Các bài toán về số phức

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước, đồng thời nó là số thực hoặc số ảo thuần ảo... Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2= z2.. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số ph

MỤC LỤC

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1

Chương 2 Các phép toán trên số phức 2

2.1 Các phép toán trên số phức 2

2.2 Tính in và áp dụng 5

2.3 Tìm số phức thỏa điều kiện cho trước 6

Chương 3 Tìm tập hợp số phức 7

3.1 Tìm tập hợp số phức 7

3.2 Tìm số phức có môđun nhỏ nhất - môđun lớn nhất 9

3.3 Tìm số phức để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất - lớn nhất 10

Chương 4 Phương trình - Hệ phương trình 11

4.1 Phương trình bậc hai 11

4.2 Phương trình bậc ba 12

4.3 Phương trình bậc bốn 13

4.4 Hệ phương trình 14

Chương 5 Dạng lượng giác của số phức 16

Chương 6 Chứng minh - Bất đẳng thức 17

Chương 7 Ứng dụng của số phức 18

Chương 8 Hướng dẫn 19

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

3 Tìm số phức z sao cho z.z + 3(z − z) = 1 − 4i.

4 Tìm số phức liên hợp của z, biết |z| = 1 và

z +iz

= 2

Bài 2.2 Tìm phần thực, phần ảo của số phức

1 Cho hai số phức z1= 1 + 2i và z2= 2 − 3i Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1− 2z2

2 Cho hai số phức z1= 2 + 5i và z2= 3 − 4i Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1z2

3 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết z = 1 +

√3i

8 Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = (1 + i)z, biết z thỏa mãn

z = (2 − 2i) (3 + 2i) (5 − 4i) − (2 + 3i)3

9 Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = iz + 4i, biết z thỏa mãn

z + 2i − 3 = (1 + 2i)2(1 + z)

3Bài 2.3.

1 Cho hai số phức z1= 3 − 4i và z2= 2 + i Tính môđun của số phức z = z1.z2

2 Cho hai số phức z1= 2 + 3i và z2= 1 + i Tính môđun của số phức w = z1 + 3z2

3 Cho hai số phức z1= 3 − 5i và z2= 2 − i Tính môđun của số phức z = z1+ z1z2

Bài 2.5 Tính môđun của số phức

1 Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn 1 − i

(2 − 3i) z

|z|2 + 2 − i.

2 Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i

3 Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z3+ 12i = z và z có phần thực dương

4 Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z = z

2+ 2z + 3

z + 1 .

5 Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z = (1 + i) (3 − 2i) − 5iz

2 + i.Bài 2.6 Tính môđun của số phức

1 Tính môđun của số phức w = iz + z, biết z thỏa mãn [(2 − i) z + 3 + i]



iz + 12i



= 0

2 Tính môđun của số phức w = z + iz, biết z thỏa mãn z = 1 −

√3i
3

4Bài 2.9.

xy .

2 Giả sử z1, z2là hai số phức thỏa mãn z21+ z22= z1z2 Tính |z1− z2|

|z1| + |z2|.Bài 2.10

1 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = 1 và |z1+ z2| =√3 Tính |z1− z2|

2 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| =√13 và |z1− z2| = 5√2 Tính |z1+ z2|

3 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 3, |z2| = 4 và |z1− z2| =√37 Tìm số phức z1

1 (2x + y) + (2y − x) i = (x − 2y + 3) + (y + 2x + 1) i 2 x2+ (1 + i)y2− (4 + 3i)xy = 1 + 4i

3 x2+ x + 1
+ 2x2+ 3x − 4
i = 3 − 2i 4 x (3 + 5i) + y(1 − 2i)3= 9 + 14i

1 Tìm số phức z, biết |z| = 5 và phần thực của nó bằng hai lần phần ảo của nó

2 Tìm số phức z, biết |z − 2 + i| = 2 và phần ảo nhỏ hơn phần thực ba đơn vị

Bài 2.13 Tìm số phức z (giải phương trình)

