ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGA -MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1 : Tìm tọa độ hình chiếu của M trên đường thẳng d và tọa độ điểm đối xứng của M qua đường thẳng d.. Khi đ
Trang 1ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A -MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1 : Tìm tọa độ hình chiếu của M trên đường thẳng d và tọa độ điểm đối xứng của M qua
đường thẳng d.
Cho điểm M x y 0; 0 và đường thẳng 2 2
d by c a b
1-Tìm tọa độ hình chiếu của M trên đường thẳng d :
Cách giải :
-Lập phương trình đường thẳng d’ đi qua M và vuơng gĩc d
-Gọi H là hình chiếu của M trên d Khi đĩ H là giao điểm của d’ và d Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình của d và phương trình của d’
2-Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d :
Cách giải :
-Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
-Vì M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên H là trung điểm của MM’ Dựa vào cơng thức tọa độ trung điểm xác định tọa độ điểm M’
Dạng 2 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng :
(d1) : a1 x + b1 y + c1 = 0 và (d2) : a2 x + b2 y + c2 = 0 Thoả 1 trong các đk sau :
1 (d) qua điểm M0(x0 ; y0)
2 (d) song song với () : ax + by + c = 0
3 (d) () :ax + by + c = 0
Cách giải :
- Tìm giao điểm M của hai đường thẳng (d1) và (d2)
-Trong từng trường hợp ta thực hiện :
1 Viết pt đường thẳng qua hai điểm M0 và M
2 Viết pt đường thẳng qua điểm M và song song với ()
3 Viết pt đường thẳng qua điểm M và vuơng gĩc với ()
Dạng 3 : Đường thẳng đối xứng Dạng 3.1 : Viết phương trình đường thẳng () đối xứng với đường thẳng (d 1 ):a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 qua đường thẳng (d 2 ) : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
Cách 1 :
*B1 : Lấy điểm M0 (d1) Tìm toạ độ điểm M0’ đối xứng với M0 qua (d2)
*B 2 : Viết phương trình đường thẳng () Qua M0’và song song với (d1) hoặc (d2)
Cách 2 :
-Viết phương trình đường thẳng d 1 và l về dạng d 2 : y = kx + m, l : y kx + n
-Phương trình đường thẳng cĩ dạng : y = kx + p với 1
2
p m n
Trường hợp (d 1 ) cắt (d 2 ) :
CÁCH 1 :
B1 : Tìm giao điểm M0(x0 ; y0) của hai đường thẳng (d1) và (d2)
B 2 : Lấy điểm M1 (d1) (M1 M0 ) , tìm toạ độ điểm M2 đối xứng với M1 qua (d2)
B 3 : Viết p/t đường thẳng ( ) qua hai điểm M0 , M2
CÁCH 2 :
B 1 : Tìm giao điểm M0(x0 ; y0) của hai đường thẳng (d1) và (d2)
B 2 : phương trình đường thẳng () qua điểm M0 cĩ dạng : a(x – x0) + b(y – y0) = 0
B 3 : Lập p/t bậc hai hai ẩn a , b : cos [ () ; (d2) ] = cos [ () ; (d1) ] chọn 1 trong hai số a hoặc b tìm ẩn cịn lại
Trang 2Dạng 3.2 Cách viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I(a ; b) :
-Lấy điểm M’(x’ ; y’) đối xứng với M(x ; y) thuộc d qua điểm I
Khi đó x = 2a – x’, y = 2b – y’
-Thay x, y trên vào phương trình của d ta được phương trình theo x’, y’
-Thay x’, y’ bởi x, y ta được phương trình của đường thẳng d’ cần tìm
Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và cách điểm M 1 (x 1 ; y 2 )
một đoạn bằng h
Cách giải
+ Phương trình đường thẳng () có dạng : a(x – x0) + b(y – y0) = 0
+ Lập pt bậc hai hai ẩn a , b : d[ M1 ; ()] = h
+ Giải pt (*) với ẩn a (hoặc b) , với tham số b (hoặc a )
+ Chọn b => a ( hoặc chọn a => b )
Dạng 5 : Xác định các yếu tố của tam giác khi biết các yếu tố khác Dạng 5.1 : Biết tọa độ một đỉnh và phương trình các đường cùng tính chất : 1-Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường cao :
Giả sử biết tọa độ đỉnh A và phương trình hai đường cao BH và CK
Cách giải :
-Lập phương trình các cạnh AB, AC dựa vào tính chất của đường cao và đi qua điểm A -Tìm tọa độ điểm B, C và lập phương trình cạnh BC đi qua B và C Lập phương trình đường cao còn lại
