Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc Câu 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: Câu 2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z t
Trang 1SỐ PHỨC Bài toỏn 1: Tỡm số phức, tớnh mụđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di
1) a+bi = c+di a = c; b = d 2) mụđun số phức z = +a bi = a2 +b2
3) số phức liờn hiệp z = a+bi là z = a − bi * z+z = 2a; z.z= z2= a2+ b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = c di 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]
a bi a b
+ =
Bài toỏn 2: Giải phương trỡnh bậc 2.
Cho phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac
Nếu ∆ = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệp kộp x1 x2 b
2a
= = − (nghiệm thực) Nếu ∆ > 0 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm thực: x b
2a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phức x b i
2a
− ± ∆
=
Bài toỏn 3: Dạng lượng giỏc của số phức: z = r(cosϕ+i sinϕ)
Với r = a2+ b2 , cos = ,sin a b
* Nếu z = r(cosϕ+i sinϕ), z’ = r’(cosϕ’+i sinϕ’) (r, r’ ≥ 0)
zz’ = r r’[cos(ϕ+ϕ’) + i sin(ϕ+ϕ’)] z ' r ' [cos( '- )+isin( '- )]
Bài toỏn 4: Cụng thức Moa-vrơ
[r(cos ϕ + isin )] ϕ =n r (cosnn ϕ + isinn ) ϕ (cos ϕ + isin ) ϕ =n (cosn ϕ + isinn ) ϕ
Bài tập: Số phức Dạng 1: Các phép toán về số phức
Câu 1: Thực hiện các phép toán sau:
a (2 - i) + 1
2i
3 −
b.( ) 2 5
d
4 + 5 − − + 4 5 + − − 5
Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:
a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2 c
3 1
3i
2 −
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau:
a 1 i
2 i
+
− b
2 3i
4 5i
− + c
3
5 i − d ( 4 i 2 2i 2 3i ) ( )
+
Câu 4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
3 2i − z i + = 3i c 1 1
3 5i
2 4i z
+
= −
Câu 5: Cho hai số phức z, w chứng minh: z.w = 0 ⇔ z 0
w 0
=
=
Câu 6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng x i
x i
+
− với x là số thực mà ta phải xác định
Trang 2Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
Câu 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
Câu 2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a z + 2i là số thực b z - 2 + i là số thuần ảo c z z 9 = d z 3i
1
z i
−
= + là số thực
căn bậc hai của Số phức phơng trình bậc hai Dạng 1: tính căn bậc hai của số
Vớ dụ :
Tỡm căn bậc hai của số phức z = − 4i
Gọi x + iy là căn bậc hai của số phức z = − 4i , ta cú :
= −
= −
x y
2
=
⇔
= −
2
= −
Vậy số phức cú hai căn bậc hai : z 1 = 2 i 2 , z − 2 = − 2 i 2 +
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
i
− −
Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai
Ví dụ: Giải phương trỡnh 2 x − 4x 7 0 + = trờn tập số phức
Giải: ∆ = − = ' 3 3i 2 nờn ∆ = ' i 3
Phương trỡnh cú hai nghiệm : x 1 = − 2 i 3 , x 2 = + 2 i 3
Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a x2 + 7 = 0 b x2 - 3x + 3 = 0 c x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e ix2 + 4x + 4 - i = 0
g x2 + (2 - 3i)x = 0
Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a ( z 3i z + ) ( 2 − 2z 5 + ) = 0 b ( z 2 + 9 z )( 2 − + = z 1 ) 0
c 2z 3 − 3z 2 + 5z 3i 3 0 + − =
Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a 2 + 3i và -1 + 3i b 2i và -4 + 4i
Câu 4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:
a α = 3 + 4i b α = 7 i 3 −
Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a z2 - mz + m + 1 = 0 điều kiện: z 2 z 2 z z 1
b z2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: z 3 z 3 18
Bài tập:
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
Trang 3a 7 - 24i b -40 + 42i c 11 + 4 3i d 1 2
i
Câu 2: Chứng minh rằng:
a Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi
b Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x y
i
k + k là căn bậc hia của số phức a b
i
Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a z2 + 5 = 0 b z2 + 2z + 2 = 0 c z2 + 4z + 10 = 0 d z2 - 5z + 9 = 0 e -2z2 + 3z - 1 = 0
Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
c (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b
2
Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a) α = 2 - 5i b α = -2 - i 3 c α = 3 i 2 −
Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R) có nghiệm phức α ∉ R thì α cũng là nghiệm của phơng trình đó
Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0
Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức
Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a z2 + z + 2 = 0 b z2 = z + 2 c (z + z)(z - z) = 0 d 2z + 3z = 2 + 3i
Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 b z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
Bài 1 Thực hiện cỏc phộp tớnh:
a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i)
c) (2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
−
Bài 2 Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập số phức:
a) 2x2 + 3x + 4 = 0 b) 3x2 +2x + 7 = 0
c)(1 – ix)2 + ( 3 + 2i)x – 5 = 0 d) 2x4 + 3x2 – 5 = 0
e) ( 2−i 3)z i+ 2 = 3 2 2+ i
Bài 3 Tỡm cỏc số phức thỏa món :
a) 2x + 1+ (1−2y)i = 2−x+( 3y−2)i
b) 4x + 3+ (3y−2)i = y+1 + (x−3)i
c) x + 2y + (2x−y)i = 2x + y +(x+2y)i
Bài 4 Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trỡnh 2x2 + 3 x + 3 = 0 Hóy tớnh:
a) 2 2
z z
z + z
Trang 4Bài 5 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Bài 6 a Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i Viết liên hợp và số đối của các số
phức đó
b Cho z=(2a−4) (+ 3b+6)i với ,a b R∈ Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo.
ĐS: a (3;2), (2;1), (1;−3)
ĐS: a z1= +2 3 ;i z2= − −2 3i, b z1= +5 2 2 ;i z2 = − −5 2 2i, c z1= +7 3 ;i z2 = − −7 3i
Bài 8 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a z2 − + =z 1 0 b z2 −(2+i z) − =2i 0
c iz2 −2 1( −i z) − =4 0 d z2 − −(5 i z) + − =8 i 0
ĐS: a 1 3
z= ± i, b z1=2;z2 = −i, c z1= −2;z2 = −2i, d z1 = +2 i z; 2 = −3 2i
Bài 9 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
g z= +1 i 3 h z= −1 i 3 i z= − +1 i 3
ĐS: a 2 cos sin
z= π +i π
c z=3 cos( π +isinπ), d z=5 cos 0( +isin 0),
e 1 cos sin
z= π +i π
, f z 2 cos 2 isin 2
g 2 cos sin
z= π +i π
i 2 cos2 sin2
z= π +i π
Bài 10 Dùng công thức Moa-vrơ để tính a (1+i)5, ( )6
3 i−
ĐS: a −4 1 i( + ) , b 64−
Bài 11 a Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( )8
3 i+
b Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi)2−2(x+yi)+5 Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
ĐS: a a= −128;b= −128 3, b x=1; y=0
Bài 12: Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình : x2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0
Không giải phương trình ,hãy tính:
a) z1 + z2 b) z1 + z2 c) d) z1 z2 + z2z1
sau:
a) 2z2 b) – c) d) – z2 e) z + f) z2 + z g) z2 – z h) z2 +