5Bài 2.15 Tìm số phức z (giải phương trình)

n

+ 1 − i

√2

2.3 Tìm số phức thỏa điều kiện cho trước

Bài 2.22 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

1 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z − (2 + i)| =√

z +

zz

= 1

8 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z2+ ¯z2= 6 và

z − 1 + i

z − 2i

10 Cho số phức z = x + 2yi (x; y ∈ R) thỏa mãn |z| = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

P = x − y

11 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1− 2| = 2 và |z2+ 1 − 3i| = |z2− 3 − 6i|

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1− z2|

12 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1+ i| = 5 và |z2− 5| = |z2− 7|

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1− z2|

13 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn iz1+√

2 =1

2 và z2= iz1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z − z |

Bài 4.3 Giải các phương trình sau trên tập số phức

1) z2 + 3(1 + i)z − 6 − 13i = 0 2) z2− 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0

3) 2 (1 + i) z2− 4 (2 − i) z − 5 − 3i = 0 4) (2 − 3i) z2− (3 − 4i) z + 1 − i = 0.Bài 4.4 Gọi z1, z2là hai nghiệm phức của phương trình z2+ 4z + 20 = 0 Tính giá trị các biểu thức

2+ z2

|z1|2+ |z2|2.3) C = |z1|2+ |z2|2

Bài 4.7 Cho các số phức w1 = 1 + 2i, w2= 3 − 4i Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thỏamãn các điều kiện w1.z là số thực và

w2

z = 1, từ đó lập phương trình bậc hai có nghiệm là các sốphức đã tìm được

12Bài 4.8 Tìm hai số phức, biết

a) Tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng 12

b) Tổng của chúng bằng −3 − 3i và tích của chúng bằng −6 − 13i

Bài 4.9 Tìm các số thực b, c để phương trình z2+ bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm nghiệm.Bài 4.10 Tìm số thực b để phương trình (1 − i) z2+ 2 (3 − 2i) z − 12 − bi = 0 nhận số phức z = 1 + ilàm nghiệm Tìm nghiệm còn lại của phương trình

Bài 4.11 Tìm môđun của số phức w = b + ci với b, c ∈ R, biết z = (1 + 2i) (2 − 3i)

2

8 + i là một nghiệmcủa phương trình z2+ bz + c = 0

Bài 4.14 Cho số phức z là nghiệm của phương trình z2+ z + 1 = 0 Rút gọn biểu thức

P =



z +1z

13Bài 4.18 Tìm các giá trị thực của m để phương trình z3− 5z2+ (m − 6) z + m = 0 có ba nghiệmphức phân biệt z1, z2, z3thỏa mãn |z1|2+ |z2|2+ |z3|2= 21.

Bài 4.19 Giải phương trình z3− 2(1 + i)z2+ 4(1 + i)z − 8i = 0, biết rằng phương trình có nghiệmthuần ảo

Bài 4.20 Giải phương trình z3− (5 + i)z2− 4(1 − i)z − 12 + 12i = 0, biết rằng phương trình cónghiệm thực

Bài 4.21 Cho phương trình z3+ (2 − i)z2+ 2(1 − i)z − 2i

a) Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn z3+ (2 − i)z2+ 2(1 − i)z − 2i = (z − ai)(z2+ bz + c).b) Từ đó, hãy giải phương trình z3+ (2 − i)z2+ 2(1 − i)z − 2i = 0

c) Gọi z1, z2, z3 là ba nghiệm của phương trình Tính giá trị biểu thức A = z2+ z2+ z2.Bài 4.22 Cho phương trình (z + i) z2− 2mz + m2− 2m
= 0 Tìm m để phương trình

b) Từ đó, hãy giải phương trình z4− 4z2− 16z − 16 = 0

Bài 4.27 Cho phương trình z4− 2z3− z2− 2z + i = 0

14Bài 4.28 Cho phương trình z4− 4z3+ 14z2− 36z + 45 = 0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm thuần ảo

b) Từ đó, hãy giải phương trình z4− 4z3+ 14z2− 36z + 45 = 0

Bài 4.29 Gọi z1, z2, z3, z4là bốn nghiệm của phương trình z4− 2z3+ 6z2− 8z + 8 = 0 Tính tổng

