SỞ GD – ĐT QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 ĐỨC PHỔ
KIỂM TRA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán – Lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)
I PHẦN CHUNG
(1,0 điểm)
3
2
2
0,50
3
0,50
2
5
+
+
−
+ +
0,50
5 2
x x x
x
−
=
2
(2,0 điểm)
và:
2
−
−
−
(1)f = +m 2
0,75
Do đó, để hàm số liên tục tại x0 =1 thì m+ = ⇔ =2 3 m 1 1,00 Vậy : m=1
3
K
H C
A
B D
S
1
(1,0 điểm)
Tam giác SAB đều, H là trung điểm của AB nên SH ⊥ AB 0,50 Mặt khác (SAB)⊥(ABCD) nên suy ra SH ⊥(ABCD) 0,50
2 Gọi K là hình chiếu của H trên SD thì HK ⊥SD và (d H SD, )=HK 0,25
(1,0 điểm) Tam giác SHD vuông tại H, có đường cao HK nên :
2 2 2
HK = SH +HD
0,25
Ta có :
2 2
2 3 3
SH
= =
2 2
0,25
Trang 2Do đó : 1 2 42 42 1 2 322
8
a
d H SD =
(1,0 điểm) Do đó ((SHD), (SHC))=(HD HC, )
2
2 cos
CHD
2 2 2
5 2
3 2 3
4 .
5 2 5 5 2
4
a a a
−
0,25
Vì cos 3 0
5
CHD= > nên ((SHD), (SHC))=(HC HD, )=CHD
Do đó (( ), ( )) arccos3 530
5
0,25
II PHẦN RIÊNG Phần A Theo chương trình Chun
(1,0 điểm) ∀ ≠ −x 1, ta có ' 4 2
( 1)
y x
= +
0,50
Do đó :
2
VP
0,50
2
Gọi M x y là tiếp điểm thì ( ;0 0) x0 =5, suy ra 0 1
3
9
' y'( )
(1,0 điểm)
Do đó tiếp tuyến của ( )C tại 5;1
3
M
có phương trình :
1( 5) 1 1 2
0,50
Vậy PTTT cần tìm là 1 2
y= x−
(1,0 điểm) f x là hàm đa thức nên liên tục trên ( ) ℝ , do đó ( )f x liên tục trên đoạn [0;1]
Suy ra (0)f và (1)f trái dấu
Vì vậy phương trình ( )f x =0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) 0,25 Hay phương trình (m+n x) 4+2mx3+2x+1=0 có ít nhất một nghiệm bé hơn 1
Phần B Theo chương trình Nâng cao
(1,0 điểm)
Gọi M x y ( ;0 0) là tiếp điểm, ( )C là đồ thị của hàm số (1) Khi đó tiếp tuyến
của ( )C tại M x y ( ;0 0) có phương trình :y=(3x02−6 )(x0 x−x0)+ −x03 3x02+2
0,50
0 0) 2 0 0
Vì tiếp tuyến này đi qua (0; 2)A nên ta có : −2x03+3x02 + = ⇔2 2 2x03−3x02 =0 0,25
Trang 30 2
0 0
0
0 3 2 0
x
x x
x
=
=
Với 0 3
2
x = ta có PTTT : 9 2
4
y= − x+
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn ycbt là : y=2 và 9 2
4
y= − x+
*Chú ý Nếu HS viết PTTT tại tiếp điểm (0; 2) A và tìm được tiếp tuyến y=2
thì chỉ cho 0,5 điểm
2
(1,0 điểm) Ta có
2
y = x − x, "y =6x−6, (tan ) ' 12
cos x
x = , (cot ) ' 12
sin x
x = − , '(1) 3
y = − , "(2)y =6
0,50
Do đó
2
1 6
x
x y
x
2 2
2
cos ) c
1
4
+
0,50
7
(1,0 điểm) Ta có c i∈[ ; ]a b , i=1,n và ( )f x là hàm nghịch biến trên đoạn [ ; ] a b nên :
1) ( )
f a ≥ f c ≥ f b , f a( )≥ f c( 2)≥ f b( ),…, f a( )≥ f c( n)≥ f b( )
0,25
Suy ra
1
)
n i i
nf a f c
=
1
)
n i i
nf b f c
=
Xét hàm số ( )g x =nf x( )−M , với
1
) (
n i i
=
=∑ Ta thấy ( )g x liên tục trên
đoạn [ ; ]a b và ( ) g a =nf a( )−M ≥0, ( )g b =nf b( )−M ≤0
Do đó ( ) ( )g a g b ≤0
0,25
TH1 : ( ) ( )g a g b =0 Khi đó ( )g a hoặc ( ) g b =0 nên phương trình ( )g x =0 nhận a hoặc b làm
nghiệm
0,25
TH2 : ( ) ( )g a g b <0 thì phương trình ( )g x =0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( ; )a b
Vậy, với điều kiện đã cho thì phương trình
1
)
n i i
nf x f c
=
=∑ luôn có nghiệm trên đoạn [ ; ]a b
*Ghi chú:
-Điểm toàn bài kiểm tra được làm tròn theo quy tắc sau: điểm lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; điểm lẻ 0,75 làm tròn thành điểm nguyên gần nhất
-Nếu HS giải bằng cách khác với HD chấm này mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đúng đó -Nếu HS làm cả hai phần riêng thì chỉ chấm phần chung