Khi đó các đường còn lại trong tam giác lập đơn giản vì đã xác định được tọa độ các đỉnh của tam giác
2-Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến :
Giả sử biết tọa độ đỉnh A và phương trình hai đường trung tuyến BM và CN
Cách giải :
-Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, Tìm điểm D đối xứng với A qua G
-Lập phương trình các đường thẳng đi qua D và song song với BM, CN
-Tìm tọa độ các đỉnh B, C
-Từ đó lập được phương trình các cạnh và các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn giản
3-Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường phân giác :
Giả sử biết tọa độ đỉnh A và phương trình hai đường phân giác BE và CF
Cách giải :
-Tìm tọa độ hình chiếu của A trên các đường phân giác BE và CF
-Tìm tọa độ điểm A’, A” đối xứng của A qua BE và CF
-Vì A’, A” thuộc BC nên ta lập được phương trình của BC
-Tìm tọa độ các đỉnh B, C
-Từ đó lập được phương trình các cạnh và các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn giản
Dạng 5.2 : Biết tọa độ một đỉnh và phương trình các đường khác tính chất : 1-Biết tọa độ đỉnh A và phương trình đường cao BH và phân giác CE:
Cách giải :
-Viết phương trình cạnh AC vuông góc với BH và đi qua A
-Xác định tọa độ điểm C là giao điểm của CE và AC
-Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua CE
-Viết phương trình cạnh BC đi qua A’ và C Từ đó lập phương trình các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn giản
Trang 32-Biết tọa độ đỉnh A và phương trình đường cao BH và trung tuyến CM:
Cách giải :
-Viết phương trình cạnh AC vuông góc với BH và đi qua A
-Gọi B x y B; B tìm tọa độ điểm M theo B Thay tọa độ B vào phương trình của BH và thay tọa độ của M vào phương trình của CM ta được hệ phương trình Giải hệ ta được tọa độ B
-Tìm tọa độ C từ đó lập được phương trình các cạnh và các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn giản
3-Biết tọa độ đỉnh A và phương trình đường phân giác CE và trung tuyến BM:
Cách giải :
-Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua CE
-Gọi C x y C; C tìm tọa độ điểm M theo C Thay tọa độ C vào phương trình của CE và thay tọa độ của M vào phương trình của BM ta được một hệ phương trình Giải hệ ta được tọa độ C
-Lập phương trình cạnh AC
-Lập phương trình cạnh BC đi qua A’ và C Tìm tọa độ điểm B
-Lập phương trình cạnh AB đi qua A và B Và các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn giản
Dạng 6 : Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x y 0; 0 tạo với d 1 một góc
Cách giải :
-Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d Lập phương trình của d có dạng y y 0 k x x 0 -Tính cos Giải phương trình thu được tìm k
-Kết luận phương trình của d
Dạng 7 : Lập phương trình đường phân giác của tạo bởi hai đường thẳng d 1 và d 2
Cách giải : Giả sử phương trình của d1 : a1x + b1y + c1 = 0, d2 : a2x + b2y + c2 = 0
Trong công thức (1) nếu dấu “+” là dấu của đường phân giác góc nhọn thì dấu “ - ” là dấu của đường phân giác góc tù và ngược lại
Như vậy để chọn được đúng dấu của đường phân giác ta chọn theo bảng dấu sau :
d d
n n Dấu của đường phân giác góc
nhọn
Dấu của đường phân giác
góc tù
-Dạng 8 : Xác định điểm M trên đường thẳng d để (MA+MB) nhỏ nhất 1-Nếu A, B ở khác bên so với d :
Ta luôn có : MA MB AB
min MA MB AB khi M M0 là giao điểm của AB và d
Vậy M0 là điểm cần tìm
2-Nếu A, B ở cùng bên so với d :
-Dựng A’ đối xứng với A qua d Khi đó A’ và B khác bên so
với d nên bài toán trở về trường hợp trên :
Ta có : MA MB MA' MBA B'
min MA MB A B' khi M M0 là giao điểm của A’B và d
Vậy M0 là điểm cần tìm
M A
B