S = 1

z4 1

+ 1

z4 2

+ 1

z4 3

+ 1

z4 4

.Bài 4.30 Giải các phương trình sau trên tập số phức

1) z2+ 3z + 6
2

+ 2z z2+ 3z + 6
− 3z2= 0 2) (z2− z)(z + 3)(z + 2) = 10.3) z4− z3+z

2

4+ 2z3− z2+ 2z + 1 = 0.5) (z + 1)4+ 2(z + 1)2+ (z + 4)2+ 1 = 0

Bài 4.33 Giải các hệ phương trình sau

z − 12

z − 8i

= 53

z − 4

z − 8

= 1

Chương 5

Dạng lượng giác của số phức

Chương 6

Chứng minh - Bất đẳng thức

Chương 7

Ứng dụng của số phức

18

Chương 8

Hướng dẫn

HD 2.1

HD 2.2

HD 2.3

HD 2.4

HD 2.5

HD 2.6

HD 2.7

HD 2.8

HD 2.9

HD 2.10

HD 2.11 HD 2.12 HD 2.13 HD 2.14 HD 2.15

HD 2.16 1) Ta có

z = (1 + i)2014=h(1 + i)2i

1007

= (2i)1007= 21007.i1007= −21007i

Vậy phần thực bằng 0, phần ảo bằng −21007

2) Ta có

z = (1 − i)2015= (1 − i)h(1 − i)2i

1007

= (1 − i) (−2i)1007= (1 − i) 21007i = 21007+ 21007i

Vậy phần thực bằng 21007, phần ảo bằng 21007

19

203) Ta có

z = (2 − 2i)2016= 22016.(1 − i)2016= 22016.h(1 − i)2i

1008

= 22016.(−2i)1008= 22016.21008= 23024.Vậy phần thực bằng 23024, phần ảo bằng 0

+ 2i (1 − i)2

22Vậy C = 0.

n

+ 1 − i

√2

23Suy ra

Điều kiện z − 2 6= 0 ⇔ (a − 2) + bi 6= 0 ⇔ (a; b) 6= (2; 0)

Ta có |z| = |z − 2 − 2i| ⇔ |a + bi| = |(a − 2) + (b − 2) i|

và z − 2i

z − 2 =

a + (b − 2) i(a − 2) + bi =

a (a − 2) + b (b − 2)(a − 2)2+ b2 +−2a − 2b + 4

(a − 2)2+ b2i

• |z| = |z − 2 − 2i| ⇔√a2+ b2=

q(a − 2)2+ (b − 2)2⇔ a + b − 2 = 0 (1)

• z − 2i

z − 2 là số ảo ⇔

a (a − 2) + b (b − 2)(a − 2)2+ b2 = 0 ⇔ a (a − 2) + b (b − 2) = 0 (2)

3) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi

Điều kiện z + i 6= 0 ⇔ a + (1 − b) i 6= 0 ⇔ (a; b) 6= (0; 1)

Ta có |z + 1 − 2i| = |z + 3 + 4i| ⇔ |(a + 1) + (b − 2) i| = |(a + 3) + (4 − b) i|

• |z + 1 − 2i| = |z + 3 + 4i| ⇔

q(a + 1)2+ (b − 2)2=

q(a + 3)2+ (4 − b)2⇔ a − b + 5 = 0 (1)

b = 23

7 .Vậy số phức cần tìm z = −12

7 +

23

7 i.

4) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi

Điều kiện z + i 6= 0 ⇔ a + (1 − b) i 6= 0 ⇔ (a; b) 6= (0; 1)

Ta có |z + 1 − i| = |z + 2 + 2i| ⇔ |(a + 1) + (b − 1) i| = |(a + 2) + (2 − b) i|

q(a + 2)2+ (2 − b)2⇔ a − b + 3 = 0 (1)

5) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi

Điều kiện z 6= 0 ⇔ a + bi 6= 0 ⇔ (a; b) 6= (0; 0)

Ta có |(1 + i) z| = 2 ⇔ |(1 + i) (a + bi)| = 2 ⇔ |(a − b) + (a + b) i| = 2

(z)2 =

1(a − bi)2 =

• |(1 + i) z| = 2 ⇔

q(a − b)2+ (a + b)2= 2 ⇔ (a − b)2+ (a + b)2= 4 (1)

256) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi.

