạng (P) : x + 2y + m = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(- 2 ; 1 ; - 3) và bán kính R = 3
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
2 2
m
+ +
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu là x + 2y + 3 5 = 0
và x + 2y – 3 5 = 0
0.5 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
Câu 5b(1.0đ)
Ta có
( )2011 ( ( )2)1005
( 2i) (1 i) ( 2) i.(i ) (1 i)
Vậy phần thực của số phức trên là −21005
025
025 025 025
Ghi chú : Học sinh có thể giải nhiều cách , nếu đúng và logic giám khảo vẫn cho điểm tối đa