M
A
B
M
0
d A’
Trang 4Dạng 9 : Xác định điểm M trên đường thẳng d để MA MB lớn nhất 1-Nếu A, B ở cùng bên so với d :
Ta luôn có : MA MB AB
max MA MB AB khi M M0 là giao điểm của AB và d
Vậy M0 là điểm cần tìm
2-Nếu A, B ở khác bên so với d :
-Dựng A’ đối xứng với A qua d Khi đó A’ và B cùng bên so
với d nên bài toán trở về trường hợp trên :
Ta có : MA MB MA' MB A B'
m MA MB A B khi M M0 là giao điểm của A’B và d
Vậy M0 là điểm cần tìm
B-BÀI TẬP
LOẠI 1 : Tìm tọa độ điểm
Bài 1 : Cho tam giác ABC, M(0 ; 4) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh còn lại có phương trình là
2x + y – 11 = 0 và x + 4y – 2 = 0
a.Tìm tọa độ đỉnh A
b.Gọi C là điểm trên đường thẳng x + 4y – 2 = 0, N là trung điểm AC Tìm điểm N rồi tìm tọa
độ B, C
Bài 2 : Cho tam giác ABC có M(-2 ; 2) là trung điểm BC, cạnh AB có phương trình x – 2y – 2 = 0,
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 3 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-1 ; -1) và có các cạnh AB : 4x + y + 15 = 0 và AC : 2x +
5y + 3 = 0
a.Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC
b.Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình cạnh BC
Bài 4 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1 ; -3).
a.Biết đường cao BH : 5x + 3y – 25 = 0 và đường cao CK : 3x + 8y – 12 = 0 Tìm B, C
b.Biết đường trung trực của AB là 3x + 2y – 4 = 0 và trọng tâm G(4 ; -2) Tìm B, C
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A, phương trình cạnh BC là : x – y - 3 = 0, các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 6 : Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1
2 ; 0), phương trình cạnh AB : x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh còn lại (Biết đỉnh A có hoành độ âm)
Bài 7 : Cho hai đường thẳng d1 : x – y = 0 và d2: 2x + y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành
Bài 8 : Cho đường thẳng : 4x – 5 y + 3 = 0 và điểm M(-6 ; 4)
a.Tìm tọa độ hình chiếu của M trên đường thẳng
b.Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua
Bài 9 : Cho hai điểm A(1 ; 6), B(-3 ; -4) và đường thẳng : 2x – y – 1 = 0 Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho MA + MB bé nhất
Bài 10 : Cho hai điểm A(-7 ; 1), B(-5 ; 5) và đường thẳng : 2x – y + 5 = 0 Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho MA + MB bé nhất
Bài 11 : Cho hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA + MB bé nhất Bài 12 : Cho hai điểm A(4 ; 1), B(0 ; 4) và đường thẳng : 3x – y – 1 = 0 Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho MA MB lớn nhất
Bài 13 : Cho hai điểm A(-3 ; 2), B(2 ; 5) Tìm điểm M trên trục tung sao cho MA MB lớn nhất
M
A B
M
0
00 d
M A
B
A
’
Trang 5Bài 14 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2, hai đỉnh A(3 ; -2), B(2 ; -3) và trọng tâm của tam giác trên đường thẳng 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
Bài 15 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3, hai đỉnh A(3 ; 1), B(1 ; -3) và trọng tâm của tam
giác trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C
Bài 16 : Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên
đường thẳng AB là điểm H(-1 ; -1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0
và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0
Bài 17 : Cho điểm A(2 ; 2) và các đường thẳng d1 : x + y – 2 = 0 và d2: x + y – 8 = 0 Tìm tọa độ các điểm B, C lần lượt trên d1,d2sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
Bài 18 : Cho các đường thẳng d1 : x + y + 3 = 0 , d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0 Tìm tọa độ điểm
M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2
- -LOẠI 2 : Lập phương trình đường thẳng.