Điều kiện z 6= 0 ⇔ a + bi 6= 0 ⇔ (a; b) 6= (0; 0)

Ta có |z − 3i| = |1 − iz| ⇔ |a + (b − 3) i| = |(1 − b) − ai|

• (1 + 4i) z + z2 là số thuần ảo ⇔







a2− b2+ a + 4b = 04a − b + 2ab 6= 0

b = 2 ±

√15

2 .Vậy có bốn số phức cần tìm z = −1, z = −1 + 4i, z = −1

2+ 2 +

√152

!

i, z = −1

2 + 2 −

√152

!i.8) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi

Ta có (1 − 3i) z = (1 − 3i) (a + bi) = (a + 3b) + (b − 3a) i

và |z − 2 + 5i| = 1 ⇔ |(a − 2) + (5 − b) i| = 1

• |z − 2 + 5i| = 1 ⇔

q(a − 2)2+ (5 − b)2= 1 ⇔ (a − 2)2+ (5 − b)2= 1 (2)

b = 21

5 .Vậy có hai số phức cần tìm z = 2 + 6i, z = 7

5 +

21

5 i.

9) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi

Ta có (1 + 2i) z = (1 + 2i) (a − bi) = (a + 2b) + (2a − b) i

và |z + 2z − 3| = 5 ⇔ |(3a − 3) − bi| = 5

• |z + 2¯z − 3| = 5 ⇔

q(3a − 3)2+ b2= 5 ⇔ (3a − 3)2+ b2= 25 (2)

b = −16

13.Vậy có hai số phức cần tìm z = 2 + 4i hoặc z = − 8

13−16

13i.

10) Gọi z = a + bi (a; b ∈ R), suy ra z = a − bi

Ta có z2+ 4 (¯z − 2i) = a2− b2+ 4a
+ (2ab − 4b − 8) i

và |z + 1 − i| = |z| ⇔ |(a + 1) + (b − 1) i| = |a + bi|

• z2+ 4 (¯z − 2i) là số thực ⇔ 2ab − 4b − 8 = 0 ⇔ ab − 2b − 4 = 0 (1)

• |z + 1 − i| = |z| ⇔

q(a + 1)2+ (b − 1)2=√

Vậy có hai số phức cần tìm z = −2 − i hoặc z = 3 + 4i

HD 3.1 1) Đặt z = x + yi (x; y ∈ R), suy ra z = x − yi Khi đó

|z| = |¯z − 3 + 4i| ⇔ |x + yi| = |(x − 3) + (4 − y) i|

x2+ y2=

q(x − 3)2+ (4 − y)2 ⇔ 6x + 8y − 25 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 6x + 8y − 25 = 0

2) Đặt z = x + yi (x; y ∈ R), suy ra z = x − yi Khi đó

|z − ¯z + 2| = 2 |z − 1| ⇔ |2 + 2bi| = 2 |(x − 1) + yi|

4 + 4y2= 2

q(x − 1)2+ y2 ⇔ x2− 2x = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 0 (trục ảo) và đường thẳng x = 2.3) Đặt z = x + yi (x; y ∈ R), suy ra z = x − yi Khi đó

z + ¯z +1

2

... data-page="11">

3.2 Tìm số phức có mơđun nhỏ - môđun lớn nhất

Bài 3.6 Số phức z chạy đường thẳng, tìm số phức có mơđun nhỏ

1 Trong tất số phức z thỏa mãn |z − i| = |z − − 3i|, tìm số phức z... tất số phức z thỏa mãn (z − 1) (z + 2i) số thực, tìm số phức z có |z| nhỏ

3 Trong tất số phức z thỏa mãn |z − i| = |z + 1|, tìm số phức z có |z − (3 − 2i)| nhỏ

4 Trong tất số phức. .. tập hợp số phức< /h3>

Bài 3.1 Dạng tập hợp số phức z chạy đường thẳng

1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = |¯z − + 4i|

2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z