Bài 1 : Cho tam giác ABC, đỉnh A(2 ; 2) và phương trình hai đường cao là 9x – 3y – 4 = 0; x + y – 2
= 0
a.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b.Viết phương trình đường cao còn lại
c Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AC
Bài 2 : Phương trình hai cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x +
7y – 21 = 0 Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ
Bài 3 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4 ; -1), đường cao và đường trung
tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình là 2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0
Bài 4 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1 ; 3) và hai đường trung tuyến của
phương trình là x – 2y + 1 = 0 và y – 1 = 0
Bài 5 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(1 ; 3) phương trình phân giác trong
AD : x+ 2y – 5 = 0, trung tuyến AE : 4x + 13y -10 = 0
Bài 6 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2 ; -1) phương trình phân giác trong góc
B : x – 2y + 1 = 0, phân giác trong góc C là x + y + 3 = 0
Bài 7 : Cho đường thẳng d : 2x + 3y – 6 = 0.
a.Viết phương trình dường thẳng d1đối xứng với d qua đường thẳng 1 : 4x – 3y + 24 = 0 b.Viết phương trình dường thẳng d2đối xứng với d qua đường thẳng 2 : 4x + 6y + 7 = 0
Bài 8 : Viết phương trình dường thẳng dđối xứng với d : 2x + y – 2 = 0 qua điểm I(2 ; 4)
Bài 9 : Cho P(2 ; 5), Q(5 ; 1) Lập phương trình đường thẳng qua điểm P sao cho khoảng cách từ
điểm Q đến đường thẳng đó bằng 3
Bài 10 : Cho M(7 ; -2), N(4 ; -6) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M và cách điểm N một
khoảng bằng 5
Bài 11 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4 ; 1), phân giác trong của góc A có phương
trình x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh
A có hoành độ dương
Bài 12 : Cho tam giác ABC có M(2 ; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường
cao qua đỉnh A lần lượt là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC
Bài 13 : Cho hai đỉnh đối diện của một hình vuông là A(-1 ; 3), C(6 ; 2) Viết phương trình các cạnh
của hình vuông đó
Bài 14 : Cho hình vuông có một đỉnh A(-4 ; 5) và một đường chéo : 7x – y + 8 = 0 Lập phương
trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông
Trang 6Bài 15 : Cho hai đường thẳng d1 : 2x – y – 2 = 0 và d2: 2x + 4y – 7 = 0.
a.Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi các đường thẳng đó
b.Viết phương trình đường thẳng đi qua P(3 ; 1) cùng với hai đường thẳng d1, d2 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1, d2
Bài 16 : Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; -1) sao cho nó cùng với hai đường thẳng d1 : x – 3y + 5 = 0 và d2: 3x – y – 2 = 0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1, d2
Bài 17 : Cho P(3 ; 0) và hai đường thẳng d1 : 2x – y – 2 = 0 và d2: x + y + 3 = 0 Gọi d là đường thẳng đi qua P và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho PA = PB Viết phương trình đường thẳng d
Bài 18 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 1) và tạo với đường thẳng d : 2x + 3y + 4
= 0 một góc bằng 450
Bài 19 : Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng : 3x – 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến bằng 1
Bài 20 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1 ; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác
trong của góc C nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0 Viết phương trình cạnh BC
- -LOẠI 3 : Các bài toán về đường thẳng có liên quan đến khoảng cách.
Bài 1 : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(4 ; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao
cho OA + OB nhỏ nhất
Bài 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(3 ; 1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao
cho tam giác ABC cân tại A với A(2 ; -2)
Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng đi qua A(27 ; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại M, N sao
cho độ dài MN ngắn nhất
Bài 4 : Cho hai đường thẳng 1 : x – y + 1 = 0, 2: 2x + y + 1 = 0 và điểm M(2 ; 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt 1,2 lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm AB
Bài 5 : Cho hai đường thẳng 1 : 2x – y + 1 = 0, 2: x + 2y – 7 = 0 và điểm A là giao điểm của 1, 2
Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và cắt 1,2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC
là tam giác cân
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C) :
x12y32 25 theo một dây cung có độ dài bằng 8
Bài 7 : Cho đường tròn (C) : x2y2 2x4y 4 0 có tâm I và điểm M(-1 ; -3) Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất
(Hướng dẫn : Dùng hình vẽ bên và công thức 1 sin
2
S IA IB I để giải)
Bài 8 : Cho đường tròn (C) : x2y2 1 Đường tròn (C’) có tâm I(2 ; 2) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 Lập phương trình AB (Hướng dẫn : Gọi H là hình chiếu của O trên
AB, tính OH và d O AB( , )OH Chú ý AB OI)
Trang 7Bài 9 : Cho điểm A(0 ; 2) và là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH
Bài 10 : Cho hai đường thẳng 1 : x – 2y – 3 = 0, 2: x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1
2
- -B-MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Dạng 1 : Các bài toán thiết lập phương trình đường tròn
I-Nhắc lại lý thuyết :
Người ta thường dùng hai dạng phương trình đường tròn sau
1) x a 2y b 2 R2 dưới dạng này đường tròn có tâm là I a b ; và bán kính R
2) x2y22ax2by c 0, trong đó a2b2 c Dưới dạng này đường tròn có tâm là
I a b và bán kính R a2b2 c
Giải sử cho đường tròn (C) : x a 2y b 2 R2 và đường thẳng : Ax + By + C = 0 Gọi
h là khoảng cách từ tâm I a b ; của (C) tới đường thẳng Khi đó h Aa Bb C2 2
A B
Nếu h > R thì (C) và không cắt nhau
Nếu h = R thì (C) và tiếp xúc nhau
Nếu h < R thì (C) và cắt nhau tại hai điểm
II-Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC với A(0 ; 2), B(-2 ; -2), C(4 ; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống
cạnh AC và M,N tương ứng là trung điểm của AB, AC Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
H, M, N
Bài 2 : Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3
= 0 Cạnh BC có trung điểm M(-1 ; 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 3 : Cho đường tròn (C) : 2 2 4
2
5
x y và hai đường thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = 0 Viết phương trình đường tròn tâm K nằm trên đường tròn (C) và đồng thời tiếp xúc với 1, 2
Bài 4 : Cho hai điểm A(2 ; 0) và B(6 ; 4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành
tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5
Bài 5 : Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường
thẳng 1 : 3x – y + 3 = 0, 2 : x – 3y + 9 = 0
Bài 6 : Cho đường thẳng : x – y + 1 - 2= 0 và điểm A(-1 ; 1) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với
Bài 7 : Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(4 ; 2) và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 : x –3
y – 2 = 0, 2 : x – 3y + 18 = 0
Bài 8 : Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1 : 7x – y – 5 = 0, 2 : x + y +
13 = 0 và với một trong hai đường thẳng ấy tại M(1 ; 2)
Bài 9 : Cho ba điểm A(-1 ; 7), B(4 ; -3), C(-4 ; 1) Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
Bài 10 : Cho hai điểm A(8 ; 0) và B(0 ; 6).
a) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC
Trang 8b) Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Bài 11 : Cho hai đường thẳng 1 : 4x – 3y – 12 = 0, 2 : 4x + 3y – 12 = 0
a) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC có các đỉnh là giao điểm của 1,2 và trục Oy b) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Dạng 2 : Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
I-Lý thuyết : Cho đường tròn C(I , R) và đường thẳng Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn C(I, R) thì ta có một số kết quả sau thường được dùng trong giải toán :
d I( , ) R
Gọi H là tiếp điểm thì IH Khi đó vectơ IH là vectơ pháp tuyến của
II-Bài tập :
Bài 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a (C) : x2y2 6x8y 25 0 tại A(-2 ; 1)
b (C) : x2y22x 4y 4 0 đi qua điểm A(2 ; 5)
c (C) : x2y2 2x 6y 6 0 có hệ số góc k = -1
Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn : x2y210x 2y 6 0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 2x + y – 7 = 0
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn : x2y22x 4y 20 0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : x + y = 0
Bài 4 :Cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x - 4y + m = 0 Tìm m để trên
d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho PAB đều
Bài 5 : Cho đường thẳng d: x - y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB bằng 600
Bài 6 : Cho đường tròn ( ) : 2 2 2 6 6 0
x
C và điểm M(-3;1) Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2
Bài 7 : Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C): x2y2 2x 4y0 Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 10
Bài 8: Cho đường tròn (C): x2 y2 9 và điểm A(1;2) Hãy lập phương trình của đường thẳng chứa dây cung của (C) đi qua A sao cho độ dài dây cung đó ngắn nhất
Bài 9: Cho hai đường tròn :
(C ) : x y 2x 9y 2 0, (C ) : x y 8x 9y 16 0 a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc nhau
b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2)
Bài 10: Cho hai đường tròn :
(C ) : x y 10x 0, (C ) : x y 4x 2y 20 0 Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2)
Bài 11: Cho hai đường tròn :
(C ) : x y 4x 5 0 (C ) : x y 6x 8y 16 0
Trang 9Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2).
Bài 12 : Cho hai đường tròn: (C1):x2 y2 4y 5 0 và (C2): x2y2 6x8y16 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2)
Trang 10Tham Khảo thêm!
CÁC BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG HAY
Bài toán 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 0) và B(2; 2 3) Lập phương trình đường phân giác trong OD của D OAB
Giải tóm tắt
Cách 1
tgAOB = 3Þ AOD =30o
OD
3
3
Cách 2
OA
e (1; 0)
ìïï = =
ïî
uuur
r
r
uuur
Nhận xét
+ Cách 1 cho kết quả nhanh nhưng chỉ dùng được với tam giác đặc biệt
+ Cách 2 dùng được với trường hợp tổng quát và kể cả hình học giải tích không gian
Bài toán 2 (trích đề thi Đại học khối A–2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho D ABC
vuông tại A, biết phương trình của cạnh (BC) : x 3 y- - 3=0 Điểm A, B thuộc Ox và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G củaD ABC
Giải tóm tắt
+ Xét trường hợp x C > x B
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếpD ABC và H là
hình chiếu của I trên Ox
B =(BC) OxÇ Þ B(1; 0)
pt(BC) : 3x- y- 3=0
·ABC 60 HBI
HA = IH = 2Þ OA = OB + BH + HA
3 2 3 A(3 2 3; 0)
AC ^Ox, C Î (BC)Þ C(3 2 3; 6 2 3)+ +
7 4 3 6 2 3
ç
Þ ççè ÷÷ø
+ Xét trường hợp x C < x B
Do hai tam giác trong hai trường hợp đối xứng nhau qua B nên áp dụng công thức trung điểm ta được G 1 4 3; 6 2 3
æ- - - - ö÷
